高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评13数学归纳法的应用北师大版选修4_5word版本
【2020】最新高中数学第二章几个重要的不等式2-3-1数学归纳法训练北师大版选修4-5
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时 间：__________________
2.3.1 数学归纳法
一、选择题
1.设f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ (n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
> ＋
> ＋ ＝ ，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
9.在数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝ (n∈N＋).求b2，b3，试判定bn与 的大小，并加以证明.
解 由b1＝2，bn＋1＝ ，得b2＝ ＝ ，b3＝ .
经比较有b1＞ ，b2＞ ，b3＞ .
解析 当n＝1时，an＋1＝a2，
∴左边应为1＋a＋a2，故选C.
答案C
3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A.2k＋1B.
C.2(2k＋1)D.
解析n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).
答案an＝n2
5.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k≥4)，那么由k到k＋1时，对角线条数增加了________条.
解析 ∵f(k)＝ k(k－3)，f(k＋1)＝ (k＋1)(k－2)，f(k＋1)－f(k)＝k－1.
答案k－1
6.在数列{an}中，a1＝ ，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是________.
(k＋1) ＋1
＝k2＋ ＋1＋(k＋1) ，
∵当k≥2时，1＋ ＋ ＋…＋ ≥1＋ ＝ ，
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．42．函数y =的最小值是（ ）A B 1C ．11+D ．3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．05．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．416．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．47．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ）A B C ．62- D12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________ 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 25．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．26．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即13x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.6．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案.【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦， 则y =x 21x +-2 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()2222222111111b aa ab b ⎡⎤⎡⎤=--≤+--+=⎣⎦⎣⎦， 2211b a-=-时，上式取等号，所以2211ab a b =--()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大． 解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．3【分析】利用条件构造柯西不等式即可【详解】由题得所以所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题属于基础题目解析：3 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题目.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=， 所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭， 所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+， 由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 17．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下解析：25 【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】 由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】 由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥ 当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩， 解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =， 则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式25．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ， 即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．14B ．114C ．29D ．1292．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定3．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++4．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9B ．3C ．1D ．275．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．在平面内，已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，(1,1)c =，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++，则（ ）A ．p 的最小值为B ．p 的最大值为C ．p 的最小值为D ．p 的最大值为7．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．138．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( )A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,499．若a ，b R +∈，且1a b +=，则2214a b +++的最小值为 A ．22+ B ．22C ．3D ．1010．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 11．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则++a b c 的最大值是（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．5312．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．14．设,,a b c 为正数，241a b c ++=2a b c 的最大值是___________ 15．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．16．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 17．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.18．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________． 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．三、解答题21．已知a ，b ，c 均为正数，函数()||||f x x a x b c =-+++的最小值为1． （1）求222236a b c ++的最小值；（232>． 22．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明： （Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．25．已知,,a b c ∈R ，且2221a b c ++=. （1）求2a b c ++的最大值； （2）若21a b c ++=，证明：213c -≤≤． 26．已知函数()()2113f x x =+. （1）求()()9f x f x +-的最小值M ；（2）若正实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c M ++=，求证：6a b c ++≤.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.2．B解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．3．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．5．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A 【分析】求出p 的坐标，表示p ，即：p=柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =，()0,1b =，()1,1c =， 所以23p xa yb zc =++=()3,23x z y z ++， 又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤， 所以p ==5≥=≥=， 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p 的最小值为 ， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．7．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦29≥= 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a b ab +++有最大1111nna a ab b b ===时取最大值． 8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-， 又()()()()()2222222214521462226222a b a b ab ab ab ab ab +++=+++++≥-++=-++10=，所以221410a b +++≥，当且仅当12a b =时，等号成立，故2214a b +++的最小值为10．故选D ． 10．D解析：D 【详解】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法11．C解析：C 【解析】试题分析：()()()22221111113a b ca b c ⨯+⨯+⨯≤++++=，因此，3a b c ++≤，当且仅当111a b c ==，即13a b c ===时取等号，故选C ． 考点：柯西不等式．12．C解析：C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。
高中数学第二章几个重要的不等式2.3.2数学归纳法的应用训练北师大版选修4_520180930320
