算法与程序框图

第一节算法与程序框图

教材面面观

基础知识常梳理自主探究强记忆1．算法的概念：算法是可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，程序和步骤必须是________，且能在________之内完成．广义的算法是指做某一件事的步骤或程序．

算法的特点：________，________，________，____，________.

答案明确和有效的有限步确定性有限性顺序性正确性普遍性

2．程序框图：程序框图又称________，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示________的图形．

答案流程图算法

3．程序框图的三种结构分别是：________、________、________.

答案顺序结构条件结构循环结构

4．流程图与结构图：

(1)像这样由一些________和________构成的图示称为流程图．流程图常常用来表示一些________，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．

(2)结构图一般由构成系统的________和________的连线(或方向箭头)构成．连线通常按

照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示要素的________关系或________关系．

答案(1)图形符号文字说明动态过程(2)若干要素表达各要素之间关系从属逻辑的先后

考点串串讲

考点归纳与解析思维拓展与迁移1．算法

(1)算法并没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．

(2)对于某一个问题，找到解决它的某种算法是指使用一系列运算规则能在有限步内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的，不能模棱两可．我们过去学习的许多数学公式都是算法，加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法．

(3)求解某个问题的算法不一定是唯一的．

(4)我们学习的算法不同于一个具体问题的求解方法，它有如下的要求：

①算法必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组)，并且能重复使用；

②算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备，而且经过有限步后能得出结果．

2．程序框图的特点及使用规则

(1)用程序框图表示算法，具有直观、形象的特点，能更清楚地展现算法的逻辑结构．

(2)程序框图主要由程序框和流程线组成．基本的程序框有终端框、输入、输出框、处理框、判断框，其中终端框是任何程序框图不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．

(3)画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下、从左到右的方向画；判断框是具有超过一个退出点的唯一符号，除判断框外，其他程序框图符号都只有一个进入点和一个退出点；在图形符号内的描述语言要非常简练、清楚．

3．程序框图的几种结构

(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构．

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤．如图所示，A框和B框是依次执行的，

只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作．

(2)条件结构：根据某种条件是否满足来选择程序的走向．当条件满足时，运行“是”的分支，不满足时，运行“否”的分支．条件结构中包含一个判断框，根据给定的条件P是否成立而选择执行A框和B框(如图所示)．

特别提示

在条件结构中，无论条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框．无论走哪条路径，在执行完A框或B框之后，都经过b点，然后脱离此条件结构．A和B两个框可以有一个是空的，即不执行任何操作．

使用条件结构画程序框图时要注意两点：一是要注意需要判断的条件是什么；二是判断后的条件分别对应着什么样的结果．

(3)循环结构：从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况．常用来处理一些反复进行操作的问题，其程序框图如图所示．

①循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

一类是当型循环结构，如图(1)所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A 框，从b点离开循环结构．

另一类是直到型循环结构，如图(2)所示，它的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时

不再执行A框，从b点离开循环结构．

②两种循环结构的区别：

(ⅰ)执行情况不同．当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环

体至少要执行一次．

(ⅱ)循环条件不同．当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．

③循环结构中几个常用量：

计数变量，用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1，n＝n＋1；

累加变量，用来计算数据之和，如sum＝sum ＋i，s＝s＋i；

累乘变量，用来计算数据之积，如p＝p×i.

计数变量用于记录循环次数，累加(乘)变量用于计算结果．计数变量和累加(乘)变量一般是同步执行的，累加(乘)一次，计数一次．对于这些变量，在程序开始时，一般要先赋初始值，可根据实际问题合理选择初始值，一般情况下，计数变量的初始值可设为0或1，累加变量的初始值可设为0，累乘变量的初始值可设为1.

4．框图

(1)工序流程图

①工序流程图可以按照从左到右，也可以按照从上到下的顺序来画，图形用矩形和棱形表示，再用流程线相连，流程线是有向线，表示工序进展的方向．

②工序流程图描述加工工序之间的动态过程，这就与实际生活联系密切，因此，对一些行业术语、流程程序要有初步的了解．

③在画工序流程图时，不能出现几道工序首尾相连的圈图或循环回路．

(2)结构图

结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，连线通常是从上到下或从左到右的方向，一般呈树形状的结构，在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达逻辑先后关系时出现．绘制结构图的步骤如下：

①对所画的结构图的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．

②将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个点并逐一写在矩形框内．

③按其逻辑顺序将它们排列起来，并用线相连结．

(3)在画结构图时，一般情况下“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．所以，画结构图时，应该根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点.

典例对对碰

反思例题有法宝变式迁移有技巧题型一算法概念的理解

例1下列关于算法的说法，正确的个数是()

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1B．2

C．3 D．4

解析由于算法具有可终止性、明确性和确定性．因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一．从而①错．

答案 C

点评算法在中学课程中是一个新概念，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题．而解决的过程是程序性和构造性的，算法又可以看成解决问题的特殊的有效的方法，中学课程中的算法更强调具体算法所蕴涵的算法思想，重点在于培养学生的算法意识.

