三角恒等变换单元测试题
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章
《三角恒等变换》单元测试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1、已知
3
cos
5
α=-，,
2
π
απ
??
∈ ?
??
，
12
sin
13
β=-，β是第三象限角，则
()
cosβα
-的值是（）
A、
33
65
-B、
63
65
C、
56
65
D、
16
65
-
2、已知α和β都是锐角，且
5
sin
13
α=，()4
cos
5
αβ
+=-，则sinβ的
值是（）
3、已知
3
2,2
44
x k k
π
πππ
??
∈-+
?
??
()
k Z
∈，且
3
cos
45
x
π??
-=-
?
??
，则
cos2x的值是（）
A 、725-
B 、2425-
C 、2425
D 、725
4、设()()12
cos sin sin cos 13
x y x x y x +-+=
，且y 是第四象限角，则
y
tan
的值是 （ ）
5、函数()sin
cos
2
2
f x x x π
π
=+的最小正周期是 （ ）
A 、π
B 、2π
C 、1
D 、2 5因为
∴最小正周期是1T =
5'、若函数()()()sin g x f x x π=为以2为最小正周期的奇函数，则函数
()f x 可以是 （ ）
A 、()sin x π
B 、cos 2x π
??
??? C 、sin 2x π??
???
D 、sin 2x π??
???
5'、∵()()g x g x -=-，∴()()()()sin sin f x x f x x ππ--=-，即得：
()()f x f x -=成立，∴()f x 为偶函数，又∵()()2g x g x +=，∴()()2f x f x +=，即()f x 的周期为2，选C
6、某物体受到恒力是(1,3F =，产生的位移为()sin ,cos s t t =-，则恒力物体所做的功是 （ ）
A 1
B 、2
C 、
D sin F s t ==-6'、已知向量()2cos ,2sin a ??=，()90,180?∈，()1,1b =，则向量a
与b 的夹角为 （ ） A 、? B 、45?- C 、135?- D 、45?+ ∵)
2cos 2sin 45a b ???=+=+，2a =，2b =
，因此，
()()()
,sin 45cos 9045cos 45
a b a b a b
?????=
=+=-+=-??
,45a b ?=-
8、已知12sin 41342x x ππ
π????+=<<
? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ???
的值为（ ）
A 、1013-
B 、2413
C 、513
D 、12
13
-
9、函数
sin 22x x
y =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x =
53π C 、53x π=- D 、3
x π
=-
10、已知
21cos sin x x
=-++，则sin x 的值为 （ ）
A 、
45 B 、45- C 、3
5
- D 、
11、已知0,
4πα??
∈ ??
?
，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=
，1tan 7
β=-，则2αβ-的值是 （ ）
A 、56π-
B 、23π-
C 、 712π-
D 、34
π
-
12、已知不等式()2cos 04442
x x x f x
m =+--≤对于任意的
566
x ππ
-
≤≤恒成立，
则实数
m 的取值范围是 （ ） A
、
m ≥、m ≤ C 、m ≤、m ≤
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）
13、已知1
sin x =
，()sin 1x y +=，则()sin 2y x +=
14、函数sin 234y x x π??
=+++
???
的最小值是
15、函数1cosx
y -=
图像的对称中心是（写出通式）
16、关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①、若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②、()f x 在区间,63ππ??
-
????
上是单调递增； ③、函数()f x 的图像关于点,012π??
???
成中心对称图像； ④、将函数()f x 的图像向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
得③正确；应该是向右平移，④不正确．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分） 已知02
π
α<<
，15tan
2
2tan
2
α
α
+
=
，试求sin 3πα?
?- ??
?的值．
18、（本小题满分12分）
已知()
3sin ,cos a x x ωω=-，()cos ,cos b x x ωω=()0ω>，令函数
()f x a b =，且()f x 的最小正周期为π．
（1） 求ω的值；
（2） 求()f x 的单调区间．
a b =，∴(cos cos
f x x x ω+)
3sin 2x ω26x ω-+
??
18'、设()1cos ,sin a αα=+，()1cos ,sin b ββ=-，()1,0c =，
()0,απ∈，(),2βππ∈，设a 与c 的夹角为1θ，b 与c 夹角为2θ，且126
π
θθ-=
．求sin
8
αβ
-的值．
1cos 22cos a b
a b
+=
+0,22α
π??