2.3.2 数学归纳法的应用一、选择题1.若不等式14n ＋1＋14n ＋5＋14n ＋9＋…＋18n ＋1<m25对于一切n ∈N ＋恒成立，则自然数m 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10D.12解析 显然n ＝1时，左边最大为1445，则1445<m25，∴m 的最小值为8，选A. 答案 A2.关于正整数n 的不等式2n >n 2成立的条件是( ) A.n ∈N ＋ B.n ≥4 C.n >4D.n ＝1或n >4解析 n ＝4，24＝42＝16，n ＝1时，2>1，n ＝5，25＝32，52＝25，∴当n >4时，2n >n 2成立，故选D. 答案 D3.用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)成立，当n ＝1时，应验证( )A.32≤1＋12≤32 B.32≤1＋12＋13≤32 C.32≤1＋12＋13＜32D.32＜1＋12＜32解析 n ＝1时，左边32，中间1＋12，右边12＋1＝32，故选A.答案 A 二、填空题4.用数学归纳法证明“S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)”时，S 1等于________.解析 n ＝1时，n ＋1＝2，3n ＋1＝4，∴S 1＝12＋13＋14.答案 12＋13＋145.已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c，则T 与0的关系是________.解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝0，即2ab ＋2bc ＋2ac＝－(a 2＋b 2＋c 2)<0，∵abc >0，上述不等式两边同时除以2abc ，得T ＝1a ＋1b ＋1c<0.答案 T <0 三、解答题6.用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2>1 (n >1，n ∈N ＋).证明 (1)当n ＝2时，12＋13＋14＝6＋4＋312＝1312>1，即n ＝2时命题成立.(2)设n ＝k (k ≥2)时，命题成立， 即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1， 当n ＝k ＋1时， 左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2>1＋(2k ＋1)·1（k ＋1）2－1k ＝1＋k 2－k －1k （k ＋1）2. ∵k >2，令f (k )＝k 2－k －1，对称轴为k ＝12，∴(2，＋∞)为f (k )的增区间，∴f (k )>f (2)，即k 2－k －1>22－2－1＝1，∴k 2－k －1k （k ＋1）2>0，∴n ＝k ＋1时，命题也成立. 由(1)(2)知，当n >1时，n ∈N ＋命题都成立. 7.比较2n 与n 2的大小(n ∈N ). 解 当n ＝1时，21>12，即2n >n 2， 当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2， 当n ＝3时，23<32，即2n <n 2当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2当n ＝5时，25>52，即2n >n 2， 当n ＝6时，26>62，即2n >n 2……猜测：当n ≥5时，2n >n 2. 下面用数学归纳法证明猜测成立. (1)当n ＝5时，由上可知猜测成立. (2)设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k>k 2.∴2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时命题成立.由(1)和(2)，可得n ≥5时，2n>n 2. 8.用数学归纳法证明：11·2＋12·3＋…＋1n （n ＋1）<n (n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12<1＝右边，不等式成立.当n ＝2时，左边＝11·2＋12·3＝3＋16，右边＝ 2. 由3＋1<23，得3＋16<2， 即n ＝2时，不等式也成立.(2)假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立， 即11·2＋12·3＋…＋1k （k ＋1）<k . 当n ＝k ＋1时，两边同加1（k ＋1）（k ＋2），得11·2＋12·3＋…＋1（k ＋1）（k ＋2） <k ＋1（k ＋1）（k ＋2）只须证k ＋1（k ＋1）（k ＋2）<k ＋1即可.由于k ＋1－k >1（k ＋1）（k ＋2）⇔1k ＋1＋k >1（k ＋1）（k ＋2）⇔（k ＋1）（k ＋2）>k ＋1＋k ⇔k ＋1(k ＋2－1)>k . 由于k ≥2，上式显然成立. 即n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)、(2)知，不等式对n ∈N ＋都成立.9.设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1，n ＝1，2，3，…，求证：a n ＋1<a n .证明 ∵a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1>0 (n ∈N ＋).a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋1n ＋1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫（n ＋1）（n ＋1）n （n ＋2）n ＋1·n ＋1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n （n ＋2）n （n ＋2）n ＋1·n ＋1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n （n ＋2）n ＋1·n ＋1n ＋2， 因此，根据贝努利不等式a n a n ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋（n ＋1）·1n （n ＋2）·n ＋1n ＋2>⎝⎛⎭⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1·n ＋1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1·n ＋1n ＋2＝1. 所以a n >a n ＋1对于一切正整数n 成立.10.已知等差数列{a n }，等比数列{b n }，若a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 1≠a 2，且对所有的自然数n 恒有a n >0，求证：当n >2时，a n <b n .证明 ∵a 1≠a 2且a n >0，故{a n }是递增数列， {a n }公差d ＝a 2－a 1，{b n }公比q ＝b 2b 1＝a 2a 1. 当n >2时，a n <b n 用数学归纳法证明： (1)当n ＝3时，b 3－a 3＝b 1q 2－(a 1＋2d )＝a 22a 1－(2a 2－a 1)＝（a 2－a 1）2a 1>0. 故原不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥3)时，不等式成立，即a k <b k . 则b k ＋1－a k ＋1＝b k ·q －(a k ＋d )＝b k a 2a 1－(a k ＋a 2－a 1)>a k a 2a 1－a k －(a 2－a 1) ＝（a k －a 1）（a 2－a 1）a 1>0.即b k ＋1>a k ＋1.由(1)(2)可知，当n >2时，a n <b n 均成立.11.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 2＋1a n(n ≥1).证明：2<a n <2＋1n.证明 首先，证明a n >2成立.(1)当n ＝1时，a 1＝2>2成立. (2)假设n ＝k (k ≥1)时，a k >2成立，又当n ＝k ＋1，由题意知a k ＋1＝a k 2＋1a k≥2a k2·1a k＝2，即a k ＋1≥2，当且仅当a k 2＝1a k即a k ＝2时，等号成立.这与a k >2矛盾，所以只有a k ＋1> 2. 由(1)，(2)知，不等式a n > 2 (n ∈N ＋)成立. 其次，证明不等式a n <2＋1n(n ∈N ＋)成立.(1)当n ＝1时，a 1＝2<2＋11＝1＋2，即不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1)时，不等式a k <2＋1k成立.由题知，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k 2＋1a k，由a k <2＋1k ，得a k 2<22＋12k ①由a k >2，得1a k <22②由①，②得a k 2＋1a k <22＋12k ＋22＝2＋12k，即a k ＋1<2＋12k ＝2＋1k ＋k <2＋1k ＋1，即a k ＋1<2＋1k ＋1成立. 由(1)，(2)得不等式a n <2＋1n(n ∈N ＋)成立.综上所述，2<a n <2＋1n(n ∈N ＋)成立.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2021学年高中数学第二章几个重要的不等式3.2数学归纳法的应用学案北师大版选修4_5
3.2 数学归纳法的应用学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜测—证明的思想方法．知识点一 用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式 思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？ 答案 (1)归纳奠基：验证初始值．(2)归纳递推：在假设n ＝k 成立的前提下，证明n ＝k ＋1时问题成立． 思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？ 答案 证明不等式需注意的是对式子进展“放缩〞． 梳理 利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由n ＝k 时命题成立，推导n ＝k ＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比拟法、分析法、综合法、放缩法等结合进展． 知识点二 贝努利不等式对任意实数x ≥－1和任何正整数n ，有(1＋x )n≥1＋nx .类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式例1 证明：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋，n ≥2)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋122＝54，右边＝2－12＝32，由于54＜32，因此命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＜2－1k.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，不等式对一切n ∈N ＋，n ≥2都成立．反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋，n ＞1)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k >1，k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 类型二 利用数学归纳法证明与数列有关的不等式例2 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n(n ≥1且n ∈N ＋)．(1)解 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，证明如下：S 1＝a 1＝12，所以1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1.所以1S n －1S n －1⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列，且1S n＝2n . (2)证明 ①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立， 即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k成立，那么当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k －1(k ＋1)2 ＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝12－14(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对任意n ∈N ＋不等式都成立．反思与感悟(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的根底知识，这是解决这类问题的根底．(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜测，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．跟踪训练2 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，a n＋1＝1a n＋a，求证：对一切正整数n，有1＜a n＜11－a.证明(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜11－a，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＜a k＜11－a.当n＝k＋1时，由递推公式知，a k＋1＝1a k＋a＞(1－a)＋a＝1.同时，a k＋1＝1a k ＋a＜1＋a＝1－a21－a＜11－a，故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜a k＋1＜11－a.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，都有1＜a n＜11－a.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( ) A．n＝1B．n＝2 C．n＝3D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．用数学归纳法证明“S n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n2＋3＞1(n∈N＋)〞时，S1等于( )A.12B.14C.12＋13D.12＋13＋14答案 D解析S1＝11＋1＋11＋2＋112＋3＝12＋13＋14.3．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2＞12－1n＋2.假设当n＝k时，不等式成立，那么当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋3解析当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋3.4．用数学归纳法证明：2n＋2＞n2，n∈N＋.