2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(12)——图形的变化及答案

2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（12）——图形的变化一．选择题（共5小题）1．（2020•丰台区三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，1），点B （3，﹣1）．平移线段AB ，使点A 落在点A 1（﹣2，2）处，则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（1，0）D ．（3，0）2．（2020•海淀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 是正方形OPQR 边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线OM 与x 轴正半轴的夹角为α，且sin α＞cos α，则点M 所在的线段可以是（ ）A ．AB 和CD B ．AB 和EFC ．CD 和GH D ．EF 和GH3．（2020•海淀区校级模拟）已知∠P AQ ＝36°，点B 为射线AQ 上一固定点，按以下步骤作图： ①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交射线AP 于点D ，连接BD ；③以B 为圆心，BA 长为半径画弧，交射线AP 于点 C ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．∠CDB ＝72° B ．△ADB ∽△ABC C ．CD ：AD ＝2：1 D ．∠ABC ＝3∠ACB4．（2020•延庆区一模）下列各组图形中，△A 'B 'C '与△ABC 成中心对称的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．（2019•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是由△OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（ ）A ．先平移，再轴对称B ．先轴对称，再旋转C ．先旋转，再平移D ．先轴对称，再平移二．填空题（共13小题）6．（2020•海淀区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝30°；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③AE 2＝AD •AF ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论为是 ．（填写所有正确结论的序号）7．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知∠MON ＝120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA ＝OB ＝a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM ′，旋转角为α（0°＜α＜120°且a ≠60°），作点A 关于直线OM ′的对称点C ，画直线BC 交于OM ′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：①∠BDO +∠ACD ＝90°；②∠ACB 的大小不会随着α的变化而变化；③当α＝30°时，四边形OADC 为菱形；④△ACD 面积的最大值为√3a 2．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）8．（2020•丰台区模拟）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OB 的中点，连接AE并延长交BC 于点F ．若△BEF 的面积为1，则△AED 的面积为 ．9．（2020•丰台区模拟）如图，在▱ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EE EE 的值是 ．10．（2020•昌平区模拟）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）．11．（2020•西城区校级模拟）太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，支撑角钢EF 长为290√33cm ，AB 的倾斜角为30°，BE ＝CA ＝50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE ⊥AB 于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为 30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，则支撑角钢CD 的长度是 cm ，AB 的长度是 cm ．12．（2019•海淀区二模）如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若S △APQ ＝1，则S四边形PBCQ＝ ．13．（2019•丰台区一模）如图，将△ABC 沿BC 所在的直线平移得到△DEF ，如果AB ＝7，GC ＝2，DF ＝5，那么GE ＝ ．14．（2019•怀柔区一模）如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点．若△ABC 与△DEC 的周长比为3：2，AC ＝6，则DC ＝ ．15．（2019•海淀区一模）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，则AF的长为．16．（2019•海淀区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（3，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为．17．（2019•怀柔区模拟）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE ＝1：3，则S△BDE：S四边形DECA的值为．