高中数学10.3基本不等式及其应用第2课时同步练习湘教必修4创新

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高丽-基本不等式【2018年第9届全国高中数学优质课比赛教学设计、课件】

《基本不等式》教学设计青海省西宁市第五中学高丽一．教学内容解析基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。

在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。

二．教学目标设置本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。

根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标：知识与技能目标：了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题；过程与方法目标：了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法；情感态度与价值观目标：通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。

基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。

三．学生学情分析在此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不等式等相关知识，具备了初步的观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问题的能力。

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人教版高中数学目录及课时规划类型章节目录副目录子目录打“√”课时总课时必修一第一章集合与函数的概念§ 1 集合的含义与表示1336§ 2 集合间的基本关系§ 3 集合的基本运算并集、交集、补集§ 4 函数及其表示函数的概念函数的表示法映射§ 5 函数的基本性质单调性与最大最小值奇偶性第二章基本初等函数（1）§ 1 指数函数指数与指数幂的运算14指数函数图像及其性质§ 2 对数函数对数与对数运算换底公式对数函数图像及其性质§ 3 幂函数第三章函数的应用§ 4 函数与方程方程的根与函数的零点9二分法求方程的近似解§5函数的模型及其应用几类不同增长的函数模型函数模型的实用举例必修二第一章空间几何体§ 1空间几何体的结构柱、锥、台、球的结构特征81036简单几何体的结构特征§2 简单几何体的三视图和直观图中心投影与平行投影空间几何体的三视图§3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的直观图柱体、椎体、台体的表面积与体积球的体积与表面积第二章点、直线、平面间的位置关系§1 空间点、直线、平面之间的位置关系平面空间中直线与直线的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系§ 2直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质§3 直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定必修二第二章§3 直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质第三章直线与方程§1直线的倾斜角与斜率倾斜角与斜率9两条直线平行与垂直的判定§ 2直线与方程直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程§3直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标两点间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离第四章圆与方程§ 1圆的方程圆的标准方程9圆的的一般方程§2 直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用§ 3 空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点的距离公式必修三第一章算法初步§ 1 算法与程序框图算法的概念12程序框图与算法的基本逻辑结构§ 2 算法的基本语句输入、输出和赋值语句条件语句循环语句§ 3 算法案例算法案例讲解第二章算法案列§ 1 随机抽样简单随机抽样16系统抽样分层抽样§ 2 用样本估计总体用样本的频率分布估计总体分布用样本的数字特征估计总体的数字特征§ 3 变量间的相关关系变量间的相关关系两个变量的线性关系第三章概率§1 随机事件的概率随机事件的概率8概率的意义概率的基本性质§ 2 古典概率古典概型（整数值）随机数的产生§ 3 几何概型几何概型均匀随机数的产生必修四第一章三角函数§ 1 任意角和弧度制任意角1636弧度制§ 2 任意角的三角函数任意角的三角函数同角三角函数基本关系§ 3 三角函数诱导公式§4 三角函数的图像与性质正弦、余弦函数的图像正弦、余弦函数的性质正切函数的性质与图像§ 5 函数的图像y=Asin（ϕω+x）§6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量§1 平面向量的实际背景及基本概念向量的物理背景与概念12向量的几何表示相等向量与共线向量§2 平面向量的线性运算向量加法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义§3 平面向量的基本定理及坐标表示向量数乘运算及其几何意义平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量共线坐标表示§ 4 平面向量的数量积平面向量数量积的物理背景及意义平面向量数量积的坐标表示、模、夹角§ 5 平面向量应用举例平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换§1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角差的余弦公式8两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式§ 2 简单三角恒等变换必修五第一章解三角形§1 正弦定理和余弦定理正弦定理8余弦定理§ 2 应用举例必修五第二章数列§1 数列的概念和表示1236§ 2 等差数列§ 3 等差数列前n项和§ 4 等比数列§ 5 等比数列前n项和第三章不等式§1 不等关系与不等式16§2 一元二次不等式及其解法§3 一元二次不等式（组）与简单线性规划一元二次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题§ 4 基本不等式选修2—1 第一章常用逻辑用语§1 命题及其关系命题836四种命题四种命题的相互关系§2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件充要条件§3 简单的逻辑联结词且、或、非§4 全称量词与存在量词全称量词存在量词含一个量词命题的否定第二章圆锥曲线与方程§ 1 曲线与方程曲线与方程16求曲线方程§ 2 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质§ 3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质§ 4 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何§ 1 空间向量及运算空间向量及其加减运算12空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量正交分解及坐标表示空间向量运算坐标表示§2 立体几何中的向量方法法向量平面间的夹角选修2—2 第一章导数及其应用§ 1 变化率与导数变化率问题导数的概念导数的几何意义§ 2 导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及运算法则选修2—2 第一章导数及其应用§3 导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数2436函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数§4 生活中的优化问题举例§ 5 定积分的概念曲边梯形的面积汽车行驶的路程定积分的概念§ 6 微积分基本定理§ 7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用第二章推理与证明§1 合情推理与演绎推理合情推理8演绎推理§2 直接证明与间接证明综合法与分析法反证法§ 3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数概念4复数的几何意义§2复数代数形式的四则运算复数代数形式的加、减运算及几何意义复数代数形式的乘除运算选修2—3 第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理1436分步乘法计数原理§ 2 排列组合排列组合§ 3 二项式定理二项式定理杨辉三角与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布§1 离散随机变量及其分布离散随机变量12离散随机变量的分布列§ 2 二项分布及其应用条件概率事件的相互独立性§3 离散随机变量的均值与方差离散随机变量的均值离散随机变量的方差§ 4 正太分布第三章统计案列§1 统计案列回归分析的基本思想1独立性实验基本思想选修4—1 第一讲相似三角形的判定及性质§1 平行线等分线段定理选修4—1 第一讲相似三角形的判定及有关性质§2平行线分线段成比例定理617§3 相似三角形的判定和性质相似三角形的判定相似三角形的性质§4 直角三角形的投影定理第二讲直线与圆的位置关系§ 1 圆周角定理8§2 圆内接四边形的性质与判定定理§3 圆的切线的性质及判定定理§ 4 弦切角的性质§5与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质讨论§1 平行射影3§2 平行面与圆柱面的截面§2 平行面与圆锥面的截面选修4—4 第一讲坐标系§ 1 平面直角坐标系818§ 2 极坐标系§3 简单曲线的极坐标方程§4极坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程§ 1 曲线的参数方程1§2 圆锥曲线的参数方程§ 3直线的参数方程§ 4 渐开线与摆线选修4—5 第一讲不等式和绝对值不等式§ 1 不等式不等式的基本性质517基本不等式几何平均不等式§ 2 绝对值不等式绝对值三角不等式绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法§ 1比较法4§ 2综合法与分析法§ 3反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式§4二维形式柯西不等式4§5 一般形式柯西不等式§ 6排序不等式选修4—5 第四讲数学归纳法证明不等式§ 1 数学归纳法4§2 用数学归纳法证明不等式。

