二次函数中三角形折叠问题
2023年江苏省泰州市中考数学试卷+答案解析
2023年江苏省泰州市中考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算等于()A. B.2 C.4 D.2.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是()A. B. C. D.3.若，下列计算正确的是()A. B. C. D.4.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为下列说法正确的是()A.试验次数越多，f越大B.f与P都可能发生变化C.试验次数越多，f越接近于PD.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定5.函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是()x124y421A. B.C. D.6.菱形ABCD的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为()A. B. C. D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.函数中，自变量x的取值范围是__________.8.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为__________.9.两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为__________.10.若，则的值为__________.11.半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为__________12.七班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为m h，则m__________填“>”“=”“<”13.关于x的一元二次方程的两根之和为__________.14.二次函数的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是__________填一个值即可15.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下.则该城堡的外围直径为__________里.16.如图，中，，，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转角，与射线AB相交于点D，将沿射线CP翻折至处，射线与射线AB相交于点若是等腰三角形，则的度数为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
【中考卷】广东省2022届中考数学第一次冲刺模拟考试(一)含答案与解析
广东省2022年中考第一次冲刺模拟考试（一）数 学（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：中考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列各数中，比3-小的数是（ ） A ．π-B 5C ．2D ．83-2．京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6 800 000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6 800 000用科学记数法表示为（ ） A ．56.810⨯B ．66.810⨯C ．56810⨯D ．70.6810⨯3．看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）马匹等级 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌135A ．13B ．16C ．19D ．1124．下列计算正确的是（ ） A ．x 7÷x ＝x 7B ．(﹣3x 2)2＝﹣9x 4C ．x 3•x 3＝2x 6D ．(x 3)2＝x 65．已知a 是方程22210x x -+=的一个根．则221a a+的值为（ ）A ．4B ．6C ．42D ．626．有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再拼接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，在如图所示的A ，B ，C ，D 四个位置中，能够选择的位置有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，AB 为⊙O 的一条弦，C 为⊙O 上一点，OC ∥AB ．将劣弧AB 沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB 交AC 于点D ．若D 为翻折后弧AB 的中点，则∠ABC ＝（ ）A ．110°B ．112.5°C ．115°D ．117.5°8．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由MOx ∠的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(,)m θ称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（ ）A ．()60,8︒B ．()45,8︒C ．()60,42︒D ．()45,22︒9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数234y x x =+-的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一动点，点Q （0，2）在y 轴上，连接PQ ，则22PQ PC +的最小值是（ ）A ．6B ．3222+C ．232+D ．3210．如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，67.5DEA ∠=︒，EF AB ⊥，垂足为F ，将AFE △绕点F 顺时针旋转，点E 恰好落在点B 处，点A 落在EF 上的点G 处．下列结论：①BG AE ⊥；②2EG AF =；③2217ADE BCEGS S -=四边形△；④若M 为BG 中点，则OFM △为等腰直角三角形；⑤B 、G 、O 三点共线．正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________12．我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式111222c a b x a b y c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭来表示二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a 1x +b 1y ＝c 1与a 2x +b 2y ＝c 2的交点坐标P （x ，y ）据此，则矩阵式315123x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所对应两直线交点坐标是_________．13．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝105°，OA ＝4，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 的点D 处，折痕BC 交OA 于点C ，则阴影部分的面积为__________．14．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数22y x x c =++有两个相异的不动点1x ，2x ，则222112x x x --=______ 15．已知二次函数2(2)23y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法在确的有：_____．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点(1,3)--；②若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；③当2m >且02x 时，y 的最小值为3m -；④当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12x x 、满足124310x x -<<--<<，时，m 的取值范围为：352194m <<． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 边上的中点，连接BE 交AD 于F ，将△AFE 沿若AC 翻折到△AGE ，若四边形AFEG 恰好为菱形，连接BG ，则tan ∠ABG =________．17．如图，在ABC 中，AB AC =，6BC =，tan 23ACB ∠=，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C 重合），将线段BP 绕点P 逆时针旋转120°，得到线段DP ，连接BD ，CD ，则CD 长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题满分6分）（1）计算：()10120214sin 60122π-⎛⎫---︒+ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：()523532x xx ⎧--≤⎪⎨-<⎪⎩19．（本题满分6分）距离2022年中招体育考试的时间已经越来越近，某校初三年级为了了解本校学生在平时体育训练的效果，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：数据分为A ，B ，C ，D 四个等级分别是：A ：4850x ≤≤，B ：4548x ≤<，C ：4045x ≤<，D ：040x ≤<60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图： 男生成绩在B 组的前10名考生的分数为：47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45． 60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：性别 平均数 中位数 众数 男生 47.5 a 47 女生47.54747.5根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ______，b =______，并补全条形统计图．(2)根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）． (3)若该年级有800名学生，请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为A 等级的考生人数．20．（本题满分6分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 、BD 交于点O ．(1)请用尺规完成基本作图：过点A 作直线BD 的垂线，垂足为E ；在直线AE 上作点G 使得=BG BA ，连接BG （保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若3DE BE =，求证：BG CO =．21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标系原点，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，其中4cos 5OBC ∠=，3OC =．已知反比例函数(0)ky x x =>的图象经过BC 边上的中点D ，交AB于点E ． (1)求k 的值；(2)猜想OCD ∆的面积与OBE ∆的面积之间的关系，请说明理由．(3)若点(,)P x y 在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR y ⊥轴于点R ，作PQ BC ⊥所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．22．（本题满分8分）某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表（用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同）． 运动鞋款式 甲 乙 进价（元/双） m m ﹣20 售价（元/双）240160（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行每双优惠a （50＜a ＜70）元的优惠促销活动，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？23．（本题满分8分）如图1，CD 是O 的弦，半径OA CD ⊥，垂足为B ，过点C 作O 的切线l ．(1)若点E 在O 上，且CE CA =，连接OE ．①连接AE ，求证：AE l ∥；②如图2，若B 是OA 的中点，连接OD ，求证：DE 是O 的直径；(2)如图3，过点B 作BF l ⊥，垂足为F ，若O 的半径是4，求BC BF -的最大值．24．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE＝1，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME，MG．(1)如图1，求证：ME＝MG；(2)若正方形ABCD的边长为4，①如图2，当G，C，M三点共线时，设EF与BC交于点N，求MNEM的值；②如图3，取AD中点P，连接PF，求PF长度的最大值．25．