含绝对值函数的图象
对称性应用（一）
──含绝对值函数的图象
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军
在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：
已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：
；
③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：
；
⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：
。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：
①对自变量取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
②对应变量取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
③对全都取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。
【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留（第一象限）时函数的图象；
（3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
④对整个函数取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，当时；当时
。函数的图象在时不变，在时图象关于轴对称。
【作图步骤：】
（1）做出的图象；
（2）保留的函数图象（轴上方图象）不变；
（3）当时，利用对称性作出轴下方图象关于轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数的图象
⑤对都取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝
对值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令（偶函数），则。
【作图步骤：】
（1）利用的方法步骤作出函数的图象；
（2）利用的方法步骤作出函数的图象。
【作图展示：】作函数的图象
⑥部分自变量取绝对值：。
【特征分析：】已知函数，这种类型的函数没有统一的特点，必须先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需
含绝对值的函数的图像
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j
图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l?
步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4
绝对值函数最值问题(含答案修改版)
绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？ 先来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位 数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间 两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f
高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
含绝对值函数的综合问题一
含绝对值函数综合问题 一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数 在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。 （2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对 称中心为( ,0)2 m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。 当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ； 当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ； 当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设 （1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像 （a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称 （2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平 底形”图像 （a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列， 则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值． 证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-， 当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”
一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？ 【探究一】函数图像的上下平移 我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1． 问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现： 将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m． 问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到： 直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m， 直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m， 这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：函数值：上加下减 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。 或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于复杂的图像的画法。 22 1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。 最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。 122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerzie llen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文
含绝对值函数的图象 0
含绝对值函数的图象 【基础内容与方法】 1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像； 2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像； 3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1 +12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象， 直接写出1 +2+12 k x b x +＞的解集．
类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上 2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函
数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是． 3．写出函数1 x x f在什么范围内，y随x的增大而增大，y随x的 =x 2 ) (2+ - 增大而减小？
（二）绝对值在解析式上 4．探究函数 22y x x =-的图象与性质. (1)下表是y 与x 的几组对应值. x 其中m 的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________.
含参数含绝对值的函数综合题
含参数含绝对值的函数综合题探究 一．解题策略： 1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。 2.分类讨论要“慢”； 3.能换元就“换”； 4.有函数就“画”。 二．精题例析 例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数) f=3|x?a|+|ax?1|，其中a∈R (x ①当a=1时，写出函数) (x f为偶函数，求实数a的值; (x f的单调区间;②若函数) ③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式) (x f≥3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围. 点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。
练习1 （2016年10月浙江省学考第25题）设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1 例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题） 已知R ∈a .函数()a a x x x f +-+ =4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值 范围是_____. 点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。 练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题） 若不等式2x 2?(x ?a )|x ?a |?2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________. 练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________. . 下载可编辑 . 关于绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . （1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，数a 的取值围； （2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，数a 的取值围； （3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．． 算步骤．．． ）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a < . （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； . 下载可编辑 . ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1| x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-， 所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所数a 的取值围是2a -≤. （3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++->即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22 a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02 a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当3 1,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2 a -上递减， 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数问题处理 1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22 2(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x ì?- ?=-=í ?--0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递增在区间递减. ②当x 0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递减在区间递增. 由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则 22,33 a ￡取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1 时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1 含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的 距离之和最小，问医院应该建 在何处？ 来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等 于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属 于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 2 2 ,n n x a a +??∈??? ? 时有最 小值。此时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+…… 1122||||n n n n x a x a f a or f a -+???? +-+-≥ ? ????? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f ()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x 也即是[]2,1∈x 时等号成立。 1)(≥∴x f 2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f ()()[]时等号成立。 当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x ()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f 2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题） 对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。 - 1 - 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，；②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图1 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x - =对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 （2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。 图5 图6 图7 图8 （3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图8。图8就是要画的函数图象。 三、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方 含绝对值的函数问题专练 1．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？ 【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0 绝对值函数图象的速画法 高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。 一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象 )0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都 是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。 例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。 分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性； 当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a 因为?? ? ??>+-≤≤-<++-=-+-=) ()(2)() ()(2)(b x b a x b x a a b a x b a x b x a x x f ，可见其图象是由一条水平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。又联立以上分段函数 两侧解析式???+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，??? ?? =+=0 2y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上 的点 )0,2( b a +。据此，可以三点)0,2 ()),(,()),(,(b a b f b a f a +确定函数)()(b a b x a x x f <-+-=的图形，称为“三点定形法” 。 例：作函数31)(-++=x x x f 的图象 解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－1和3 12 3 1, 4)3(,4)1(=+-==-f f ， 所以在平面直角坐标系中先作出1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段AB ，再作射线CA ，CB 线段CA 、CB 部分可以不画出，也可以作作成虚线(如图4)。 以上方法仅适用于绝对值中自变量x 的系数为1 三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数x a x x f --=)(当a-≤-+<-=---=)((2)()(b x a b x a b a x a x b a b x a x x f 端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。当a>b 时同理。据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图 象。 例：作函数13)(---=x x x f 解：先确定两个绝对值代数式的零点为：1和3。因为)1(=f 含绝对值的函数图象的画法及其应用 河南 曹少云 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ??- c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。关于某绝对值函数的问题解决精华(含问题详解)
高中一轮复习__含绝对值的函数
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高考数学提分专练绝对值函数最值问题(含答案)
含绝对值的函数图象的画法及其应用
含绝对值的函数问题
绝对值函数图象的速画法
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