说课标说教说课稿人教版高中数学必修5第三章不等式

说课标，说教材说课稿人教版高中数学必修5第三章《不等式》各位评委、各位老师，大家好：今天我“说课标、说教材”的内容是人教版高中数学必修5第三章《不等式》。

下面我将从说课标、说教材、说建议三大方面面进行研说。

其中说课标包括数学课程的总体目标、必修五《不等式》课程目标、必修五《不等式》内容标准。

说教材包括教材的编写特点、教材编写体例、目的、教材的内容结构及知识与技能的立体式整合一、说课标（一）、数学课程的总体目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

具体目标如下：1、获得数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动2、培养学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识3、提高兴趣、树立信心、树立辩证唯物主义世界观这三个目标分别体现了数学课程在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观上对学生提出的要求。

（二）、必修五《不等式》课程目标：1、知识与技能：了解不等式（组）的实际背景。

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式二元一次不等式组模型的过程。

探索并了解基本不等式的证明过程。

会用基本不等式解决简单的最值问题。

2、过程与方法：通过本章学习培养和发展学生勇于自主探索，合作学习，勇于创新精神，体会事物之间普遍联系的思想。

3、情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，拓展学生视野，培养良好的学习习惯。

（三）、必修五《不等式》内容标准：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

二、说教材：（一）、教材的编写特点1、关注数学情境的建立，注重兴趣培养。

人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT

2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.