（本题满分10分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是32，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．(2)如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG＋FH的值是定值．数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B B D B D B A D A一个选项是符合题目要求的）1．【答案】A【分析】直接利用任何正数都大于0以及结合估算无理数大小的方法，进而得出答案. 【详解】解：A. π-<-3，故A正确；B. 5，故B错误；C. 2->-3，故C错误；D.83->-3，故D错误. 故选A.【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确估算出无理数的大小是解题关键.2．【答案】B【分析】把数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数的形式．【详解】解：6800000＝6.8×106，故选：B．【点睛】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，关键是掌握把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n＝原来的整数位数−1．3．【答案】B【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵如下：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，∴田忌能赢得比赛的概率为6．故选：B．【点睛】此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．【答案】D【分析】利用幂的运算法则逐个选项进行排除即可．【详解】x7÷x＝x6，选项A错误；(﹣3x2)2＝9x4，选项B错误；x3•x3＝x6，选项C错误；(x3)2＝x6，选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握各运算法则是解题的关键．5．【答案】B【分析】把x a =代入方程22210x x -+=，得22210a a -+=，用完全平方公式将221a a +变形，即可解答．【详解】解：把x a =代入方程22210x x -+=，得22210a a -+=，∴等式两边同时除以a 得：122a a+= 222211()2(22)2826a a a a+=+-=-=-=．故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，分式的化简求值，完全平方公式，解题关键是明确题意，求出1a a+的值． 6．【答案】D【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：如图所示：根据立方体的展开图可知，不能选择图中A 的位置接正方形．故选：C ．【点睛】此题主要考查应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背． 7．【答案】B【分析】如图，取 AB 中点M ，连接OM ，连接DB OB OA AM 、、、，由题意知OM AB ⊥，且O D M 、、在一条直线上，AD AM BD ==，OA OB OC ==，知90MOC ∠=︒，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求MAC ∠，BAC ∠，BOC ∠，OAC ∠，OBA ∠，OBC ∠的值，进而求解ABC ∠的值．【详解】解：如图，取 AB 中点M ，连接OM ，连接DB OB OA AM 、、、由题意知OM AB ⊥，且O D M 、、在一条直线上，AD AM BD ==，OA OB OC ==∴90MOC ∠=︒∴1452MAC MOC ∠=∠=︒∵AD AM BD ==，OM AB ⊥∴122.52MAB DAB MAD ∠=∠=∠=︒∴245BOC BAC ∠=∠=︒∵OC AB ∥∴OAC OCA DAB ∠=∠=∠∴45OAB OBA OAC DAB ∠=∠=∠+∠=︒ ∴18067.52BOCOBC OCB ︒-∠∠=∠==︒∴112.5ABC OBA OBC ∠=∠+∠=︒故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 8．【答案】A【分析】设正六边形的中心为D ，连接AD ，判断出△AOD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD =OA ，∠AOD =60°，再求出OC ，然后根据“极坐标”的定义写出即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为D ，连接AD ，∵∠ADO =360°÷6=60°，OD =AD ，∴△AOD 是等边三角形， ∴OD =OA =4，∠AOD =60°，∴OC =2OD =2×4=8， ∴正六边形的顶点C 的极坐标应记为()60,8︒．故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键． 9．【答案】D【分析】连接BC ，过点P 作PD ⊥BC 于D ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ．根据22PQ PC PQ PD +=+，可得DQ PD +的最小值为QH 的长，即可解决问题． 【详解】如图，连接BC ，过点P 作PD ⊥BC 于D ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ．由234y x x =+-，令0y =，则2340x x +-=，解得1241x x =-=，，()()4,0,1,0C A ∴-， 令0x =，解得0y =，()0,4B ∴-，4OB OC ∴==，90BOC ∠=︒，45OCB OBC ∴∠=∠=︒，2PC PD ∴，∴2PQ PQ PD QH =+≥，当P 为QH 与x 轴交点时2PQ 最小，最小值为QH 的长， Q （0，2）,()0,4B -，4BQ ∴=，设QH x =，则BH x =, ∵222DH BH Q B +=，∴2226x x +=，∴32x =32QH ＝ 则22PQ PC +的最小值是32．故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 10．【答案】A【分析】若△ABE 是个等腰三角形则容易判断①⑤两个选项，考虑先从等腰三角形入手；若EG 2，则EG 与AF 所在的正方形对角线相等，过G 作GK ⊥AD 于K ，连接正方形AFGK 的对角线KF ，KF 和KD 在△KFD 中可从等腰三角形证明相等；由EG 2AF 可得出两正方形的边长关系从而求出面积比；由FM =BM ，∠FBM =22.5，可证④； 【详解】解：作GK ⊥AD 于K ，连接KF ，连接MF由旋转可知AF =FG ，EF =BF ，∵EF ⊥AB ，ABCD 是矩形，∴四边形AFGK 和FBCE 都是正方形；∠DEA =67.5°，∴∠AEF =22.5°，∠EAF =67.5°，∠AEB =22.5°＋45°=67.5°，∴∠AEB =∠EAB ，BE =AB ；∵∠ABG =∠AEF =22.5°，∠FBE =45°，∴BG 是∠ABE 的角平分线，O 为矩形AFED 的对角线交点，∴OE =OA ，△BAE 为等腰三角形，三线合一，∴BO 也是是∠ABE 的角平分线， ∴B 、G 、O 三点共线，故①⑤说法正确；三角形KFD 中，∠KFD =∠KDF =22.5°，∴KF =KD =EG 2，故②说法正确； 设AF =x ，则S △ADE =)2121212x x x +⨯⨯=， 四边形BCEG 的面积=正方形BCEF 的面积-三角形BGF 的面积， ∴S 四边形BCEG =)2222121x +2532x +,21221532ADE BCEGS S +-=+四边形△确；△BGF 中M 为BG 中点，∠BFG =90°，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴MF =MB ，∠MFB =22.5°∴∠OMF =∠MBF ＋∠MFB =45°，∠MFO =180°－∠AFD －∠MFB =90°，∴OFM △为等腰直角三角形；故④正确；综上所述①②③④⑤正确；故答案选：A 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质，角平分线的性质，作出辅助线证明三点共线是个关键步骤．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．【答案】2【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可． 【详解】解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭， 将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭， ∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜，∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键． 12．【答案】（﹣1，2）【分析】根据题意即可列出关于x 、y 的二元一次方程组，解出x 、y ，即为所求．【详解】依题意，得3523x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，∴矩阵式315123x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所对应两直线交点坐标是(-1，2)．故答案为：(-1，2)．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．读懂题意，掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 13．【答案】2π-4【分析】连接OD ，交BC 于E ，根据对折得出BC ⊥OD ，DE =OE =2，∠DBE =∠OBE ，OB =BD =4，求出△DOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠DOB =∠DBO =60°，求出∠COD =∠AOB -∠DOB =45°，求出CE =OE =2，再分别求出扇形AOD 和△COD 的面积即可． 【详解】解：连接OD ，交BC 于E ，∵延BC 对折O 和D 重合，OD =4，∴BC ⊥OD ，DE =OE =2，∠DBE =∠OBE ，OB =BD =4， ∴∠BEO =90°，△DOB 是等边三角形，∴∠DOB =∠DBO =60°，∵∠AOB =105°，∴∠COD =∠AOB -∠DOB =45°，∵∠OEC =90°，∴CE =OE =2，∴阴影部分的面积=S 扇形AOD -S △COD 24541423602π⨯=-⨯⨯=2π-4，故答案为：2π-4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为n °，半径为r 的扇形的面积为2360n r S π=．14．【答案】1【分析】由函数的不动点概念得出x 1、x 2是方程22x x c x ++=的两个实数根，根据根与系数的关系可以求出．【详解】解：由题意知二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点， 当,x a y a ==时，a 称为不动点，即x y =时，方程有两个相等的实数根 ∵22x x x c =++∴20x x c ++=222112x x x +-22211211x x x =---+ ()222111x x =-++()()2121111x x x x =++--+由根与系数的关系可知：121x x +=- 将其代入上式中可得2221121x x x +-=故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 15． 【答案】②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①错误； ②若该函数图象开口向下，则m -2＜0，且△＞0，△=b 2-4ac =20m -24＞0，解得：m ＞65，且m ＜2，故m 的取值范围为：65＜m ＜2，故②正确；③当m ＞2，函数的对称轴在y 轴左侧，当0≤x ≤2时，y 的最小值在x =0处取得， 故y 的最小值为：（m -2）×0+2m ×0+m -3=m -3，故③正确； ④当m ＞2，x =-4时，y =9m -35，x =-3时，y =4m -21，x =0时，y =m -3，当x =-1时，y =-5， 当-4＜x 1＜-3时，则（9m -35）（4m -21）＜0，解得：352194m <<； 同理-1＜x 2＜0时，m ＞3，故m 的取值范围为：352194m <<，故④正确；故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 16．2【分析】过点G 作GH ⊥AB ，交BA 延长线于H ，设AE =x ，则AC =2x ，由菱形的性质得出AF =EF ，再证AF =BF =EF 与△BAE ∽△CAB ，求出AB =2x ，BE =3x ，AF =EF =32x ，然后由菱形性质得AG =12BE ，证△BAE ∽△AHG ，求出AH =22x ，HG =2x ，最后由锐角三角函数定义即可得出结果．