利用均值不等式证明不等式-精选.
1，利用均值不等式证明不等式
（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记
12111n n
n H a a a =
++???+
n G =
12
n n a a a A n
++???=
n Q =
它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n n A G ≥
证法一：
.n n A G ≥用数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
1.k
k k k
A G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有：
11111
111k k k k k k k k k k k k k k k k
A A A G G G A G ++++++++≥?≥n=k+1时：只需证：
12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1
11
1
1111
1=
11
k k k k k k
i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+??
??
?? ? ? ? ? ? ?=+-++ ? ? ? ? ?
???
????
∑∑∑∑1
101
1
11111
1
k k
k
k
k k
i
i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++??????
? ? ? ? ? ?≥+-+ ? ? ? ? ? ??
?
??
??
∑∑∑∑
1111
111(1)(11).1k
k
k
k k
k
i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++???
??? ?
? ?
? ? ?=+-+-==+ ?
? ? ? ? ???
????
∑∑∑∑ 111
11.1k k k k k k k k k
A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。
.
n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈k
k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：
++++1
+11
++=
=.i
i
i i i
i a
a
a
A G ===≥
≥=∑∑∑k 1
k k 1
k
k 1k 12222k
k
2k 1
222
2
2
2
+,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。
+t N ≥∈假设n=t+13（）时成立。则n=t 时有：
1
t t
t tA G G t +=≥=
=+
t t A G n t ≥=化简即得：，即时亦成立。所以原不等式成立。
证法三：12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1,0.k
i
i k k k a
b b b k
=-=
≥>∑令：则有：
1211111111()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b kb -----------=-+++≥-L
11
1111
[(1)](1).k
k k k k
k k k k k k k b b b kb k b kb k b b ------≥--≥--即：，亦即：
111(1).(2),.k k k kb k b a n k b a ---=≥≥=且：
11112211[(1)]k n
n n
n
n n
k n
n
k k k n
k k k k k b A b b b kb k b a G b --===-==≥--==∏∏∏ 12n ===.n n G A a a a ∴≤L 等号成立当且仅当:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：
（1）
()1
3a a b b
+
≥-，(0)a b >> （2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z > 证明（1）()1a a b b +
-()()1
a b b a b b
=-++-
3≥= 当且仅当()1
0a b b a b b
-==
>-，即2,1a b ==取等号。
证明（2
()()
log 1log 12
n n n n -++<
()2211
log 1log 122
n n n n =-<= ∴()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
证明（3）44222x y x y +≥=，同理44222z y z y +≥
44222z x z x +≥，三式相加得444222222x y y x y y z z x ++≥++
另一方面222222x y y z xy z +≥=，
同理222222x y x z yx z +≥=，222222x z y z yz x +≥= 三式相加得222222x y y z z x ++()xyz x y z ≥++
说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3）中累加的方法是常用的处理手段。
例2：若
,,a b c R +∈且1a b c ++=≤
证明：左边
3≤==例3：已知12,,n a a a ???是正数，满足121n a a a ????= 求证：()()()122223n n a a a ++
???+≥（89年联赛试题） 证明：11211a
a +=++≥22
a +≥
2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：
11111231
n n n ++???+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有
1111231
n n n ++???+
+++ ()()()()()()22
2
21211123121n n n n n n ++≥=
=++++???++
显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
说明：注意到n H 的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含n H 的均值不等式。 例5：若
,,m n N m n ∈<，求证：1111m
n
m n ????
+<+ ? ?
????
证明：由n n G A ≤有1111111m
m
n m m m -????+=+????? ? ?????123个1
1111n
n
m n m m n n ??
??+?+- ??????
???≤=+ ???
??????
∵ 1
11m
+≠，∴上式不可能取等号。
故原不等式得证。
例6：设12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列，求证：
12123n n
-++???+≤1
1223n n a a a a a a -++???+
证明：∵12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列 ∴()()()()()()121111112111n a a a n -++???+≥++???-+
12n a a a =???