18．（2019•海淀区校级模拟）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C的坐标为（﹣1，1），若把此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，则与右眼B对应的点的坐标是．三．解答题（共24小题）19．（2020•怀柔区模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，P是BC上的一动点（不与B，C重合），射线AP绕点A顺时针旋转45°，得到射线AQ，过点C作CE垂直AB，交AB与点D，交射线AQ于点E，连接PE．（1）依题意补全图形；（2）求∠APE的度数；（3）用等式表示线段PE ，DE ，AC 三条线段之间的数量关系，并证明．20．（2020•石景山区二模）在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 上的一点（不与点B 重合），边BC 上点E在点D 的右边且∠DAE =12∠BAC ，点D 关于直线AE 的对称点为F ，连接CF ． （1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF ＝BD ．（2）如图2，∠BAC ＝90°，用等式表示线段DE ，CE ，CF 之间的数量关系，并证明．21．（2020•门头沟区一模）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，点D 在AB 上，连接CD ，并将CD绕点D 逆时针旋转60°得到DE ，连接AE ．（1）如图1，当点D 为AB 中点时，直接写出DE 与AE 长度之间的数量关系；（2）如图2，当点D 在线段AB 上时，①根据题意补全图2；②猜想DE 与AE 长度之间的数量关系，并证明．22．（2020•东城区校级模拟）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是射线CB 上一点，连接AD ，过D 作DE ⊥AD 交射线AB 于点E ，以A 为旋转中心，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得线段AF ，过点F 作FG ⊥AF 交AC 的延长线于点G ，连接EG ．（1）如图1，点D 在CB 上．①依题意补全图1；②猜想DE 、EG 、FG 之间的数量关系并证明；（2）如图2，点D 在CB 的延长线上．请直接写出DE 、EG 、FG 之间的数量关系为 ．23．（2020•东城区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得P A﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．24．（2020•朝阳区校级模拟）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．25．（2019•海淀区校级模拟）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．26．（2019•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．27．（2019•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD 的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．28．（2018•昌平区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BD是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE．（1）①依题意补全图形；②若∠BAC＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；（2）若DE＝2AE，点F是BE中点，连接AF，BD＝4，求AF的长．29．（2018•门头沟区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2α，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）∠EDB＝°（用含α的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转180°﹣2α，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路．30．（2018•丰台区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．（1）依题意补全图形；（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．31．（2018•房山区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD＝α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG．（1）依题意补全图形；（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由．32．（2018•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）点C关于x轴的对称点C2的坐标为；（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：．33．（2020•丰台区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD=√3PB成立，并证明．34．（2020•顺义区二模）已知：如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，AD平分∠CAB交BC于点E，DF是⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF⊥AF；（2）若⊙O的半径是5，AD＝8，求DF的长．