一维单原子链振动能与热容的研究
第三章材 晶格振动与热学性质
（3-7）
x2 n 1 A e x2 n 2
i[ q ( 2 n 2 ) a t ] Be
i[ q ( 2 n 1) a t ]
（3-8）
将式（3-8）代入式（3-7），得
m 2 A (e iqn e iqa ) B 2 A 2 iqn iqa M B (e e ) A 2 B
格波的波长 = 2/q。若令n代表沿格波传播方向的单 2 位矢量，则q = n ，这就是格波的波矢。 波速（相速） p / q 。 将式（3-4）代入到运动方程组式（3-3）中，可得
2 [1 cos(qa)] m
2
（3 -5）
2
qa sin m 2
二、一维双原子复式晶格的振动
对于由两个不同原子组成的一维双原子链，设相邻同 种原子间的距离为2 a（2a 是这种复式格子的晶格常 数），如图3-4所示，质量为 m 的原子位于…2 n－1， 2n＋1，2n＋3…各点；质量为M的原子位于…2n－2， 2n，2n＋2…各点。
类似于方程（3-3）得到
（3-1）
其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为
其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为 d 2U dU （3-2） 2 dr d a 这叫做简谐近似。上式中的 称为恢复力常数，在简谐 近似下，认为当原子离开其平衡位置发生位移时它受 到的相邻原子作用力（恢复力）与该原子的位移成正 比。如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受 到的总作用力是 ( xn1 xn ) ( xn xn1 ) ( xn1 xn1 2 xn )
3.1一维晶格振动
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
一维双原子链热容的研究
严格 解 ， 而受 到 人们 的重 视 。一 维 晶格 的研 究 也 是 三维 晶格 的基 础 ， 果 想 要 研 究 三 维 晶 格 的 问题 ， 如 必须 透彻地 研 究 一 维 晶 格 。而 对 一 维 晶格 的研 究 ，
｛［ ±
式（ ） １ 中“一” 表声 频支 ， 代 “＋” 代表 光频 支 。
＇ｒ ａ ｘ Ｊ ｒ ｘｏｍ
０…
＼ｅ
— ｌ
／ ‘
（ 一）
兰
（ ２ １）
式 （２ 中 ， １ ） Ｒ为气 体 常数 ， … 为 声 频 支 的上 限 特
征温度 ， 为 光频 支 的 上 限特 征温 度 ， 。 为 光 ０ ０… 频 支的下 限特征 温度 ， 特征 温度 的表 达式分 别 为
⑥
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｒ． ０２ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇｇ
物 理 学
一
维 双 原 子 链 热 容 的研 究
刘 凤 智
（ 辽宁石油化 ［ 大学理学院 ， 抚顺 １３０ ） ０ ｉ １
摘
要
对 于一维双 原子链组成 的晶格 ， 可以求 出频谱 密度 ， 而可 以求 出 晶格 的振动 能和热容 ， 进 并进 行 了数值 计算。结果
表 明： 于一维双原子链 的晶格 热容 ， 对 在高温 时与经典理论 吻合 ， 在低温 时也符合德 拜定律 ， 但在 中温 区相对原子 量对热容有
影响。
关键 词 一维双原 子链
振 动能
热容
色散关 系
频谱 密度
中图法分类 号
０ ８．１ ４２２ ；
文献标志码
Ａ
一
维 晶格 振 动 ， 为 模 型 简 单 ， 常 可 以 得 出 因 常
固态电子XXXX-第四章
图4.12 一维复式晶格的长光学波
结论： 对含N个原胞的一维双原子晶体：
⒈格波波矢q在第一布里渊区有N个分立的值，即有N 种独立的简正模式，晶格振动的波矢数目=晶体中的 原胞数；
⒉每个q对应有两个ω，即一个q对应有两支格波，其 中一支描述原胞质心的运动，称为声学波；另外一 支描述原胞内原子的相对运动，称为光学波；
由（4.2.5）整理得
（4.2.11）
结论:在长声学波中，相 邻原子的振动方向相同， 并且振幅相同，所以长声 学波代表的是原胞质心 (即原胞整体)的振动，如 图所示。
图4.11 一维复式晶格的 长声学波
⑵光学波
将 代入到
中得到： （4.2.12）
将
和
代入得：
即
Am BM 0
结论:长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原 子振动方向相反，且长光学波是原胞质心不变的振 动，它实际上表示原胞内原子之间的相对运动，如 图4.12所示。
( dU dr
)a
0
，U(a)为常数，δ很小
忽略高次项
U
(a
)
U
(a)
1 2
(
d 2U dr 2
)
a
2
（4.1.3）
则在振动时，原子受到的恢复力为：
f
dU
d
(
d 2U dr 2
)
a
（4.1.4）
其中恢复力常数
(
d 2U dr 2
)a
（4.1.5）
——这种处理晶格振动的方法叫简谐近似