于是1122
3n n a a a a a a -++???+
+111
12n
++???+ =1122
3
n n a a a a a a -++???+
12111n
a a a +++???+
11212311
1n n
a a a a a a a -++=
+++???+
n ≥≥
而1112
n n ??=++???+ ??
?1212
3
n n -??
+++???+ ???
所以1212
3
n n
-++???+≤
112
23n n
a a a a a a -++???+
说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上11112
n
++???+的变形处理。
例7：设为正实数，求证：(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+ 证明：(1)(1)(1)2a b c a b c a b c
b c a b c a c a b
+
++=++++++ ()()()1a a a b b b c c c
b c a b c a b c a
=+++++
+++-
1
≥
1312(1=
-≥
+-=+ ，构造均值定理是本题的关键。
例
8： ,,a b c R +
∈,求证:
2223()()()a bc b ca c ab
a b c b c a c a b +++++≥+++ 证明 左边=222(
1)(1)(1)3()()()
a bc
b ca
c ab
a b c b c a c a b ++++++++-+++ ()()()()()()3()()()
a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=
++-+++
3≥
3=
3≥
3233=?-=.
注:本题多次利用了均值不等式
本题也可以由2()a bc c ca
a b c a b ab bc
+=++++∑∑∑,再处理. 例9：已知,,,+∈R c b a 求证：
.4
3
)()()(33223223
22≥+++++b a c a c b c b a
分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：
3
)
()(22)
)((22)(22)(3
3
3
3
2
33
2
2
c b c b a a
c b c b a a
c b a a
c b a ++++≥
++?=
+=
+
c
b a a ++?=3
43 ①
同理可得 c
b a b
a c
b ++?≥+33
2243)( ②
c
b a c
b a
c ++?
≥+33
2243)( ③
将①、②、③三个零件不等式相加，得
3
3223223
224
3
)()()(≥+++++b a c a c b c b a 注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。
例10：如图△及其内接△分原三角形所得△、△、△中，至少有一个三角形的面积不大于原△面积的（这里所指△的内接三角形，是顶点D 、E 、F 分别在△三条边上的三角形）
证明：如图，设△三边，，，且，，，，，，逆用公式，并注意到,
于是有 ，
，
， 更注意到
若S △、S △、S △皆大于S △的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于
类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=???，1p ≥，11
11n
p
i i
m ==+∑， 求证：()121n
p
n m m m n ???≥-
证明：令11i p i
x m =+，则1p i
i i x m x -=
，且1
1n
i i x ==∑
∴12111i i i n x x x x x x -+-=++???+++???+
(
)1n ≥-∴()()()121212111n p p p n n x x x m m m x x x --???-???=
???
()
121n
n
n ≥
=-
∴()121n
p
n m m m n ???≥-
说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,,a b c R +∈，求证：n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++，其中,,,n N p q r ∈都
是非负整数，且p q r n ++=
分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：2,1,0p q r ===，
即先证明()3332221a b c a b b c c a ++≥++L ，该不等式关于,,a b c 轮换对称，不妨设a b c ≥≥，则左－右()()()322a a b b b c c c a =-+-+- ()()()222a a b b b c c c b b a =-+-+-+-
()()()()22220a c a b b c b c =--+--≥，故()1式成立 进一步分析发现，()1式本身无助于原不等式的证明，其证明方法也
不能推广到原不等式，故需重新考虑()1式的具有启发原不等式证明的其
它证法。
考虑常用不等式证明的方法发现，()1式可以利用“均值不等式”或证，即
33333
2
2
33
a a
b a b
a b a a b
+++
===
g g
同理：3333
22
22
,
33
b c c a
b c c a
++
≤≤以上三个式相加即得()1式。
运用此法再考虑原一般问题就简单多了，仿上，
n n n
p q r
pa qb rc
a b c
n
++
=≤
n n n
q r p
qa rb pc
a b c
n
++
=≤
n n n
r p q
ra pb qc
a b c
n
++
=≤
以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角,,
αβγ满足222
cos cos cos1
αβγ
++=
，求证：tan tan tan
αβγ≥
分析与解：由已知222
cos cos cos1
αβγ
++=，立即联想到长方体得对角线公式：2222
a b c l
++=，令cos,cos,cos
a b c
l l l
αβγ
===
，l=
以,,
a b c
为棱构造长方体，则易知：tan
a a
α=≥，
同理：tanβ=≥
，tan
c c
γ=≥
tan tan tan
αβγ
∴≥=
上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结
论不等式中观察到什么呢？由3
tan tan tan
αβγ≥=，即是三个不等式
相乘的结果，就可以再变化为：3
sin sin sin cos cos cos
αβγαβγ
≥，这样也
无需构造长方体模型，而采用下面的证法： 由222cos cos cos 1αβγ
++=，知
2222sin 1cos cos cos 2cos cos ααβγβγ
=-=+≥
,,αβγQ 都是锐角，sin α∴ 同理：
sin β∴，sin γ 将上面三个不等式两边分别相乘，即得待证不等式 通过上例的求解分析过程，我们可以看到问题的本质.