35．（2020•平谷区一模）△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若α＝20°，直接写出∠AEC的度数；（3）写出一个α的值，使AE=√2时，线段CE的长为√3−1，并证明．36．（2020•海淀区校级模拟）如图，在△ABP中，∠ABP＝60°，90°＜∠APB＜120°，过点A的直线l 垂直于线段BP所在的直线．设点B，P关于直线l的对称点分别为点B′，P′（1）在图中画出△ABP关于直线l对称的三角形△AB′P′．（2）若∠BAP＝α，求∠AP′B的度数．（用α表示）（3）若点P′关于直线AB′的对称点为M，连接AM，PM．请写出P A、PM之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．37．（2020•昌平区模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，AB＝10，CD＝4，连接并延长BD到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的长．38．（2019•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．39．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．（1）依据题意补全图形；（2）当α＝20°时，∠ADC＝°；∠AEC＝°；（3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．40．（2019•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．41．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB＝2，求AD的长．42．（2019•通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD 的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（12）——图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：如图，B1（﹣1，0），故选：B．2．【解答】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．∵sinα=EEEE，cosα=EEEE，OP＞PM，∴xinα＜cosα，同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．∵sinα=EEEE，cosα=EEEE，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．3．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠P AQ＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°，故A正确；∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADB ∽△ABC ，故B 正确；∵∠A ＝∠ACB ＝36°，∴∠ABC ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝108°，∴∠ABC ＝3∠ACB ，故D 正确；∵∠ABD ＝36°，∠ABC ＝108°，∴∠CBD ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝72°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝72°，∴CD ＝BC ，∵∠A ＝∠ACB ＝36°，∴AB ＝BC ，∴CD ＝AB ，∵AD +DB ＞AB ，AD ＝DB ，∴2AD ＞AB ，∴2AD ＞CD ，故C 错误．故选：C ．4．【解答】解：A 、是平移变换图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是旋转变换图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．5．【解答】解：将△ABO 沿y 轴向左翻折，再沿y 轴向下平移3个单位长度得到△OCD ，或先沿y 轴向下平移3个单位长度，再沿y 轴向左翻折得到△OCD ，或先将△ABO 沿x 轴向下翻折，再旋转得出△OCD 故选：C ．二．填空题（共13小题）6．【解答】解：∵在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，∴AB ＝BC ，BE =12AB ，∴tan A =EE EE =12，∵tan30°=√33，∴∠BAE ≠30°，故①错误；∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，∴∠BAE +∠BEA ＝90°，∠BEA +∠CEF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ，∵AB ＝2BE ＝2CE ，∴EC ＝2CF ，设CF ＝a ，则EC ＝BE ＝2a ，AB ＝4a ，∴AE ＝2√5a ，EF =√5a ，tan ∠CFE ＝2，∴tan ∠AFE =EE EE =2， ∴∠AFE ＝∠CFE ，即射线FE 是∠AFC 的角平分线，故②正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠AEB +FEC ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△BAE ∽△CEF ，∴EE EE =EE EE ，∵BE ＝CE ，∴EE EE=EE EE ， ∵∠B ＝∠AEF ＝90°， ∴△ABE ∽△AEF ， ∴EE EE =EE EE ，∴AE 2＝AD •AF ；故③正确；作EG ⊥AF 于点G ，∵FE 平分∠AFC ，∠C ＝90°，∴EG ＝EC ，∴EG ＝EB ，∵∠B ＝∠AGE ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △AGE 中{EE =EE EE =EE ， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ），∴AB ＝AG ，又∵CF ＝GF ，AF ＝AG +GF ，∴AF ＝AB +CF ，故④正确，由上可得，②③④正确，故答案为：②③④．