证明(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边＞右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边＞右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2.当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k ＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2(因为k≥3，所以k－3≥0，k＋1＞0)．所以2k＋1＋2＞(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对任何n∈N＋都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进展“放大〞或者“缩小〞，才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比拟法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．一、选择题1．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，那么当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立．那么上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 证明过程中，当n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，应选D.2．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n－1(n ≥2，n ∈N ＋)的第一步需证明( ) A ．1<2－12－1B ．1＋122<2－122－1C ．1＋122＋132<2－122－1D ．1＋122＋132＋142<2－122－1答案 C 3．假设不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞m24对大于1的一切自然数n 都成立，那么自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在 答案 B 解析 令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，取n ＝2,3,4,5等值，发现f (n )是单调递增的，所以[f (n )]min ＞m 24，由f (2)＞m24，得m 的最大值为13. 4．对于正整数n ，以下不等式不正确的选项是( ) A ．3n≥1＋2nnn nnnn答案 C解析 由贝努利不等式(1＋x )n≥1＋nx (n ∈N ＋，x ≥－1)，得 A 中，当x ＝2时，即3n≥1＋2n 成立； B 中，当x nn 成立； D 中，当x n n 成立．nn 不成立．5．假设不等式对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2也成立．假设该不等式对n ＝2成立，那么以下结论正确的选项是( ) A ．该不等式对所有正整数n 都成立 B ．该不等式对所有正偶数n 都成立 C ．该不等式对所有正奇数n 都成立 D ．该不等式对所有自然数n 都成立 答案 B解析 因为当n ＝2时，不等式成立，且该不等式对n ＝k ＋2也成立，所以该不等式对所有的正偶数n 都成立．6．n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，假设已假设n ＝k (k ≥2且为偶数)时，等式成立，那么还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 偶数k 的后继偶数为k ＋2，故应再证n ＝k ＋2时等式成立． 二、填空题 7．证明：n ＋22＜1＋12＋13＋…＋12n＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，要证明的式子为________________． 答案 2＜1＋12＋13＋14＜3解析 当n ＝2时，要证明的式子为2＜1＋12＋13＋14＜3.8．用数学归纳法证明“2n＞n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立〞时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案 5解析 n 取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5. 9．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，M ＝(a ＋b )n，N ＝a n＋na n －1b ，那么M ，N 的大小关系为________．答案 M ≥N解析 当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N . 当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab ＜M . 当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b ＜M . 归纳得M ≥N .10．以下是用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，2n ＞n 2〞的过程，证明： (1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即2k＞k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n ∈N ＋不等式都成立． 其中错误的步骤为________．(填序号) 答案 (2) 解析 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如当k ＝2时，k 2＜2k ＋1. 三、解答题11．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1 ＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 12．S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ＞1，且n ∈N ＋)，求证：S 2n ＞1＋n2.证明 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512＞1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)假设当n ＝k (k >1，k ∈N ＋)时，命题成立， 即2k S ＝1＋12＋13＋…＋12k ＞1＋k2.当n ＝k ＋1时，12k S ＋＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞1＋k2＋2111121222k k k k +++⋅⋅⋅+++共项＞1＋k 2＋2k 2k ＋1＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n >1，2n S ＞1＋n2成立．13．递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a n ≤m 2a n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立，试猜测出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)． 所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜测，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立．证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只需证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3， 只需证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只需证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只需证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4， 即证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N ＋，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．四、探究与拓展14．求证：11·2＋12·3＋…＋1n (n ＋1)＜n (n ∈N ＋)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1，左边＜右边，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即11·2＋12·3＋…＋1k (k ＋1)＜k 成立， 那么当n ＝k ＋1时，11·2＋12·3＋…＋1k (k ＋1)＋1(k ＋1)(k ＋2)＜k ＋1(k ＋1)(k ＋2)，只需证k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＜k ＋1即可，即证k ＋1－k ＞1(k ＋1)(k ＋2)，即证(k ＋1)(k ＋2)＞k ＋1＋k ，即证k ＋1(k ＋2－1)＞k ，而当k ≥1时上式显然成立， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式对所有n ∈N ＋都成立．。
高中数学 北师大版选修4-5几个重要的不等式第二章
§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.预习自测1.柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号成立⇔ad＝bc.2.柯西不等式的向量形式设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.自主探究1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时，(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2?提示(a21＋a22)(b21＋b22)－(a1b1＋a2b2)2≥0⇔a21b21＋a22b22＋a21b22＋a22b21－a21b21－a22b22－2a1b1a2b2≥0⇔a21b22－2a1b1a2b2＋a22b21≥0⇔(a1b2－a2b1)2≥0.上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？提示∵cos〈α，β〉＝α·β|α||β|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22，∴cos2〈α，β〉＝（a1b1＋a2b2）2（a21＋a22）（b21＋b22）≤1，即(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2， a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|.∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y ). 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.【反思感悟】 柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2⇔a 21＋a 22b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知a ，b ，c ，d ∈R ，x >0，y >0，且x 2＝a 2＋b 2，y 2＝c 2＋d 2，求证：xy ≥ac ＋bd .证明 由柯西不等式知：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2＝x 2·y 2＝xy . ∴xy ≥ac ＋bd .【例2】 (二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，用代数的方法证明x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.证明 (x 21＋y 21＋x 22＋y 22)2＝x 21＋y 21＋2x 21＋y 21x 22＋y 22＋x 22＋y 22≥x 21＋y 21＋2|x 1x 2＋y 1y 2|＋x 22＋y 22 ≥x 21＋y 21－2(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 22＋y 22＝x 21－2x 1x 2＋x 22＋y 21－2y 1y 2＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2【反思感悟】 在平面中设α＝(x 1，y 1)，β＝(x 2，y 2)，则α±β＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，由向量加法的三角形法则知：|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1＋x 2）2＋（y 1＋y 2）2，由向量减法的几何意义知：|α|＋|β|≥|α－β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.2.利用柯西不等式证明：a 2＋b 28≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 42. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 42＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 42≤(a 2＋b 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝a 2＋b 28. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值. 解 函数的定义域为{x |1≤x ≤5}.y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63当且仅当55－x ＝2x －1 即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值.解 2x 2＋3y 2＝[(2x )2＋(3y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×65≥65⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝65(x ＋y )2＝65.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时等号成立.2.推论：(1)(a ＋b )·(c ＋d )≥(ac ＋bd )2；(2)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|； (3)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1|＋|a 2b 2|.3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|，当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2(或a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥ （a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2)；(2)（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2.随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解 (a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). 当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式. 解 有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为a 21＋a 22＋a 23＋b 21＋b 22＋b 23≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2＋（a 3＋b 3）2 定理4为（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（a 3－b 3）2＋ （b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2＋（b 3－c 3）2 ≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2＋（a 3－c 3）2. 3.已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1. 求证：ax ＋by ＋cz ≤1. 证明 由柯西不等式得：(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2.∵a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，∴|ax ＋by ＋cz |≤1. ∴ax ＋by ＋cz ≤1.一、选择题 1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只能取数，不能为代数式. ③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β. 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a ，b ，c ，d 是实数，没有其取值限制. 答案 A2.函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值是( ) A.20 B.25 C.27D.18解析 y ＝2x ＋91－2x ＝[2x ＋(1－2x )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋91－2x＝[(2x )2＋(1－2x )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫91－2x 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·2x ＋1－2x 91－2x 2＝(2＋3)2＝25. 答案 B3.设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( ) A.P >Q B.P ≥Q C.P <QD.P ≤Q解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2，∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b .又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·a ＝ba ·b ，即a ＝b ，∴a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q . 答案 A 二、填空题4.设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值是________. 解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 答案 25.若a 2＋b 2＋c 2＝2，x 2＋y 2＋z 2＝4，则ax ＋by ＋cz 的取值范围是__________. 解析 ∵(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2， ∴(ax ＋by ＋cz )2≤8，∴－22≤ax ＋by ＋cz ≤2 2. 答案 [－22，22]6.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________. 解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5. 答案5三、解答题7.若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点. 解 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号.由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16.8.设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值. 解 ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b 的最小值为2.9.已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1. 证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.1.2 一般形式的柯西不等式学习目标1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.预习自测1.定理2，设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立.2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.3.推论设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时“＝”成立.自主探究1.由二维的柯西不等式的向量式|α||β|≥|α·β|，你能推导出二维的柯西不等式的代数式吗？提示 设α＝(a 1，a 2)，β＝(b 1，b 2)，则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2代入向量式得：(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2.当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立.2.在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a 1，a 2，a 3)，β＝(b 1，b 2，b 3)， 则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3代入向量式得(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当α与β共线时，即存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立.3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？提示 柯西不等式的一般形式为：若a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都为实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，证明如下：若a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则不等式显然成立，故设a 1，a 2，…，a n 至少有一个不为零，则a 21＋a 22＋…＋a 2n >0.考虑二次三项式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2＋2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )＝(a 1x ＋b 1)2＋(a 2x ＋b 2)2＋…＋(a n x ＋b n )2≥0. 对于一切实数x 成立，设二次三项式的判别式为Δ，则Δ4＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0. 所以(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12()b 21＋b 22＋…＋b 2n 12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a1 b1＝a2b2＝…＝a nb n.等号成立⇔典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明 2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ 1a ＋b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1b ＋c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1c ＋a 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b＋b ＋c · 1b ＋c＋c ＋a · 1c ＋a 2 ＝(1＋1＋1)2＝9.∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.【反思感悟】 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数.求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.证明 由柯西不等式得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3(b 1＋b 2＋b 3) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋a 3b 3·b 32＝(a 1＋a 2＋a 3)2.∴a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值. 解4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1＝4a ＋1·1＋4b ＋1·1＋4c ＋1·1 ≤(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)12(12＋12＋12)12 ＝7×3＝21.当且仅当4a ＋11＝4b ＋11＝4c ＋11时取等号. 即a ＝b ＝c ＝13时，所求的最大值为21.【反思感悟】 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值. 解 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.知识点3 利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝94，－8x ＋6y －24z ＝39.解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ≥(－8x ＋6y －24z )2.①∵(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2]＝94×(64＋36＋576)＝392，又(－8x ＋6y －24y )2＝392， ∴(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝(－8x ＋6y －24z )2， 即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 x －8＝y 6＝z －24， 它与－8x ＋6y －24z ＝39联立，可得 x ＝－613，y ＝926，z ＝－1813.【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：21－2x ＋4x ＋3＝15. 