∈ ??
19、（本小题满分12分）
已知1tan 42πα??
+=- ???
，试求式子2sin 22cos 1tan ααα--的值．
tan 4παα?- ?
cos 21cos 22
2sin ααπα+- ?+????+- 22cos2=+
14222??- ?
??= ???
20、（本小题满分12分）
已知x R ∈，()211sin tan cos 222
2tan 2x f x x x x ??
?=-+
? ???
． （1） 若02
x π
<<，求()f x 的单调的递减区间；
（2） 若()f x =
，求x 的值． 2cos sin x x
x +3π?
+??
21、（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足下列关系式： （i ）对于任意的,x y R ∈，恒有 ()()222f x f y f x y f x y ππ??
??
=-+---
? ?????
； （ii ）12f π??
=
???
． 求证：（1）()00f =； （2）()f x 为奇函数；
（3）()f x 是以2π为周期的周期函数．
()()()21f x f x f x π=---，即()()f x f x π-=……①，再令()()21f x -即()()()f
x f x f x ππ+=-=-，令x t π-=，则2x t ππ+=+，所
以()()2f t f t π=+，即()f x 是以2π为周期的周期函数．
21'
(sin124cos 2- sin123cos12
cos12sin122cos 24
-3sin123cos12sin 24cos 24-= )sin12cos60cos12sin 60
24cos 24-
)484
348
=
-22、（本小题满分14分） 将函数()2f x =
+的图像按向量,26a π??
=- ???
平移，得到函数()g x 的图像．
（1） 化简()f x 的表达式，并求出函数()g x 的表示式； （2） 指出函数()g x 在,22ππ??
-
????上的单调性； （3） 已知32,2A ?
?- ???
，
92,2B ??
??
?
，问在()y g x =的图像上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥．
（1）
，∵,26a π?=- 1
+；
函数．
使得AP BP ⊥，因为
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S α2：sin α2 ＝____________________； (2)C α2：cos α2 ＝____________________________； (3)T α2：tan α2 ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos α2 的值等于( ) A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α2 2．函数y ＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈??? ?0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－1 4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.? ???－π，－5π6 B.????－5π6，－π6 C.????－π3，0D.????－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2 等于( ) A ．－1B.1C ．2D ．－2
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
三角恒等变换单元测试基础篇 一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2019?北京学业考试）cos（α﹣β）等于（） A．cosαcosβ+sinαsinβB．cosαcosβ﹣sinαsinβ C．sinαcosβ+cosαsinβD．sinαcosβ﹣cosαsinβ 【解析】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．故选：A． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的公式，是基本知识的考查． 2．（2019秋?乃东区校级月考）求sin120°cos15°+cos60°cos105°的值（） A．1 B．3 C．D． 【解析】解：sin120°cos15°+cos60°cos105°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15° ＝sin（60°﹣15°）＝sin45°．故选：C． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查． 3．（2019秋?湛江校级月考）已知，则cos2α＝（） A．B．C．D． 【解析】解：由，得﹣sinα，即sin． ∴cos2α． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与二倍角的余弦，是基础题． 4．（2019秋?太和县校级月考）若，且θ为第三象限角，则的值等于（）A．B．C．﹣7 D．7 【解析】解：若，且θ为第三象限角，则sinθ， ∴tanθ，7， 故选：D． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
5．（2019?西湖区校级模拟）已知若，且θ∈（0，π），则（） A．B．C．±D． 【解析】解：∵，且θ∈（0，π）， ∴∈（0，）， ∴cos0， ∴． 故选：A． 【点睛】本题注意考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6．（2019秋?兴庆区校级月考）已知2sinα＝cosα，则（） A．B．3 C．6 D．12 【解析】解：∵已知2sinα＝cosα，∴tanα，则2+2tanα＝3，故选：B． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． 7．（2019秋?辛集市校级月考）已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，则（）A．B．C．D． 【解析】解：已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，根据三角函数的定义求出， 所以sin（）＝cos． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
精品 三角恒等变换基本解题方法 1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin sin cos cos sin cos cos cos msin sin tan tan tan 1mtan tan 2 tan tan 2 2 1 tan 令 sin2 2sin cos 令 cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 cos 2 ＝ 1+cos2 2 sin 2 ＝ 1 cos2 2 如（ 1 ）下列各式中，值为 1 的是 2 A 、 o o B 、 2 2 C 、 tan 22.5o 1 cos30o sin15 cos15 cos 12 sin 12 tan 2 22.5o D 、 1 2 （ 2 ）命题 P ： tan( A B ) 0 ，命题 Q ： tan A tan B 0，则 P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （ 3）已知 sin( )cos cos( )sin 3 ，那么 cos 2 的值为 ____ 5 1 3 o 的值是 ______ （ 4 ） o sin 80 sin 10 (5) 已知 tan110 0 a ，求 tan 50 a 3 1 a 2 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、 1 3a 2a 乙求得的结果的正确性你的判断是 ______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系， 注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : （1 ）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换 . 2 2 如( ) ( )，2( ) ( )，2( ) ( ) ， ， 2 2 2 等），
