数学教案几何面积割补法与等量代换法
割补法求面积
3
10 4
12
方法总结
切割法：
把不规则的图形切割成已学图形，再把各部分面积加起来
拼补法：
把不规则的图形拼补成已学图形，再用总面积减去补上的图形面积
谢谢观看
练习
图形大世界
——割补法
REPORT
面积公式回顾
面积=边长×边长
面积=长×宽
面积=底×高
面积=底×高÷2
面积=（上底+下底）×高÷2
3cm 3cm
3cm 3cm
左侧图形的面积 该怎么求呢
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形切割成两 个或多个已学图形，进行计算：
3×3+3×（3+3）=27（平方厘米）
3cm 3cm
3cm 3cm
我们学过哪些图形的面积公式呢？
可以将不规则的图形拼补成一 个或多个已学图形，进行计算：
(3+3)×（3+3）- 3×3=27（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×6×2+10×（3+6+3）=156（平方厘米）
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
切割法： 3×10×2+（3+10+3）×6=156(平方厘米)
10 3
3
这个图该
6 怎么求呢
单位：厘米
拼补法： （10+3+3）×（3+6+3）- 3×3×4=156（平方厘米）
解决几何证明问题的二十五大方法
解决几何证明问题的二十五大方法在数学的学习中，几何证明问题常常让同学们感到头疼。
但其实，只要掌握了合适的方法，这些问题也能迎刃而解。
下面就为大家介绍解决几何证明问题的二十五大方法。
方法一：综合法综合法是从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最终得出结论。
这是最基本也是最常用的方法之一。
比如已知一个三角形的两边和夹角，我们就可以利用余弦定理求出第三边。
方法二：分析法分析法是从结论入手，逐步寻求使结论成立的条件。
例如要证明一个四边形是平行四边形，我们先分析平行四边形的定义和判定条件，然后再看已知条件能否满足这些判定条件。
方法三：反证法先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。
比如证明“在一个三角形中，不能有两个钝角”，我们就可以假设三角形中有两个钝角，然后推出与三角形内角和定理相矛盾的结果。
方法四：同一法当一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，通过证明所作图形与已知图形重合，来证明命题成立。
方法五：数学归纳法常用于证明与自然数有关的命题。
先证明当 n 取第一个值时命题成立，然后假设当 n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。
方法六：构造法通过构造辅助图形来帮助证明。
比如构造全等三角形、相似三角形、平行四边形等。
方法七：等量代换法利用等量关系进行代换，从而简化证明过程。
方法八：割补法将不规则的图形割补成规则的图形，便于计算和证明。
方法九：面积法通过计算图形的面积来证明一些几何关系。
方法十：向量法利用向量的运算和性质来证明几何问题。
方法十一：坐标法建立坐标系，将几何问题转化为代数问题进行求解。
方法十二：比例法根据相似三角形的对应边成比例等性质来证明。
方法十三：中线加倍法在三角形中，将中线延长一倍，构造全等三角形。
方法十四：截长补短法在证明线段的和差关系时，通过截长或补短，构造全等三角形。
方法十五：旋转法将图形绕着某一点旋转一定的角度，使条件集中。
方法十六：对称法利用图形的对称性来证明。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
割补法求面积
割补法求面积
割补法求面积是一种常见的几何学方法，它适用于各种形状的图形，包括矩形、三角形、梯形等等。
具体操作方法是先将图形切割成若干个简单的几何形状，然后利用这些形状的面积之和来求出整个图形的面积。
例如，对于一个梯形，我们可以将其割成一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到梯形的面积。
在实际应用中，割补法求面积的优点在于能够有效地简化计算，尤其是对于复杂的图形而言。
同时，这种方法还能够帮助我们更好地理解几何形状的结构和特性。
总之，割补法求面积是一种非常实用的几何学方法，对于学生和工程师都是非常有用的工具。
- 1 -。
数学 第五讲
第五讲割补法解图形问题模块一割补法解多边形问题例题1 在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=5，DB=6，则△ADE与△BDF的面积之和为多少？例题2已知一个五边形的三条边的长和四个角的度数，如图所示，那么它的面积是多少？模块二割补法解曲面图形问题例题3 求阴影部分的面积。
例题4求阴影部分的面积。
例题5 已知△ABC是直角三角形，AB长20cm，∠BAC的度数是45度，求阴影部分的面积。
例题6 如图，正方形的边长为6cm, 求阴影部分的面积。
针对演练：1 如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积是多少平方厘米（单位：厘米）2 如图，三个边长分别为5cm ,6cm ,4cm的正方形拼在一起，求阴影部分的面积。
3 如图，4个圆的半径相等。
求阴影部分的面积。
4如图，正方形的边长和三个半圆的直径都为12cm，那么图中阴影部分的面积是多少？5如图，求阴影部分的面积。
6如图，求阴影部分的面积。
