高中数学-抛物线(原卷版)
抛物线的定义-高中数学知识点讲解(含答案)
抛物线的定义（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4 小题）1．（2011 秋•海淀区期末）已知定点A(1, 0) ，B(1, 0) ，P 是动点且直线PA ，PB 的斜率之积为， 0 ，则动点P 的轨迹不可能是 ( )A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．（2010•东城区校级模拟）有一矩形纸片ABCD ，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B 都落在边AD 上，将的落点记为，其中为折痕，点也可落在边上，过作交于点，则点的轨迹B B EF F CD B B H / /CD EF H H为 ( )A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．（2010•海淀区二模）已知直线l : y 1，定点F(0,1) ，P 是直线x y 2 0 上的动点，若经过点F ，P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为 ( )34A．B．C．D．24．（2008•北京）若点P 到直线x 1的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1，则点P 的轨迹为 ( ) A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二．填空题（共3 小题）5．（2011 春•北京校级月考）已知动点P 到定点 (2,0) 的距离比它到定直线l : x 1的距离大 1，则点P 的轨迹方程为．6．（2011•丰台区一模）已知抛物线y2 4x 上一点P(3, y) ，则点P 到抛物线焦点的距离为．7．（2009 春•朝阳区期末）若点P 到直线x 2 的距离比它到点 (3, 0) 的距离少 1，则点P 的轨迹方程为．第1页（共5页）抛物线的定义（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4 小题）1．（2011 秋•海淀区期末）已知定点A(1, 0) ，B(1, 0) ，P 是动点且直线PA ，PB 的斜率之积为， 0 ，则动点P 的轨迹不可能是 ( )A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【分析】根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得和的关系式，对的P x y范围进行分类讨论，分别看 0 ， 0 且1和1时，根据圆锥曲线的标准方程可推断出点P 的轨迹．【解答】解：已知定点，，设A(1, 0) B(1, 0) P(x, y)y y依题意可知，整理得，x 1 x 1g y2 x2当 0 时，方程的轨迹为双曲线．当时，且方程的轨迹为椭圆．0 1当时，点的轨迹为圆1 P抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是 1，故P 点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：D ．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的综合．考查了学生对圆锥曲线标准方程的考查和应用．2．（2010•东城区校级模拟）有一矩形纸片ABCD ，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B 都落在边AD 上，将B 的落点记为B，其中EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上，过B作B H / /CD 交EF 于点H ，则点H 的轨迹为 ( )A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【分析】根据折纸的方法可知，点H 到定点B 的距离以及到定直线AD 的距离相等，根据抛物线的定义可知答案．【解答】解：由题意知：点H 到定点B 的距离以及到定直线AD 的距离相等，根据抛物线的定义可知：第2页（共5页）点H 的轨迹为：抛物线，（抛物线的一部分）故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，解题的关键是找出点的特征，即它到定点的距离以及到定直线的H B AD距离相等，属于基础题．3．（2010•海淀区二模）已知直线l : y 1，定点F(0,1) ，P 是直线x y 2 0 上的动点，若经过点F ，P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为 ( )34A．B．C．D．2【分析】由题意知，圆心圆心在以点为焦点、以直线为准线的抛物线上，此抛物线方程为，抛物线上只F l x2 4y有点 (0,0) 到直线l 的距离最小为 1，故圆心为 (0,0) 时，圆的半径最小．【解答】解：由题意知，圆心到点的距离等于半径，圆心到直线的距离也等于半径，F l : y 1圆心在以点为焦点、以直线为准线的抛物线上，此抛物线方程为．F l x2 4y要使圆的面积最小，只有半径（圆心到直线l 的距离）最小，因为抛物线上只有点 (0,0) 到直线l 的距离最小为 1，故圆的面积的最小值是 1 ，2故选：．B【点评】本题考查抛物线的定义和标准方程，圆的面积最小的条件是圆的半径最小．4．（2008•北京）若点P 到直线x 1的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1，则点P 的轨迹为 ( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】把直线向左平移一个单位变为，此时点到直线的距离等于它到点的距离，这就x 1 x 2 P x 2 (2,0)是抛物线的定义．【解答】解：因为点P 到直线x 1的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1，所以点到直线的距离等于它到点的距离，P x 2 (2,0)因此点的轨迹为抛物线．P故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义．二．填空题（共3 小题）5．（2011 春•北京校级月考）已知动点P 到定点 (2,0) 的距离比它到定直线l : x 1的距离大 1，则点P 的轨迹方程为y2 4x．第3页（共5页）【分析】由题意得，动点到定点的距离和它到定直线的距离相等，利用抛物线的定义及值，可得P A(1, 0) x 1 p 轨迹方程．