例14： 设x R ∈，求证：2
223()(23)(23) 6.x x f x x x x x +=+++++≥
证明 令1t x =+，则2
2(1)22()()(2)(2).t t g t f x t t -+==+++
分两种情形：
（1）2t ≤-时，2(1)9t -≥.
2
2(1)9()(2)26;t g t t -≥+≥>
（2）2t >-时，20t +>.
2
21
2()22t
t t g t -++∴≥+
12222t t -+≥+2211222222t t t t t t
=++++
+
≥ 6.= 点评 注意到(1)6f -=，故先作代换1t x =+，使()f x 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t =时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。
例15：设,,,a b c d 为正实数，且满足ab bc cd da +++=1
求证：
3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++1
3
证明：由均值不等式得：
311812a b c d b c d ++++≥++2
a
= 从而
31
21812a a b c d b c d ++≥--++ 同理
31
21812b b a c d a c d ++≥--++ 3121812c c a b d a b d ++≥--++ 31
21812
d d a b c a b c ++≥--++ 各式相加得3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++1
3
a b c d +++- 又由题设ab bc cd da +++=()()1a c b d ++=得
1
2a b c d a c a c
+++=++
≥+代入上式即得。 说明：本题充分利用了等号成立的条件是“12
a b c d ====”
进行代数式的变形，借助ab bc cd da +++=1进行消元，使问题得以解决。 所以,不等式得证.
例16： 设,+∈R c b a 、、且=++222c b a 1.
求证：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c b a 证明：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c b a abc c b a c c b b a a )
(2111333222222++≥-+-+-?
+-+++-++?2
2
22222222)()(b b c b a a a c b a abc c b a c c c b a )
(2)(3332
2222++≥-++
2
22222222c
b a b
c a a c b +++++? abc c b a )(2333++≥ ①
++++?)()(22222222c a c a c b c b ).(2)(3332222c b a abc b a b a ++≥+
由均值不等式得
c ab a b c b a b c b 42424242422=?≥+， 44242424222abc c a c b c a c b =?≥+， bc a b a c a b a c a 42424242422=?≥+.
将以上三个不等式相加得
)(2)()()(333222222222222c b a abc b a b a c a c a c b c b ++≥+++++
因此，所证不等式成立。
注：本题待证的不等式为非齐次不等式，先利用条件“2221c b a ++=”，将其转化为齐次不等式①，再利用均值不等式使问题获解。 例:17： 设a 、b 、c 、d 为正数，且1))()()((=++++a d d c c b b a
求证：.16
1
))(2)(2)(2)(2(2≤
++++++++abcd b a d a d c d c b c b a 分析：本题属于非齐次不等式，且次数较高，处理此题的切入点，还是利用已知等式将其齐次化。
证明：由均值不等式
∏∑??
?