7如图，四个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积为多少？8如图，OA,OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6cm,∠BOA为直角，阴影部分的面积是多少？9如图，求阴影部分的面积。
10如图，三个圆的半径都是4cm,三个圆两两相交于圆心，阴影部分的面积是多少？11 如图，大圆直径为30cm,4个小圆直径都是大圆直径的一半，求阴影部分的面积。
12如图，求阴影部分的面积。
13 如图，四边形ABCD是平行四边形，圆半径是4cm, 求阴影部分的面积。
14 如图，四边形ABCD是一个长方形，长8cm，求阴影部分的面积。
15如图，求阴影部分的面积。
16如图，求阴影部分的面积。
17 如图，正方形ABCD的边长是10cm，求阴影部分的面积。
（π取3.14）18如图，求阴影部分的面积。
19 如图，三角形ABC是等腰三角形，其中AC=6cm,D是AC的中点，求阴影部分的面积。
20 如图，扇形AOB和产型COD的圆心角都是直角（∠AOB=∠COD=90°），半径分别是4cm和2cm,将他们按如图所示的方式叠放，连接AC,BD. 求阴影部分的面积。
第五讲割补法巧算面积ppt课件
例题5：如图，在两个相同的等腰直角三角形中各画一个正方形， 如果正 方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？
例题6：如图所示， 已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这 个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
练习3：如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的 各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正 三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分 的面积总和等于多少平方厘米？
例题4：如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连 接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中 阴影部分的面积是多少平方分米？
例题1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。 （单位：厘米）
练习1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。 （单位：厘米）
例题2：如图所示， 在正方形ABCD 内部有一个长方形 EFGH. 已知正方 形ABCD 的边长是6厘米 ， 图中线段 AE、 AH都等于2厘米． 求长方形 EFGH 的面积．
巩固练习 1、右图中的数字分别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？
2、如右图所示，在正方形ABCD内部有梯形EHGF.已知正方形ABCD的 边长是6厘米，图中线段AE、AH、BF、DG都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？
3、如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点 与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？
五年级数学上册《割补法求面积》带解析过程
五年级数学上册《割补法求面积》带解析过程例：步骤：1.切割成若干块规则图形2.每块图形的面积均可求3.求和得总面积切法一：步骤：1.切割成两块面积相同的梯形2.先计算-块的面积,列式:(10-2+10)x2÷2=18;3.再计算总面积,列式:18x2=36切法二：步骤：1.切割成两块面积不同的长方形;2.蓝色部分面积列式:(10-2)x2=163.红色部分面积,列式:10x2=204.计算总面积列式:16+20=36切法三：步骤：1.切割成两块面积不同的长方形;2.蓝色部分面积,列式:10x2=203.红色部分面积,列式:(10-2)x2=164.计算总面积,列式:20+16=36题1：求图中阴影面积。
（单位：厘米）【解析】：解法一：如下图，把图形分割后，将①号扇形拼到A处，将②号扇形拼到B处，把求阴影部分面积转化为求长为半圆直径、宽为半圆半径的长方形的面积。
所求阴影部分面积为：4×（4÷2）＝8（平方厘米）解法二：如下图，把图形分割后，将①号弓形拼到A处，将②号弓形拼到B处，把求阴影部分面积转化为求两个三角形的面积和。
拼成的每个三角形的底是半圆直径长4厘米，高为半圆半径长是直径的一半。
所求阴影部分面积为：4×（4÷2）÷2×2＝8（平方厘米）。
题2：求图中阴影面积。
【解析】：如下图，根据图形的对称性对图形进行分割，再将①号阴影部分拼到A空白处，把求阴影部分面积，转化为求长为b、宽为a的长方形的面积。
则所求阴影部分面积为ab。
题3：求阴影部分的面积。
（单位：分米）【解析】：如下图，根据图形的对称性对图形进行分割，再将①号弓形拼到A空白处，将②号弓形拼到B空白处，把求阴影部分面积，转化为求1/4圆周所对应的弓形的面积。
用上图1/4圆的面积减去三角形ABC的面积，可得所求阴影部分面积为：3.14×22÷4－2×2÷2＝10.56（平方分米）。
三年级上册数学教案等量代换青岛版
智慧广场--等量代换教学内容：青岛版小学数学三年级上册58、59页，智慧广场的内容。