以第n个原子为研究对象，考虑左、右原子对它的 作用力，则第n个原子受到的总作用力为：
关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的 这两个结论对三维晶格也是适用的。
一维原子链的晶格振动方程
一维原子链的晶格振动方程晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，其内部的原子或分子通过振动相互作用，从而产生晶格振动。
晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为，对研究固体物理和材料科学具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。
我们假设原子链中的原子质量相同，且原子间的相互作用力为弹簧力。
在平衡位置附近，原子的位移可以用小量近似表示，即位移量远小于原子间距。
此时，可以利用胡克定律，将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。
根据胡克定律，弹簧的力与其伸长（或缩短）的长度成正比，且方向与伸长（或缩短）的方向相反。
对于一维原子链中相邻两个原子，其相互作用力可以表示为：F = -k(x - a) - k(x + a)其中，F为相互作用力，k为弹簧常数，x为原子的位移量，a为原子间距。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
在一维原子链中，每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关，可以表示为：m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)其中，m为原子的质量，d^2x/dt^2为原子的加速度，t为时间。
将上述方程进行简化，可得：d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)化简后得到：d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)这就是一维原子链的晶格振动方程。
从中可以看出，原子的加速度与位移量成正比，且与原子间距和弹簧常数有关。
当原子受到外力作用时，晶格振动方程可以进一步进行修正。
一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解，也可以通过数值模拟方法进行计算。
对于周期性边界条件下的一维原子链，可以采用傅里叶变换的方法，将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。
晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。
通过研究晶格振动，可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。
此外，晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关，对于材料的设计和优化具有重要意义。
一维单原子链推导
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
一维介电原子链中的热传导研究
其中 Ｓ＝１２ …… 湮灭和产生算符 ａ和 ｏ 是 由 ａ ，， 。 ｓ ＝（ ｉ。 ／ ２ 给出的， ＝０ Ｐ 一 ｅ Ｘ ） （ｏ ） ｏ ） 是粒子数算符 。 两个热源开始处于热平衡温度 和 ， 当系统时间处于 ｔ 开启热源。 ＝ 同时我们规 定系统的第 １ 个粒子连接到系统 左侧热源， 而第 Ⅳ个粒子连接到 ， 右侧热源。 此后 ， 整个系统的
别连到两个我们指定 的热源 ， 对于每个热源 ， 我们都用 个谐振子来描述 ， 为了简单起见 ， 格点的质
量单 位化 ， 则左 边热 源 可２ ∑ ∑ Ｘ＝ 囊 ∑ １ｗ。 壹 ＋ ： 譬 （ ） 譬 Ｍ Ｍ ／口 ｏ
得 到热 流的一般 表达 式 。
本文， 我们运用 Ｆ Ｍ方法来处理与两热源相连接的一维介 电原子链 的热传导问题 ， Ｋ 在通过一序
列计算 导 出热流表 达式后 ， 用不 同 的热源 和边界条 件 ， 热流进 行 了数值 分析 。 利 对
１ 理 论模 型
一
个 含 Ⅳ粒 子 的无序 原子链 ， 哈密顿 量一 般表达 式可用 下式 表示 为 ： 其
中图分类号 ：４ ５ ０ １
文献标识码 ： Ａ
文章 编号：０ ９２ １ （０ １０ — ０６ ０ １０ －７４ ２ １ ）４ ０ ２ — ４
热传 导理论 在科 学研究 与 工 程 技术 各 个领 域 都 有 着广 泛 的应 用 。 过 对各 种 热传 导 问题 的求 通 解 ， 以得到有 实用 价值 的结果 。 然前人 在这 一领域 已经做 出 了很 多 重要 的贡献 可 虽 ， 是 ， 目前 但 到
发 展 ， 过 总哈密 顿表 征 ： 通
ＨＴ＝ Ｈ ＋ＨＬ ＋ＨＲ—ｋ ｐ—ｋｘｘｐ ｘｘ Ｎ ． （ ３