新湘教版必修4高中数学简单线性规划

10．4简单线性规划[读教材·填要点]1．线性规划中的基本概念2．图解法设二元一次函数z＝f(x，y)，(x，y)∈D，其中D是平面图形，作直线f(x，y)＝0.平行移动该直线得一族直线f(x，y)＝a，保证平行移动后的直线与平面图形D有交点，通过观察，可发现a的最大值和最小值，以及函数在哪些点上取得最大值和最小值，这种求解的方法称为图解法．[小问题·大思维]1．若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其坐标应满足什么条件？[提示](Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.2．目标函数为z＝ax＋by＋c，当b<0时，直线l0：ax＋by＝0的平移方向与函数值z 的变化趋势是怎样的？[提示]当直线l0向上平移时，所对应的z随之减小，当直线l0向下平移时，所对应的z随之增大．3．二元线性规划问题中，最优解是唯一的吗？[提示]最优解可能是无数个或没有．直线l0：ax＋by＝0与可行域中的某条边界直线平行时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值，最优解就可能有无数个；当可行域是不封闭的区域或边界不在可行域内时，目标函数z＝ax＋by＋c的最值可能不存在，最优解就不存在．4．实际问题中线性约束条件和线性目标函数具有怎样的形式？[提示] 线性约束条件一般是不等式或不等式组，而目标函数是一个等式．画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x －y －6≥0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y－6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x －y ＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．1．判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax ＋By ＋C >0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．(2)“以点定域”，由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的点，实数Ax ＋By ＋C 的值的符号都相同，故为了确定Ax ＋By ＋C 的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．2．画图时通常要在边界直线的旁边标注直线方程以便于区分．1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：如图可得阴影区域为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，表示的平面区域．而直线ax －y ＋1＝0恒过定点A (0,1)，斜率为a . 因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积等于2，所以此平面区域为“封闭”图形，所以可判断直线ax －y ＋1＝0与直线x －1＝0的交点C 在点B (1,0)上方，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域为△ABC .由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0x －1＝0，得C (1，a ＋1)，又点C 在点B 上方，所以|BC |＝a ＋1－0＝a ＋1，∴S ＝12×|BC |×1＝a ＋12＝2，解得a ＝3.答案：3设变量x ，y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，且z ＝2x ＋y ，求z 的最大值与最小值．[解] 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，令2x ＋y ＝0，在图中作出直线l 0：2x ＋y ＝0.显然，可行域位于直线l 0的右上方，可行域中任一点P (x ，y )到直线l 0的距离d ＝|2x ＋y |5.所以|2x ＋y |＝5d ，又可行域中的任一点P (x ，y )，都使2x ＋y >0.故2x ＋y ＝5d ，要求2x ＋y 的最大、最小值，只需求可行域内的点到直线l 0的距离最大、最小值．平行移动l 0，当经过可行域中的点B 时，d 最小，此时z 最小；当经过可行域中的点A 时，d 最大，此时z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.解决线性规划问题的一般步骤是(1)作可行域； (2)作平行线； (3)确定最优解；(4)求出最值．一般将线性目标函数的最值转化为可行域中的点到l 0(令z ＝0时的直线方程)的距离来研究．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5.答案：－53．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2].(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600分钟，广告的总播放时长不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问：电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.如图，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点． (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用题的步骤是：(1)将决策中的量设为未知量；(2)列出约束条件，建立目标函数，并确定求最大值还是最小值；(3)作出可行域；(4)求出最优解；(5)回答．4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，求所需租赁费最少为多少元．解：设需租赁甲型设备x 台，乙型设备y 台．租赁费为z 元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N.z ＝200x ＋300y .如图可知z 在(4,5)处取到最小值，z ＝4×200＋5×300＝2 300.[随堂体验落实]1．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )A ．x ＋y －1<0B ．x ＋y －1>0C ．x －y －1<0D ．x －y －1>0解析：选B 由题图可知阴影区域的边界直线方程为x 1＋y1＝1，即x ＋y －1＝0.又∵0＋0－1<0，且点(0,0)不在阴影区域内，∴阴影部分表示的平面区域满足的不等式为x ＋y －1>0. 2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[4,6]D ．[4,5]解析：选A 可行域如图所示，作直线l0：x ＋2y ＝0，把直线l 0向上平移时，函数z ＝x ＋2y 随之增大．∴(2,2)与(2,0)为最优解， ∴2≤z ≤6.3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.4．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则z ＝x －y 的最大值是________．解析：可行域如图所示．