数理方程试卷

工程数学

一. (10分)填空题

1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,00

2

x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2.为使定解问题

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=======0

,000

02t l

x x x xx

t u u u u u a u （0u 为常数）

中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x

u 0

3.方程0=xy

u 的通解为)()(),(y G x F y x u +=

4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.

5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6

1),(22

3-++=

y x y x y x u

二. (10分)判断方程

02=+yy xx u y u

的类型，并化成标准形式．

解：因为)0(02≠<-=∆y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分

它的特征方程是 022

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy ……5分

即iy dx

dy

±=

特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-

作变换：⎩⎨⎧==x y

ηξln ……7分

求偏导数

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧-====)(1

1

2ξξξξ

ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x

将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式

ξηηξξu u u =+ ……10分

三. (10分)求解初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020

解：x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ

利用达朗贝尔公式

⎰+-+-++=at

x at

x d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分

得

)]

2sin()2[sin(4

1

4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t

x t

x --+-+=+-++=⎰+-ξ

ξ

t x t x 2sin cos 2

1

422++= ……10分

四. (15分)用分离变量法解定解问题

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧====><<=====.

0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解 先求满足方程和边界条件的解.设解为

)()(),(t T x X t x u = ……2分

代入方程得

)()()()(2t T x X a t T x X ''=''

除以)()(2t T x X a 有

λ-=''='')

()

()()(2t T a t T x X x X 得到两个常微分方程

0)()(=+''x X x X λ ……3分

0)()(2=+''t T a t T λ ……4分

由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X

由0)(≠t T ，得0)(,0)0(='='l X X ……5分

于是固有值问题为

⎩⎨

⎧='='=+''0)(,

0)0(,0)()(l X X x x X λ

解之得一系列固有值

,2,1,0,)(

2

===n l

n n πλλ 相应的固有函数为

x l

n x X n π

cos

)(= ……8分 再解方程 0)()()(2

=+''t T l

a n t T π，通解为

t l

a

n D t l a n C t T n n n ππsin cos )(+= ……10分 利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解

∑∞

=+=1cos )sin cos

(),(n n n x l

n t l a n D t l a n C t x u π

ππ ……12分

由初始条件0|0==t t u ，得0=n D ， ……13分

由得,0x u t == ∑∞

==1

cos n n x l n C x π

其中⎰==

l l

xdx l C 002

1 ⎰=--==

l n

n n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()

(2cos 1 ππ ……14分

将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解

∑∞

=--+=1

2

2

cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u π

ππ

……15分

五. (15分)解非齐次方程的混合问题

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.

00,0,00

,0,00 解 先确定固有函数)(x X n .

令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程和齐次边界条件得 固有值问题

⎩⎨

⎧===+''0)(,0)0(0

)()(πλX X x X x X

固有函数为 ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分

设解为

∑∞

==1sin )(),(n n nx t T t x u （1） ……7分

其中)(t T n 是待定函数.显然),(t x u 满足边界条件.

为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞

==1sin )(n n nx

t f x （2） ……8分

其中