向量值函数的导数与积分
5 多元向量值函数的导数与微分
9
向量值复合函数求导的链式法则
Df [g( x)] Df (u) Dg( x) ug( x)
例：试通过如下函数验证上述公式
w
f (u)
u12
,
u1u2
w
w1 w2
,
u
u1 u2
u
g(u)
x1
e x2
,
sin x1
x
x1 x2
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
dx1
dx2
fm ( x0 )
x2
f1( x0 )
x1
于是，将矩阵
f2 ( x0 ) x1
fm ( x0 ) x1
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
Df
( x0 )
称为导数
fm ( x0 )
x2
Jacobi 矩阵
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
多元向量值函数的导数与 微分
一元向量值函数的导数与微分 二元向量值函数的导数与微分 微分运算法则
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
对于一般的n元向量值函数：
f :A n m
f1( x) f1( x1, x2 ,
f
(
x)
f
2
(
x
)
f2 ( x1 , x2 ,
fm ( x) fm ( x1, x2 ,
6
一般地，对于n元向量值函数：f : A n m
定义导数(Jacobi矩阵)为：
f1( x0 )
x1
Df
( x0
)
f2 ( x0 ) x1
01-向量值函数及其导数
(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
向量微积分的偏导数和全微分
向量微积分的偏导数和全微分向量微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到向量、曲线、曲面和多元函数等概念，广泛应用于自然科学、工程学和经济学等领域。
其中偏导数和全微分是向量微积分中最为基础和常见的概念，本文将从它们的定义、性质和应用等方面进行讨论。
一、偏导数偏导数是多元函数在某一点上沿着某一坐标轴的导数，它可以用来衡量函数在该点上在该自变量方向上的变化率。
偏导数的定义如下：$$\dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h} $$其中$f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)$表示将第$i$个自变量增加$h$后的函数值，$f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$表示原始函数值，$h$表示增量，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$在第$i$个自变量上的偏导数。
具有偏导数的函数称为可偏导函数。
偏导数具有以下性质：1. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其各个偏导数存在时，它们的顺序可以交换，即偏导数的次序不影响结果。
2. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，如果它在某一点上各个偏导数都存在且连续，则它在该点上可微。
3. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其全微分可以表示为：$$df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$其中$dx_1,dx_2,\dots,dx_n$表示自变量的增量。
§1.4、向量函数的导数
(2) 令：h(x)a(x)f(x)
则：
h i( x ) a ( x ) f i( x ) ,i 1 ,2 , ,m
显然 h ( x )在 x 点可微，且：
h ix(jx) ax (x j)fi(x)a(x)fix (x j)
若令：
显然A ：[aij][f ix (x j)], C[cij]h ix (jx) h '(x ) a x (x j)fi(x ) a (x ) f ix (x j) f(x )a '(x ) a (x )A f(x )a '(x ) a (x )f'(x )
2、向量函数的导数的求解
若令：
a ij
fi(x 0 ) x j
a 1 ,1
A
a m ,1
a 1,n
a m , n
则： f(x0)Am nx
显然，由定理1的证明有：
f1( x x1
0
)
A
f
m
(
x
0
)
x1
f1( x xn
0
)
hi(x)fi(x)gi(x)
xj
xj
xj
若令：
A [ a ij] [ f ix ( x j)] ,B [ b ij] [ g i x ( j x )] ,C [ c ij] h ix ( j x )
显然：
h '( x ) C A B f'( x ) g '( x )
为在 x 0 的梯度。
x y z
*注意：
由于对多元函数来说，偏导数存在与可微并不等价，所以
向量微积分的向量函数和向量场
向量微积分的向量函数和向量场向量微积分是数学中的一个分支，它旨在研究几何结构中的向量和变化率。
其中向量函数和向量场是向量微积分研究中的两个重要概念。
一、向量函数向量函数是指将变量映射到向量的函数，它常用符号表示为f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))。