【详解】解：过点G 作GH ⊥AB ，交BA 延长线于H ，如图所示：设AE =x ，则AC =2x ，∵四边形AFEG 为菱形，∴AF =EF ，∴∠F AE =∠FEA ， ∵∠BAE =90°，∴∠F AE +∠F AB =∠FEA +∠FBA =90°， ∴∠F AB =∠FBA ，∴AF =BF ，∴AF =BF =EF ，∵∠FBA +∠AEB =90°，∠F AB +∠ABD =90°，∴∠ABD =∠AEB ， 又∵∠BAE =∠BAC =90°，∴△BAE ∽△CAB ，∴AB ACAE AB=， ∴AB 2=AE •AC =2x 2，∴AB 2，∴BE 222223AB AE x x x ++，∴AF =EF 3， ∵四边形AFEG 是菱形，∴AG ∥BE ，AG =AF =BF =EF ，∴∠HAG =∠ABE ，AG =12BE ，又∵∠H =∠BAE =90°，∴△BAE ∽△AHG ，∴12AG HG AH BE AE AB ===， ∴AH =12AB 2，HG =12AE =2x ，∴BH =AH +AB 22x 32， ∴22tan 632xHG ABG BH x∠===2 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，作辅助线并证明△BAE ∽△AHG 是解题的关键． 17．1513【分析】如图，作120,,BCN BC CN 连接,,BN CD 再证明,,BPD BCN PBCDBN ∽ 可得,BP BDBC BN证明,PBC DBN ∽ 可得,BND BCP则D 在直线ND 上运动，如图，当CD DN 时，CD 最短，过A 作AT BC ⊥于,T 求解313,ABAC作120,313,BAQ ABAQ 则Q 在直线DN 上，过A 作AGBQ 于,G 求解339,BQ 证明,ABC QBN ∽ ,339,QBNQNB QB QN可得QC 是BN 的垂直平分线，延长QC 交BN 于,H 求解18,QH 再利用11,22QC NHQN CD 从而可得答案.【详解】解：如图，作120,,BCN BC CN 连接,,BN CD30,CBN CNB,120,PB PD BPD 30,120,PBD CBN BCN BPD,,BPD BCN PBCDBN ∽,BP BDBC BN,PBC DBN ∽,BNDBCPD ∴在直线ND 上运动，如图，当CD DN 时，CD 最短，过A 作AT BC ⊥于,T 6,,BC AB AC 3,BT CT而tan 3ACB ∠=23,3AT 即63,AT 22363313,AB AC作120,313,BAQ AB AQ 则Q 在直线DN 上，30,ABQ AQB过A 作AGBQ 于,G339,339,2BG QGBQ 同理可得：,ABC QBN ∽ ,,ABCQBN ACBQNB 而,AB AC = 则,ABC ACB ∠=∠,339,QBNQNB QB QNQC ∴是BN 的垂直平分线，延长QC 交BN 于,H90,BHCNHC 而6BC =，同理可得：3,33,CHBHNH223393318,QH11,22QC NH QN CD 18333339,CD 1513.13CD所以CD 1513.13 1513.13【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，勾股定理的应用，证明“,BND BCP 得到D 在直线ND 上运动”是解本题的关键.三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分6分） 【答案】（1）1（2）x ≥3【分析】对于（1），先根据11()22-=，0(2021)1π-=，3sin 60︒=123=即可；对于（2），分别求出①和②式的解集，再确定公共部分得出答案. 【详解】（1）原式=321423--⨯+=12323-=1；（2）52(3)532x x x --≤⎧⎪⎨-⎪⎩①＜②，解不等式①，得x ≥3； 解不等式②，得x ＞1. 所以不等式组的解集式x ≥3.【点睛】本题主要考查了实数的计算和解一元一次不等式组，掌握解题步骤是解题的关键. 19．（本题满分6分）【答案】(1)作图见解析，46.5a =，30b = (2)女生体考成绩好，理由见解析 (3)该年级所有参加体考的考生中，成绩为A 等级的考生人数为320人【分析】（1）由602415516---=，可知男生的体考成绩在B 等级的人数，可补全统计图，查找男生B 等级前10的分数可知第6与第7位数分别为47,46，计算二者的平均数可得中位数a ，由10040201030---=％％％％％，可知b 的值；（2）在体考成绩平均数相同的情况下，女生成绩的中位数47大于男生体考成绩的中位数46.5，可判断女生成绩更好；（3）由题意知，计算2424800120+⨯即可． 【解析】(1)解：∵602415516---= ∴男生的体考成绩在B 等级的人数为16 补全条形统计图，如图：男生的体考成绩中位数落在B 等级，是第6与第7位数的平均数 查找男生B 等级前10的分数可知第6与第7位数分别为47,46 ∴平均数为474646.52+= ∴46.5a = ∵10040201030---=％％％％％∴30b =故答案为：46.5，30． (2)解：女生体考成绩好因为在体考成绩平均数相同的情况下，女生成绩的中位数47大于男生体考成绩的中位数46.5∴女生体考成绩好．(3)解：∵604024⨯=％（人） ∴2424800320120+⨯=（人） ∴该年级所有参加体考的考生中，成绩为A 等级的考生人数为320人．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，样本估计总体等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 20．（本题满分6分）【答案】(1)见详解； (2)见详解．【分析】（1）以点A 为圆心，AO 为半径画弧，交OB 于H ，作OH 的垂直平分线IJ 交BD 于E ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧交直线AE 于G ，连结BG ；（2）根据平行四边形性质得出OB =OD ，AO =CO ，根据3DE BE =，得出OE =BE ，根据AG 为OB 的垂直平分线，得出AB =AO 即可．(1)解：以点A 为圆心，AO 为半径画弧，交OB 于H ，分别以O 、H 为圆心，大于OH 12为半径画弧，两弧交于两点I 、J ，过I 、J 作直线IJ 交BD 于E ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧交直线AE 于G ，连结BG ；(2)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OB =OD ，AO =CO ，∵3DE BE =，∴OE +OD =3BE ，∴OE +BE +OE =3BE ，∴OE =BE ，∵AG 为OB 的垂直平分线，∴AB =AO ，∵AB =BG ，∴BG =AO =OC ．【点睛】本题考查尺规作图，过点A 作线段BD 的垂线，作线段BG =AB ，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点，掌握查尺规作图，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点是解题关键．21．（本题满分8分）【答案】(1)6k =；(2)OCD OBE S S ∆∆=，见解析；(3)63S x =-，(02)x <<；36S x =-，(2)x >【分析】（1）根据矩形的性质及三角函数可得cos ∠OBC 的值，设BC ＝4x ，OB ＝5x ，由勾股定理及中点的定义可得D （2，3），再利用待定系数法可得答案；（2）利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；（3）分当0＜x ＜2时，当x ＞2时，进行分类讨论可得答案．【解析】(1)解：四边形OABC 是矩形，90OCB ∴∠=︒，4cos 5BC OBC OB ∴∠==， 设4BC x =，5OB x =，由勾股定理得，222OC BC OB +=， 3OC =，2291625x x ∴+=，1x ∴=，4BC ∴=，5OB =，D 是BC 的中点，122CD BC ∴==，(2,3)D ∴，设k y x =，把(2,3)D 代入得，6k =．(2)解：OCD OBE S S ∆∆=，由题意可知，32OCD k S ∆==，D 是BC 的中点，12OCD OBD BDC S S S ∆∆∆∴==， OBC OBA ∆≅∆，6OBA OBC S S ∆∆∴==，E 在反比例函数图象上，32OAE k S ∆∴==，3OBE OBA OAE S S S ∆∆∆∴=-=，OCD OBE S S ∆∆∴=．(3)解：当02x <<时，如图所示：QCRP S CQ PQ =⋅矩形，6(3)63S x x x∴=-=-，当2x >时，如图所示：QCRP S CQ PQ =⋅矩形，∴6(3)36S x x x=-=-， 综上所述，63S x =-，(02)x <<；36S x =-(2)x >【点睛】此题考查的反比例函数，利用面积公式进行解答是解决此题关键．22．（本题满分8分）【答案】（1）m ＝100；（2）6种方案；（3）50＜a ＜60时，应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；a ＝60时，所有方案获利都一样；60＜a ＜70时，应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双【分析】（1）根据用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同，列出方程求解即可；（2）设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋（200﹣x ）双，然后根据要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，列出不等式求解即可；（3）设总利润为W ，则W ＝（240﹣100﹣a ）x +80（200﹣x ）＝（60﹣a ）x +16000（95≤x ≤100），然后利用一次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）依题意得，3000240020m m =-， 整理得，3000（m ﹣20）＝2400m ，解得m ＝100，经检验，m ＝100是原分式方程的解，∴m ＝100；（2）设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋（200﹣x ）双，根据题意得，()()()2401001601002020021700100x x x ⎧-+-+-≥⎨≤⎩， 整理得140160008021700100x x x +-≥⎧⎨≤⎩解得95≤x ≤100，∵x 是正整数，∴x 的值可以为95，96，97，98，99，100，∴一共有6种方案；（3）设总利润为W ，则W ＝（240﹣100﹣a ）x +80（200﹣x ）＝（60﹣a ）x +16000（95≤x ≤100），①当50＜a ＜60时，60﹣a ＞0，W 随x 的增大而增大，所以，当x ＝100时，W 有最大值，W 最大＝22000﹣100a ，即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；②当a ＝60时，60﹣a ＝0，W ＝16000，（2）中所有方案获利都一样；W 最大＝16000； ③当60＜a ＜70时，60﹣a ＜0，W 随x 的增大而减小，所以，当x ＝95时，W 有最大值，W 最大＝21700﹣95a ；即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键在于准确理解题意，列出式子求解．23．（本题满分8分）【答案】(1)见解析；②见解析 (2)1【分析】（1）①如图4，连接OC ， 由 l 是O 的切线，OC 是半径，得到 OC l ⊥，由CE CA =，得 COE COA ∠=∠证得 OE OA =，进一步得到OC AE ⊥，即可得到结论；② 如 图 5，连接OC ，AD ，由 B 是OA 的中点， OA CD ⊥得到OD AD =，AD AC =，又由 OD OA =得OAD △是等边三角形，证得60DOA ∠=︒，所以 AD AC EC ==，所以60DOA AOC EOC ∠=∠=∠=︒，得到180DOE ∠=︒，即得到结论；（2）如图6，连接OC ，由 l 是O 的切线，得 到 OC l ⊥， 又由 BF l ⊥可以证明OC BF ∥，证得OCB CBF ∠=∠，又由 90OBC CFB ∠=∠=︒得OCB CBF △△∽，得到OC CB CB BF=，设BC x =，求得BF ，得()22112144BC BF x x x -=-=--+，从而求得—BC BF 的最大值． 【解析】(1)① 证明：如图4，连接OC∵ l 是O 的切线，OC 是半径，∴ OC l ⊥∵ CE CA =∴ COE COA ∠=∠ ∵ OE OA =∴ OC AE ⊥ ∴ AE l ∥；② 证明：如图5，连接OC ，AD ∵ B 是OA 的中点， OA CD ⊥∴ OD AD =，AD AC = 又∵ OD OA =∴ OD AD OA ==∴ OAD △是等边三角形∴ 60DOA ∠=︒∵ AD AC EC ==∴60DOA AOC EOC ∠=∠=∠=︒∴ 180DOE ∠=︒∴ DE 是O 的直径；(2)解：如图6，连接OC∵ l 是O 的切线，OC 是半径，∴OC l ⊥ ∵BF l ⊥∴OC BF ∥∴OCB CBF ∠=∠∵ 90OBC CFB ∠=∠=︒∴ OCB CBF △△∽∴ OC CB CB BF= 设BC x =，则2214CB BF x OC ==∴ ()22112144BC BF x x x -=-=--+ 当2BC x ==时，—BC BF 有最大值1∴BC BF -的最大值为1．【点睛】本题以圆的知识为载体，考查了平行线的性质和判定、等边三角形、相似三角形、二次函数的最值等知识，综合性较强，灵活应用所学知识是解决此题的关键．24．（本题满分10分）【答案】(1)见解析 (2)①4；②252【分析】（1）根据正方形的性质可得,45DE DG EDM GDM =∠=∠=︒，公共边DM ，即可证明DEM DGM ≌，即可得ME MG =；（2）①先证明点E 在AB 上，进而求得DAE EBN ∽求得BN ，根据NF DG ∥可得NMF GMD ∽，又ME MG =，进而即可求得EM MN的值；②连接,BD BF ，证明ADE BDF ∽，求出相似比，进而可得点F 在以B 为圆心2【解析】(1)四边形DEFG 是正方形45,EDF GDF GD GE ∴∠=∠=︒=∴45EDM GDM ∠=∠=︒DM DM =∴DEM DGM ≌∴ME MG =(2)①如图2，当G ，C ，M 三点共线时，四边形,ABCD EDFG 是正方形90ADC EDG ∴∠=∠=︒，,AD CD ED GD ==，90DEF ∠=︒ ADE CGD ∴∠=∠ADE CDG ∴△≌△DAE DCG ∴∠=∠G ，C ，M 三点共线时，90DCG DCB ∴∠=∠=︒90DAE ∴∠=︒E ∴在线段AB 上90DEF ∠=︒ 又90EDA DAE DAE NEB ∠+∠=∠+∠=︒∴EDA NEB ∠=∠又A B ∠=∠ADE BEN ∴∽=AE AD DE NB EB EN ∴= 正方形ABCD 的边长为4，1AE = 413BE AB AE ∴=-=-=，22224117DE AD AE ++134NB ⨯=34= 317341714DE NB EN AE ⋅∴===3174144GN BC CG BN =+-=+-=3117171744NF EF EN ∴=-==四边形DEFG 是正方形EF DG ∴∥，17DG DE ==DMG FMN ∴∽NF NM DG MG ∴=即NF MN DG GN MN =-∴117417174MN MN =-解得1720MN = 1717174205MG GN MN ∴=-=-= 由（1）可知EM GM = 1745417120EM GM MN MN ∴==== ②连接,BD BF ，如图，四边形,ABCD EDFG 是正方形∴45ADB EDF ∠=∠=︒，2DB =，2DF DEADE BDF ∴∠=∠，2DF DB DE AD==ADE BDF ∽2AE AD EB DB ∴== 1AE = 2BF ∴=即点F 在以B 2。