一维单原子链的频率分布
一维单原子链的频率分布一维单原子链是指由相同类型的原子按照一定的规则排列成的链状结构。
频率分布是指在单原子链中各个振动模式的频率出现的分布情况。
本文将从单原子链的基本特征、频率的计算方法以及频率分布的特点三个方面来详细探讨一维单原子链的频率分布。
一、单原子链的基本特征一维单原子链是凝聚态物理中常见的模型系统，它具有以下基本特征：1. 原子之间的相互作用力：在单原子链中，相邻原子之间存在着弹性力和相互作用力，这些力决定了原子在链中的振动行为。
2. 间距和质量的均匀性：单原子链中的原子间距相等，原子质量也相等，这使得单原子链具有均质性，便于分析和计算。
3. 边界条件：单原子链的两端通常会施加边界条件，如固定边界条件或周期性边界条件，以模拟实际情况中的约束条件。
二、频率的计算方法在一维单原子链中，原子的振动可以通过离散化简化为谐振子模型，通过求解谐振子的本征值问题可以得到振动频率。
对于一维单原子链，振动频率的计算方法如下：1. 利用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律，可以得到原子的运动方程。
通过求解运动方程可以得到振动频率。
2. 应用弹性势能：利用弹性势能的定义，可以将原子的振动视为在势能函数中寻找最小值的过程。
通过求解势能函数的最小值问题，可以得到振动频率。
3. 应用量子力学：在一维单原子链中，可以将原子的振动量子化，利用量子力学的方法求解振动频率。
具体的计算方法可以通过哈密顿算符的对角化来实现。
三、频率分布的特点在一维单原子链中，频率分布具有以下特点：1. 频率的离散性：由于单原子链的离散结构，振动频率呈现出离散的特点。
频率分布通常由一系列离散的振动模式组成，每个模式对应一个特定的频率。
2. 频率的对称性：对于一维周期性边界条件的单原子链，频率分布具有对称性。
即频率分布在频率为零的点处对称，且对称轴上的频率相等。
3. 频率的分布范围：频率分布的范围取决于原子之间的相互作用力和边界条件。
不同的相互作用力和边界条件将导致不同的频率分布范围。
第8、9讲、一维原子链振动及声子的概念
14
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 个原子头尾相接形成一个环链， 个原子头尾相接形成一个环链 特点
N很大，原子运动 很大， 很大 近似为直线运动
处理问题时要考虑 到环链的循环性
15
设第n个原子的位移 设第 个原子的位移 再增加N个原子之后， 再增加 个原子之后，第N+n个原子的位移 个原子之后 个原子的位移 则有 要求2π Nhomakorabeaλ
—— 格波和连续波具有完全类似的形式，区别在于 x 和 na 格波和连续波具有完全类似的形式， —— 而 na 是一系列周期排列的点。 是一系列周期排列的点。 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 ω 的振动
9
µn = Aei(ωt−naq)
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 简谐近似下，
4
1)、运动方程 、
每个原子质量m，平衡时原子间距a 一维无限原子链 —— 每个原子质量 ，平衡时原子间距 —— 原子之间的作用力 第n个原子离开平衡位置 个原子离开平衡位置 的位移 个原子和第n＋ 个原 第n个原子和第 ＋1个原 个原子和第 子间的相对位移
个原子和第n＋ 个原子间的距离 第n个原子和第 ＋1个原子间的距离 个原子和第
能量本征值 本征态函数
1 εi = (ni + )ℏωi 2
—— 谐振子薛定谔方程
ϕn (Qi ) =
i
ωi
ℏ
exp(−
ξ2
2
)Hni (ξ)
— 厄密多项式
32
能量本征值 本征态函数
1 εnq = (nq + )ℏωq 2
ϕn (Qq ) =
q
ωq
ℏ
第三章晶格振动和晶体的热学性质
a a （横轴）、
（纵轴）的正方形
aa
面积为：
2
2
a
第一BZ为一个原胞的大小
§3.2 三维晶格的振动
模型: 设三维无限大的晶体,每个原胞中有p个原子，相当于每个
基元有p个原子，各原子的质量分别为 m1, m2 ,, mp ; 原胞中 这p个原子平衡时的相对位矢分别为 r1, r2,, rp 。
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3 (可和晶体的体积类比)
根据玻恩---卡门周期性条件：
u
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质 和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
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一维单原子链振动能与热容的研究
刘凤智
【摘 要】对于一维晶格可以严格求出振动能和热容，将它们与爱因斯坦模型和
德拜模型的结果进行比较，可以找出两种模型的成功与不足，如此可以加深对
模型的理解，也有助于模型的完善.