【解答】解：由题意得，动点到定点的距离和它到定直线的距离相等，P A(1, 0) x 1故的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，且，P A x 1 p 2故抛物线方程为，y2 4x故答案为：．y2 4x【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，判断点P 到定点A(1, 0) 的距离和它到定直线x 1的距离相等是解题的关键．6．（2011•丰台区一模）已知抛物线y2 4x 上一点P(3, y) ，则点P 到抛物线焦点的距离为4．【分析】根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离与点P 到焦点的距离相等，故点P 到抛物线焦点的距离为点p 的p横坐标，进而求解．2【解答】解：抛物线，Q y2 4x 2pxp 2，p由抛物线的定义知的，点P 到抛物线焦点的距离为x 3 1 4 ，p2故答案为：4．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．7．（2009 春•朝阳区期末）若点P 到直线x 2 的距离比它到点 (3, 0) 的距离少 1，则点P 的轨迹方程为y2 12x ．【分析】由题意得，点P 到直线x 3的距离和它到点 (3, 0) 的距离相等，故点P 的轨迹是以点 (3, 0) 为焦点，以直线x p 63为准线的抛物线，，从而写出抛物线的标准方程．【解答】解：Q点P 到直线x 2 的距离比它到点 (3, 0) 的距离少 1，点P 到直线x 3的距离和它到点 (3, 0) 的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点 (3, 0) 为焦点，以直线x 3为准线的抛物线，p 6 y2 12x，抛物线的标准方程为，故答案为y2 12x ．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断点P 到直线x 3的距离和它到点 (3, 0) 的第4页（共5页）距离相等，是解题的关键．第5页（共5页）。
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(二)》ppt
x1,3，x2 三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案
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第23页
解析：如图，设准线 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作准线 l 的垂线 AD，
交 l 于点 D．由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点 F 是线段 AC 的中点，
所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2.所以抛物线的方程为 y2＝4x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以 x1＝3，所以 A(3,2 3)．又 F(1,0)，所以 kAF＝32－31＝ 3，所以直线 AF 的方程为 y＝ 3(x－1)，将此方程与 抛物线方程 y2＝4x 联立后消去 y 并整理，得 3x2－10x＋3＝0，所以 x1＋x2＝130，所以|AB|＝x1 ＋x2＋p＝130＋2＝136.故选 C．
y1y＝px1＋x→过A的切线， 由yy221y＝＝2ppxx12，＋x→过B的切线，
y22＝2px2，
得两切线交点 Qy21py2，y1＋2 y2，又由 y1y2＝－p2 知 xQ
＝－p2，即 Q 点轨迹方程为准线 x＝－p2. 易验证 kQA·kQB＝－1，即 QA⊥QB．
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第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
直线与抛物线的位置关系 联立yy2＝＝k2xp＋x，m， 得 k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k≠0，Δ＝0； ②相交：k≠0，Δ>0 或 k＝0； ③相离：k≠0，Δ<0.
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第6页
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高中数学复习讲义抛物线
(2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，
则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p，顶点
到准线的距离
p
2
，焦点到准线的距离为p.
2
(3)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交
抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1+x2+p或
AB
1.抛物线的定义:平面内到一定点F的距离 与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
(1)方程y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)叫 做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物 线的开口方向.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是( ,0)，
(1)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，
一般运用定义转化为到准线的距离处理.
(2)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)）上一
(当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立)
（Ⅱ）因为
FA
x1
p，FB 2
x2
p， 2
所以
1 FA
1 FB
1 x1
p 2
1 x2
p 2
2 2 x1
p
2 2x2
p
4（x1 x2） 4 p 4x1 x2 2 p（x1 x2）
p2
由（Ⅰ）
x1 x2
1 4
p2，代入上式，
在y轴上，其坐标为（0, 1），选D. 3
高中数学选择性必修第一册 抛物线(习题课)
【解析】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)． 由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22.