7．【解答】解：①∵A 、C 关于直线OM '对称，∴OM '是AC 的垂直平分线，∴CD ＝AD ，∠BDO +∠ACD ＝90°．故①正确；②连接OC ，由①知：OM '是AC 的垂直平分线，∴OC ＝OA ，∴OA ＝OB ＝OC ，以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O ，交AO 的延长线于E ，连接BE ，则A 、B 、C 都在⊙O 上， ∵∠MON ＝120°，∴∠BOE ＝60°，∵OB ＝OE ，∴△OBE 是等边三角形，∴∠E ＝60°，∵A 、C 、B 、E 四点共圆，∴∠ACD ＝∠E ＝60°，∴∠ACB ＝120°是定值，故②正确；③当α＝30°时，即∠AOD ＝∠COD ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴∠OAC ＝60°，OC ＝OA ＝AC ，由①得：CD ＝AD ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝∠CDA ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝CD ，∴OC ＝OA ＝AD ＝CD ，∴四边形OADC 为菱形；故③正确；④∵CD ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，当AC 最大时，△ACD 的面积最大，∵AC 是⊙O 的弦，当AC 为直径时最大，此时AC ＝2a ，S △ACD =√34×（2a ）2=√3a 2；故④正确，所以本题结论正确的有：①②③④故答案为：①②③④．8．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△DEA ，∴EE EE=EE EE ， ∵E 是OB 的中点， ∴EE EE =13， ∴EE EE =13， ∴E △EEE E △EEE =EE EE =13， ∵△BEF 的面积为1，∴△AEB 的面积为3，∵EE EE =13， ∴E △EEEE △EEE =13， ∴△AED 的面积为9，故答案为：9．9．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．AD ＝BC ，设AD ＝3a ，则AE ＝a ，∵DE ∥BC ，∴△EDF ∽△CBF ，∴EE EE =EE EE =4E 3E =43 故答案为43．10．【解答】解：根据题意得：△CED ∽△AEB ，∴EE EE =EE EE ，∵DE ＝2.0米，BE ＝8.0米，CD ＝1.6米， ∴AB =EE ⋅EE EE =1.6×82=6.4（米）， 则树的高度约为6.4米，故答案为：6.411．【解答】解：过A 作AG ⊥CD 于G ，则∠CAG ＝30°，在Rt △ACG 中，CG ＝AC sin30°＝50×12=25，∵GD ＝50﹣30＝20，∴CD ＝CG +GD ＝25+20＝45，即支撑角钢CD 的长度是45cm ．连接FD 并延长与BA 的延长线交于H ，则∠H ＝30°，在Rt △CDH 中，CH ＝2CD ＝90，∴AH ＝CH ﹣AC ＝90﹣50＝40，∵在Rt △EFH 中，EH =EE EEE30°=290√33√33=290， ∴AE ＝EH ﹣AH ＝290﹣40＝250，∴AB ＝AE +BE ＝250+50＝300，即AB 的长度是300cm ．故答案为45，300．12．【解答】解：∵P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，∴PQ ∥BC ，PQ =12BC ， ∴△APQ ∽△ABC ，∴E △EEEE △EEE =（12）2=14， ∵S △APQ ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S 四边形PBCQ ＝S △ABC ﹣S △APQ ＝3，故答案为3．13．【解答】解：∵△DEF 由△ABC 平移而成，∴AB ＝DE ＝7，BE ＝CF ，AC ∥DF ，∴△EGC ∽△EDF ．∴EEEE =EEEE ．∵AB ＝7，GC ＝2，DF ＝5，∴EE 7=25． ∴GE =145．故答案是：145．14．【解答】解：∵ED ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴EE EE =△EEE 的周长△EEE 的周长=23， ∵AC ＝6，∴CD ＝4，故答案为4．15．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝6，AB ∥CE ，设AF ＝x ，则DF ＝6﹣x ，∵AB ∥DE ，∴△ABF ∽△DEF ，∴EE EE =EE EE ，∴42=E 6−E ， ∴x ＝4，∴AF ＝4．故答案为416．【解答】解：∵A （3，0），∴OA ＝3，∵∠BAC ＝45°，∠CAE ＝75°，∴∠EAO ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝30°，∴AB ＝2OA ＝6，∴AC ＝AE ＝6，∵AB ＝BC ，∴AB ＝6•cos45°＝3√2．故答案为3√2．17．【解答】解：∵S △BDE ：S △CDE ＝1：3，∴BE ：EC ＝1：3，∵DE ∥AC ，∴△BED ∽△BCA ，∴S △BDE ：S △BCA ＝（EE EE ）2＝1：16，∴S △BDE ：S 四边形DECA ＝1：15，故答案为：1：15．18．【解答】解：如图，根据左眼A 的坐标是（﹣2，3），建立直角坐标系，∵右眼B 的坐标为（0，3），∴向右平移3个单位后，右眼的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）三．解答题（共24小题）19．