解 ∵21－2x ＋4x ＋3＝22－4x ＋1·4x ＋3 ≤2－4x ＋4x ＋3·2＋1＝5·3＝15. 又由已知21－2x ＋4x ＋3＝15.所以等号成立， 由等号成立的条件2－4x ·1＝4x ＋3· 2 得：2－4x ＝8x ＋6，∴x ＝－13， 即方程的解为x ＝－13.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 由三角形中的正弦定理得sin A ＝a2R ， 所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2于是左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2. 故原不等式获证.2.已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证： 1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 (12＋12＋…＋12)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2.∴n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2∴1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .一、选择题1.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( ) A.9 B.3 C.3 D.1解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c ≥3，最小值为3. 答案 B2.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A.1B.nC.nD.2解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.所求的最大值为1. 答案 A3.已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C.1，12，13D.1，14，19解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（22＋32＋42）29≥（2x ＋3y ＋4z ）229＝10029，当且仅当⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k时，等号成立，则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案 B 二、填空题4.已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________.解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2 ∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1655.设a ，b ，c ＞0且a ＋b ＋c ＝A (A 为常数).则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c （a ＋b ＋c ）A≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2A ＝9A . 答案 9A 三、解答题6.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值.解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2 解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 7.设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 证明 ∵a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)， ∴[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1 ≥(a 1－a 2·1a 1－a 2＋a 2－a 3·1a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1·1a n －a n ＋1)2＝n 2>1. ∴(a 1－a n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1.即1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1a 1－a n ＋1，故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 8.设P 是△ABC 内的一点，x ，y ，z 是P 到三边a ，b ，c 的距离.R 是△ABC 外接圆的半径，证明：x ＋y ＋z ≤12R·a 2＋b 2＋c 2. 证明 由柯西不等式得， x ＋y ＋z ＝ax 1a ＋by 1b ＋cz1c≤ax ＋by ＋cz1a ＋1b ＋1c .设S 为△ABC 的面积，则 ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2abc 4R ＝abc2R ， x ＋y ＋z ≤ abc 2Rab ＋bc ＋caabc＝12R ab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，故不等式成立.9.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.§2 排序不等式学习目标1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.预习自测1.定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ，此式当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号.2.定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ， 则 (顺序和) a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥ (乱序和) a 1b j 1＋a 2b j 2＋…＋a n b jn ≥ (逆序和) a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1，2，…，n 的任一排列方式.上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号.自主探究1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？提示 有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案.根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元.2.设有两组实数，a 1<a 2<a 3，b 1<b 2<b 3，设c 1、c 2、c 3是b 1、b 2、b 3的任一个排列，作和a 1c 1＋a 2c 2＋a 3c 3，你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？ 提示 由问题1我应得到启发，和最大的应该为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，和最小的应该是a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1.3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需要t i 分，假设这些t i 各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最小？这个最少的总时间等于多少？(根据排序原理回答)提示 不妨设t 1<t 2<…<t 10，∵1<2<3<…<10，由排序原理知逆序和最小，即10t 1＋9t 2＋…＋t 10最小，所以按注水时间由小到大的顺序注水，则他们10人等候的总时间最小，最少的总时间为10t 1＋9t 2＋…＋t 10.典例剖析知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】 已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所需证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c ，bc ≤ca ≤ab .由排序原理：顺序和≥乱序和，得： bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b . 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0， 于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .1.已知a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ). 证明 令S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则 S ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， S ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n b 2， ……S ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1，将上面n 个式子相加，并按列求和可得nS ≥a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) ∴S ≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) 即(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).【例2】 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.证明 ∵12<22<32<…<n 2，∴112>122>…>1n 2.设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列， 即c 1<c 2<c 3<…<c n ，根据排序原理中，逆序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1，2，…，n ， ∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n 2 ＝1＋12＋…＋1n ，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn 2.2.设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a ncn≥n .证明 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排序，故由排序原理：逆序和≤乱序和 得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n . 知识点2 利用排序原理求最值【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值. 解 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3.即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.3.设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值.解令S＝1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b），则S＝（abc）2a3（b＋c）＋（abc）2b3（a＋c）＋（abc）2c3（a＋b）＝bca（b＋c）·bc＋acb（a＋c）·ac＋abc（a＋b）·ab，由已知可得：1a（b＋c）≥1b（a＋c）≥1c（a＋b），ab≤ac≤bc，∴S≥bca（b＋c）·ac＋acb（a＋c）·ab＋abc（a＋b）·bc＝ca（b＋c）＋ab（a＋c）＋bc（a＋b）又S≥bca（b＋c）·ab＋acb（a＋c）·bc＋abc（a＋b）·ac＝ba（b＋c）＋cb（a＋c）＋ac（a＋b），两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·31abc＝3.∴S≥32，即1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值为32.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中逆序和≤乱序和，或是乱序和≤顺序和，或者逆序和≤顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.随堂演练1.利用排序原理证明：若a1，a2，…，a n为正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥n1a1＋1a2＋…＋1a n.证明不妨设a1≥a2≥a3≥…≥a n>0，则有1a1≤1a2≤…≤1a n由排序不等式，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1ann≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ， 即n n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ，∴a 1＋a 2＋…＋a nn≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n. 2.