探究 1 由抛物线的定义，可以导出：若 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0) 上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径长公式)．这一 公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
思考题 1 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y
设点 D(0，n)， 则D→A＝－xy11，－1－n，D→B＝－xy22，－1－n， D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x41x21x－2 x422＋(n＋1)2＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋ 1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
4．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线 与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝___2_____．
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
2020高中数学第三章2.2 抛物线的简单性质(一) 1
[基础达标]1.顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为( ) A ．y 2＝165xB ．y 2＝－165xC ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得p＝85，所以，抛物线方程为x 2＝165y . 2.已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．0 解析：选B.z ＝x 2＋12×4x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∵x ≥0，∴x ＝0时，z 有最小值，z min ＝3.3.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．4.若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．0<a ≤1C ．a ≤1D ．a ≤0解析：选C.设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝d 2＝x 2＋(y －a )2＝2y ＋(y －a )2＝y 2－(2a －2)y ＋a 2 ＝[y －(a －1)]2＋(2a －1)． ∵y ∈[0，＋∞)，根据题意知，(1)当a －1≤0，即a ≤1，y ＝0时，d 2min ＝a 2.这时d min ＝|a |.(2)当a －1>0，即a >1时，y ＝a －1时d 2取到最小值，不符合题意． 综上可知a ≤1.5.已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0，则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)， ∵P A ⊥PQ ， ∴P A →·PQ →＝0.∴－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0，即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0， ∴x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2.∴x ≥2－1＝1； 当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，∴x ≤－2－1＝－3，故Q 横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________．解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±47.已知直线y ＝k (x －2)，(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）y 2＝8x ， 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4. ① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |， ∴x 1＝3x 2＋4， ② 由①②解得x 2＝23，∴B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 38.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝4x ，得ky 2－4y －16k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 答案：329.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以直线方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p 2.设直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据抛物线的定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋x 2＋p ＝8.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋p 2，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，即p ＝2.∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可以求得抛物线的方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .10.设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M (0，12)的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值． 解：(1)由题意知，动点P 到定点M 的距离等于它到直线x ＝－12的距离，根据抛物线的定义，得动点P 的轨迹是抛物线，其中p 2＝12，则2p ＝2，故动点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得x 2－2kx －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）[（2k ）2＋8]＝26，解之得k ＝±1.[能力提升]1.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：选C.法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m3m＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx＝∠MAA 1＝60°，结合选项可知答案．法二：由|AF |＝3|BF |可知AF →＝3FB →，易知F (1，0)，设A (x A ，y A )，B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3（x 0－1）－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0（－3y 0）2＝4（4－3x 0），解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3. 法三：结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 进行求解．设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2θ， ∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝± 3.故选C. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：由余弦定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2－2|AF |·|BF |cos 120°＝AF 2＋BF 2＋|AF |·|BF |，过A ，B 作AA ′，BB ′垂直于准线，则|MN |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)，∴|MN ||AB |＝|F A |＋|FB |2|AB |＝|F A |＋|FB |2AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |＝12AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |（|AF |＋|BF |）2＝12（AF ＋BF ）2－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2＝121－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2≤121－（|AF |＋|BF |2）2（|AF |＋|BF |）2＝33. 