【解答】解：（1）补全图形，如图，（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∵∠EAP ＝45°，∴∠EAD ＝∠CAP ，又∵∠EDA ＝∠ACP ＝90°，∴△ADE ∽△ACP ，∴EE EE =EE EE ，由旋转知，∠P AE ＝∠CAD ＝45°，∴△APE ∽△ACD ，∴∠APE ＝∠ACD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CAD ＝45°，∵CE ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝45°，∴∠EP A ＝45°；（3）2PE 2＝2DE 2+AC 2．证明：由（2）可知，∠P AE ＝∠EP A ＝45°，∴∠AEP ＝90°，AE ＝PE ，∴AP =√2PE ，∴△AEP 是等腰直角三角形，在Rt △APC 中，根据勾股定理得，AP 2＝PC 2+AC 2 由（2）知，∠ADC ＝90°，∠BAC ＝45°，∴AC =√2AD ，由（2）知，△ADE ∽△ACP ，∴EE EE =EE EE =√2，∴EE =√2EE ，∴(√2EE )2=(√2EE )2+EE 2，即2PE 2＝2DE 2+AC 2．20．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF ，如图1，∵∠3=12EEEE ，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠F AE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠F AE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接F A，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．21．【解答】解：（1）结论：DE＝AE．理由：如图1中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，∵DA＝DC，DC＝DE，∴AD＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AE．（2）①图形如图2所示：②如图2﹣1中，结论：DE＝AE．理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．∵∠ACB＝90°，AF＝BF，∴CF＝AF＝BF，∵∠B＝60°，∴△BCF是等边三角形，∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△ECD是等边三角形，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，∴∠1＝∠3，∴△ECF≌△DCB（SAS），∴∠5＝∠B＝60°，∵∠6＝60°，∴∠4＝∠5＝60°，∵EF＝EF，F A＝FC，∴△EF A≌△EFC（SAS），∴AE＝EC，∵EC＝ED，∴AE＝ED．22．【解答】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝EG+DE，理由：过点A作AH⊥AB交FG于H，∴∠BAH＝90°，由旋转知，AD＝AF，∠DAF＝90°＝∠BAH，∴∠DAE＝∠F AH，∵DE⊥AD，FG⊥AF，∴∠ADE＝∠AFH＝90°，∴△ADE≌△AFH（ASA），∴DE＝FH，AE＝AH，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAH＝90°，∴∠HAG＝45°＝∠CAB，∵AG＝AG，∴△AGE≌△AGH（SAS），∴EG＝HG，∴FG＝HG+FH＝EG+DE；（2）如图2，过点A作AH⊥AB交GF的延长线于H，同（1）的方法得，△ADE≌△AFH（ASA），∴DE＝FH，AE＝AH，同（1）的方法得，△AGE≌△AGH（SAS），∴EG＝HG，∴EG＝FG+FH＝FG+DE，故答案为：EG＝FG+DE．23．【解答】解：（1）补全图形如图1．（2）△CDE为等边三角形，证明如下：延长BC与DE交于F，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，①∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，∴∠ACD＝∠ADC，②∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，即∠BCD＝150°，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，∴∠DCE＝60°．∴△DCE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE＝30°，∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①∵AG⊥BC，AC＝AB，∴AG垂直平分BC，∴PB＝PC＝QB＝QC，∴四边形PBQC 是菱形，∴PB ＝QC ，∠PBQ ＝∠PCQ ＝60°，②∵QB ＝QC ，∴∠QBC ＝∠QCB ，∴∠ABQ ＝∠ACQ ，∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴∠ABD ＝60°＝∠PCQ ，∴∠ABQ ﹣∠ABD ＝∠ACQ ﹣∠PCQ ，∴∠DBQ ＝∠ACP ，③∴由①②③得△ACP ≌△DBQ （AAS ），∴AP ＝DQ ．∵CQ ＝PB ，∴AP ＝DQ ＝DC +CQ ＝DC +PB ．即P A ﹣PB ＝CD 成立．24．【解答】（1）补全图形图1， 证明：在△ABD 和△BEC 中，{EE =EEEEEE =EE =60°EE =EE∴△ABD ≌△BEC （SAS ）∴∠BAD ＝∠CBE ．∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE ＝∠BAD +∠ABP ＝∠CBE +∠ABP ＝∠ABC ＝60°；（2）补全图形图2，EE =12EE ，证明：在△ABD 和△BEC 中，{EE =EEEEEE =EE =60°EE =EE∴△ABD ≌△BEC （SAS ）∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE ＝∠BAD +∠ABP ＝∠CBE +∠ABP ＝∠ABC ＝60°．