作直线l 0：x －y ＝0，平移直线l 0过点A (2,0)，得z ＝x －y 取最大值z max ＝2－0＝2. 答案：25．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，求实数a 的取值范围．解：不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝⎛⎭⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43；当a >43时，表示区域是△AOB ；当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1；当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域；当1<a <43时，区域是四边形．故当a ∈(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞时表示的平面区域为三角形．[感悟高手解题]设函数z ＝2x ＋5y ，其中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，求z 的最大值与最小值．[解] 法一：先在平面直角坐标系xOy 内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分所示)．把z ＝2x ＋5y 变形为y ＝－25x ＋15z ，得到斜率为－25，在y 轴上的截距为15z ，随z 变化的一族平行直线．由图可以看出，当直线y ＝－25x ＋15z 经过可行域上的点M 时，截距15z 最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝8，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，故M (2,3)．此时z max ＝2×2＋5×3＝19.当y ＝－25x ＋15z 经过原点时，截距15z 最小，即z 最小，z min ＝0.法二：由z ＝2x ＋5y ，得y ＝z －2x5，代入不等式组得⎩⎨⎧x ＋2·z －2x 5≤8，0≤x ≤4，0≤z －2x 5≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ≤40，0≤x ≤4，－15≤2x －z ≤0.在平面直角坐标系xOz 内作出上述不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)．由图易知，区域的最低点为坐标原点，故z min ＝0；区域的最高点是直线2x －z ＝－15与直线x ＋2z ＝40的交点A ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝－15，x ＋2z ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝19.故A (2,19)，此时z max ＝19.一、选择题1．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则z ＝2x ＋4y 的最大值为( )A ．24B ．20C ．16D ．12解析：选B z ＝2x ＋4y ⇒y ＝－12x ＋z 4，求截距的最大值，画出如图所示的可行域，把直线l 0：y ＝－12x 平移经过点A (2,4)时，z 的最大值为z ＝2×2＋4×4＝20.2．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．3.如图坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．0解析：选A 据题意知a ≠0，当a >0时，y ＝－1a x ＋z a ，则－1a <0，此时不符合条件，故a <0，此时－1a >0，当－1a ＝k AC ＝2－14－1＝13，即a ＝－3时满足条件．4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元解析：选B 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .作可行域如图，知目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．∴z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．二、填空题5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的取值范围是________．解析：画出可行域可得x ＝5，y ＝3时，z 有最大值7，当x ＝－1，y ＝3时，z 有最小值－5.答案：[－5,7]6．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2≤0，x －y ＋4≥0，y ≥0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：先画出不等式组所表示的平面区域，如图为△ABC ，而x 2＋y 2的几何意义是动点(x ，y )到原点的距离，其最小值显然为|OB |＝2.答案：27．满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，x －y ＋1≤0，2≤y ≤3，的点(x ，y )构成的区域的面积为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．易知A 点的坐标为(2,3)，从而可知图中阴影部分的面积为12×2×1＝1.答案：18．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为________.解析：如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D ，E ，C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4. 答案：4三、解答题9．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1.求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1.的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x ，则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ：y ＝x ＋t 2. 则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大，当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解析由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．解析由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析方法一在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2，由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案救船到达D 点需要1小时．解析由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析方法一由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