???++≤++4
)2(41)2(c b a c b a 4)(d c b a +++=，
故只须证,16
1
)()(24≤
+++abcd d c b a 即须证 24)()(abcd d c b a +++
3)])()()([(16
1
a d d c c
b b a ++++≤
3
11111111??
??????? ??+??? ??+??? ??+??? ??+?a d d c c b b a .1111
164
??
? ??+++≥dab cda bcd abc ①
令,1
,1,1,1v d
z c
y b
x a
==== 于是，
式①3)])()()([(x v v z z y y x ++++?
.)(164zxv yzv xyv xyz +++≥ ② 下面证明式②.
2)(4xzv yzv xyv xyz +++ 2)]()([4y z zv v z xy +++=
2)](2
)(2[4y x v
z zv v z y x xy ++?+++?
≤ ).2()()(22xyzv zv xy y z y x ++++=
).)(()()(22x v z y v z y x ++++≤ ③
同理，2)(4xyz xyv xzv yzv +++
).)(()()(22v z y x x v z y ++++≤ ④
将式③，④相乘得
4)(16xyz xyv xzv yzv +++ .)])()()([(3v z y x x v z y ++++≤
因此，所证不等式成立。 例
18：设为正实数，求证：.
21217382423+-≥++-
++++++c b a c
c b a b c b a c a
分析 本题的难点是分母较复杂，可以尝试用代换的办法化简分母。
证 令??
???++=++=++=,3,2,
2c b a z c b a y c b a x
则,,c y z c b y x =--=-由此可得
??
?
??-=-+=-=+y z c y x z b x y c a ,2,23 从而
c b a c
c b a c b a c a 3824623++-
++++++ 2
12173228217844217)(8)2(42+-=++-≥++++-=--
-++-=z
y
y z y x x y z
y z y y x z x x y
不难算出，对任何正实数a ，只要
,)234(,)21(a c a b +=+=
就可取到上述的等号。
注 代换法（换元法）是常用的化简分母、去分母、去根号的一种方法。
19：对任意∈，证明：
（a 2
+2）（b 2
+2）（c 2
+2）≥ 9（）.
证明 原不等式a 2
b 2
c 2 +222a b ∑+42a ∑+8 ≥ 9ab ∑.
由抽屉原理，不妨设a 和b 同时大于等于1，或同时小于等于1。 则
c 2
（a 2
-1）（b 2
-1）≥ 0
即
a 2
b 2
c 2
+ c 2
≥a 2
c 2
+ b 2
c
2
由均值不等式，有2232a b ab +≥∑∑以及2a ∑≥ab ∑. 222a b ∑+ 32a ∑+ 6 ≥ 7ab ∑.
又由知2+ a 2 b 2 c
2
2a ∑2(
2
b 2
c 2
+2)c +22a b +
≥ a 2
+ b 2
+ a 2c 2
+ b 2c 2
+2 = (a 2
+ b 2
)+ (a 2c 2
+1)+( b 2c 2
+1) ≥2a 22
2+ a 2 b 2 c 2
+2a ∑≥2a 22. +得a 2
b 2
c 2
+222a b ∑+42a ∑+8 ≥ 9ab ∑. 即原不等式成立。
评注 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术－几何平均值不等式给出了一个很精巧的证明，本题也可以利用柯西不等式与算术－几何平均值来证明。 练习题
1 ，若,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：()()()111111a b b c c a +++++ 27
4
≥
,
证明：()()()
()()()11131113111a b b c c a a b b c c a +++++???