教学目标：1.初步体会等量代换的数学思想方法，能用一个相等的量去代换另一个量，渗透等量代换的数学思想。
2.通过观察、猜测、操作、交流、验证等活动，发展学生的思维，初步形成观察、分析及推理的能力。
3.学会用等量代换数学思想方法解决一些简单的实际问题和数学问题。
4. 经历解决问题的过程，感受等量代换与生活的密切联系。
教学重难点：教学重点：了解等量代换的数学思想方法。
教学难点：学会用等量代换数学思想方法解决一些简单的实际问题和数学问题。
教具、学具：教师准备：课件。
教学过程：一、创设情境，提出问题1.教师谈话导入新课。
评价方式表现出色一颗小智慧星，三颗小智慧星可以换一枚大智慧星，而集齐两枚大智慧星可以得到一枚神秘礼物，看看这节课谁表现得出色谁拿到的智慧星多。
（三颗小智慧星可以换一枚大智慧星，集够两枚大智慧星可以得到神秘礼物，初步认识等量代换）2.课件出示情境图。
请同学们仔细观察，从图中，你知道了哪些数学信息？根据这些信息，你能提出什么问题？（出示多媒体课件）师：谁再来完整的说一说这个题目表示什么意思？生：一个三角形加一个圆形等于12，三角形等于三个圆形的和，看看圆是哪个数，三角形是哪个数，它们既要满足第一个数学信息，同时还要满足第二个数学信息。
二、自主学习，小组探究1.师：同学们真了不起。
那谁来猜一猜○=？△=？学生大胆猜测。
教师板书学生的猜测结果。
2.刚才同学们的猜测结果是否正确呢？（学生有的说正确有的说不正确）3.看来同学们都有了自己的想法，那这样，给大家一分钟的独立思考时间，想一想你会怎么解决这个问题。
4.学生一分钟的独立思考。
（1）想好的同学可以在小组内说一说，然后把你的想法在学习材料上写出来。
看谁能把自己的想法清楚、明白的写出来，让我们大家很容易的就看懂了，怎么想就怎么写，一会儿我们一起分享、交流你们的想法。
1.学生自主学习、探究。
五年级数学上册知识讲义-割补法求图形面积-苏教版
知识梳理：已知直角三角形ABC 中有一个正方形AEFD ，已知BF ＝20cm ，FC ＝16cm ，你能计算出图中阴影部分的面积吗？BC分析：阴影部分是两个直角三角形，斜边长分别是20cm 和16cm ，将三角形BEF 沿EF 边切开，再把三角形BEF 的EF 边和三角形DFC 的FD 边重合拼组，正好与三角形DFC 合并成一个大直角三角形，这个大直角三角形的两条直角边分别是20cm 和16cm ，一条为高，另一条就是底，这样就可以求出这个大直角三角形的面积，也就是阴影部分的面积。
解答：20×16÷2＝160（cm ²）FBC割补法：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的图形，便于问题的解答。
一个较复杂的图形， 通过恰当的分割，可以转化成简单的图形。
【规律总结】——割补法和分割法联系：割补法和分割法都是将图形进行切割，在保证面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的图形，便于问题的解答。
区别：割补法要把切下来的图形移动到其他位置，而分割法把图形切开后并不需要移动。
例题1 求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）解答过程：利用割补法将阴影部分分割平移成一个长方形（如图所示），长是28，宽是20。
答案：28×20＝560（cm²）例题2 在等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三部分，三角形的面积是120平方厘米。
你能求出阴影部分的面积吗？解答过程：从等腰三角形的顶点作底边上的高，得到两个完全一样的直角三角形，将左边的三角形倒过来与另一个三角形拼成一个长方形，由已知条件“将三角形的两条边等分成三部分”可知：长方形面积正好是阴影部分面积的3倍。
答案：120÷3＝40（cm²）例题3 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）解答过程：按照一般解法，首先求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。
小学奥数 几何 割补法求面积、等差法 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？AD EB CF巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。
例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？巩固、如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？例2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？巩固、如图，四边形BCEF是平行四边形，三角形ACB是直角三角形，BC的长是8厘米，AC长是7厘米。
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教学内容概要
初中数学备课组 教师：王老师 年级：小五
学生：
日期 上课时间
学生上课情况：
主课题：《组合图形求面积--割补法与等量代换法》
教学目标：
1、通过平行四边形，三角形，梯形面积计算公式，能正确求几何图形的面积。
2、让学生经历常见的几何面积公式的推导过程，通过操作、观察、比较，发展学生的
空间观念，渗透转化的思想方法。
3、培养学生使用割补法，等量代换的思想解决实际面积问题的能力。
4、使学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识，体验数学的价值。