高中数学新教材同步必修第一册第2章章末复习课

五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例5 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加 8 x成，要求售价不
跟踪训练1 若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为_{_a_－__b__|－__1_≤____ _a_－__b_≤___6_}_.
解析 ∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.
二、利用基本不等式求最值
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
解将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数，当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，即xx22＋＋46xx＋＋33≥≥00，，解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6，故 x 的取值范围是{x|x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6}.
反思感悟解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题.
a>0， ⇔Δ<0，
a<0， ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒成立 ⇔ Δ<0， ax2 ＋ bx ＋ c≥0(a≠0) 恒成立

人教版高中数学目录(详细)

§1数列的概念和表示
必修
第二章
数列
§2等差数列 §3等差数列前n项和
§4等比数列
12
五
§5等比数列前n项和
§1不等关系与不等式
§2一元二次不等式
第三章
不等式
及其解法 §3一元二次不等式（组）与简单线性规
划
一元二次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题
16
§4基本不等式
命题
§1命题及其关系
向量加法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义
第二章
平面向量
12
必
修
§2平面向量的线性运
四
算
向量数乘运算及其几何意义
第二章
平面向量
§3平面向量的基本定理
及坐标表示
平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
12
平面向量共线坐标表示
§4平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及意义平面向量数量积的坐标表示、模、夹
§3离散型随机变量
离散型随机变量的均值
的均值与方差
离散型随机变量的方差
§4正态分布 §1回归分析的基本思
第三章
统计案例
想 §2独及立其性初检步验应的用基本
思想及其初步应用
§1合情推理与演绎推
合情推理
第二章
理
推理与证明 §2直接证明与间接证明
演绎推理综合法与分析法
反证法
§3数学归纳法
§1数系的扩充和
数系的扩充和复数的概念
第三章
数系的扩充与复数的引入
复数的概念
§2复数代数形式的四则运算
复数的几何意义复数代数形式的加减运算及其几何意