∵AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到，∴AF ＝AD ，∠DAF ＝120°．∵∠APE ＝60°，∴∠APE +∠DAF ＝180°．∴AF ∥BE ，∴∠1＝∠F ，∵△ABD ≌△BEC ，∴AD ＝BE ．∴AF ＝BE ．在△AQF 和△EQB 中，{∠1=∠EEEEE =EEEE EE =EE△AQF ≌△EQB （AAS ），∴AQ ＝QE ，∴EE =12EE ， ∵AE ＝AC ﹣CE ，CD ＝BC ﹣BD ，且AC ＝BC ，CE ＝BD ．∴AE ＝CD ，∴EE=12 EE．25．【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM＝MC，∵将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，∴△CMQ是等边三角形，∴∠ACQ＝60°，∴∠CDB＝30°；（2）如图2，连接PC，AD，∵AB＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD，在△APD与△CPD中，∵{EE=EE EE=EE EE=EE，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠P AD＝∠PCD，又∵PQ＝P A，∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠1，∠4＝∠PCQ＝∠P AD，∴∠P AD+∠PQD＝∠4+∠PQD＝180°，∴∠APQ+∠ADC＝360°﹣（∠P AD+∠PQD）＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠APQ＝180°﹣2α，∴2∠CDB＝180°﹣2α，∴∠CDB＝90°﹣α；（3）∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，∴∠P AD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠P AD＞∠MAD，∵点P在线段BM上运动，∠P AD最大为2α，∠P AD最小等于α，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．26．【解答】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为127．【解答】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝30°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°∴∠ABD＝∠ADB＝75°∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°∵∠EAF＝60°又∵∠EAF＝60°，∴∠F＝60°∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS）．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE﹣EF＝BD，∴2CE﹣AE＝BD28．【解答】（1）解：①如图．②∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB＝90°−12 E．∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD是AC边上的高．∴BD⊥CE，CD＝DE．∴BE＝BC．∴∠BEC＝∠ACB＝90°−12 E．∴∠DBE=12 E；（2）作FG⊥AC于G，∵BD⊥CE，∴FG∥BD∵点F是BE中点，∴EG＝DG．∴EE=12 EE，∵DE＝2AE，∴AE＝EG＝DG，设AE＝EG＝DG＝x，则CD＝DE＝2x，AC＝5x，∴AB＝AC＝5x．∴BD＝4x．∵BD＝4，∴x＝1，∴AG＝2．∵EE=12EE=2，∴AF=2√2．29．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠A）＝90°﹣α，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣∠B＝90°﹣（90°﹣α）＝α；故答案为α；（2）①如图，连接AD，②DM ＝DN ．理由如下：∵AB ＝AC ，BD ＝DC∴DA 平分∠BAC ，∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ，∠MED ＝∠NFD ＝90°，∵∠A ＝2α∴∠EDF ＝180°﹣2α，∵∠MDN ＝180°﹣2α，∴∠MDE ＝∠NDF ，在△MDE 和△NDF 中{∠EEE =∠EEEEE =EE EEEE =EEEE，∴△MDE ≌△NDF ，∴DM ＝DN ；③数量关系：BM +CN ＝BC •sin α．证明思路为：先由△MDE ≌△NDF 可得EM ＝FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE ＝CF ，所以BM +CN ＝BE +EM +CF ﹣FN ＝2BE ，接着在Rt △BDE 可得BE ＝BD sin α，从而有BM +CN ＝BC •sin α．30．【解答】解：（1）如图．（2）∵∠1＝∠2＝30°，∠4＝90°，∴∠ACD ＝150°，∵CA ＝CB ＝CD ，∴∠3＝∠CAD ＝15°，∴∠5＝∠2+∠3＝45°，即∠AMC ＝45°．（3）结论：AM =√2CN ．理由：作AG ⊥EC 于G ．∵点B 、D 关于CE 对称，∴CE 是BD 的垂直平分线，∴CB ＝CD ，∴∠1＝∠2＝α，∵CA ＝CB ，∴CA ＝CD ，∴∠3＝∠CAD ，∵∠4＝90°，∴∠3=12（180°﹣∠ACD ）=12（180°﹣90°﹣α﹣α）＝45°﹣α，∴∠5＝∠2+∠3＝α+45°﹣α＝45°，∵∠4＝90°，CE 是BD 的垂直平分线，∴∠1+∠7＝90°，∠1+∠6＝90°，∴∠1＝∠6，∵AG ⊥EC ，∴∠G ＝∠8＝90°，在△BCN 和△CAG 中，{∠8=∠EE7=E6EE =EE，∴△BCN ≌△CAG ，∴CN ＝BG ，∵Rt △AGM 中，∠G ＝90°，∠5＝45°，∴AM =√2AG ，∴AM =√2CN ．