教学重点：
1、针对不规则图形能够找到其所包含的规则图形
2、熟练使用三个常见图形的面积的公式。
3、使用割补法求不规则图形以及阴影部分面积
。
4、学会等量代换的思想。
教学难点：
1、能够求解复杂的面积。
2、学会和掌握面积求解的主要技巧--割补法与等量代换法
家庭作业
1、 回家练习部分（所有题目）
考点及考试要求：
1、理解和掌握求几何面积的主要思路与步骤
教学内容
【知识精要--等量代换法】
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公
理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另
一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思
路。
【经典例题】
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴
影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的
面积之差。（有几种做法？）
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
【巩固练习】
1、下图是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
2、左下图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，
求ED的长。
3、右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
【知识精要--割补法】
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形（这一部分我们将在初中阶段学习）与三角形、
矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置
或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为
了计算面积，有时也要用到割补的方法。
【经典例题】
例1在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中
阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
例2如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长
9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
例3在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
例4下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求
乙正方形的面积。
【巩固练习】
1.在左下图所示的等腰直角三角形（注：两条直角边相等）中，剪去一个三角形后，剩下的部分是
一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
2.在右上图等腰直角三角形ABC中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
【综合练习】
一、 已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。
二、 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
三、 如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的
中点，求长方形内阴影部分的面积。
四、 在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6
平方厘米，已知长方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘米，DF的长
是多少厘米？
五、 右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16
米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。
六、 如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、
F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少？
七、 如图，三角形ABC的面积是90平方厘米，EF
平行于BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙的面积各是多少平
方厘米？
八、 如图长方形，长18厘米，宽12厘米，AE、AF
两条线段把长方形面积三等分，求三角形AEF的面积。
九、 在等腰梯形ABCD中，AD=12厘米，高DF=10
厘米。三角形CDE的面积是24平方厘米。求梯形面积。
十、 ABCD是正方形，BE=EC，AB=12厘米，阴影面积是多少？
十一、 右图正方形边长为12厘米，四边形EFGH面积是6平方厘
米，那么阴影面积是多少平方厘米？
十二、 如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE=4厘米。
求阴影部分的面积。