答案：333.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. ∴所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB .则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1， ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4. 由①－②得直线AB 的斜率为－1.4．抛物线C 的方程为y ＝ax 2(a <0)，过抛物线C 上一点P (x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点(P ，A ，B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0(λ≠0且λ≠－1)．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB 上一点M ，满足BM →＝λMA →，证明线段PM 的中点在y 轴上；(3)当λ＝1时，若点P 的坐标为(1，－1)，求∠P AB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．解：(1)由抛物线C 的方程y ＝ax 2(a <0)得，焦点坐标为(0,14a )，准线方程为y ＝－14a.(2)证明：设直线P A 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为y －y 0＝k 2(x －x 0)．点P (x 0，y 0)和点A (x 1，y 1)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 1（x －x 0）①y ＝ax 2②的解．将②式代入①式得ax 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0，于是x 1＋x 0＝k 1a ，故x 1＝k 1a－x 0，③又点P (x 0，y 0)和点B (x 2，y 2)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 2（x －x 0）④y ＝ax 2⑤的解．将⑤式代入④式得ax 2－k 2x ＋k 2x 0－y 0＝0.于是x 2＋x 0＝k 2a ，故x 2＝k 2a －x 0.由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λak 1－x 0.⑥设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM →＝λMA →，则x M ＝x 2＋λx 11＋λ.将③式和⑥式代入上式得x M ＝－x 0－λx 01＋λ＝－x 0，即x M ＋x 0＝0.所以线段PM 的中点在y 轴上．(3)因为点P (1，－1)在抛物线y ＝ax 2上，所以a ＝－1，抛物线方程为y ＝－x 2. 由③式知x 1＝－k 1－1，代入y ＝－x 2得y 1＝－(k 1＋1)2. 将λ＝1代入⑥式得x 2＝k 1－1，代入y ＝－x 2得y 2＝－(k 1－1)2.因此，直线P A 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为A (－k 1－1，－k 21－2k 1－1)，B (k 1－1，－k 21＋2k 1－1)．于是AP →＝(k 1＋2，k 21＋2k 1)，AB →＝(2k 1，4k 1)，AP →·AB →＝2k 1(k 1＋2)＋4k 1(k 21＋2k 1)＝2k 1(k 1＋2)·(2k 1＋1)． 因∠P AB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP →·AB →<0.求得k 1的取值范围是k 1<－2或－12<k 1<0.又点A 的纵坐标y 1满足y 1＝－(k 1＋1)2，故当k 1<－2时，y 1<－1；当－12<k 1<0时，－1<y 1<－14.即y 1∈(－∞，－1)∪(－1，－14)．。
抛物线专项练习-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修1
抛物线一、单选题1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为1y =的抛物线的标准方程是( ) A ．22x y = B ．22y x =C ．24x y =- D ．24y x =-【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =， 故其标准方程为24x y =-.故选：C2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)2B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．(1,0)【答案】B 【解析】整理抛物线方程得212x y =， ∴焦点在y 轴，14P =，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.3．（2020·北京高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-【答案】B-，故选B.准线方程为：，与y轴的交点为(0,1)4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24=上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的x y距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】y=-，因为点A的纵坐标抛物线24x y=焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所为4，所以点A到抛物线准线的距离为415以点A与抛物线焦点的距离为5.5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线2C y px p=>的焦点为F,准线为l,且l过点:2(0)()N,则MN MF+的最小值为1,22,3,M-在抛物线C上,若点()A．2 B．3C．4 D．5【答案】B由题可得,:2l x =-.由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2py =-， 又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D8．（2020·天津高三一模）已知抛物线24y x =与()220x py p =>的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A ．B ．4C ．6D ．12【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，抛物线()220x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2=，0p >，解得p =故选：A.9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C .10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C 【解析】因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p 的值可取（ ）A ．1B ．2C ．9D ．18【答案】BD 【解析】设00(,)M x y ，所以有2002y px =，由点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有0102px +=，06y =，所以有20020021020360226y px p x p p p y ⎧=⎪⎪+=⇒-+=⇒=⎨⎪=⎪⎩或18p =.故选：BD12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py =-，点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 直线的斜率为3，故tan 3AFM ∠=，3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =.2,232p A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .三、填空题14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______. 【答案】338【解析】抛物线方程的标准形式为：22y x =-，准线方程为18y =，由抛物线的定义得：点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线18y =的距离d ，因为点P 到x 轴的距离是4，所以133488d =+=，故填：338.15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a ＝________. 【答案】18- 【解析】抛物线2y ax =的标准方程为21x y a=, 则a ＜0且2＝－14a， 得a ＝－18. 16．（2020·北京高三其他）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______. 