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c .求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c . 证明 ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 3≥b 3≥c 3，∴a 3b 3≥a 3c 3≥b 3c 3， ∴1a 3b 3≤1a 3c 3≤1b 3c 3，又a 5≥b 5≥c 5，由排序原理得： a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 5a 3b 3＋b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3(顺序和≥乱序和)， 即a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3， 又∵a 2≥b 2≥c 2，1a 3≤1b 3≤1c 3由乱序和≥逆序和得：a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c . ∴a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A.ax ＋by ＋cz B.az ＋by ＋cx C.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz解析 法一 用特值法进行验证.令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B. 法二 由顺序和≥乱序和≥反序和.可得az ＋by ＋cx 最小. 答案 B 二、填空题2.设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1an＋a 2na 1的大小关系是________.解析 假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，则1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1，并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2n a n，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q . 答案 P ≤Q 三、解答题3.设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .4.设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序原理：顺序和≥乱序和. ∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ；aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB ； aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC .上述三式相加得 3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ). ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.5.设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2， 由排序原理：顺序和≥逆序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b ，c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a ， 三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2). 又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ， ∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.6.设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . 据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c 上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3lg(abc ).故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.7.设x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1 (x i －z i )2. 证明 要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑ni ＝1x i z i . 因为∑n i ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑ni ＝1x i y i. 而上式左边为乱序和，右边为顺序和. 由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2成立. 8.已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ， ∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c ) >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3. 即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).§3 数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法学习目标1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.预习自测1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n 取初始值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n 0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.自主探究1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？提示 这是因为第一步首先验证了n 取一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0成立，根据假设和合理推证，证明出n ＝k ＋1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立；n ＝2成立，则n ＝3也成立；n ＝3成立，则n ＝4也成立.如此反复，以至对所有n ≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？ 提示 不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？提示 第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.典例剖析知识点1 利用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n （n ＋1）2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×（1＋1）2＝1，∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k （k ＋1）2.那么，当n ＝k ＋1时，则有：12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1k （k ＋1）2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k（k ＋1）（k ＋2）2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.【反思感悟】 利用数学归纳法证明等式的关键是当n ＝k ＋1时利用假设n ＝k 成立进行转化证明，要分清楚增加的几项分别是什么.1.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立. (2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2.上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12. ∴当n ＝1时，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1＝右边. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立.解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立，就是 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N ＋都成立.【反思感悟】 在推证“n ＝k ＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n ＝k 时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－122＝34， 右边＝2＋12×2＝34，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k . 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·k 2＋2k （k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）， 即n ＝k ＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n (n ≥2)，原等式成立.知识点2 用数学归纳法证明不等式【例3】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2).证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立.【反思感悟】 (1)由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1 (n ∈N ＋).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴左边≥右边，即命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2＝3k 2k ＋1＋1k 2＋2k ＋1≥3k 2k ＋1＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k （2k ＋3）＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（3k ＋3）（2k ＋1）（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k ＋32k ＋3＝3（k ＋1）2（k ＋1）＋1. 由(1)(2)知原不等式在n ∈N ＋时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当n ＝k ＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n ＝k 时的结论作为条件应用上.随堂演练1.用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 3答案 C2.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22 (n ∈N ＋)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D3.已知a 1＝2，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N ＋，求证：a n <2. 证明 (1)n ＝1时，∵a 1＝2，∴a 1<2. (2)假设n ＝k (k ≥1)时，a k <2，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2＋a k <2＋2＝2. 故n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)知，n ∈N ＋时，a n <2都成立.一、选择题 1.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12nf(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2，选D.答案 D2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，a n＋1＝a2，∴左边应为1＋a＋a2，故选C.答案 C3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k ＋1”左边需增乘的代数式是()A.2k＋1B.2k＋1 k＋1C.2(2k＋1)D.2k＋2 k＋1解析n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1)，选C.答案 C二、填空题4.数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________.解析a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想a n＝n2.答案 a n ＝n 25.记凸k 边形对角线的条数为f (k )(k ≥4)，那么由k 到k ＋1时，对角线条数增加了________条.解析 ∵f (k )＝12k (k －3)，f (k ＋1)＝12(k ＋1)(k －2)，f (k ＋1)－f (k )＝k －1. 答案 k －16.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n .通过求a 2，a 3，a 4猜想a n 的表达式是________.解析 13＋a 2＝2(2×2－1)a 2，a 2＝115， 13＋115＋a 3＝3(2×3－1)a 3，a 3＝135， 13＋115＋135＋a 4＝4(2×4－1)a 4，a 4＝163， 猜想a n ＝1（2n ）2－1.答案 a n ＝1（2n ）2－1三、解答题7.求证：(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1) (n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋ )时，等式成立.即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)成立. 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2(k ＋1)－1]. 即n ＝k ＋1时等式成立.由(1)、(2)可知对任意n ∈N ＋，等式都成立. 8.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋).。
