抛物线二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移 巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。
6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。
7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。
11、 已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。
二次函数的几种解析式及求法解读
的图像如图所示，
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。
2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
1 2 所求的解析式为： y ( x 2) 1 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
二次函数的几种解 析式及求法
二次函数解析(常见的三种表示形式)
(1)一般式
2 y ax bx c(a 0)
2 n(a 0)顶点坐标（ y a ( x m ) m, n) (2)顶点式
(3)交点式 y a( x x 1 )( x x 2 )( a 0)
二次函数解析式求法例举
二次函数解析式求法例举上海市松江区立达中学庄士忠201600二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
求二次函数解析式的常用方法：（1）一般式：；（2）顶点式：，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；（3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点。
例1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示。
求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
图1分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为（）。
由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为。
点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。
已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。
要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围。
例2. 如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。
以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。
图2分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。
显然，由已知条件可以求出点A 与点B的坐标。
由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式。
解：设AB与x轴交于点C，可知。
过点B作轴于点D设所求水渠横截面抛物线的解析式为。
将点B的坐标代入，有。
解之，得。
因此，该水渠横截面抛物线的解析式为。
点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的求法一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m－1是二次函数，则m = ． 二、开放型例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．例6 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．八、数形结合例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，BM7PM 3=．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．。
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式；10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx axy ++=2把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9）12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
二次函数解析式的几种求法
二次函数解析式的几种求法一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a≠0。
而二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b和c为常数，且a≠0。
解析式是用来表示函数关系的公式，可以将二次函数的解析式分为以下几种求法：1.根据已知的顶点和过顶点的直线方程求解。
二次函数的标准形式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
如果已知顶点的坐标和过该顶点的一条直线的方程，可以将方程代入二次函数的标准形式，确定a的值。
这样就可以得到二次函数的解析式。
2.根据已知的两个点求解。
如果已知二次函数过两个点，可以利用这两个点的坐标，构建并解方程组。
假设已知点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，代入二次函数的标准形式得到两个方程，然后解方程组求解出a，b和c。
这样就可以得到二次函数的解析式。
3.根据已知的轴对称性质求解。
二次函数的图像一般是一个开口向上或向下的抛物线。
如果已知抛物线的轴对称轴和顶点的坐标，可以利用这些信息确定二次函数的解析式。
根据轴对称性质，可得到二次函数的解析式。
4.根据已知的根求解。
二次函数的解析式与其根的关系密切，如果已知二次函数的根，可以根据根的性质得到二次函数的解析式。
设二次函数的根为x1和x2，则根据因式定理，二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
将已知的根代入该式，可以得到二次函数的解析式。
5. 根据已知的导数求解。
二次函数的导数是一次函数，可以根据已知的导数求解二次函数的解析式。
设二次函数的导数为y'=2ax+b，将一次函数的表达式与二次函数的标准形式进行比较，可以得到a和b的值。
然后，代入二次函数的标准形式，可以得到二次函数的解析式。
以上是求解二次函数解析式的几种方法，每种方法都有其适用的情况和优劣势。
具体选择哪种方法需要根据具体的题目和已知条件来决定。