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章 《三角恒等变换》单元测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是 （ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是 （ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是 （ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13 x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2 y tan 的值是 （ ） A 、23± B 、32± C 、32- D 、23- 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是 （ ） A 、π B 、2π C 、1 D 、2
6、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ??? 的值为（ ） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 7 、函数sin 22 x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113 π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 8、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为 （ ） A 、45 B 、45 - C 、35- D 、9、已知0,4πα? ? ∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7 β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 10、已知不等式( )2cos 0444x x x f x m =+≤对于任意的566 x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m ≥ 、m ≤ C 、m ≤ 、m ≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上） 11 、函数sin 234y x x π??=+++ ??? 的最小值是 12、关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题：
三角恒等变换测试题 ＿____贺孝轩 三角函数 1.画一个单位圆,则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? (只要两角之和为/2就行） ３.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+, α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= ４.和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± , βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12 sin 22 -= , 2)2 cos 2(sin sin 1α α α±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ,其中2 2 cos b a a += θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= ==
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝
第三章 三角恒等变换 一、选择题. 1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.2 3 - B.2 1 - C.2 1 D.2 3 2. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )． A.4 3 B. 83 C.8 1 D.4 1 3. 函数y =??? ??-??? ? ? +4πsin 4πsin x x 的周期为( )． A. 4 π B. 2 π C. π D. 2π 4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+ B.12- C.2 D. 2 5. 化简2 cot 2tan 2cos 1ααα-+，其结果是( )． A.2 1-sin 2α B.2 1sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α 6. 若sin (α + β)=2 1，sin (α - β)=31，则β αtan tan 为( )． A. 5 B. - 1 C. 6 D.6 1 7. 设tan θ和tan ?? ? ??-θ4 π 是方程x 2 + px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )． A. p + q + 1 = 0 B. p - q + 1 = 0 C. p + q - 1 = 0 D. p - q - 1 = 0 8. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )． A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5 B. -4≤a ≤4 C. -3≤a ≤3 D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4 9. 若α∈??? ?? ?2π3 ,π，则α αααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2 tan α B. 2 sin α C. 2 cot α D. 2 cos α 二、填空题. 1.? +?-15tan 3115tan 3 = ___________．
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
《三角恒等变换》单元测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α= ，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（） A 、3365 B 5665D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是（） A 、2425-C 、2425D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+= ，且y 是第四象限角，则2y tan 的值是（） A 、23± B 、32± C 、23 - 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是（） A 、π B 、2π C 、1 D 、2