2023年广东省深圳市中考数学模拟试卷(二)(含解析)
2023年广东省深圳市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“中”字所在面相对的面上的字是( )A. 20B. 23C. 必D. 胜2. 2023的相反数是( )A. 2023B. −2023C. −2023D. 20233. 一元一次不等式x+4≥2的解集是( )3A.B.C.D.4. 某高速(限速120km/ℎ)某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118，106，105，120，118，112(单位：km/ℎ)，则这组数据的中位数为( )A. 115B. 116C. 118D. 1205. 下列运算正确的是( )A. (−a2)3=a6B. (−a3)2=−a6C. (2a2b)3=6a6b3D. (−3b2)2=9b46.一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1=145°，则∠2的度数为( )A. 63°B. 64°C. 65°D. 66°7. 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x 元，则下列方程正确的是( )A. 20000x +50−20000x =20 B. 20000x−50−20000x =20C. 20000x−20000x +50=20 D. 20000x −20000x−50=208.如图分别是2个高压电塔的位置.已知电塔A ，B 两点水平之间的距离为80米(AC =80m )，∠BAC =α，则从电视塔A 到B 海拔上升的高度(BC 的长)为( )A. 80tanαB. 80tan αC. 80sinαD. 80sin α9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2与一次函数y =bx +c 的图象如图所示，则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象可能是( )A. B.C. D.10.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF=2AE=2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于的值为( )点N，连接MN，则S△AMDS△MBNA. 34B. 23C. 1D. 12二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 分解因式：a3−4ab2=______．12. 已知方程2x2−mx+3=0的一个根是−1，则m的值是______ ．13. 如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线M大于12N分别交BC、AB于点D和点E，若AC=6，BC=10，则△ADC的周长为______ ．14. 如图，正方形ABCD放置在直角坐标系中，反比例函数y=k(k≠0)经过A点和边CD的中x点E，已知B(0,2)，则k的值为______ ．15. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠C=∠E=60°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，DFCF =3，则ADBD=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。
2021年中考数学试题及解析：河北-解析版
2021年河北中考数学试题分析1、命题模式突破，强调实战能力今年的中考数学试卷改革力度较大，打破了多年的命题模式。
整套试卷“起点低，坡度缓，尾巴翘”。
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这类试题的特点，起点低，考查的知识相对单一，内容大都来源于课本，是对教材内容的深入考查，学生很容易上手并正确解答。
如1-8题、13-15题、19-21题，都能在课本上找到源头，这对中学数学教学有良好的导向作用。
3、专项试题突出能力今年试题设计精心，立意凸现了对中学数学的通性通法的重点考查。
如:第14、17题体现了转化的思想，第18题考查了特殊到一般的归纳思想，第19、22题考查了方程思想，第12、20题考查了数形结合的思想，第11、24题考查了函数思想，第25、26题用运动变化中特殊数量关系寻找的研究，这使得整套试卷突出能力立意，为初中数学教学指明了方向。
4、“多思少算”命题新倾向今年开放性、探究性试题的设置分布广泛，通过设置操作、观察、探究、应用等方面的问题，给学生提供了一定的思考研究空间。
如第17题留给学生的思考空间较大，虽然其中一个图形处于运动状态，但是通过转化，使阴影部分的周长形成规律，巧妙解题。
第25题以学生熟悉的平行线为原型，通过扇形的改变和运动，形成一个探究性题目，图形的设置减少了文字量，降低了对学生文字阅读能力的要求。
题目发掘并串联了点与直线的距离、直线与圆的位置关系、三角函数等重要内容，侧重考查了运动变化中的不变量问题、解直角三角形问题、垂径定理和圆心角问题，本题带有浓郁的探究成分，要求学生善于对新情景、新信息进行有效的加工和整合，完成本题要求学生有较好的现场学习、迁移和应用的能力，这类试题多有较好的区分度和可推广性。
精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析试题(含详细解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（ ）A B C ．23 D2、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．12B ．43C ．35D ．45 3、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．4、如图，琪琪一家驾车从A地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．B地在C地的北偏西40︒方向上B．A地在B地的南偏西60︒方向上C．50ACB D．sin BAC∠=°∠=5、在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则sin B的值为（）A B C D．12∠的顶点位于正方形网格的格6、如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知α∠是（）点上，且cosα=αA．B．C．D．7、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④9、如图，若O 的半径为R ，则它的外切正六边形的边长为（ ）A B C ． D ．6R10、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（ ）A．54B．35C．34D．45第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．（1）此时A到B的距离是 _____；（2）该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _____．（提示：sin15°=．2、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2（0≤x≤G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为 _____．3、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是 ___．4、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终等于ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．5、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+．2、平面直角坐标系中，过点M 的⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点，交OM 的反向延长线于点N ．（1）求经过A 、N 、B 三点的抛物线的解析式．（2）如图①，点E 为（1）中抛物线的顶点，连接EN ，判断直线EN 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（3）如图②，连接MD 、BD ，过点D 的直线l 交抛物线于点P ，且PDB DMN ∠=∠，直接写出直线DP 的解析式．3、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）4、如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求a的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．5、在⊙O中，AC AD，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：BA是⊙O的切线；（2）若AB＝6，①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BCAC故选：B．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．2、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴tanα=αααα=24=12，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．3、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC ：AC =1：2，AB =10m ，可解出直角边BC ，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC ：AC =1：2．∴设BC =x ，则AC =2x ．∵AB =10， BC 2+ AC 2=AB 2，∴x 2+ (2x )2=102，解得：x =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．4、B【分析】根据题意可知60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，由此即可得到50BCE CBP ∠∠==︒即可判断A ；由60ABP ∠=︒可以判断B ；由9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒可以判断C ；求出30BAC ∠=︒即可判断D ．【详解】解：如图所示：由题意可知，60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，50BCE CBP ∠∠∴==︒，即B 在C 处的北偏西50，故A 不符合题意；60ABP ∠=︒，A ∴地在B 地的南偏西60︒方向上，故B 不符合题意；9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒，故C 错误．60BAD ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，1sin 2BAC ∠∴=，故D 不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．5、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB =，进而得到最终答案． 【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：ABsinAD B AB ∴=== 故选：A ． 