二次函数解析式的求法
二次函数的解析式求法1.已知抛物线的图像顶点C 坐标为（1,3），交X 轴于A 、B ，且ΔABC 的面积为3，求函数的解析式。
2.已知抛物线的图像过A(1,0)、B （3,0）、顶点为C ，且ΔABC 的面积为2，求函数的解析式。
已知抛物线的图像过A(-1,0)，对称轴X=1，顶点为B ，直线过A,B 两点，且与坐标围成的三角形的面积为1，求函数的解析式。
3.已知抛物线过点A(-1,0)和B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，且BC=23,求这条抛物线的解析式。
4.二次函数n mx x m y +--=4)2(22的图像对称轴是直线x=2,且它的最高点在直线121+=x y 上，求二次函数的解析式；若这个二次函数图象的开口方向不变，顶点在直线121+=x y 上移动到点M 时，图像与x 轴交于A 、B ，且ΔABM 的面积为8，求此时函数图象解析式。
1.已知抛物线过点(1,0),(-1,8)在y 轴上截距为5，若函数图象与x 轴交于A 、B,与y 轴交于点C,顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
2.已知抛物线的对称轴为x=-1,过点（0，-1），（2,1），函数图象与x 轴交于A 、B,与y 轴交于点C,顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
3.已知抛物线与x 轴交于为3,5，且有最大值1/2，函数图象与与x 轴交于A 、B,与y 轴交于点C,顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
4.已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过直线33+-=x y 与X 轴、Y 轴的交点，对称轴为X=-1，设该函数图象与X 轴交点为A,B(A 在B 左边)，与Y 轴交点为C ，顶点为D,求四边形ABCD 的面积。
5.已知函数n mx y +=1与c bx ax y ++=22图像是直线和抛物线，交于P 1(1，-1),P 2(3,2)两点，抛物线2y 的开口向上，它与x 轴的交点的横坐标为x 1,x 2,,且8)(221=-x x ， （1）求两函数的解析式；（2）若2y 与Y 轴的交点为A ，求21P AP∆的面积。
求二次函数解析式的几种方法
（ ｘ ＞ －３且 ≠ １ ￣ ）
（ ÷ ＜ ≤ １ ）
＋ ， 求 自变 量 的取
ｆ Ｘ＜５１
ｌ ７ ．已知 函数 ， ， ＝
ｌ １ ． ｙ＝￣ Ｔ￣ ２－ ｘ＋
１
一
√
（ ０ ≤ ≤２且 ≠１ ）
佰茄嗣
一
一
－
一
一
’
例６ 已知二次函数 的图象与 轴的两个交点间的
距离为 ， 其对称轴为 ＋２＝ ０ ， 且 过（一ｌ ， 一１ ） 点， 求
（ １ ， 一 ５ ） ．
・
其解析式． 解： 因对称轴为 ＝一 ２ ， 又抛 物线与 轴 两交 点之
间距离为
．
．
把抛物线 Ｙ＝ ２ ｘ 一４ ｘ一３向右平移 ３个单位 ， 再
４ ． ） ， ：—
１一 ￣ ／ ４ － １
５
６ ． ｙ ：厢
＋ 志 （ 一 ｌ 《 ＜ ２ ） ．
＋
一
（ ≥４且 ≠５ ）
ｌ ４ ． ） ， ： ． ｆ ］ Ｉ ￣ － ２
．
（ ＞２或 ＜ 一 ２ ）
（ 。且 ≠
． （ ≥一 ２ 且 ≠３ ） ．
例 ５ 把 Ｙ＝ ２ ｘ 一 ４ ｘ ＋８的图象向右 、 向下各平移 ３ 个单位 ， 求平移后 的解析式．
解： Ｙ＝ ２ ｘ 一 ４ ＋８：２ （ ｘ～１ ） ＋ ６ ， 向右 、 向下各平
将 点（ 一 １ ， １ ） 坐标代入上式得 ｎ ： １
。 ．
移 ３个单位后解析式为
交点为（ ， ｏ ） ， （ ／ ３ ， ｏ ， 则有对称轴 ： 质 ， 求＿些二次函数的解析式极为方便．
二次函数解析式及图象
第七讲二次函数图象变换例1：（1）已知抛物线y＝x2＋mx－4m总经过一个定点P，求出点P的坐标．（2）已知抛物线y＝（m＋2）x2－（m＋1）x－2总经过两个定点，求出两个定点坐标．（3）已知抛物线y＝mx2－2mx－3m总经过两个定点，求出这两个定点坐标．练习：已知抛物线y＝（m＋1）x2－4m）x＋4总经过两个定点，求出这两个定点坐标．例2 （1）不论m取任何实数，抛物线y＝x2＋2mx＋m2＋m－1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式为？（2）不论m取任何实数，抛物线y＝x2－2mx＋2m2＋3m＋1的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的函数解析式为？练习：不论m取任何实数，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m＋3的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式为？二次函数的图象变换例已知二次函数解析式y＝x2＋2x－3，求将该二次函数的图象作如下变换后的解析式．（1）沿y轴向上平移1个单位长度；（2）沿y轴向上平移2个单位长度；（3）沿x轴向左平移3个单位长度；（4）沿x轴向右平移4个单位长度；（5）关于x轴对称；（6）关于y轴对称；（7）关于顶点对称；（8）关于原点对称；练习（1）将抛物线y＝－x2＋2x－3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．（2）将抛物线y＝x2－x－4沿x轴翻折，求翻折后的抛物线的解析式．（3）将抛物线y＝x2－2x－1绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．例：（1）已知抛物线y＝（x＋1）2－4，将其沿直线x＝1翻折，求翻折后的抛物线的解析式．（2）求抛物线y＝－x2＋4x－7关于直线y＝－2对称的抛物线的解析式．（3）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，求旋转后的解析式.例:(1)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为 .（2）已知抛物线y＝2x2，若该抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是.2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线（3）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2的解析式是.练习：1.如果将抛物线y＝－2x2＋8向右平移a个单位后，恰好过点（3，6），那么a的值为.2.已知二次函数y＝x2－2x－3．（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为；（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为；（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为；。