【期刊名称】河南科学
【年(卷),期】2012(030)009
【总页数】5
【关键词】单原子链；振动能；热容；爱因斯坦模型；德拜模型
晶格振动理论是晶体的重要理论，从晶格振动理论可以推出晶体的物理性质，
特别是晶格热容的计算.对于一维晶格振动，因为模型简单，常常可以得出严格
解，而受到人们的重视，一维单原子链也是晶格振动理论的入门知识，在固体
物理教学中占有重要的地位.晶格振动理论就是起源于对晶格热学性质的研究，
而能量和热容是热学性质中很有代表性的物理量.对晶格热容和振动能的具体求
解是一个比较复杂的问题，在一般的讨论中常采用爱因斯坦和德拜两个简化模
型.因为一维单原子可以做严格意义上的理论研究，为了深刻理解模型的实质，
可以对一维晶格进行对比研究，找出爱因斯坦和德拜模型的成功与不足，有利
于对实际三维晶格的认识[1].本文首先从理论上将三种处理方法应用到一维单原
子链，得出相应的振动能与热容，并得出极端情况下的极限值，随后用一个实
际例子做了讨论，得出一些有意义的结论.
1 由爱因斯坦模型计算晶格振动能和等容摩尔热容
对于一维单原子链，假设原子数为N，晶格常数为a，晶格的力常数为β，原
子质量为m，只考虑最近邻原子的作用，可以得出晶格振动的色散关系[2]：
其中：ωm为晶格振动的截止频率；q为波矢，可以将它限制在第一布里渊区，
即-π/a
如果采用爱因斯坦模型，即假设所有原子都以统一的频率ωE（称为爱因斯坦
特征频率）振动，则一摩尔晶格振动能为：
其中为了方便可以引入一个特征温度，称为爱因斯坦温度：
爱因斯坦温度θE，一般由实验确定.
上述晶格振动能的极限情况：
由摩尔热容的定义可以从（3）式求出晶格的等容摩尔热容：
等容摩尔热容的极限情况：
2 由德拜模型计算晶格振动能和等容摩尔热容
将德拜方法用到一维晶格振动，首先考虑长波近似下的色散关系[3]：
此时可以求出频谱密度为：
还可以求出德拜截止频率：
由德拜模型可以求出一维晶格的摩尔振动能为：
其中称为德拜温度，一般需要由实验来确定：
对于德拜模型的一维晶格振动能的极限情况：
由德拜模型求出晶格的等容摩尔热容：
对于德拜模型一维晶格等容摩尔热容的极限情况：
3 由严格解法求晶格振动能和等容热容
对于一维晶格可以求出严格的频谱密度：
由（16）式和振动能公式可以得出一维晶格摩尔振动能：
其中为了方便还可以定义一个特征温度
由严格频谱密度求出晶格摩尔振动能的极限情况[4]：
由（17）式还可以求出相应的等容摩尔热容：
等容摩尔热容的极限情况：
4 讨论
4.1 三种振动能的比较
假设一维单原子链中振动截止频率为ωm=4.479×1013（rad/s），可分别计算
出德拜模型的特征温度θD=535.3 K，严格计算中的特征温度θm=340.8 K.下
面根据室温下，由爱因斯坦模型中的振动能（3）式和严格解法的振动能（17）
式，二者能量应该相等，即有：
将θm=340.8 K和T=300 K，代入（21）式中，通过数值计算，可得下面的
方程：
从（22）式可解得爱因斯坦温度：θE=232.4 K.