【答案】42± 【解析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-， 由题意得462p+=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上， ∴2244m =⨯⨯，∴42m =± 故答案为：42±.17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线24y x =的焦点F 坐标为_____，过F 的直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，若2AF FB =，则A 点坐标为_____. 【答案】()1,0 (2,22± 【解析】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为()1,0；设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =得122y y -=，122y y ∴=-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y ∴=-， 所以121242y y y y =-⎧⎨=-⎩，解得1y =±，21124y x ∴==，因此，点A的坐标为(2,±. 故答案为：()1,0；(2,±. 四、解答题18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线212y x =，双曲线221y x m-=，它们有一个共同的焦点.求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1）8m =，3e =；（2）准线方程为3x =-，渐近线方程为y =± 【解析】（1）抛物线212y x =的焦点为(3,0)，由双曲线221(0)y x m m-=>，可得19m +=，解得8m =，双曲线的1a =，3c =，则3ce a==； （2）抛物线212y x =的准线方程为3x =-，双曲线2218y x -=的渐近线方程为y =±.19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）；（2）M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1． 【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y 2=2px ，把（4，4）代入，得，16=2×4p ，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0="2y" ∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1． ∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=. 【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-，1212124l y y k x x y y -∴==-+， ()2,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为12时，4PE PD =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.【答案】()124x y =；()22b > 【解析】()1由题意可知,直线l 的方程为()142y x =+,与抛物线方程2:2(0)C x py p =>方程联立可得, ()22880y p y -++=,设()()1122,,,D x y E x y ,由韦达定理可得,12128,42p y y y y ++==, 因为4PE PD =,()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+,所以214y y =,解得121,4,2y y p ===,所以抛物线C 的方程为24x y =; ()2设():4l y k x =+,DE 的中点为()00,x y ,由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 可得24160x kx k --=, 所以判别式216640k k ∆=+>,解得4k <-或0k >,由韦达定理可得,()20002,4242D E x x x k y k x k k +===+=+,所以DE 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--, 令0x =则b =()2224221y k k k =++=+, 因为4k <-或0k >,所以2b >即为所求.22．（2020·广东省高二期末）已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k = 【解析】（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥，1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k +=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，过点P 作PE 垂直于l ，交l 于E ，PEF 是边长为8的正三角形.（1）求C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线m 与C 交于A ，B 两点，若3MA MB =，求直线m 的方程.【答案】（1）28y x =（2）66y x =-或66y x =-+ 【解析】（1） 由PEF ∆是边长为8的等边三角形，（2） 得||||||8PE PF EF ===，又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与x 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒，在Rt EDF ∆中，1||||cos 842DF EF EFD =∠=⨯=，即4p =． 所以抛物线C 的方程为28y x =；（2）设直线m ：1x ty =+，代入28y x =得2880y ty --=，设11(,)A x y ，22()B x y ，则128y y t +=，128y y =-， 因为3MA MB =， 所以123y y =，设123y y =-，则112y t =，24y t =-，()1248t t ⨯-=- 解得6t =±， 所以直线方程为616x y =±+， 即66y x =-或66y x =-+。
高考数学(理)二轮周测卷(6)抛物线(含答案)
衡水万卷周测（六）理科数学抛物线考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题（本大题共求的）1.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 （ ）A ．B ．C ．D ． 2.顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线与直线2x y +=相切，则抛物线的方程是( )A.24x y =-B.24y x =-C.28x y =-或28y x =-D.22x y =-或22y x =-3.抛物线24x y = 上一点A 的纵坐标为4,则点A 到抛物线焦点的距离为( )A.2B.3C.4D.54.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( ) A.B. 1C.D. 2 5.抛物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )A .(，0)B .(，0)或(－，0)C .(0，)D .(0，)或(0，－)6.抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线22(0)y px x =>，弦AB 过焦点，ABQ ∆且其阿基米德三角形，则ABQ ∆的面积的最小值为（ ）A ．22p B ．2p C ．22p D ．24p7.已知抛物线)0(22>=p px y ，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A .B 两点，A '.B '分别为A .B 在l 上的射影，M 为B A ''的中点，给出下列命题：①F B F A '⊥'；②BM AM ⊥；③F A '∥BM ；④F A '与AM 的交点在y 轴上；⑤B A '与B A '交于原点.其中真命题的个数为( ) A.2个B.3个C.4个D.5个8.已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.749.直线l 的方向向量为)3,4(=n 且过抛物线y x 42=的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为A ．885B ．24125C ． 12125D ．2438510.过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 12.如图，已知点(0,3)S ，,SA SB 与圆22:0(0)C x y my m +-=>和抛物线22(0)x py p =->都相切，切点分别为,M N 和,A B ，//SA ON ，AB MN λ=，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．23C ．3D ．33 二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FC FB FA -=+，则=++CABC AB k k k 111_______. 14.（陕西高考真题）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．15.已知抛物线1C ：)0(212>-=p x py 的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的左焦点的连线交1C 于第三象限的点M 。