?≤++
+++Q
()()()111111a b b c c a +++++9
(1)(1)(1)
a b b c c a ≥+++++ ()()9a b c ab bc ca =
+++++()
9
1ab bc ca =+++
又()()()222232221ab bc ca a b c ab bc ca a b c ++≤+++++=++=Q 13
ab bc ca ∴++≤，故有
()9927
114
13
ab bc ca ≥=
++++ 所以不等式
()()()111111a b b c c a +++++27
4
≥成立
2，若,0n N x +
∈>，求证：221
121
n n x x x x n ≤+++++L
证明：2211112,2,,2n n n n n n n x x x x x x x x --++≥+≥+≥Q L
()22121n n x x x n x ∴++++≥+L ，
故有()221
12121
n n n n x x x x x n x n ≤=
++++++L
3．设△内切圆半径为r ，,求证：
证明：由于“形似”，我们联想到公式 a 222
≥， 于是有
继续“联想”三角形面积公式及内切圆半径公式： ，及，
就有
2
1
()()()p p a p b p c r
=---
从而证明了本题。 4：证明△中，有以下关系成立：
证明：注意到余弦定理：
，
， ，
于是
即原命题成立
5：如图，P 是正△内一点，A ′、B ′、C ′分别是它在对应边上的
射影。 求证：
证明：设′，′，′，△底边上的高为h ，则，且
命题成立
6： 已知2
παβγ++=，且,,αβγ均为锐角，求证：
tan tan 5tan tan 5tan tan 543αββγγα+++++≤
证明：tan tan 5tan tan 5tan tan 5αββγγα+++++Q
≤
= 又()tan tan tan tan 2
1tan tan παβ
γαβαβ
+??
-=+=
?-??
，
即()tan tan cot 1tan tan αβγαβ+=-
那么()tan tan tan tan tan αβγαβ++ ()tan tan tan cot 1tan tan 1α
βγγαβ
=+-=?
??? 所以
==
≤ 7：若
,,0a b c >，求证：()()()abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-
证明：∵,,a b c b c a c a b +-+-+-中任意二数之和为正，
∴,,a b c b c a c a b +-+-+-中至多有一个非正，若,,a b c b c a c a b +-+-+-有一个数非正，结论显然成立。
若,,a b
c b c a c a b +-+-+-均为正，则
()()2
a b c c a b
a
+-++-≤
=
b ≤
c ≤
三式相乘即得证。
说明：应用基本不等式和不等式的基本性质推证不等式时应注意这些结论成立的条件。 8：已知
*,,a b c R ∈，求证：
333333
1111
a b abc c b abc a c abc abc
++≤++++++ （1997年第26届美国数学奥林匹克竞赛试题）
证明：∵()()3322a b abc a b a b ab abc ++=++-+，又∵222a b ab +≥ ∴22a b ab ab +-≥，∴()33a b abc a b ab abc ++≥++()ab a b c =++ 同理()33b c abc bc a b c ++≥++，()33a c abc ac a b c ++≥++
333333111
a b abc c b abc a c abc ++
++++++ ()1ab a b c ≤
++()1bc a b c +++()1
ac a b c +
++ 11
111a b c ab bc ca abc
??=
++= ?
++?? 例1：已知：,,a b c 是三角形的三边，求证：
3a b c
b c a c a b a b c
++≥+-+-+- 证明：令,b c a x c a b y +-=+-=，a b c z +-=，则0,0,0x y z >>> 且,,222
y z z x x y
a b c +++=
==
，则原不等式等价于 3222y z z x x y x y z
+++++≥，左边拆开为六项，由均值不等式即证得。 9：若,,a b c 为?的三边，1k ≥，求证：
()()()3
21
a b c k b c a k c a b k a b c k ++≥+-+-+--
证明：令()()()x k b c a y k c a b z k a b c
=+-??
=+-??
=+-? 则
()()()()()()()()()121112111211k x ky kz a k k k y kx kz b k k k z ky kx c k k ?-++=?
-+??-++?=?
-+??-++?=-+??
则所证不等式的左边为
()()()()()()()()()111211211211k x ky kz k y kx kz k z ky kx k k x k k y k k z
-++-++-++++-+-+-+
()()()1
31211y z z x x y k k k k x x y y z z ????=
-++++++?? ?-+????