2020年高中数学第二章几个重要的不等式阶段质量评估北师大版选修4_5
阶段质量评估（二）几个重要的不等式A卷（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设nW 则4"与3”的大小关系是（）A・ 403力B・ 4a=3nC. 4\3nD.不确定解析：4a=（l+3）a,由贝努利不等式，得（1 + 3）步1 + m・3 = l + 3n>3n,即4">3払答案：A2. 用数学归纳法证明“1+话+专+…+2〈2—丄(心2, 心卜)”时,第一步应验证2 3 n n()A. l+*<2-*B. 1+箱+*<2-扌C- 1+?<24 D. l+*+#2弓解析:・・"2, nWN卜，・•・第一步应验证当n=2时，1+寺<2—*答案：A3. 已知a, b, cG (0, +8),则 &-(£ —be)+£>'(歹一ac)+/(£—ab)( )A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析：设a2b$c>0,则依据排序不等式，得a• &+F • b-\~c •ab-\- Z^5c4- c a・又ac^bc> a^k)^c ,所以£b+ B c+ c a bc-\- If cf ab.所以a1 + Z?1 + c1 a：Z^c+ b"ca+c订b,R 卩a {a— be) +Zf (Zf—ac) + ab) 20.答案：B4. 若5弘+6・乞一7及+4山=1,则3卫+2迄+5立+龙的最小值是()* 782A・TT782C. 3D. 25 T答案：B5. 学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价 为5元、3元、2元的商品作为奖品，则至少要花（）A. 300 元B. 360 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序不等式，可知逆序和最小. •••最小值为 50X2+40X3+20X5 = 320（元）・ 答案：C6・已知2x+3y+4z=10,则x+y+z 取到最小值时的岛y, z 的值分别为（）4029* 答案：B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 7. _______________________________________________ 若 x+_H~z+ t=4,则 x-\-y-\-z-\- f 的最小值为 __________________________________________ .解析：由柯西不等式,得（z+/+/+t s ）（l=4-l 3+l=+f ）^（^+y+z4-t ）:,当且仅当 x=y=z=t= 1 时取等号.故 Y+y =+/+t :的最小 值为4. 答案：44 a8. i2知 (0, +°°)八丫+-鼻2,“丫 ■- $3,…，＜+~^力+1 (T ?EN») ♦则 a 的值为 __________X X X 解析：・.・土22,C.B20294029IX解析:当且仅当沽扌=（时取到最小值,联立' 2=3=?,2x+3y-|-4z =10.可得％=20 _30所以 3A -；+2+5-Y §+—・5 - 65 ^3A1.・.卄二=半+兰+...+兰+龄（卄1）貨….兰•二=（卄1）¥ A= X n n n n x \j n n n n x \j nn-\-1.答案:?/G?WN+）9. ________________________________________________________________ 设心A=,…，弘为不同的正整数，则"学+寺+•••+话的最小值是____________________________ •解析：设力右…，去是-Y：f x z, -s x R的一个排列，且满足头〈必・・・〈比，故a&l,比22,…,a^n.所以学+拳+守+…+许"尹寺+…+斧1X1+2X寺+3X*+・・・+” ・寺=1+*+£+n答案：］+*+£ ----- --z o n三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10. （本小题满分10分）已知X, y, ze （0, +8）,且x+y4-z=l,求证：-+~+—^81.x y z证明：由柯西不等式，得当且仅当三=2=二1 lx 1 9 25x y z即AT=|, 7=|,尸訓寸取等号.所以-+-+-^81・x y z11. （本小题满分12分）设x>0,求证:1+止+丄；+…（2/i+l）x；证明:当Q时,\WQW Y丈、由顺序和鼻逆序和,得1X 1+x • x+Y • /+•••+# •心1 • x-Vx • f+ ・・・ + ;T'・x+x”・1, 即 1+¥+左+…+(/?+1) x”・①因为X, X, Xr …，为序列1, Xi X,…，A •"的一个排列，由乱序和豪逆序和，得1 •*+1£+・・・+声'・2+“・121 •“+*•+「'+•••+『 • xA -x • L即*+玄+・・・+ /一'+#鼻(n+l)Z 将①和②相加，得l + x+/+・・・+f 工(2力+1)“・ 当(KX1 时，1>JV >JV >->Z ①②仍然成立，于是③也成立. 综上，原不等式成立. 12.(本小题满分13分)已知正数< y, z 满足弘+4卄3z=10.25Y 16/ | 9/ j ⑴求Uh 丽忑+百忑+芬莎鼻5： ⑵求9Y+9/4-/的最小值. (1)证明：根据柯西不等式，得 [(4y+3z) + (3z+5x) + (5x+4y)] 25空16护9才4y+3z 3Z +5.Y 5X +4J 匚 因为 5%+4y+3z=10,25+ 16/ 9/ 4y+3z 3z+5x 5x+4y" 20 ° (2)解：根据平均值不等式，得9空+9F+/M2p9空• 9#+/=2X3f+#+/, 当且仅当£=/+/时等号成立. 根据柯西不等式，得(Y+/+Z) (5=+43+33)^(5-Y+4y+3z)s =100> 当且仅当j=f=f 时等号成立. 所以丘+/+/22.综上，9y+9y+z 3^2X3：=18,2 (5x+4y4~3z)：所以4 3当且仅当x=l ，y=T ，时等号成立. 所以9¥+9#+/的最小值为18.B 卷（时间：60分钟 满分：80分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1.已知弘戶 圧（0, +oo ） t K-+-+-=l,则 卄专+#的最小值是（）x y z 2 3A ・5B ・6答案:D2. --------------------------------------------------- 用数学归纳法证明“*+*+* 1 二^—s 时，假设当n=k 时不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标是（（A /I•心+^/1 •神=（住+何=5+2 晶 当且仅当y :尸& :谑时取等号. •'•二+-的最小值为5 + 2心・ x y V答案:C5. 用数学归纳法证明“对任意00和正整数小 都有+#-”+•••+*+丄+±2力+1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值X X XB ・2D.以上答案均不正确解析：当力=1时，左边=x+L 右边= 1 + 1,而*+丄豪2,x x 即当力=1时不等式成立. 答案：AC. 8 解析:1刀+2 k+2 * 2 2 £+3B. 1 、1 1 A+1 :>2_1+2D. ?+?+&+1+7心应为（）A ・1 C. 1,21 A・?1 &+16. 设a, b, c为数，且a+2b+3c=13,则羽込的最大值为() 应13^3A・ 3 b 2C. y/13D. 6^13^y[a • \(3+y[2b • 1 + yJ^c • ^y=-：= (-\/3a+ 解析：（a + 2b+3c）^3 = + 1：+y[2b+y[c）\当且仅当爭=率=平时取等号.3书IQ*/.（羽^+迈1>+讥）运丁，又a+2b+3c=13,3 1^=9, b=〒 c=§・故^辰+J^>+讥有最大值号®答案:A二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）7-函数尸（1+詰）（1+汩TW煜）的最小值是—•解析：由柯西不等式，得尸卜+（命）1珂右）当且仅当-j^==-7=, sin 2a=l, yjcos " psin a即"=+时等号成立.答案：3 + 2花8. 已知数列&｝的各项均为自然数且它的前n项和为弘6 = 1.若对所有的正整数m有S TM+S>=（5H»L成立，通过计算比，废，a：,可归纳岀,= _________ •解析：由已知，得,“+£=£“・ •••当 n^2 时，$+£-,=£・ 两式相减,得4»+1+&"=£+1 — £. • • ♦ 1 — bn — 1・・•・数列｛韵为等差数列，公差d=\. /•a$=3p …，a^—n.答案:9. _________________________ 三角形的三边m b 、c 对应的高为h ，氐2•为三角形内切圆的半径.若d+hb 的值为9_r,则此三角形为 三角形. 解析：记三角形的而积为S, 则 2S=ah s = bhb= ch“ 因为 2S=r(a+b+c) ♦ 所以九+九+h=2丿+^+丄= r(a+b+c)R+£+£). 由柯西不等式，得丽±+毎±+讥・左卜9, 当且仅当尸b=c 时取等号. 所以h+hb+h*9r ・故当hAh*=9r 时，三角形为等边三角形. 答案：等边三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10. (本小题满分10分)已知正数X,戶z 满足x+y+z=l. ⑴求证：；£+是+島珂 ⑵求于+0+4/的最小值.(1)证明：因为Q0,力0, z>0,所以由柯西不等式，得［(y+2z) + (z+2x) + (x+2y)】(為+士+$7卜(卄卄£因为-Y + yF z — 1,(a+6+c)所以是+汾醫__________ x+y+z ' ____________ =1 y+2z + z+2x + x+2y 3* (2)解：由平均值不等式，得3_ ______4”+ 护+ 4 £ 2 3 VS+7+7. 因为 w+ y+ z= 1, (3 3所以 卄7+/=1 —z+/=(z —寸+存孑当且仅当z=*时等号成立. 所以子+/+4才的最小值为3承.11. (本小题满分12分)已知函数f(x)=加一 I x —2 , mWR ，且关于*的不等式f(x+2)20的解集为 [一1, 1] • (1) 求加的值；(2) 若a, b, cG (0, +8),且丄+右■+召=皿求证：a 2b 3c &+2b+3cM9・ ⑴解:因为 ftr+2)=0 — |x|, 所以f(x+2)20等价于刃Wm 由|.Y 有解，得山20,且其解集为｛x —mWxW 曲.又f(x+2)M0的解集为[一 1,1],故m=L (2)证明：由⑴,知-+TZ +T "=1.a 2b 3c 又 a, £>, cG (0, +8), 由柯四不等式，得a+2b+3c= (a+2b+3c)(;+元+氏' 伍•*+屈•命+伍•制=9.12. (本小题满分13分)已知数列｛人｝是等差数列，&=\,氏+b+・・・+b°=145GiWNJ. (1) 求数列⑹的通项：故 4x 4-47+4z'^3(2) 设数列｛&｝的通项1=10』1+£)(苴中a>0且aHl),记S,是数列｛韵的前n项和, 试比较，与|log^(1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列的公差为乩由题意，得10Xl + -°Z—,W—» J=145.d= 3 9 bn=3/1 — 2.⑵由人=3刀一2,知5!=log J(l + l) +log」1+扌) -------- log」‘I=i °g（1+1"+护（1+是 L 因此，要比较，与*。
课堂新坐标高中数学第2章几个重要的不等式2.3.2数学归纳法的应用课件北师大版选修45
2．利用数学归纳法证明不等式 1＋12＋13＋…＋2n－1 1<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过
程，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加了( )
A．1 项
B．k 项
C．2k－1 项
D．2k 项
【解析】
1
＋
1 2
＋
1 3
＋
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋
1 2k＋1－1
－
1＋12＋13＋…＋2k－1 1
＝
1 2k
＋
1 2k＋1
利用 1＋x＝ba代换，为利用贝努利不等式创造条件.
[再练一题] 1．试证明1－n＋1 12n+1>1－n＋1 1与1＋n＋1 1n+1>1＋1nn(n∈N＋)．
【证明】 由 n∈N＋，∴n＋1≥2. 由贝努利不等式，得 (1)1－n＋112n+1>1－nn＋＋112＝1－n＋1 1. (2)由(1)得1－n＋1 1n+11＋n＋1 1n+1>1－n＋1 1， 故1＋n＋1 1n+1>1－n＋1 1-n＝n＋n 1n＝1＋1nn.