知道了特征温度，通过数值计算可以分别求出各自的振动能，其振动能随温度
的变化曲线如图1所示.由三条能量曲线看，在温度较高时，能量与温度基本成
线性增长，随着温度的增长，三条能量曲线趋于重合，与经典能均分定理的结
论一致，量子效应消失，这也说明在高温区，三种模型都能很好地描述晶格振
动能.
由图1所示，在低温区，三条曲线差异较大.由爱因斯坦模型得出的能量在75
K以下的低温区偏离严格解法所得能量，在20 K左右就基本接近零点能了，不
过二者的零点能相差只有7%左右.对于德拜模型与严格解法二者的曲线在低温
区差异较大，特别是在零点能，二者差距达到23%之多，这是由于德拜近似将
截止频率抬高了的缘故，由于德拜近似主要用来计算晶格比热，对于振动能不
太关注，但有时在计算结合能时，会用它来计算零点振动能，此时会有较大误
差，应该引起重视.
顺便提及，由数值计算得出的零点能与各个低温极限所给出的结果完全相符，
这也说明各个极限公式是正确的.
4 .2 三种等容摩尔热容的比较
确定了各自的特征温度，也可以通过数值计算来研究等容摩尔热容与温度的关
系.计算所得等容摩尔热容随温度变化的曲线如图2所示.我们依然将严格解法所
得的结果作为准确值，用它来比较爱因斯坦和德拜模型.
如图2所示，在高温区，德拜模型与爱因斯坦模型都与严格解相同，说明在高
温情况下，二种模型都能给出正确的晶格热容，也与经典物理理论相符.在低温
区，爱因斯坦模型与严格解相差较大，在100 K左右开始偏离，在20 K左右
就基本下降为零了，下降速度远快于温度的一次方.这与爱因斯坦模型过于简单
有关，爱因斯坦模型认为所有振动都以一个单一频率ωE进行，没有考虑频率
的分布.
在温度很低时德拜模型与严格解法都得出等容摩尔热容与温度呈线性下降，这
段温区很小，从表1可以看出，较严格的线性关系在10 K左右（误差在0.5%
以内），这与文献［5］的说法相符（从一维的结论来推知三维的实际晶体，在
低温时热容与温度的3次方下降的规律可能只在很小的一个温区成立），大约为
θD/50的量级.从比热随温度变化的数据曲线上来看，虽然高温极限与低温极限
德拜模型都与严格解相符，但在中低温区，二者有较大的差异，这也可能是在
实际晶体中德拜模型计算热容相差较大的原因.
在高温区爱因斯坦等容摩尔热容曲线是在德拜等容摩尔热容曲线的上方，这一
点与文献［5］的说法不同.
5 结论
我们从一维单原子为研究对象，将爱因斯坦模型和德拜模型与严格解进行了比
较，清晰地指出了两种常见模型的成功与缺陷，主要得出以下几个结论：
1）可以用能量相等的方法来确定爱因斯坦温度.
2）用德拜模型来求零点能会产生较大的误差.
3）对于一维单原子链，晶格热容随温度线性下降的温区比预料的要小得多.
4）在高温区，爱因斯坦热容曲线在德拜曲线的上方，在低温区则在下方.
5）尽管德拜热容曲线在极低温与高温区与严格解相符，但在中温区曲线下移，
这有可能是导致与实际热容偏差的原因.
参考文献:
［1］张海峰，徐文兰.几种一维原子链晶格振动特性比较研究［J］.中国科学院
研究生院学报，1995，12（1）：86－90.
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（编辑 张继学）
基金项目:辽宁石油化工大学科研基金项目（80040067）