【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6、B 【分析】先构造直角三角形，由cos α=邻边斜边求解即可得出答案 【详解】 A.cos α===B.cosα=cosα===cosα===【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，cos α=邻边斜边是解题的关键． 7、C 【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABDS=⨯⨯ 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键． 8、D 【分析】①先证明△ABH ≌△BCE ，得AH =BE ，则1122AH AD BC ==，即12AH AB =，再根据平行线分线段成比例定理得：12HG BG =即可判断；②设BF =x ，CF =2x ，则BC ，计算FG =23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC AB ，根据①中得：13AG AC =即可判断； ④根据11,22HG AG BG CG ==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AH x∴52 BH x =∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC ，∠ABC =90°， ∴AC， ∵12AG AH CG BC == ∴13AG AC =∴13AG AC AB ==，故③正确； ④∵12GH AGBG CG == ∴11,22AHGABG ABGBCG S S S S ∆∆∆∆== ∴13ABGABCS S∆∆=∴16AHG ABC S S =，故④正确． 故选D ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 9、B 【分析】如图连结OA ，OB ，OG ，根据六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，得出∠AOB =60°△AOB 为等边三角形，根据点G 为切点，可得OG ⊥AB ，可得OG 平分∠AOB ，得出∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图连结OA ，OB ，OG ，∵六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，△AOB 为等边三角形， ∵点G 为切点， ∴OG ⊥AB ， ∴OG 平分∠AOB ，∴∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，∴cos30°=OGOA，∴cos30OG OA ==︒ 故选择B ．【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键． 10、D 【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD ABCF BC =，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CDAFE CFD CF∠=∠=， 由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===． 故选：D ． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ． 二、填空题1、 18 nmile 9nmile##993 nmile 【解析】 【分析】如图，过S 作SD AB ⊥于,D 先由路程等于速度乘以时间求解,AB 再利用sin15°=tan1523, 再设,SD m 而,45,SDAB DBS ,18,BD m AD m 再利用tan1523,建立方程，再解方程，从而可得答案. 【详解】解：如图，过S 作SD AB ⊥于,D 由题意可得：40622718,15,45,sin15,604AB BAS DBS62,4DS AS设62,DS k 则4,AS k2284362,AD AS DS k k2tan15=23,62k DSADk设,SD m 而,45,SD AB DBS,18,BD m AD m23,18m m311823,m解得：939,m 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S 中心的最近距离为：9 nmile.故答案为：18 nmile ，9 nmile. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用sin15︒的值求解tan15︒是解本题的关键. 2、30 【解析】【分析】根据题意，找到图象G 的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值 【详解】解：∵将二次函数y ＝﹣x 2（0≤x ≤G ，逆时针旋转θ得到图形G 均是某个函数的图象，设过原点的直线y kx =∴当y ＝﹣x 2，y kx =存在唯一交点时即2x kx -=)20k=解得k =设()P m 为y =上一点，过点P 作PQ y ⊥轴，则,OQ PQ m ==tan POQ ∠=30POQ ∴∠=︒当图象G 旋转30时，与y 轴相切，符合函数图象，故30θ≤︒ 即max =30α︒故答案为：30° 【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与y 轴的夹角是解题的关键．326【解析】 【分析】如图，连接PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQ 先证明180,APBAQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ 证明180,A QBAQB 可得,,A Q A 三点共线，Q 在AA '上运动，过C 作CEAA 于,E 则,Q E 重合时，CQ 最短，再求解26tan 30,3DGAD 2622,3CG DC DG从而可得答案. 【详解】解：如图，连接,,PQ AQ PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQPBQ ∴是等边三角形，60,PQB QBP QPB30,DAN 正方形,ABCD90,22,BAD AB AD DC60,MAB PQB ,AFP BFQ,AFP QFB ∽ ,AFPF QF BF,APF ABQ ,AFQ PFB ,PFB AFQ ∽,PBF AQF60,AQFAPQ ABP ABQ PBQ 360180,APB AQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ则,ABP A BQ ≌ ,APBA QB 180,A QB AQB ,,A Q A 三点共线，∴ Q 在AA '上运动，过C作CE AA于,E则,Q E重合时，CQ最短，60,22,ABA AB A BABA是等边三角形，记AA'交DC于,G60,30,BAA DAG60,AGD CGE326tan3022,33DG AD2622,3CG DC DG326sin60226 2.23CE CG所以CQ【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到Q的运动轨迹是解本题的关键.4、①③④【解析】【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，可证△BOD≌△COE，即BD=CE、OD=OE，则可对①进行判断；利用α△ααα=α△ααα得到四边形ODBE的面积=13α△ααα=√33，则可对③进行判断；再作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△DOE=√34αα2,利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中{∠ααα=∠ααααα=αα∠ααα=∠ααα∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴α△ααα=α△ααα∴四边形ODBE 的面积 =α△ααα=13α△ααα=13×√34×22=√33，故②正确；如图：作OH⊥DE，则DH=EH，∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,∴αα=12αα，HE=√3αα=√32αα,∴αα=√3αα,∴α△ααα=12⋅12αα⋅√3αα=√34αα2,即S△DOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴α△ααα≠α△ααα;所以③错误；∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时αα=√33,∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在Rt CDF中，用勾股定理求得CDABCD的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒， 由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =，∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.三、解答题1、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式 11122=-+ =0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．2、（1）2y =；（2）直线EN 与⊙O 相切，理由见解析；（3）2y =-或2y =- 【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得()2,0A -，()2,0B ；根据抛物线轴对称的性质，得经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得0,E ⎛ ⎝⎭；根据勾股定理的性质，得2NE ，2OE ；根据圆的性质，得ON ；根据勾股定理的逆定理，通过222ON NE OE +=，推导得90ONE ∠=︒，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得30NOE ∠=︒，分当点P 纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得30QOB NOE ∠=∠=︒；根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点Q 坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）∵⊙O 过点M∴2OM =∵⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），∴OA OB OM ==∴()2,0A -，()2,0B∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∵⊙O 交OM 的反向延长线于点N∴(1,N - 设经过A 、N 、B 三点的抛物线为：2y ax bx c =++∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∴0b =∴2y ax c =+ ∴40a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =； （2）经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =，且对称轴为：0x = ∴当0x =时，抛物线取最小值y =0,E ⎛ ⎝⎭∴()222413NE ⎛=-+= ⎝⎭，22163OE ⎛== ⎝⎭∵2ON OM ==∴24ON = ∵416433+= ∴222ON NE OE +=∴90ONE ∠=︒∴直线EN 与⊙O 相切；（3）∵90ONE ∠=︒∴1sin 2NE NOE OE ∠=== ∴30NOE ∠=︒如图，当点P 纵坐标大于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM ===∴()0,2D -∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)Q 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +==-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴2y =-；如图，当点P 纵坐标小于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM === ∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)1Q - 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +=-=-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴2y -； ∴直线DP的解析式为：2y =-或2y =-． 【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．3、（1）见解析；（21【解析】【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD =，∴BD AD ==，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===． 【点睛】 本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．