其中，t是一个自变量，f(t)是一个三维向量，t通常是实数或时间。
向量函数在实际生活中很常见，例如物体对空间的运动可以用向量函数来描述。
向量函数的导数是指向量函数的变化率，它是一个向量，它可以表示向量函数在一个特定点的斜率和方向。
向量函数的导数在数学中被称为向量的导数或时空导数，它通常用符号表示为f'(t)=(f1'(t),f2'(t),f3'(t))。
二、向量场向量场是一个将每个点映射到向量的函数，它表示在空间中每个点上的向量。
向量场是向量微积分中的一个重要概念，它被广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
向量场通常用符号F(x,y,z)表示，其中x、y、z是三维空间中的坐标。
向量的大小和方向由向量场在每个点的值决定，向量的长度表示向量的大小，向量的方向表示向量的方向。
向量场的导数描述了向量场在每个点上的变化率。
三、向量微积分中的应用向量微积分在实际应用中发挥了重要作用，例如在物理学中，它被用于描述场和力。
向量场可以用于描述流体的运动，例如风场和水流场。
在工程学中，向量场被应用于设计、制造和控制系统。
在计算机图形学中，向量场被用于创建真实感图像和动画。
向量微积分的应用还包括向量积分和梯度、散度和旋度等概念。
向量积分可以用于计算场的总功率或总磁通量。
梯度、散度和旋度被广泛应用于物理学和工程学中，可以用于描述场的变化和分布。
总之，向量函数和向量场是向量微积分的两个基本概念，它们在实际应用中发挥了重要作用。
向量微积分还包括向量积分和梯度、散度和旋度等概念，在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
向量值函数及其极值和导数
向量值函数及其极值和导数在高等数学中，向量值函数是函数的一种，它将自变量映射到向量空间中的向量。
向量值函数在物理、工程和计算机图形学等领域中经常被使用，因为它们可以用来描述物体的位置、速度和加速度。
向量值函数的定义向量值函数是一个从实数集合到向量空间的映射，通常可以表示为：$f(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t)\end{pmatrix}$其中 $t$ 是自变量， $f_i(t)$ 是 $i$ 维向量的第 $i$ 个分量，$n$ 表示向量的维数。
例如，可以将二维平面上的一条曲线表示为向量值函数：$r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 分别是 $t$ 的函数，表示曲线上每个点的横坐标和纵坐标。
向量值函数的极值类似于标量函数，向量值函数也可以有极值。
但是，向量值函数的极值不是在某个点上取得的，而是在某个时间或区间内取得的。
在一维情况下，一个函数在局部极值的必要条件是它的导数为零或不存在。
同样地，在向量值函数中，它的导数也是一个向量值函数。
只有当这个导数在某个时间或区间内为零或不存在时，原始函数才能取得极值。
一个向量值函数 $f(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}$ 在 $[a, b]$ 区间内取得极大值或极小值的必要条件是 $f'(t) = \begin{pmatrix} f_1'(t) \\ f_2'(t) \\ \vdots \\ f_n'(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ 或$f'(t)$ 不存在。
向量对向量求导公式
向量对向量求导公式1.引言在数学中，向量是一组有序数字的组合。
向量的求导涉及向量的各个分量的导数。
这个概念在向量微积分中起着关键作用，其应用范围极为广泛。
在本文中，我们将讨论向量对向量求导的公式，并探究其应用。
2.向量的导数在一元函数中，导数指的是函数在某个点处的斜率。
然而，在向量微积分中，导数是一组向量的导数，即单个向量中每个分量的导数的组合。
例如，一个二维向量可以表示为[x,y]，则它的导数为：d[x,y]/dt=[dx/dt,dy/dt]类似地，三维向量的导数可以表示为：d[x,y,z]/dt=[dx/dt,dy/dt,dz/dt]3.向量对向量求导的公式在向量微积分中，我们经常需要计算向量函数的导数。
这些向量函数的求导通常使用矩阵表示，这些矩阵称为雅可比矩阵。
预设f(x)表示一个向量值函数，例如：f(x)=[f1(x),f2(x),...,fn(x)]则有：df/dx=[∂f1/∂x1,∂f1/∂x2,...,∂f1/∂xn][∂f2/∂x1,∂f2/∂x2,...,∂f2/∂xn][.........][∂fn/∂x1,∂fn/∂x2,...,∂fn/∂xn]4.线性变换在微积分的应用中，我们经常需要针对向量进行线性变换。
一个线性变换可以定义为将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的向量的过程。
这个映射的特性是保持向量空间的线性组合。
一个线性变换可以表示为一个矩阵：[a11,a12,...,a1n]A=[a21,a22,...,a2n][...][am1,am2,...,amn]假设我们有一个向量u，那么它的线性变换可以表示为：Au=[a11u1+a12u2+...+a1nu1,a21u1+a22u2+...+ a2nu2,...,am1u1+am2u2+...+amnu_n]5.应用举例向量对向量求导在数学和实践中都有广泛应用。
例如，在机器学习和数据分析中，我们需要对多元函数进行求解，因此需要使用向量对向量求导的方法。
向量值函数的导数
由此可见,凡是一元m 维向量值的导数是各个分量 的导数所组成的一个m 维列向量.