高中数学 6.5含绝对值的不等式(第二课时) 大纲人教版必修

高中数学 6.5含绝对值的不等式（第二课时）大纲人教版必修●教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的性质定理及其推论.2.含有绝对值不等式的证明(或解法).(二)能力训练要求通过例题及练习进一步掌握含有绝对值不等式的定理和推论,并能应用这些性质解决有关问题.进一步提高综合运用数学知识的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生的化归(或转化)的数学思想.2.提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力.3.培养创新意识,提高学生的数学素质.●教学重点1.掌握一些含绝对值不等式的证明方法和解法.2.解含绝对值的不等式的主要方法是将不等式中的绝对值符号化去.它运用学过的含绝对值不等式的性质:|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a;|x|<a(a>0) ⇔-a<x<a.而含绝对值不等式的证明,可以利用定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,还可以利用两边同时平方的方法等,如|x|>|y|⇔x2>y2.●教学难点含绝对值的不等式,在解它或证它时,关键是运用转化思想,依照基本方法步骤化简,要特别注意保证变形过程中的等价性.●教学方法讲练结合法即通过例题讲解,强化学生训练,加深学生对含有绝对值不等式知识的理解,进一步提高学生综合应用数学知识的能力.●教具准备幻灯片一张记作§6.5.2 AⅠ.课题导入上一节课,我们学习了含有绝对值的不等式的性质定理及其推论的简单应用.(学生回顾叙述,教师板书定理及其推论内容,即:（1)|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |;（2)|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|;（3)|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.今天,我们进一步巩固掌握上述性质,并能应用这些性质完成含有绝对值不等式的证明(或解法),提高大家分析问题、解决问题以及综合运用数学知识的能力.Ⅱ.讲授新课我们来看下面的例子.［例1］已知|x -a |<a 2ε,0<|y -b |<a2ε,0<y <A,求证|xy -ab |<ε. 分析:本题的关键在于根据结论左边如何“拼凑”出(x -a )与(y -b ),再运用和差的绝对值与绝对值的和差间的关系.即创设利用已知条件或已知定理的机会.证明:|xy -ab |=|xy -ya +ya -ab |=|y (x -a )+a (y -b )|≤|y |·|x -a |+|a |·|y -b |<a ·A2ε+|a |·a 2ε=ε, 即|xy -ab |<ε.［师生共析］本题是为将来学习极限证明作的准备.本题在证明过程中运用了凑的技巧,望注意体会.在今后的学习过程当中,要习惯用“拼凑”的方法,要很好掌握.［例2］已知|a |<1,|b |<1,求证:|abb a ++1|<1. 分析:初看此题,无法下手,因为题目中含有绝对值符号,不妨运用平方法先去掉绝对值符号,再加以证明,即运用“|x |<a (a >0)⇔x 2<a 2”,尝试分析法证明.证明：1)1()(1122<++⇔<++ab b a ab b a ⇔a 2+2ab +b 2<1+2ab +a 2b 2⇔1-a 2-b 2+a 2b 2>0⇔(1-a 2)(1-b 2)>0由|a |<1,|b |<1,可知a 2<1,b 2<1,显然（1-a 2）(1-b 2)>0.即|abb a ++1|<1成立. ［师生共析］用分析法证不等式，有时变形的每一步都是充要条件，这实际是先寻找原不等式成立的必要条件，再证明不等式.［例3］设a ,b ∈R ,且a ≠b ,求证: |2211b a +-+|<|a -b |.分析:本题既含绝对值又含根式,直接入手证明比较困难,考虑运用分析法;本题含有根式,考虑其根式的特殊性(有理化因式的灵活应用),也可采用放缩法证明.证法一:欲证|2211b a +-+|<|a -b |成立,只需证明(2211b a +-+)2<(a -b )2, 即:1+a 2-2)1)(1(22b a ++ +1+b 2<a 2-2ab +b 2∴1+ab <)1)(1(22b a ++.只需证:(1+ab )2<(1+a 2)(1+b 2)即:1+2ab +a 2b 2<1+a 2+b 2+a 2b 2即:a 2+b 2>2ab .∵a ,b ∈R 且a ≠b ,显然a 2+b 2>2ab 成立.故原不等式成立.证法二:| 2211b a +-+| =|222211b a b a +++-|b a ba b a b a b a b a b a b a b a -=++⋅-≤++⋅-<+++-=222211 (注意:a ,b ∈R 且a ≠b )故|2211b a +-+|<|a -b |.［师生共析］有关含有绝对值不等式的证明,常用分析法,因为这样可在命题的转化过程中,“脱去”绝对值符号,为运算及推理创造了条件.对于证法二,本题用了放缩法,其证明过程技巧性较强、难度较大,并且在上述证明过程中用到了两次放缩,即(1)21a + >|a |,ba b a b b +<+++⇒>+11111222;(2)若a ≠b ,则|a |+|b |>|a +b |ba b a +<+⇒11. ［例4］已知sin α+sin β=1,求证:|cos α+cos β|≤3.分析:本题直接证明困难,考虑运用反证法.证明:假设|cos α+cos β|>3成立,则:两边同时平方得:cos 2α+cos 2β+2cos α·cos β >3 ①由已知得:sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=1 ②由①+②得:2+2cos （α-β)>4∴cos （α-β)>1,这与cos （α-β)≤1矛盾.