4、（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a （3）在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．理由见解析 【解析】【分析】（1）令y =0可得A 和B 两点的坐标，把点B 的坐标代入直线y =-34x +b 中可得b 的值，根据点D 的横坐标为-5，可得点D 的坐标，将点D 的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC ∽△APB 或△ABC ∽△PAB ．如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA =OC =2，∠AOC =90°画圆O ，半径为2，可知若优弧上存在一点E 与A ，C 构建的∠AEC =45°，再证明BD 与⊙O 相离，圆外角小于圆上角，可得结论．【详解】解：（1）抛物线y =a （x +2）（x -4），令y =0，解得x =-2或x =4，∴A （-2，0），B （4，0），把B （4，0）代入直线y =−34x +b 中，b =3，∴直线的解析式为y =-34x +3，当x=-5时，y=-34×（-5）+3=274，∴D（-5，274），∵点D（-5，274）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，∴a（-5+2）（-5-4）=274，∴a=14，∴抛物线的函数表达式为：y=14（x+2）（x-4）=14x2-12x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，∴C（0，-8a），OC=8a．∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．过点P作PN⊥x轴于点N，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tan ∠BAC =tan ∠PAB ， ∴OC PN OA AN =，即：822a y x =+， ∴y =4ax +8a ，∴P （x ，4ax +8a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=4ax +8a ，整理得：x 2-6x -16=0，解得：x =8或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （8，40a ），∵△ABC ∽△APB ，∴AC ABAB AP =，解得：a ②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC =∠PAB ，如图2所示，与①同理，可求得：y =2ax +4a ，∴P （x ，2ax +4a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=2ax +4a ，整理得：x 2-4x -12=0，解得：x =6或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （6，16a ），∵△ABC ∽△PAB ，∴AB BCAP AB =，解得：a综上所述，a （3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y =14x 2-12x -2；当x =0时，y =-2，∴C （0，-2），∴OA =OC =2，如图3，以O 为圆心2为半径画圆，在ANC 上取一点E 1，过点O 作OF ⊥BD 于F ，∵∠AOC =90°，∴∠AE 1C =45°，在直线y =-34x +3中，OM =3，OB =4，∴BM =5，∴S △OBM =12×3×4=12×5OF ，∴OF =125＞2， ∴直线BD 与⊙O 相离，∴∠AEC ＜45°，∴在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D 的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．5、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】【分析】（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．【详解】（1）证明：连接OA∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD//BE∴∠ADC=∠DCO又∵AC AD=∴∠ACD=∠ADC∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=2∠ADC又∵2∠ADC=AOC∠∴AOC ACO∠=∠∴AO=AC又∵OC=AO∴ACO△为等边三角形∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°又∵AB//CD∴∠BAC=∠ACD=30°∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°∴BA是⊙O的切线．（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°∴tanBA BOAAO ∠=∴AO =6tan tan BA BOA BOA ===∠∠②连接AO ，与CD 交于点M∵AC =OAC =60°∴CM =sin 603AC ⋅︒==∴11322AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△∵AO =AOC =60°∴22360AOCn r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）∴224S =-=-阴影（ππ【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．。
2024年上海市青浦区中考数学二模试卷+答案解析
2024年上海市青浦区中考数学二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是()A.B.C.D.2.下列计算正确的是()A. B.C.D.3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是()A.B.C.D.4.某兴趣小组有5名成员，身高厘米分别为：161，165，169，163，增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是()A.平均数不变，方差不变 B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是()A. B.C.，D.，6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点E ，EC 与BD 相交于点F ，且，那么下列结论错误的是()A. B.C.D.二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.分解因式：______.8.方程的解是______.9.函数的定义域是______.10.如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是______.11.如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是______.12.甲、乙两位同学分别在A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是______.13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动.为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表.请根据以上信息，估计该校共有______名学生的成绩达到A等级.成绩频数分布表等级成绩x频数A nB117C32D814.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为______米用含、、m的式子表示15.如图，在中，中线AD、BE相交于点F，设，，那么向量用向量、表示为______.16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是______度.17.正方形ABCD的边长为1，E为边DC的中点，点F在边AD上，将沿直线EF翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段DF的长为______.18.在矩形ABCD中，，，AC与BD相交于点经过点B，如果与有公共点，且与边CD没有公共点，那么的半径长r的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共78分。
2022年江苏省南通市中考数学试题及答案解析
2022年江苏省南通市中考数学试卷1. 已知a 4=b 3，则a−bb 的值是( )A. 34B. 43C. 3D. 13 2. 若单项式2x m y²与−3x 3y n 是同类项，则m n 的值为( )A. 9B. 8C. 6D. 53. −2022的绝对值是( )A. 12022B. −12022C. 2022D. −20224. 在如图的方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 都是方格线的交点，则三角形ABC 的外角∠ACD 的度数等于( )A. 130°B. 140°C. 135°D. 145°5. 如果多项式x 2+2x +k 是完全平方式，则常数k 的值为( )A. 1B. −1C. 4D. −46. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为( )A. {5x +6y =165x +y =6y +xB. {5x +6y =164x +y =5y +x C. {6x +5y =166x +y =5y +x D. {6x +5y =165x +y =4y +x 7. 如图，下列四个选项中不能判断AD//BC 的是( )A. ∠1=∠3B. ∠B +∠BAD =180°C. ∠D =∠5D. ∠2=∠48. 某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店( )A. 赚了32元B. 赚了8元C. 赔了8元D. 不赔不赚9.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π10.同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为( )A. 36×106B. 0.36×108C. 3.6×106D. 3.6×10711.若抛物线y=x2+2x+m的图像与x轴有交点，那么m的取值范围是______．12.如图，将直角三角形ABC沿CB方向平移后，得到直角三角形DEF.已知AG=3，BE=6，DE=10，则阴影部分的面积为______．13.单项式−5πa3b4的次数是______．14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD//BC，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.若AD=4，CE=3，则DE的长为______ ．15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是AB边的中点，F是线段BC的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．16.用科学记数法表示：0.000723=______．17.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.则OE+OF=______．18.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是______．19.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB.水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C.高度为3m.水柱落地点D离池中心A处3m.建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1)求水柱所在抛物线的函数解析式：(2)求水管AB的长，20.解方程：2x2−5x+2=0．21.计算：(1)(−1)2021−(1)−2−(3.14−π)0；2(2)(2x3y)2⋅(−2xy)．22.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．(1)求证：∠A=∠C；(2)求证：AB//CD．23.已知某正数的两个不同的平方根是3a−14和a−2；b−15的立方根为−3．(1)求a、b的值；(2)求4a+b的平方根．24. 解下列方程组：(1){y =3−2x x +2y =−9； (2){2x −7y =83x −8y −10=0． 25. 操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开．第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN.连结AN ，易知△ABN 的形状是______．论证：如图3，若延长MN 交BC 于点P ，试判定△BMP 的形状，请说明理由．26. 已知2a −1的算术平方根是3，3a +b −1的立方根是2，求a −2b 的平方根．答案解析1.【答案】D【解析】解：∵a4=b3，∴ab =43，∴a−bb =ab−1=43−1=13．故选：D．根据a4=b3得出ab=43，再把要求的式子化成ab−1，然后进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：因为单项式2x m y²与−3x3y n是同类项，所以m=3，n=2，所以m n=32=9，故选：A．