例2： 当n=2，m=1时，有向量值函数 y=f(x),其中
x x1, x2 T D R2. 它等价于 y f x1, x2 .
如果在点x0 x10, x20 处函数的偏导都存在，则可称
A
a21
a22
副对角线 am1 am1
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
•元素是实数的矩阵称为实矩阵,
•元素是复数的矩阵称为复矩阵.
•只有一行的矩阵 A a1, a2, , an , 称为行矩阵
(或行向量).
a1
•只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A
1 4
2 5
2 8
,
1 4
AT
2
5 ;
2 8
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
3
2
f (x) A
fk x Ak
多元向量值函数
f 1 ( x 0 ) x1 f 2 ( x 0 ) Df x1 f m ( x0 ) x 1
f 1 ( x 0 ) f 1 ( x 0 ) x 2 x n f 1 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) f 2 ( x 0 ) f ( x ) 2 0 . x 2 x n f ( x ) f m ( x 0 ) f m ( x 0 ) m 0 x 2 x n
A 2 f 2(1,0) 2, B f1(1,0) 1, C 2 f 2(1,0) 2,
f ( x, y) 【例4】设 z f ( x, y ) 在点 (0,0) 处连续,且 lim 1 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) sin( x y ) 则 A) f x (0,0) 不存在; B) f x (0,0) 存在但不为零; C) f ( x, y ) 在点(0,0)处取极小值; D) f ( x, y ) 在点(0,0)处取极大值;
z 2 x 12 0, x 解法1 由 z 2 y 16 0, y
得 x 6, y 8.
F ( x , y , ) x 2 y 2 12 x 16 y ( x 2 y 2 25) 25 12 x 16 y ( x 2 y 2 25)
f1 ( x1 , x 2 ) f 2 ( x1 , x 2 ) f ( x ) f ( x1 , x 2 ) f ( x , x ) m 1 2
f 1 ( x 0 ) x1 f 2 ( x 0 ) df ( x0 ) x1 f m ( x0 ) x 1
向量函数的导数
向量函数的导数
向量函数的导数是一门实用的数学工具，在高等教育中有着重要的应用。
它可以使研究者用一种更简洁、实用的方式，来解决求解特定方向的运动学问题的难题。
向量函数的导数是一种关于向量函数的变化率的描述。
它可以定义为沿着特定向量方向上的函数曲线的斜率，用向量表示。
它可以用渐变、积分、级数、和微分来表示。
使用向量函数的导数，可以轻松解决很多关于特定方向的运动学问题。
例如，可以利用此工具来求解力学问题；根据向量导数来分析物体的速度、加速度和力之间的关系；向量导数还可以用于计算圆周运动的时间、距离和能量之间的关系。
另外，向量函数的导数还有着更广泛的应用。
比如，它可以用来求解几何学问题，如求解物体移动的路线；可以分析热力学问题，如求解温度和压力之间的关系；向量函数的导数也可以用来处理金融和经济学上的不确定性因素，如分析证券市场的投资组合的收益曲线。
以上就是向量函数的性质及其在高等教育中的重要应用。
它有助于我们解决不同学科的问题，为我们提供了一种简便而实用的解决方案，使我们能够以更高效和完善的方式理解和应用向量函数概念，进一步改善高校与高等教育的教学水平，促进相关学科的发展。
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平面点的运动轨迹
二维向量值函数
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
三维向量值函数 M
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
例1已知直线 过点
,其方向向量为
,
试用向量值函数表示直线.