31．【解答】解：（1）如图如图所示：（2）由轴对称性可知，AB 为ED 的垂直平分线，AC 为EG 的垂直平分线． ∴AE ＝AG ＝AD ，∴∠AEG ＝∠AGE ，∠BAE ＝∠BAD ＝α，∴∠EAC ＝∠BAC +∠BAE ＝30°+α，∴∠EAG ＝2∠EAC ＝60°+2α，∴∠AGE =12(180°−EEEE )=60°﹣α，或：∠AGE ＝∠AEG ＝90°﹣∠EAC ＝90°﹣（∠BAC +∠EAB ）＝90°﹣（30°+α）＝60°﹣α．（3）结论：EG ＝2EF +AF ．法1：设AC 交EG 于点H ．∵∠BAC＝30°，∠AHF＝90°，∴FH=12 EE，∴EH＝EF+FH＝EF+12 EE，又∵点E，G关于AC对称，∴EG＝2EH，∴EG＝2（EF+12EE）＝2EF+AF，法2：在FG上截取NG＝EF，连接AN．又∵AE＝AG，∴∠AEG＝∠AGE∴△AEF≌△AGN∴AF＝AN∵∠EAF＝α，∠AEG＝60°﹣α∴∠AFN＝60°，∴△AFN为等边三角形，∴AF＝FN，∴EG＝EF+FN+NG＝2EF+AF．32．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点C2的坐标为：（4，﹣2）．故答案为：（4，﹣2）；（3）答案不唯一．如：6．33．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根据题意可知：AC＝AD，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠CAD ＝90°，∴∠DAB ＝120°，∴∠ABD ＝∠D ＝∠BAC ＝30°，∴AP ＝BP ，在Rt △APD 中，∠ADB ＝30°，∴PD ＝2AP ，∴PD ＝2PB ；（2）当α＝60（或120°）时，PD =√3PB 成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ，∴△DFP ∽△BEP ，∴EE EE =EE EE ，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°，∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠CAD ＝60°，∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ，∴2BE =2√33DE ，∴√3BE ＝DF ，∴PD =√3PB ．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ，∴△DFP ∽△BEP ，∴EE EE =EE EE ，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°，∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠F AD ＝60°，∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ，∴2BE =2√33DE ， ∴√3BE ＝DF ，∴PD =√3PB ．34．【解答】（1）证明：连接OD ．∵DF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF ，∴∠ODF ＝90°．∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ．又∵OA ＝OD ，∴∠DAB ＝∠ADO ．∴∠CAD ＝∠ADO ．∴AF ∥OD ．∴∠F +∠ODF ＝180°．∴∠F ＝180°﹣∠ODF ＝90°．∴DF ⊥AF ．（2）解：连接DB ．∵AB 是直径，⊙O 的半径是5，AD ＝8，∴∠ADB ＝90°，AB ＝10．∴BD ＝6．∵∠F ＝∠ADB ＝90°，∠F AD ＝∠DAB ，∴△F AD ∽△DAB ．∴EE EE =EE EE ．∴EE =EE ⋅EE EE =8×610=245． 35．【解答】解：（1）如图1，（2）∠AEC＝135°，证明：连接AC、BE，如图2，由题意，BC＝BE＝BA，∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°∵∠ABC＝90°，∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，（3）α＝30°，证明：过A作AG⊥CE于G，∵∠AEC＝135°，∴∠AEG＝45°，∵AE=√2，∴AG＝GE＝1，当α＝30°时，则∠ABD＝75°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝15°，∴∠EBC＝30°，∵BC＝BE，∴∠BCG＝75°，∵∠BCA＝45°，∴∠ACG＝30°，∴EE=√3，∴EE=√3−1．36．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）解：如图1中，设直线l交PP′于C，∵P′，P关于直线l对称，过点A的直线l垂直于线段BP所在的直线，∴AC⊥PP′，CP＝CP′，∴AP＝AP′，∴∠APP′＝∠AP′B，又∵在△ABP中，∠B＝60°，∠BAP＝α，∴∠AP′B＝∠APP′＝∠B+∠BAP＝60°+α．（3）如图2中，结论：P A＝PM，P A与PM所成锐角为60°．理由：设直线l交PP′于C，AB交MP′于D．∵B，B′关于直线l对称∴AC⊥BB′，CB＝CB′，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴∠B＝∠B′＝60°，在△AP′B′中∠2＝∠B′+∠3＝60°+∠3，又∵∠2＝60°+α，∴∠3＝α，∵P′，M关于AB′对称，∴AB′⊥P′M，DP′＝DM，∴AP′＝AM，∴∠4＝∠3＝α，∵∠5＝α，∴∠4＝∠5，∴∠P AM＝∠P AB′+∠4＝∠P AB′+∠5＝∠BAB′，∵AB ＝AB ′，∠B ＝60°，∴△BAB ′为等边三角形，∴∠BAB ′＝∠P AM ＝60°，又∵由（2）得AP ＝AP ′，AP ′＝AM ，∴AP ＝AM∴△P AM 为等边三角形∴P A ＝PM ，∠APM ＝60°，即P A ＝PM ，P A 与PM 所成角为60°．