抛物线的标准方程-高中数学知识点讲解(含答案)
抛物线的标准方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019秋•怀柔区期末）过点(1,1)-的抛物线的标准方程为( ) A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2y x =-或2x y =2．（2015秋•海淀区校级期末）已知AB 是经过抛物线22y px =的焦点的弦，若点A 、B 的横坐标分别为1和14，则该抛物线的准线方程为( ) A ．1x =B ．1x =-C ．12x =D ．12x =-3．（2015秋•房山区期末）抛物线22y x =的准线方程是( ) A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =-4．（2013•大兴区一模）抛物线2(22)y x x =-绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是( )A ．1B ．8C ．82D ．1625．（2011秋•西城区校级期末）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值是( ) A ．2B ．4C ．85D ．1696．（2012秋•海淀区校级期中）顶点为原点，焦点为(0,1)F -的抛物线方程是( ) A ．22y x =-B ．24y x =-C ．22x y =-D ．24x y =-二．填空题（共7小题）7．（2019秋•通州区期末）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2y =-，那么该抛物线的标准方程是 ． 8．（2020•东城区模拟）若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．9．（2018秋•东城区期末）已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为2y =-，则抛物线C 的标准方程为 ．10．（2018•海淀区二模）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为 ．11．（2017•石景山区一模）若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ．12．（2016秋•西城区期末）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是 （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为 ．13．（2013秋•昌平区期末）抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为 ． 三．解答题（共2小题）14．（2012秋•海淀区期末）已知直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于A ，B 两点，且90AOB ∠=︒，其中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,2)． ()I 求抛物线C 的方程； ()II 求点B 的坐标．15．（2011秋•西城区期末）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 在直线:10l x y -+=上 ()I 求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的坐标．抛物线的标准方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019秋•怀柔区期末）过点(1,1)-的抛物线的标准方程为( ) A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2y x =-或2x y =【分析】由题意设出抛物线方程为2y ax =或2x ay =，结合抛物线过点(1,1)-分类求得a 的值得答案． 【解答】解：由题意可设抛物线方程为2y ax =或2x ay =， 抛物线过点(1,1)-，∴当抛物线方程为2y ax =时，得1a =-；当抛物线方程为2x ay =时，得1a =．∴抛物线的标准方程是2y x =-或2x y =．故选：D ．【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．2．（2015秋•海淀区校级期末）已知AB 是经过抛物线22y px =的焦点的弦，若点A 、B 的横坐标分别为1和14，则该抛物线的准线方程为( ) A ．1x =B ．1x =-C ．12x =D ．12x =-【分析】求出A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A ，1(4B ，，||AB ∴==∴114p ++， 1p ∴=，∴抛物线的准线方程为12x =-． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．（2015秋•房山区期末）抛物线22y x =的准线方程是( )A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =-【分析】利用抛物线22y px =的准线方程为2px =-即可得出． 【解答】解：由抛物线22y x =，可得准线方程24x =-，即12x =-．故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的直线方程，属于基础题．4．（2013•大兴区一模）抛物线2(22)y x x =-绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是( )A ．1B ．8C ．82D ．162【分析】根据题意过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，AC 是正方体的对角线，设正方体的棱长为a ，得出A 的坐标，代入抛物线，能求出a 的值，即可求出答案． 【解答】解：根据题意，过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，AC 是正方体的对角线，设正方体的棱长为a ，则2AB a =，AD a =，∴点A 的坐标为2(a ，4)a -， 将点A 的坐标代入抛物线方程，得224()a a -=，解得2a =， 即正方体的棱长为2，故体积为8． 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质的应用，通过做此题能培养学生分析问题的能力，同时培养了学生观察能力和计算能力，是一道比较好的计算题．5．（2011秋•西城区校级期末）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值是( ) A ．2B ．4C ．85D ．169【分析】由题意得直线AB 的方程为2py x =-，与抛物线方程消去y 关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出||48AB p ==，从而解出p 的值． 【解答】解：直线AB 的方程为2py x =-，与抛物线方程消去y ，得 221304x px p -+= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y根据抛物线的定义，得12||48AB x x p p =++== 解之得2p = 故选：A ．【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p 的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．6．（2012秋•海淀区校级期中）顶点为原点，焦点为(0,1)F -的抛物线方程是( ) A ．22y x =-B ．24y x =-C ．22x y =-D ．24x y =-【分析】由题意可知抛物线的方程形式为22x py =-，依题意求得p 即可． 【解答】解：设抛物线的方程为22x py =-， 焦点为(0,1)F -，∴12p=， 2p ∴=，∴抛物线的方程为24x y =-．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查理解与运算能力，属于基础题． 二．填空题（共7小题）7．（2019秋•通州区期末）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2y =-，那么该抛物线的标准方程是 28x y = ．【分析】根据题意，要求抛物线的方程为22x py =，由抛物线的准线方程可得22p-=-，解可得p 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的顶点在原点，准线方程为2y =-，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上， 设要求抛物线的方程为22x py =， 则有22p-=-，解可得4p =， 则抛物线的标准方程为：28x y =； 故答案为：28x y =．