故假设不成立,原不等式成立.［师生共析］对直接证明较困难的题目,若运用反证法,则相当于增加了一个“条件”(即假设),因而降低了对命题推理的难度.本例中当增加的“条件”|cos α+cos β|>3(即假设后)结合已知条件sin α+sin β=1及正、余弦之间的关系式,使证题思路豁然开朗.Ⅲ.课堂练习［打出幻灯片§6.5.2 A,根据学生情况及特点,分成若干个小组进行练习,选出有代表性的学生答案(让学生最好写在幻灯片上),教师利用幻灯仪作概括总结,以提高学生分析问题和解决问题的能力.］附习题和答案:1.求证:(1)|x +1|+|x -1|≥2;(2)|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6;(3)2|x +2|+|x +1|≥1(当且仅当x =-2时,“=”号成立).证明:(1)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2.(2)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2.当且仅当(x +1)(x -1)≤0,即-1≤x ≤1时“=”成立;又|x +2|+|x -2|≥|(x +2)-(x -2)|=4,当且仅当(x +2)(x -2)≤0,即-2≤x ≤2时“=”号成立.∴|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6,当且仅当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-2211x x 即-1≤x ≤1时“=”号成立.(3)|x +2|+|x +1|≥|(x +2)-(x +1)|=1,当且仅当(x +2)(x +1)≤0,即-2≤x ≤-1时“=”号成立;又|x +2|≥0,当且仅当x =-2时，“=”号成立,∴2|x +2|+|x +1|≥1,当x =-2时，“=”号成立.2.已知f (x )=21x +,当|a |≠|b |时,求证:(1)|a +b |<|f (a )+f (b )|;(2)|a -b |>|f (a )-f (b )|.证明:(1)| a +b |≤|a |+|b |<2211b a +++=|f (a )+f (b )|.(2)由(1)得:|a +b |<2211b a +++,∴|a -b |=ba b a b a b a +-=+-2222 )()(1111)1()1(112222222222b f a f b a b a b a b a b a -=+-+=++++-+=+++->3.求证:a b a 22-≥|a |-|b |(a ≠b )证明:当|a |≤|b |时,即|a |-|b |≤0,而a b a 22-≥0,显然有: a b a 22-≥|a |-|b |;当|a |>|b |时,又a ≠0,从而|a |>0,有 |a b |<1⇒-|ab |>-1⇒-a b 2≥-|b | ∵(|b |≥0) ∴a b a 22-≥a b a 22-=|a |-a b 2≥|a |-|b |.综上所述有:a b a 22-≥|a |-|b |(a ≠b ).4.若|x |<1,|y |<1,|z |<1,求证： |zxyz xy xyz z y x ++++++1|<1. 证明：所证不等式⇔|x +y +z +xyz |<|1+xy +yz +zx | ⇔(x +y +z +xyz )2<(1+xy +yz +zx )2 ⇔(xyz +xy +yz +zx +x +y +z +1)(xyz -xy -yz -zx +x +y +z -1)<0 ⇔［(x +1)(y +1)(z +1)］·［(x -1)(y -1)(z -1)］<0⇔ (x 2-1)(y 2-1)(z 2-1)<0由于|x |<1,|y |<1,|z |<1从而x 2<1,y 2<1,z 2<1,于是(x 2-1)(y 2-1)(z 2-1)<0成立,所以原不等式成立.5.已知a ,b ∈R ,求证:b ba ab a ba +++≤+++111.证明:原不等式⇔|a +b |(1+|a |)(1+|b |)≤|a |(1+|a +b |)(1+|b |)+|b |(1+|a +b |)(1+|a |)⇔|a +b |(1+|b |)+|a +b |·|a |(1+|b |)≤|a |(1+|b |)+|a |·(1+|b |)·|a +b |+|b |(1+|a |)+|b |·|a +b |(1+|a |)⇔|a +b |+|a +b |·|b |≤|a |+2|ab |+|b |+|b |·|a +b |+|ab |·|a +b |⇔|a +b |≤|a |+|b |+2|ab |+|ab |·|a +b |.由于|a +b |≤|a |+|b |成立,显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立.以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下: ∵|a +b |≤|a |+|b |⇒|a |+|b |-|a +b |≥0,.111:.11111)(1)(1b ba aba ba bba ab a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤++++++≤+++++=+++=+-+++++-+++≤+++∴即 Ⅳ.课时小结本节是在绝对值的基本概念和基础知识的基础上,学习关于和差的绝对值与绝对值的和差的性质(即定理及其推论1,推论2),进一步学习含有绝对值的不等式的解法及其证明方法.其学习重点是定理性质及其应用,难点是定理的证明及应用.解含绝对值的不等式的关键是要掌握将含有绝对值的不等式等价地转化为不含绝对值的不等式,其转化方法主要有定义法、公式法、平方法.证明含有绝对值的不等式的关键是灵活运用定理及其推论和有关性质以及证明不等式的基本方法.Ⅴ.课后作业(一)课本P 22习题6.5 4、5(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.●板书设计。

