11.3任意项级数及其审敛法一、交错级数审敛法

11.3 任意项级数及其审敛法
一、交错级数审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理
如果交错级数
(
1)
u n1 n
满足条件:
n 1
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)
lim
n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项 rn的绝对值
n1
n1
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
证明 例3
n1
n1
令 un
un
un 2
un
un 2
0判别u级n 2数 unn1sinnu2nn，的而收敛n1性u.n 收敛
解
sin n n2
1 n2
,
而
n1
1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项 级数的敛散性可得到如下定理
1、
1；
n1 [ln(n 1)]n
2、 (
n
)2n1 .
n1 3n 1
五、判别下列级数的收敛性:
1、 2 3
2
2、
n1
2n
sin
3n
；
n 1 ； n
3、 ln(n 2) n1 (a 1 )n n
(a 0).
六、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
2、 1 1 1 1 ；
ln 2 ln 3 ln4 ln5
3、
(1)n
.
n2 n ln n
七、若
lim
n
n2
un
存在,证明:级数
n1
un
收敛
.
八、证明:lim b3n 0. n n!a n
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
3n
；2、
2n n!.
1 2 2 22 3 23
n 2n
n1 nn
四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:
u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
六、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
法 4.充要条件
5.比较法
6.比值法
4.绝对收敛
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
7.根值法
练习题
一、填空题:
1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散；
____________时级数可能收敛也可能发散 .
定理
对级数 un若：
n1
lim un1 n un
(lim n
n
|
un
|
)
ห้องสมุดไป่ตู้
则 1 un 绝对收敛
n1
1 un 发散
n1
1 可能绝对收敛、条件收敛、发散
四、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3.按基本性质;
rn un1. 例1（P272 例11.3.1）
三、任意项级数及其审敛法
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1