根据同类项的定义求出m，n的值，然后代入式子进行计算即可解答．本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：−2022的绝对值是2022．故选：C．根据绝对值的意义求解即可．本题考查了求一个数的绝对值，理解负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．4.【答案】C【解析】解，设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得AB=√22+12=√5，BC=√22+12=√5，AC=√32+12=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴AB2+BC2=AC2，且AB=BC，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =90°，∠BCA =45°，∴∠ACD =∠ABC +∠BCA =135°，故选：C ．由勾股定理的逆定理可得△ABC 为等腰直角三角形，即可求解．此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，得到△ABC 为等腰直角三角形．5.【答案】A【解析】解：∵2x =2×1⋅x ，∴k =12=1，故选A ．根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可． 本题考查了对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为：{5x +6y =164x +y =5y +x． 故选：B ．直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD//BC ，故此选项不符合题意；B 、∵∠B +∠BAD =180°，∴AD//BC ，故此选项不符合题意；C 、∵∠D =∠5，∴AD//BC ，故此选项不符合题意；D、∵∠2=∠4，∴AB//CD，故此选项符合题意；故选：D．直接利用平行线的判定定理分析得出答案．此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．8.【答案】B【解析】解：设盈利60%的进价为x元，根据题意得：x+60%x=64，160%x=64，∴x=40；再设亏损20%的进价为y元，根据题意得：y−20%y=64，80%y=64，∴y=80，所以总进价是：40+80=120(元)，总售价是：64+64=128(元)，∴售价>进价，∴128−120=8(元)，答：这次买卖中这家商店赚了8元．故选：B．要计算赔赚，就要分别求出两个计算器的进价，再与售价作比较即可．因此就要先设出未知数，根据进价+利润=售价，利用题中的等量关系列方程求解．此题主要考查百分数的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．9.【答案】D【解析】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6=60°，∴正六边形的每个内角为180°−60°=120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影=120π×62360=12π，故选：D．首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．10.【答案】D【解析】解：36000000=3.6×107，故选：D．科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式)，其中1≤|a|<10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】m≤1【解析】解：∵抛物线y=x2+2x+m的图像与x轴有交点，∴令y=0，有x2+2x+m=0，即该方程有实数根，∴Δ=b2−4ac≥0，∴m≤1．故答案是：m≤1．由抛物线y=x2+2x+m的图像与x轴有交点可知Δ=b2−4ac≥0，从而可求得m的取值范围．本题考查了二次函数与x轴的交点情况与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条件列出关于m的不等式是解题的关键．12.【答案】51【解析】解：由平移的性质知，AB=DE=10，S△ABC=S△DEF，∵△GBF为△ABC和△DEF的公共部分，∴S阴影部分=S梯形DEBG，∵∠E=90°，∴BE是梯形DEBG的高；∵BG=AB−AG=10−3=7，∴S阴影部分=S梯形DEBG=12×(7+10)×6=51．故答案为：51．根据平移的性质可知：AB=DE，S△ABC=S△DEF，△GBF为△ABC和△DEF的公共部分，所以S阴影部分=S梯形DEBG，所以求梯形的面积即可．本题考查了平移的性质．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．13.【答案】7【解析】解：单项式−5πa3b4的次数是：7．故答案为：7．直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．此题主要考查了单项式，正确掌握单项式次数确定方法，注意π是系数是解题关键．14.【答案】1【解析】解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠EBC，∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠BEC=90°，在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ADB=∠EBC BD=CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)，∴AD=BE=4，AB=CE=3，BD=BC，由勾股定理可得：BC=√BE2+CE2=√42+32=5，∴DE=BD−BE=5−4=1，故答案为：1．由AD//BC得∠ADB=∠EBC，由CE⊥BD得∠A=∠BEC=90°，根据AAS可证△ABD≌△ECB，进而利用全等三角形的性质解答即可．本题主要考查梯形、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，根据已知条件推得能证全等的条件是关键．15.【答案】√73−3【解析】解：如图所示，点B′在以E为圆心，EB为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=6，∴AE=EB′=3，∵AD=8，∴DE=√82+32=√73，∴B′D=√73−3．故答案为：√73−3．如图所示，点B′在以E为圆心，EB为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=3，即可求出B′D．本题主要考查了折叠的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D 的值最小是解决问题的关键．16.【答案】7.23×10−4【解析】解：用科学记数法表示：0.000723=7.23×10−4．故答案为：7.23×10−4．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n.进而可以解决问题．本题考查了科学记数法−表示较小的数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17.【答案】9.6【解析】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，∵四边形ABCD是菱形，BD=8，∴AC⊥BD，AB=AD=10，BG=12根据勾股定理得：AG=√AB2−BG2=√102−82=6，∵S△ABD=S△AOB+S△AOD，即12BD⋅AG=12AB⋅OE+12AD⋅OF，∴16×6=10OE+10OF，∴OE+OF=9.6．故答案为：9.6．连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形面积公式．18.【答案】3【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=12×4×2+12AC⋅2=7，解得AC=3．故答案为：3．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x−1)2+3，代入(3,0)求得：a=−34(x−1)2+3．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3)；(2)令x=0，则y=94=2.25．故水管AB的长为2.25m．【解析】(1)以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，将(3,0)代入求得a值；(2)由题意可得，x=0时得到的y值即为水管的长．本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．20.【答案】解：∵2x2−5x+2=0，∴(x−2)(2x−1)=0，则x−2=0或2x−1=0，解得x1=2，x2=12．【解析】利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)原式=−1−4−1=−6；(2)原式=4x6y2⋅(−2xy)=−8x7y3．【解析】(1)直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案；(2)根据积的乘方运算法则以及单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，即可得出答案．此题主要考查了实数运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.【答案】证明：(1)在△AOB和△COD中，{OA=OC∠AOB=∠COD OB=OD,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A=∠C；(2)由(1)得∠A=∠C，∴AB//CD．【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定及平行线的判定的理解及运用．(1)由已知利用SAS判定△AOB≌△COD，全等三角形的对应角相等即∠A=∠C，(2)利用内错角相等两直线平行即可推出AB//CD ．23.【答案】解：(1)∵正数的两个不同的平方根是3a −14和a −2，∴3a −14+a −2=0，解得a =4，∵b −15的立方根为−3，∴b −15=−27，解得b =−12∴a =4、b =−12；(2)a =4、b =−12代入4a +b得4×4+(−12)=4，∴4a +b 的平方根是±2．【解析】(1)根据正数的两个不同的平方根是3a −14和a −2，列出方程解出a ，再根据b −15的立方根为−3，列出方程解出b ；(2)把a =4、b =−12代入4a +b 计算出代数式的值，然后求它的平方根．本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键24.【答案】解：(1){y =3−2x①x +2y =−9②， 把①代入②，得：x +2(3−2x)=−9，解得：x =5，把x =5代入①，得：y =3−2×5=−7，∴方程组的解为{x =5y =−7； (2){2x −7y =8①3x −8y −10=0②， ①×3，得：6x −21y =24③，②×2，得：6x −16y −20=0④，④−③，得：5y −20=−24，解得：y =−45，把y =−45代入①，得：2x −7×(−45)=8，解得：x =65，∴方程组的解为{x =65y =−45． 【解析】(1)利用代入法解二元一次方程组；(2)利用加减消元法解二元一次方程组．本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键． 25.【答案】等边三角形【解析】解：操作：如图2，∵直线EF 是AB 的垂直平分线，∴NA =NB ，由折叠可知，BN =AB ，∠NBM =∠ABM ，∠BAM =∠BNM =90°，∴AB =BN =AN ，∴△ABN 是等边三角形，故答案为：等边三角形；论证：△BMP 是等边三角形，理由如下：如图3，∵△ABN 是等边三角形，∴∠ABN =60°，∴∠NBM =∠ABM =12∠ABN =30°，∵∠NBP =∠ABP −∠ABN =30°，∠BNP =90°，∴∠BPM =∠MBP =60°，∴△BMP 是等边三角形．操作：由折叠的性质可得NA =NB =AB ，可得△ABN 是等边三角形；论证：由直角三角形的性质可求∠BPM =∠MBP =60°，可得△BMP 是等边三角形． 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．26.【答案】解：由题意得：2a −1=9，3a +b −1=8，解得：a =5，b =−6，则a −2b =5+12=17，17的平方根是±√17，所以a −2b 的平方根是±√17．【解析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用算术平方根，以及立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．。
专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题(原卷版)
第二关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。
解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。
此类问题较多地关注生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。