5．证明：1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n<2
n(n∈N＋)．
【证明】 (1)当 n＝1 时，不等式成立．
(2)假设 n＝k 时，不等式成立，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 k<2
k.
那么 n＝k＋1 时，
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1k＋
1 k＋1<2
k＋
1 k＋1
＝2 kkk＋＋11＋1<k＋kk＋＋11＋1＝2 k＋1. 这就是说，n＝k＋1 时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知不等式对任意 n∈N＋成立．
【2019最新】精选高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评12数学归纳法北师大版选修4_5
【2019最新】精选高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评12数学归纳法北师大版选修4_5
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n ＝5时，该命题不成立，那么应有( )
A．当n＝4时该命题成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝6时该命题不成立
【解析】当n＝4时命题成立，由递推关系知，
n＝5时命题成立，与题中条件矛盾．
所以n＝4时，该命题不成立．
【答案】C
2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是( )
A．n2－1 B．(n－1)2＋1
C．2n－1 D．2n－1＋1
【解析】由a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1得
a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
1 / 7。
高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．2．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．3．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 4．用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为（ ）A ．*n N ∈B ．*n N ∈，2n ≥C ．*n N ∈，3n ≥D ．*n N ∈，4n ≥5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad ＝bc （即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x =x 的值分别为（ ）A 215B 215C 6113D 61136．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．127．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9B ．8C ．3D ．139．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．1810．若5x 1+6x 2-7x 3+4x 4=1,则222212343x 2x 5x x +++的最小值是（ ） A ．78215B ．15782C ．3D ．25311．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．23C ．611D ．1112．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则 222a b c ++ 的最小值为( ) A ．3B ．1C ．33D ．3二、填空题13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=，则22124x y +++的最小值是______. 14．已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，则49x y z ++的最小值为________． 15．设,,a b c 为正数，241a b c ++=，则2a b c ++的最大值是___________ 16．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 17．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___．18．已知实数,x y 满足2222(1)(1)4x y x y ++⋅-+=，则22x y +的取值范围为___________.19．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ， q ， r 为正实数，且p q r a ++=，求证： 2223p q r ++≥．20．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．三、解答题21．（Ⅰ）若,a b ∈R ，且满足32b a +=，证明：2262b a +≥；（Ⅱ）若,a b ∈R ，且满足1123b c a ++=222623b c a ++≥.22．已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥．23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥. 25．已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->≤ 26．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）若()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．2．C解析：C. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.3．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.4．D解析：D 【分析】根据题意验证1n =，2n =，3n =时，不等式不成立，当4n =时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】解：当1n =，2n =，3n =时，显然不等式不成立， 当4n =时，6461>不等式成立，故用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为4n ≥，*n N ∈ 故选：D .本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．5．A解析：A 【分析】将 【详解】由柯西不等式可知：()22222215⎡⎤++=⎣⎦所以=x ＝215时取等号，故函数()f x =的最大值及取得最大值时x215， 故选：A ． 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 几个重要的不等式 学
业分层测评13 数学归纳法的应用 北师大版选修4-5
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1324(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋
1时不等式左边( )
A．增加了一项
1
＋
B．增加了两项12k＋1和
1
2k＋2
C．增加了B中的两项但减少了一项
1
k＋1
D．以上均不正确
【解析】 由1k＋2＋1k＋3＋…＋1＋－1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＝12k＋1＋12k＋2－
1
k＋1
＝12k＋1－12k＋2.故选C.
【答案】 C
2．利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
【解析】 12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为5.
【答案】 C
3．对于不等式n2＋n
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k
＋＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
【答案】 D
4．对于正整数n，下列说法不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1
n
C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9
n
【解析】 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．
当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．
【答案】 C
5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值
为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
【解析】 令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，
易知f(n)是单调递增的．
∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.
依题意712>m24，∴m<14.
因此取m＝13.
【答案】 B
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为__________.
【导学号：94910041】
【解析】 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】 21＋1≥12＋1＋2
7．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出__________．
【答案】 1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n(n≥2，n∈N＋)
8．用数学归纳法证明an＋bn2≥a＋b2n (a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k时不等式
ak＋bk
2
≥a＋b2k (*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘__________．
【解析】 要想办法出现ak＋1＋bk＋12，两边同乘以a＋b2，右边也出现了要求证的a＋b2k+1.
【答案】a＋b2
三、解答题
9．设a，b为正实数，证明：对任意n∈N＋，有(a＋b)n≥an＋n·an－1b.
【证明】 由(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
∴1＋ban≥1＋nba其中ba>0，
即＋an≥1＋nba， 【证明】 (1)当n＝1时，a1>1，又a1＝1＋a<11－a， ak＋1＝1ak＋a>(1－a)＋a 同时，ak＋1＝1ak＋a<1＋a＝1－a21－a<11－a， 综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1 B.122＋132＋…＋1＋>12－ C.122＋132＋…＋1k2>12－ D.122＋132＋…＋1－>12－ 【解析】 注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子 发生变化，所以n＝k＋1时，应为122＋132＋…＋1＋＋1＋>12－1＋＋2. ＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1 【答案】 B f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝3＋－2(n ∴f(n)＝12(n＋1)(n－2)． ∴1Sn－1Sn－1＝2， 故1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴(a＋b)n≥an＋n·bana，
故(a＋b)n≥an＋nb·an－1.
10．设0
∴当n＝1时，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题1
＝1，
当n＝k＋1时，命题也成立，
即1
1．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1＋>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则
当n＝k＋1时，应推证的目标是( )
A.122＋132＋…＋1＋>12－
1
k＋3
1
k＋2
1
k＋1
1
k
【答案】 A
2．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为( )
A．2f(k) B．k－1＋f(k)
C．f(k)＋k D．f(k)＋2
【解析】 由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的
对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为
A2A
k
Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k
－1)个．
3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，
若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝
____________________(用n表示).
【导学号：94910042】
【解析】f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的
条数．
∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得
－3)，
【答案】 5 12(n＋1)(n－2)
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)．
(1)判断1Sn是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S21＋S2＋…＋S2n≤12－14n.
【解】 (1)S1＝a1＝12，
∴1S1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
(2)证明：①当n＝1时，S21＝14＝12－14×1，成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S21＋S2＋…＋S2k≤12－14k成立，
则当n＝k＋1时，S21＋S2＋…＋S2k＋S2k＋1≤12－14k＋1＋＝12－141k－1＋
＝12－14·k2＋k＋1＋
<12－14·k2＋k＋
＝12－1＋.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．