【点评】本题考查抛物线的标准方程以及抛物线的准线方程，注意抛物线标准方程的形式，属于基础题．8．（2020•东城区模拟）若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 28x y =或2y x = ．【分析】由题意可设抛物线方程为22(0)y px p =>或22(0)x py p =>，然后分类求解得答案． 【解答】解：由题意可得，抛物线方程为22(0)y px p =>或22(0)x py p =>． 若抛物线方程为22(0)y px p =>，代入(1,1)，得12p =， 则抛物线方程为2y x =，此时(4,2)在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为22(0)x py p =>，代入(2,1)，得2p =， 则抛物线方程为28x y =，此时1(2,)2在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是28x y =或2y x =．故答案为：28x y =或2y x =．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．9．（2018秋•东城区期末）已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为2y =-，则抛物线C 的标准方程为 28x y = ． 【分析】由题意可设抛物线C 的方程为22x py =，(0)p >，由已知准线方程为2y =-可解得p ，则抛物线方程可求． 【解答】解：由题意可设抛物线C 的方程为22x py =，(0)p >， 准线方程为2y =-，22p∴-=-，解得4p =． ∴抛物线C 的标准方程为28x y =．故答案为：28x y =．【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．10．（2018•海淀区二模）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为 24x y = ． 【分析】由已知可设抛物线方程为22x py =，再由焦点坐标求得p ，则抛物线方程可求． 【解答】解：由题意可得抛物线方程为22x py =， 又12p=，得2p =， ∴抛物线C 的标准方程为24x y =．故答案为：24x y =．【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，是基础题．11．（2017•石景山区一模）若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ．【分析】确定双曲线2214x y -=的右顶点坐标，从而可得抛物线22y px =的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为(2,0)，抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，∴22p=， 4p ∴=．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．（2016秋•西城区期末）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是 碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，碗的高度h （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为 ．【分析】碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，碗的高度h ；设方程为22(0)y px p =>，则将点(,)a m ，(,)a h n +，即可得出结论．【解答】解：碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，碗的高度h ；设方程为22(0)y px p =>，则将点(,)a m ，(,)a h n +代入抛物线方程可得22m pa =，22()n p a h =+，可得222n m p h-=，∴抛物线方程为222n m y x h-=．故答案为碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，碗的高度h ；222n m y x h-=．【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题． 13．（2013秋•昌平区期末）抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为 4 ． 【分析】根据题意，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,1)F ，由此可得12p=，从而算出24a p ==． 【解答】解：抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，∴抛物线顶点在原点，开口向上．可得抛物线的焦点为(0,1)F ，12p=，解得24a p ==． 故答案为：4【点评】本题已知抛物线的准线方程，求参数a 的值．考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．三．解答题（共2小题）14．（2012秋•海淀区期末）已知直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于A ，B 两点，且90AOB ∠=︒，其中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,2)． ()I 求抛物线C 的方程； ()II 求点B 的坐标．【分析】()I 因为点(1,2)A 在抛物线22y px =上，将点的坐标代入方程即可求出p 值，从而得到抛物线C 的方程； ()II 设点B 的坐标为0(x ，0)y ，利用垂直关系得出B 点坐标的一个关系式，再与抛物线的方程联立方程，解出B 的坐标即得．【解答】解：()I 因为点(1,2)A 在抛物线22y px =上， 所以222p =，-------------（2分） 解得2p =，-------------（3分）故抛物线C 的方程为24y x =．-------------（4分） ()II 设点B 的坐标为0(x ，0)y ，由题意可知00x ≠，直线OA 的斜率2OA k =，直线OB 的斜率0OB y k x =， 因为90AOB ∠=︒，所以021OA OB y k k x ==-，-------------（6分） 又因为点0(B x ，0)y 在抛物线24y x =上，所以204y x =，-------------（7分） 联立200042y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 解得00168x y =⎧⎨=-⎩或0000x y =⎧⎨=⎩（舍)，-------------（9分）所以点B 的坐标为(16,8)-．-------------（10分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，两直线垂直的性质，属于基础题． 15．（2011秋•西城区期末）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 在直线:10l x y -+=上 ()I 求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的坐标．【分析】()I 根据抛物线的标准方程，将焦点1(0,)2F p 代入直线l 方程算出2p =，即可得到抛物线C 的方程；()II 将直线l 方程与抛物线C 消去y ，得21104x x --=．由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ 中点M 的坐标．【解答】解：()I 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为1(0,)2F p10102p ∴-+=，可得2p =， 因此抛物线C 的方程是24x y =；()II 由2104x y x y-+=⎧⎨=⎩，消去y 得21104x x --= 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y124x x ∴+=，可得中点M 的横坐标为1212()22x x =+= 代入直线l 方程，得纵坐标为13M M y x =+= 即线段PQ 中点M 的坐标(2,3)．【点评】本题给出直线与抛物线相交，求抛物线方程并求截得弦的中点坐标．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于基础题．。
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第12讲 抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。