3
21
k ≥
- 说明：换元法是常用的化简分母，去分母，去根号的一种方法。 10：已知,,x y z R +∈，1xyz =，且()11x z +>，()11y x +>，()11z y +> 求证：()111
23x y z x y z
++≥
+++ 证明：令a x b
=，b y c
=，c z a
=(),,a b c R +∈
则()11x z +>，()11y x +>，()11z y +>变为
a c
b +>，a b
c +>，c b a +>，要证的不等式边为
23a b c b c a
b c a a b c
??++≥+++ ??? 等价于()22222223a c b a c b b c c a a b abc ++≥+++ （※） 注意到以,,a b c 为边长可以构成三角形，我们令
a m n
b n l
c l m =+??=+??=+?
(),,m n l R +
∈将其代入（※）即得： 333222222222l m n m n n l l m m l n m l n +++++≥++
由均值不等式得：3222l n l l n +≥，3222n m n n m +≥，3222m l m m l +≥ 上述三式相加即得证不等式。
说明：对于条件1xyz =，常作代换a x b =，b y c =，c z a
=
从而使非奇次不等式变为奇次不等式，另外，三角形三边常用的代换为：
a m n
b n l
c l m =+??
=+??=+?
。 11：已知,,x y z R +∈，1xyz =，求证1111111x y z y z x ??
?
???-+-+-+≤ ??????
??
?
?
?
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
利用均值不等式证明不等式
1，利用均值不等式证明不等式 （1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12n n a a a A n ++???= n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系： n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n A n =当n=k+1n a ≤≤ 1 111= i k i k a A +==+ +∑∑ 111 111(1)(11).1k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ∑ 1111 1.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。 ++k N ∈k k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时： ++++1 +1 1 ++ = =.i i i i i i a a a A G ===≥ ≥=∑∑∑k 1 k k 1 k k 1k 12222k k 2k 1 222 2 2 2 +,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。 假设1 t t tA G t ++证法三：0.k b = >令： 111)k k k k k k b b b ----+ +≥11 k k k k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]n n n k n n k k k n k k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当: 上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。 例1：求证下列不等式： （1） ()1 3a a b b + ≥-，(0)a b >>
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明n元均值不等式
学习好资料 欢迎下载 证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明： 首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。 显然，12122a a a a +≥， 又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?， 同理可以证明得到n 2也成立。 再证明，当k k+1n 22∈（，） 也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
证明不等式的种方法
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
常用均值不等式及证明证明
常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤≤n + ∈R n a a a 21、、、Λ，当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有ab 2b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 22>> (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥ (5)对非负实数a,b ，有 02a 22≥≥+ab b
(8)对实数a,b,c ，有 ac bc ab c b a 222++≥++ (10)对实数a,b,c ，有 3 3 a abc c b ≥++ 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、 柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B n n nA A B A 1-n +≥+ 注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 当n=2时易证； 假设当n=k 时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设 1 a +k 是 1 21a ,,a ,a +k Λ中最大者，则 1211k ka +++++≥k a a a Λ 设 k a a a +++=Λ21s 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b) 内的任意n 个点，
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
证明不等式的几种方法
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
均值不等式的证明(精选多篇)
均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有
a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f
?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：
(完整版)常用均值不等式及证明证明
2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念： 1、调和平均数： 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数： Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数： An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数： Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时)； D x a i a ； a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ； a n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情 形，即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ，有a a 1> a 2、 、a n R ，当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数 D x a i r a ； a n a b a 2 b 2 2 \ 2
⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 （用数学归纳法）。 当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立，即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ，有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ，有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ，有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ，有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ，有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时，不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者， 则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k
不等式证明的常用基本方法(自己整理)
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等 号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s
不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a, b为实数，则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时，等号成立。 几何说明：(1)当ab〉O时，它们落在原点的同一边，此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边，a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 b 0 a _b | ---- I b I -- H" lol十I 定理2 设a, b, C为实数，则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立 ^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。 推论1 II ad - I b |国a + b |
推论2 Ha|-|b||<|a-b| ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“U”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述淸楚，也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证ANB,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得5