5'、若函数()()()sin g x f x x π=为以2为最小正周期的奇函数，则函数()f x 可以是（） A 、()sin x π B 、cos 2x π?? ??? C 、sin 2x π?? ??? D 、sin 2x π?? ??? 6 、某物体受到恒力是(F =u r ，产生的位移为()sin ,cos s t t =-r ，则恒力物体所做的功是（） A 1B 、2C 、D 6'、已知向量()2cos ,2sin a ??=r ，()90,180?∈o o ，()1,1b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为（） A 、? B 、45?-o C 、135?-o D 、45?+o 7、要得到函数2sin 2y x = 的图像，只需要将函数2cos 2y x x = -的图像（） A 、向右平移6 π个单位B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6 π个单位D 、向左平移12π个单位 8、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ???的值为（） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 9 、函数sin 22 x x y =的图像的一条对称轴方程是（） A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3 x π=- 10、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为（） A 45 -C 、35-D 、11、已知0, 4πα??∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（） A 、56π-B 、23π-C 、34π- 12、已知不等式( )2cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）
必修4第三章《三角恒等变换》 一、选择题 1、sin105cos105 的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数21()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5.等于 （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== ，则αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ）
Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则33 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 4020tan 40++ 的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．
三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±= ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；
ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα= -2()T α 。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 2 1 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如 2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)
1. 已知),1,4(),1,2(-=-=AC AB 则__________=BC 2. 以下给出了4个命题 （1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同； （3）若c a b a ?=?，且0 ≠a ，则=； （4）若向量的模小于的模，则<； 其中正确命题的个数共有 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 在ABC △中，=，=．若点D 满足2BD DC = ，则AD = A ．3 132+ B ． 3 2 35- C ． 3 1 32- D ． 3 2 31+ 4. 在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A ．)0,0(1=e )6,1(2-= B ．)5,3(1=e )10,6(2= C ．)2,1(1-=)1,5(2-= D ．)3,2(1-=e )4 3,21(2-=e 5. 函数tan 4 2y x π π??=- ???的部分图象如下图所示，则() OA OB AB +?= A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 6. 已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A ．|,3x k x k k Z π πππ? ? + ≤≤+∈??? ? B ．|22,3x k x k k Z π πππ? ? + ≤≤+∈??? ?
C ．5{|,} 66x k x k k Z π π ππ+ ≤≤+ ∈ D ．5{|22,}66 x k x k k Z ππ ππ+≤≤+ ∈ 7. 把函数sin 3y x =的图象适当变化就可以得到3cos3)2 y x x =-的图象，这个变化可以是 A ．沿x 轴方向向右平移4π B ．沿x 轴方向向左平移4π C ．沿x 轴方向向右平移12π D ．沿x 轴方向向左平移12 π 8. 函数()sin()4 f x x π =-的图像的一条对称轴是 A ．4 x π = B ．2 x π = C ．4 x π =- D ．2 x π =- 9. 函数2 ()2sin ( )1()4 f x x x R π =--∈是 A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 10. 函数()2sin cos f x x x =的最小值是 A ．1- B ．2- C ．2 D ．1 11. 设函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π＜φ＜0），y ＝f （x ）图象的一条对称轴是直线x ＝π 8． （1）求φ； （2）求函数y ＝f （x ）的单调增区间； （3）画出函数y ＝f （x ）在区间[0，π]上的图象．
三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
简单三角恒等变换复习、公式体系
(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2
2 2 2 - 《三角恒等变换》单元练习题 一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） 1．已知 x ∈(- 2 ， cos x = 4 ，则tan 2x = （ ） 5 A. 7 24 B. - 7 24 C. 24 7 D． - 24 7 2. 已知 x 为第三象限角，化简 = （ ） A. 2 sin x B. - sin x C. cos x D. - cos x 3. 在△A BC 中， cos A c os B > sin A sin B ，则△ABC 为（ ） A. 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ． 无法判定 4． 设 a = sin140 + cos140 ， b = sin160 + cos160 ， c = 6 ， 则 a , b , c 大小关 系（ 2 ） A． a < b < c B． b < a < c C． c < b < a D． a < c < b 5．函数 y = 2 s in(2x -) c os[2(x +)] 是（ ） A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 4 4 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶 函数 2 6. 已知cos 2= 2 2 ，则sin 4+ cos 4的值为（ ） 3 A. 13 18 B. 11 18 C. 7 9 D. -1 7. 已知是第三象限的角,若sin 4+ c os 4= 5 ,则sin 2等于( ) 9 A. B. - 3 3 2 2 C. D. 3 3 8． (1+ tan 210 )(1+ tan 220 )(1+ tan 230 )(1+ tan 240 ) 的值是( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 9．求值sin 2 - cos 2 =（ ） 12 A ．1 12 B. 1 2 C. - 1 2 D. - 3 2 1 - cos 2x 2 2 2 2 , 0)