哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案

《集合论与图论》试题 哈工大2004/2005年秋季学期

参考答案

一、1．｛2，5，6｝ 2． ３．２４ ４．２４ ５．６ ６．５ ７．２

16

2６

８． ９． １０．４

12216

4二、１． ２． r

q C 22

2

n n

+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1

６．m ＝n ７．４ ８．()

９．不存在 １０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ?∈?∈?∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，

0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9

（2）不一定是平面图。如K 3,3就不是平面图．

（3）G 一定是哈密顿图。因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。因为G 的顶点度数不全是偶数。

四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。而（ba ）-1与ab 同阶，故ab

与ba 同阶。

解2：设a 的阶为n ，则有11

1

1

1

1()()()()n

n bab bab bab bab ba b

beb e ??????===L =?)n

bab e ?；

反之，设bab 的阶为n ，即(1

1=，得1n ba b ? e =，而1

n a b eb ?e ==，所以与bab a 1

?同阶，而ab 与同阶。

1

bab b ba ?=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示

{,,}a b =x e a b

e e a b

a a

b e b b

e a

3．因为R 为环，故乘法满足分配律

左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443

=右边 个 个 个 五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。 2.设F ＝｛o ，e ，a ，b ｝，因为F 是一个域，因此（｛e ，a ，b ｝，·）构成一个Abal 群， 其中：a （否则），2

a ≠e a e =2

a ≠（否则a 的阶不能整除群的阶了），故

2

a b ≠

而a e （否则，与上同样矛盾）

o +≠2

,a e a =?=e a e e +≠（否则），a e （否则0a =a +≠0e =），故a+e=b ， 所以

2

a a e =+由a 与

b 是对称的，因此F 中的任意非零元和非单位元均满足方程2

x x e =+

6、证：(,)(\)x y A B C ?∈，有×x A ∈且(\)y B C ∈，即x A ∈且y B ∈ 但x C ∈。于是x A B ∈×，但x A C ∈×，从而有(,)()\()x y A B A C ∈××,故(\)A B C ×?()\(A A B ××

)C ，反之设(,)()\()x y A B A C ∈××，有x A B ∈×，y A C ∈×，于是有：x A ∈且x B

∈但

x C

∈，从而

x A ∈且(\)

x B C ∈即

(,)(\)

x y A B C ∈×，于是

。由集合相等定义有： ()(\)(\A B A C A B C ×?×)(\)\()A B C A B A C ×=××

七、证：1.树的度为1的顶点（叶子）不是割点，而树至少有2个顶点的度为1，故树至多

有P －2个顶点为割点。P 个顶点的树有P －1个桥。 2.归纳法：当P ＝1，2，3，4时显然证明成立。

假设P ＝K 时，G 是4－可着色的，当P ＝K ＋1时，由于G 是一个没有三角形的平面图，故，使得≤3。于是G\{ v }便是一个K 个顶点的平面图，由归纳假设知G 是4－可着色的。对于G ＋v ，由于deg v ≤3，故用不与v 相邻接的顶点的其它颜色给v 着色，便得到了图G 的4－可着色。

v ?deg v 3.设D ＝（V ,A ）是一个有向图，若,u v V ?∈，u 与V 互达，则D 是强连通的有向图； 有向图D 的极大强连通子图称为D 的一个强支。

八、1．证明：设R 是X 上的二元关系，aR b +且bR c +

，由定义可知，对每个包含R 的传递关系R ′，必有且，由aR b ′bR C ′R ′的传递性得到aR C ′，从而aR ，因此R C +

＋

是传递的。

2.证，不妨设是两面不相交的，由于每个12,,n A A A L L i A 都是可数集，故可设的全部元素可排成如下无限阵的形式。

12,A A L 1111213141:n A a a a a a 2212223242:n A a a a a a 3313233343:n A a a a a a 44142

43

44

4:n A a a a a a

按表中箭头所指的方向对这些元素进行排列就就得到了

1

i n A ∞

=U 的全部元素的一个序列，由定

理可知：

1

i n A ∞

=U 是可数的。

九、1.（1） ，因为G 且群是H 是G 的子群故,a b G ?∈e H ∈（e G ∈），使约故而是自反的。

1

ab e H

?=∈a a ??（2），若，则，使约,a b G ?∈a b ?h H ?∈1

ab h ?=，因为H 为子群，h 且而b ，所以是自反的。

H ∈11

ba h ?=a ??（3），若，则,a b G ?∈a b ?b c ?1h H ∈，2h H ∈，使约11ab h ?=且，而

，而，所以2be h +=11212ac bb h h h H ??=∈ a c ??是自反的。

由（1）（2）（3）知，所以是传递的。

?2.证：由?是从群（G ，O ）到群（,G O ）的满向志可知()e ?e =，而1()e e ??∈似1()e ?φ?≠，于是，1,()x y ???∈e ，有()()x y e ??=∈，(,)()()x y x y e e ???e ===o o 故

1()x y e ??∈o ，而G 中的乘法在()e ?中封闭

其次，1()x e ???∈有11()()()()e x x x x ??????==o o e = 故()

1

1

()()x x ????==e ，从而11()x e ???∈，因此1()e ??是的G 子群。

最后，证明1()e ??是G 的子正则子群，为此Ux G ∈，1()a e ??∈有

111

1

()()()()()()

()()()()1x a x x a x x e x x x x x e e

??????????????======o o o o o o o o

故1

1()x a x e ???∈o o ，故11,()x G x e x ???∈≤1()e ??，所以是G 的正则子群 1

()e ??