直线的向量值函数
或
对应的参数方程为：
(
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
间 内的一个原函数，则
d
向量值函数的不定积分
各分量函数的不定积分
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例9 计算
d
【例9解】
原式
d
d
d
C
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例10一枚导弹以初始速度 、仰角 发射，假设导弹只受重力作 用，空气阻力可以忽略不记，求这枚导弹的位置函数 ，并问 取何值时射程最远？
数量函数求导法则
向量值函数求导法则
定理2设 为可导的向量值函数， 为可导的数值函
数， 为常向量（即 的各分量都为常数）， 为常数，则有
d (1)
d (3) d
d
(2) d d
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
向量值函数的求导法则
(4) d d
(5) d d d
(6) d
(7)链式法则：设 数值函数，则
向量值函数的定积分
例11计算
d
【例11解一】
原式
(1+ )d
d
【例11解二】 由牛顿-莱布尼兹公式，
原式
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
例2 画出下列向量值函数表示的曲线的图形：
(1)
(2)
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
定义1 设向量值函数 在 的某去心邻域内有定义，如果存在
常向量 ，使得
，
，当
时恒有
，
则称当
时向量值函数 的极限存在， 为其极限.
对二维向量值函数
→
→
→
如果二维向量值函数
在 的某邻域内有定
牛顿第二定律
—向量形式
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的定积分
定义5设三维向量值函数 上连续，定义该函数在区间
d
d
在区间 上的定积分为
d
d .
牛顿—莱布尼兹公式
设向量值函数 在区间 上连续， 是它在区间 上
的一个原函数，则
d
.
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
则有
：运动速度；
：速度的大小，即速率；
：质点运动的加速度 .
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
例7一个质点的位置向量为 度、加速度与速率． 【例7解】
速度
加速度
速率
，求质点的速
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
向量值函数的求导法则
转化
向量值函数求导数
各分量函数求导数
(2)若向量值函数 在点 处可导，则它在点 处必连续.
(3)向量值函数导数的几何解释：
二维向量值函数
设
，当
时
为曲线在该点的切向量.
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
增大方向
过曲线
上一点 且平行于该点切向量 的直线
定义为曲线在该点的切线， 过该点与切向量垂直的平面为
曲线在该点的法平面.
一元函数 一元实值函数
一元函数向量值函数
第60讲 向量值函数的导数与积分——问题的引入
向量值函数与空间曲线 向量值函数极限与连续 向量值函数的导数 向量值函数的积分
第60讲 向量值函数的导数与积分——主要内容
向量值函数：定义域为实数集合值域为向量集合的映射
参数方程
:平面曲线
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数极限与连续
例3设 【例3解】
→
→
例4设
【例4解】
→
e
→
，求
．
→
j
→
，求
．
→
e
→
e
→
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数极限与连续
定义2设向量值函数
在 的某邻域内有定义，如果极限
→
存在，则称向量值函数
→
在 处可导，并称极限区间 内的一个原函数．
思考： 的分量函数与 对应的分量函数有何关系？
的每个分量函数是 对应的分量函数的一个原函数 .
例如，
是
原函数，则有
的一个
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
定义4设向量值函数
在区间 内内连续，则称 在区间
内的原函数的全体为它的不定积分，记作 d ．若 在区
法平面
切线
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
例5 求空间曲线
在点
处的切线
方程与法平面方程.
【例5解】点 (1,1,1)对应于 t =1，该点处曲线的切向量为
故所求切线方程为
法平面方程为 即
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
(4)如果一个向量值函数
值函数
在 处的导数，记为 或者dd ．
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
定理1设三维向量值函数 分量函数在点 处可导，则 在点 处可导，且
，其中各
同理，可导的二维向量值函数
的导数为
二阶导数为
转化
说明：(1)向量值函数求导数
各分量函数求导数
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
义，且
→
，则称向量值函数 在点 处连续．
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数极限与连续
如果
在区间 的每个点上连续，则称
为区间 上连续的向量值函数．
二维向量值函数 在 处连续的充分必要条件是其分量函数 与 在 处都连续．
关于二维向量值函数的极限与连续的概念容易推广到三维及三 维以上向量值函数．
为可导的向量值函数，
d
dd
d dd
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
为可导的
例8设 是可导的向量值函数，且 ( 为常数)，证明： 与 垂直．
r'(t)
r(t) O
．如果
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
定义3设向量值函数
在区间 内有定义，如果存在可导
的向量值函数 ，使得对于区间 内的每一点，都有
在区 间 上满足 连续，且
在区间 内
，则称曲线在该区间上是光滑曲线．
例6判断曲线
是否为光滑曲线？
但 曲线非光滑 分段光滑的
连续 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1.0
1.5
2.0
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
(5)向量值函数的物理意义
如果向量值函数
描述的是做曲线运动的质点的位置，