知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 x ＝p2x 2＝2pyF ⎝⎛⎭⎫0，p2 y ＝－p2x2＝－2py(p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 y ＝p23.抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)图象性质 范围x ≥0，x ≤0，y ≥0，y ≤0，名师导学知识点1 求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为x＝－1；(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；(3)经过点(－3，－1)．【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝－2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，－2)．知识点2 根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程 【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．(1)y 2＝－4x ； (2)y ＝4x 2； (3)3x 2＋2y ＝0； (4)y 2＝ax (a ＞0)．【变式训练2-1】(1)已知抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则a ＝________.(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8知识点3 抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D ．74(3)(晋中市期末)已知直线l 1：3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝－2，抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．338【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)， 在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．知识点4 抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A.433B ．8 C.833D ．163【变式训练4-1】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( )A ．2 3B ．43C ．8D ．83【变式训练4-2】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．知识点5 抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p .【变式训练5-1】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．知识点6 直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式训练6-1】如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．知识点7 弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝54m，则m＝()A．6 B．8C．10 D．12知识点8 抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．【变式训练8-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (2，n )(n >0)在抛物线C 上，|PF |＝3，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程及点P 的坐标； (2)求P A →·PB →的最大值．名师导练 3.3.1 抛物线及其标准方程A 组-[应知应会]1．到定点F (1，－1)的距离与到直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支D．直线2．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝8 B ．x ＝－8 C ．x ＝4D ．x ＝－43．(杭州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A.10B ．4 C.15D ．54．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为( )A ．3B ． 3 C.6 D ．65．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是( ) A ．y 2＝－x B ．y 2＝2x C ．2x 2＝yD ．x 2＝－4y6．(运城期末)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到点A (－2,1)的距离之和最小，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)7．在抛物线y 2＝－2px (p >0)中，p 的几何意义是 ____________________________________________ 8．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的焦点，则p ＝________.9．(南阳市一中开学考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________． 10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．12．(南阳一中检测)已知定点A (1,0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到点A 的距离比点P 到l 的距离小1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．B 组-[素养提升](北京十二中期中)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43.3.2 抛物线的简单几何性质A 组-[应知应会]1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8x D ．y 2＝16x2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±24B ．⎝⎛⎭⎫18，±24C.⎝⎛⎭⎫14，24 D ．⎝⎛⎭⎫18，－243．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或24．(保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．(郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．46．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为( )A ．±32B ．±23C ．±34D ．±437．(凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．B 组-[素养提升](全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.3.3.3 直线与抛物线的位置关系A 组-[应知应会]1．抛物线的对称轴为x 轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝03．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点4．(郑州市期中)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，以p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D ．535．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－26．(绵阳模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段F A 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( )A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4)7．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线y 2＝2x 上，且斜边AB 和y 轴平行，则直角△ABC 斜边上的高的长度为________．8．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的弦的中点坐标为________． 9．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率为________．10．(平顶山调研)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程．12．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.B组-[素养提升](北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．11/ 11。