37．【解答】解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图） ∵AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴∠DMN ＝∠CNM ＝∠MDC ＝90°，∴四边形MNCD 是矩形，∵CD ＝4，∴MN ＝CD ＝4，∵在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝5，∴∠DAB ＝∠CBA ，DM ＝CN ，∴△ADM ≌△BCN ，又∵AB ＝10，∴AM ＝BN =12（AB ﹣MN ）=12×（10﹣4）＝3，∴MB ＝BN +MN ＝7．（2分）∵在Rt △AMD 中，∠AMD ＝90°，AD ＝5，AM ＝3，∴DM =√EE 2−EE 2=4，∴tan ∠ABD =EE EE =47．（3分）（2）∵EF ⊥AB ，∴∠F ＝90°，∵∠DMN ＝90°，∴∠F ＝∠DMN ，∴DM ∥EF ，∴△BDM ∽△BEF ，∵DE ＝BD ，∴EE EE =EE EE =12， ∴BF ＝2BM ＝14．（4分）∴AF ＝BF ﹣AB ＝14﹣10＝4．（5分）38．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵∠BAD ＝α，∴∠F AG ＝60°﹣α，∵∠AFG ＝∠EFD ＝60°，∴∠AGE ＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）CG ＝2BD ，理由是：如图，连接BE ，过B 作BP ∥EG ，交AC 于P ，则∠BPC ＝∠EGP ，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∵∠C＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠EGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD．39．【解答】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD，∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，由对称可知，AD＝AB，∴AD＝AC，∵∠BAP＝α＝20°，∴∠DAB＝40°，∴∠DAC＝40°+60°＝100°，∴∠ADC＝∠ACD=180°−100°2=40°，∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°，故答案为40，60；（3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α，∵AD＝AB＝AC，∴∠ADC=180°−(60°+2E)2=60°−E，∠AEC＝60°，∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BCE＝α，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE，证明：在CD上截取BG＝BE，∵∠BEC＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BCE＝∠DAE＝α，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴CD＝2DE+CG，即CD＝2DE+AE．40．【解答】解：（1）如图，连接CF．∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝45°，∵点E、F关于直线BC对称，∴CE＝CF，∠FCB＝∠BCE＝45°，∴∠FCA＝45°，在△FCA与△ECB中，{EE=EE EEEE=EEEE EE=EE∴△FCA≌△ECB（SAS），∴AF＝BE；（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2，证明：∵△FCA≌△ECB，∴∠AFC＝∠BEC，∵∠AFC+∠CFG＝180°，∴∠CFG+∠CEG＝180°，∴∠ECF+∠EGF＝180°，∵∠ECF＝45°+45°＝90°，∴∠EGF＝90°，连接EF，∴GE2+GF2＝EF2，∵CE＝CF，∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，∴GE2+GF2＝2CE2．41．【解答】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形．∴AF＝DE，∠DEB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴AF=12BC，∵BC＝BD，AF＝DE，∴DE=12BD，∴∠DBE＝30°，∴∠D′BC＝120°+30°＝150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．（3）由题意AB＝AC＝2，∴BC＝2√2，∴AF＝BF＝DE=√2，∴BE=√3DE=√6，∴AD=√6−√2，AD′＝2√6−（√6−√2）=√6+√2．42．【解答】解：（1）连接AE．∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，∴∠EEE=12[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．（2）结论：AF ＝EF +CF ．证明：如图，作∠FCG ＝60°交AD 于点G ，连接BF ．∵∠BAF ＝∠BCF ＝α，∠ADB ＝∠CDF ，∴∠ABC ＝∠AFC ＝60°，∴△FCG 是等边三角形，∴GF ＝FC ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°，∴∠ACG ＝∠BCF ＝α，在△ACG 和△BCF 中，{EE =EE EEEE =EEEE EE =EE ，∴△ACG ≌△BCF ．∴AG ＝BF ，∵点B 关于射线AD 的对称点为E ，∴BF ＝EF ，∴AF ﹣AG ＝GF ，∴AF ＝EF +CF ．。