【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．②代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.【典型例题】【例1】如图，已知抛物线y=﹣214x +bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接AC 、BC ，求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣14x 2+32x+4；（2）直线BC 的解析式为：y=﹣12x+4；（3）存在，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）． 【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）在抛物线解析式中，令x =0，可求出点C 坐标；令y =0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）本问为存在型问题．若△ACP 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解：（1）∵抛物线y =﹣14x 2+bx +4的图象经过点A （﹣2，0）， ∴﹣14×（﹣2）2+b ×（﹣2）+4=0， 解得：b =32，∴抛物线解析式为 y =﹣14x 2+32x +4，又∵y =﹣14x 2+32x +4=﹣14（x ﹣3）2+254，∴对称轴方程为：x =3． （2）在y =﹣14x 2+32x +4中，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）； 令y =0，即﹣14x 2+32x +4=0，整理得x 2﹣6x ﹣16=0， 解得：x =8或x =﹣2， ∴A （﹣2，0），B （8，0）． 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B （8，0），C （0，4）的坐标分别代入解析式，得：80{ 4k b b +==，解得： 1{ 24k b =-=，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +4． （3）存在，理由：∵抛物线的对称轴方程为：x =3， 可设点P （3，t ），∵A （﹣2，0），C （0，4），∴AC =25，AQ =225t +，CQ =()249t -+．①当AQ =CQ 时， 有225t +=()249t -+，25+t 2=t 2﹣8t +16+9， 解得t =0， ∴P 1（3，0）； ②当AC =AP 时， 有25=225t +， ∴t 2=﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACP 不能构成等腰三角形； ③当AC =CP 时， 有25=()249t -+，整理得：t 2﹣8t +5=0， 解得：t =4±11，∴点P 坐标为：P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．综上所述，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．【名师点睛】本题考查了二次函数和一次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是会分类讨论，能够做到不重不漏，同时会利用方程思想解决问题.【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）． 【解析】试题分析：（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t ，CQ=10﹣t ，判断出Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，得到OP=CQ 即可； （3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可．试题解析：（1）∵直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为2y ax bx =+，∵抛物线过点B （0，10），C （8，4），∴25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为21566y x x =-，∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），∴2AB =22512+=125，2BC =228(85)+-=100，2AC =224(85)+-=25，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形．（2）如图1，当P ，Q 运动t 秒，即OP=2t ，CQ=10﹣t 时，由（1）得，AC=OA ，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，∵AC=OA ，PA=QA ，∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP=CQ ，∴2t=10﹣t ，∴t=103，∴当运动时间为103时，PA=QA ；（3）存在，∵21566y x x =-，∴抛物线的对称轴为x=52，∵A （5，0），B （0，10），∴AB=55设点M （52，m ）； ①若BM=BA 时，∴225()(10)1252m +-=，∴m 1=205192+，m 2=205192-，∴M 1（52，205192+），M 2（52，205192-）； ②若AM=AB 时，∴225()1252m +=，∴m 3=5192，m 4=5192-，∴M 3（52，5192），M 4（52，5192-）； ③若MA=MB 时，∴222255(5)()(10)22m m -+=+-，∴m=5，∴M （52，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去； ∴点M 的坐标为：M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）． 考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．【名师点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、三角形的全等的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，要考查了解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点，属于中考压轴题，难度较大．【例3】如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）． 【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MA C 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，得：，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2ba-=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2ba-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则： 2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，6）（1，6）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是判定等腰三角形时，一定要进行分类讨论，做到不重不漏. 【方法归纳】首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。
2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷+答案解析
2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是()A. B. C. D.2.5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅.已知硅原子的半径约为数字用科学记数法可表示为A. B. C. D.3.如图是某几何体的展开图，该几何体是()A.扇形B.三棱锥C.圆锥D.圆柱4.下列运算正确的是()A. B.C. D.5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O，若，则的度数是()A.B.C.D.6.关于x的一元二次方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OD的中点，已知，，则菱形ABCD的周长为()A.B.C.4D.248.某校体操队5名队员的身高单位：分别是166、166、167、170、175，现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员，与换人前相比，队员身高的()A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大9.如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AD长为()A.6B.8C.10D.1210.如图，在平面直角坐标系中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形ABCD的中心与原点O重合，轴，正方形ABCD的面积为5，正方形EFGH的面积为1，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点G的坐标为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请你写出一个图象经过点的函数解析式：.12.不等式组的整数解为______.13.2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”.“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌.将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______.14.如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，则图中阴影部分的面积为______.15.如图，等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别在边AB和AC上.将沿着DE折叠，若点A恰好落在边BC的三等分点处，此时BD的长为______.三、解答题：本题共8小题，共75分。
2022年江苏省连云港市中考数学真题(含详细解析)
14.如图，在 正方形网格中， 的顶点 、 、 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 _________．
15.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是_________ ．
16.如图，在 中， ．利用尺规在 、 上分别截取 、 ，使 ；分别以 、 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 ．若 ，则 的长为_________．
三、解答题（本大题共11小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算： ．
∴ ，
∴OC=2 OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
7.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条ห้องสมุดไป่ตู้段，则钟面中阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题（本大题共8小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
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二次函数中三角形折叠问题
三角形折叠问题在二次函数中的探讨
在二次函数的研究中，我们经常遇到三角形折叠问题。
这个问题涉及到如何将一个平面上的三角形通过折叠变换成一个新的形状。
我们需要定义一个二次函数，该函数描述了我们要折叠的三角形的形状。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，并且a≠0。
我们以一个具体的例子来说明这个问题。
假设我们要折叠的三角形的顶点坐标分别为（x1, y1）、（x2, y2）、（x3, y3）。
根据这些坐标点，我们可以得到对应的二次函数。
我们需要找到这个二次函数的顶点。
顶点的x坐标可以通过求解二次函数的一阶导数等于零得到。
当一阶导数为零时，函数取得极值，这个极值就是顶点的横坐标。
然后，将这个横坐标代入二次函数，可以得到顶点的纵坐标。
得到顶点之后，我们可以对二次函数进行平移、旋转和缩放等变换操作，从而将三角形折叠成我们期望的形状。
这些变换可以通过调整二次函数的参数来实现。
具体来说，平移可以通过调整常数项c来实现。
旋转可以通过调整二次函数的导数项b来实现。
缩放可以通过调整二次函数的系数a来实现。
当我们完成这些变换后，我们就得到了折叠后的三角形的形状。
可以通过求解这个新形状的顶点坐标来获得折叠后三角形的具体信息。
二次函数可以帮助我们探讨三角形折叠问题。
通过定义二次函数并对其进行变换，我们可以将一个三角形折叠成我们期望的形状。
这个问题在数学研究和实际应用中有重要的意义，例如在计算机图形学中的三维建模和动画制作中都会涉及到三角形的变换和折叠。