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高中数学 10.3 基本不等式及其应用第2课时同步练习湘教版必修4
1．若x＞1，则函数f(x)＝4x＋1＋11x的最小值等于( )．
A．6 B．9
C．4 D．1

2．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项为12，且m＝a＋1a，n＝b＋1b，则m＋n的最小
值是( )．
A．3 B．4
C．5 D．6

3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，且14mab恒成立，则实数m的最大值是( )．

A．72 B．4
C．92 D．5
4．周长为422的直角三角形的面积的最大值是( )．
A．2 B．1
C．4 D．2
5．若x，y∈R＋且xy－(x＋y)＝1，则( )．
A．x＋y≥2(2＋1)
B．xy≤2＋1
C．x＋y≤(2＋1)2
D．xy≥2(2＋1)

6．函数f(x)＝sin x＋14sinx(0＜x＜π)的最小值是__________．
7．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
8．不等式xykxy对所有正数x，y都成立，则k的最小值是__________．
9．已知26列货车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两列货车间距离为
d
千米，现知d与速度v的平方成正比，且当v＝20(千米/时)时，d＝1(千米)．
(1)写出d关于v的函数关系式；
(2)若不计货车的长度，则26列货车都到达B地最少需要多少小时？此时货车速度为多
少？
- 2 -

10．已知a＞b＞c，问：是否存在实数m，使得不等式11mabbcac恒成立？若
存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
- 3 -
参考答案

1. 答案：B 解析：由x＞1，得x－1＞0，于是f(x)＝4x＋1＋11x＝4(x－1)＋
1
1x

＋5≥24＋5＝9，当且仅当4(x－1)＝11x，即32x时，f(x)取最小值9.

2. 答案：C 解析：由已知得a＋b＝1，所以m＋n＝a＋b＋11ab＝1＋ababab＝
3＋ba＋ab≥5，当且仅当a＝b＝12时等号成立.
3. 答案：C 解析：由于
1411414149()5522222baba
yababababab








，当且仅当

4baab时y取最小值92.因此要使14mab恒成立，需满足92m，即m的最大值是9
2
.

4. 答案：A 解析：设两直角边为a，b，则斜边为22ab，于是依题意有a＋b＋
22ab＝4＋22，由基本不等式知a＋b＋22
ab
＝42222abab，即

2ab
，所以ab≤4，故三角形面积S＝12ab≤2.

5. 答案：A 解析：由xy－(x＋y)＝1得xy＝1＋(x＋y)≤22xy，即(x＋y)2－4(
x
＋y)－4≥0，解得x＋y≥2＋22＝2(2＋1)
6. 答案：1 解析：因为0＜x＜π，所以0＜sin x≤1.因此由均值不等式得f(x)＝sin

x＋14sinx≥12sin4sinxx＝1，当且仅当sin x＝14sinx，sin x
＝12，即π6x或

5π

6
x

时，等号成立，所以函数的最小值等于1.
7. 答案：[9，＋∞) 解析：∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，
∴ab－2ab－3≥0，即(ab－3)(ab＋1)≥0，
∴ab－3≥0，即ab≥3，∴ab≥9.
8. 答案：2 解析：∵x＞0，y＞0，
∴x＋y≥2xy2(x＋y)≥2()xy2()xyxy，即

2xyxy

，要使xykxy对所有正数x，y都成立，即
- 4 -

max
xykxy







，

∴2k，即k的最小值为2.
9. 答案：解：(1)由题意可设d＝kv2，其中k为比例系数，k＞0，∵当v＝20时，d＝1，

∴1＝k·202，即1400k，

∴d＝1400v2(v＞0).
(2)∵每两列货车间距离为d千米，
∴最后一列货车与第一列货车间的距离是25d，

∴最后一列货车到达B地的时间为40025dtvv，

由(1)可知d＝1400v2，代入上式，整理得
40040021616vv
tvv
＝2×5＝10，

当且仅当40016vv，即v＝80(千米/时)时，等号成立，∴26列货车都到达B地最少需
要10小时，此时货车速度为80(千米/时)
10. 答案：解：不等式11mabbcac等价于acacmabbc，问题即转化为

求acacabbc的最小值，
2+4acacabbcabbcbcababbcabbcabbc

，当且仅当

bcababbc



，即a＋c＝2b时，等号成立.所以当m≤4时，原不等式恒成立.