变式迁移1

对算法的描述有：①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤，必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果，以上算法的描述正确的有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案 D

解析算法的特点有：①有限性；②确定性；

③顺序性和正确性；④不唯一性；⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题，就根据算法的这五大特点.

题型二算法的写法

例2写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．解析本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面用配方法和公式法写出其算法．算法一：

第一步：移项，得x2－2x＝3；①

第二步：①式两边同加1并配方得(x－1)2＝4；②

第三步：②式两边开方，得x－1＝±2；③

第四步：解③得x＝3或x＝－1.

算法二：

第一步：计算方程的判别式并判断其符号，Δ＝(－2)2＋4×3＝16＞0；

第二步：将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求

根公式x＝－b±b2－4ac

2a

，得x1＝3，x2＝－1.

点评(1)比较两种算法，算法二更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想的算法．因此在寻求算法的过程中，首先要考虑利用公式．

求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下：

第一步：计算Δ＝b2－4ac；

第二步：若Δ＜0；

第三步：输出方程无实根；

第四步：若Δ≥0；

第五步：计算并输出方程的根，x1,2＝－b±b2－4ac

2a

.

(2)算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果.

变式迁移2

一个算法如下：

第一步：计算m＝4ac－b2 4a

；

第二步：若a＞0，输出最小值m；

第三步：若a＜0，输出最大值m.

已知a＝1，b＝2，c＝3.则运行以上步骤输出的结果为________．

答案 2

解析本题算法用于求二次函数y＝ax2＋

bx ＋c (a ≠0)的最值．因m ＝4×1×3－22

4×1

＝2，故输出最小值2.

题型三顺序结构程序框图

例3已知一个数的13%为a ，写出求这个数的一个算法，并画出流程图．

解析 算法如下：

第一步：输入a ；

第二步：计算b ＝a ÷13100

； 第三步：输出b .

程序框图如图所示．

点评 设计算法时，一般先用自然语言表

达，再根据自然语言所描述的算法画流程图，在逐步熟练后也可直接画流程图，对较复杂的问题还是先用自然语言表达算法过程，后画流程图.

变式迁移3

如图所示，写出下列算法的功能．(1)图甲中算法的功能是(a ＞0，b ＞0)________；(2)图乙中算法的功能是________．

答案 (1)求以a ，b 为直角边长的直角三角

形斜边c 的长

(2)求两个实数a ，b 的和

题型四条件结构程序框图

例4函数y ＝?????

－2 (x ＞0)0 (x ＝0)2 (x ＜0)，写出求该函数值的算法及程序框图．

分析 该问题实质是一个分段函数，因为分段函数当变量在不同的范围内时函数的关系式不同，因而当给出一个自变量x 的值求它对应的函数值时，必须先判断x 的范围，然后确定用该范围内的函数关系式计算相应的函数值．

解析 第一步：输入x ；

第二步：如果x ＞0，则y ＝－2；如果x ＝0，则y ＝0；如果x ＜0，则y ＝2；

第三步：输出函数值y ，相应的程序框图如图所示．

点评求分段函数函数值的程序框图的画法：如果是分两段的函数，则只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框；依次类推，至于判断框内的内容是没有顺序的，例如本题中的两个判断框内的内容可以变换，但对应的下图框中的内容也必须相应地进行变化，

故本题的程序框图也可以画成如图的两种情形．

变式迁移4

某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．

答案 y ＝??? 2x ，x ≤1x －2，x >1 解析 当x ＞1时，有y ＝x －2；当x ≤1时，

有y ＝2x .所以，有分段函数y ＝???

2x ，x ≤1x －2，x ＞1

.

题型五循环结构程序框图

例5某篮球队6名主力队员在最近三场比赛

中投进的三分球个数如下表所示：

三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________ .(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)

分析本题主要考查程序框图中的当型循环结构，解题的关键是了解当型循环结构的特点，并注意WHILE型语句与UNTIL型语句之间的区别．

解析该程序框图是统计该篮球队6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.

答案i≤6s＝a1＋a2＋…＋a6

变式迁移5

阅读如图所示的程序框图，该程序输出的结果是________．

答案729

解析由程序框图可知，输入初始值a＝1＜4，s＝1；s＝1×9＝9，a＝1＋1＝2＜4；s＝9×9＝81，a＝2＋1＝3＜4；s＝81×9＝729，a＝3＋1＝4，此时停止循环，故输出的结果是729.

题型六流程图

例6某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图所示：

如果某人用手机查询该机卡上余额，请画出操作的流程图．

解析

点评确定工序的顺序，选用相应的方案，画出流程图.

变式迁移6

某市环境保护局信访工作流程如下：

(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．

(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．

(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．

据上画出该局信访工作流程图．

解析

题型七结构图

例7某公司局域网设置如下：由服务器连接经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部连接是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．

解析

点评在画结构图时要注意审题，确定名片定理系统的四个功能，并对每个功能细分，然后画出结构图.

变式迁移7

在工商管理学中．MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划．基本MRP的体系结构如图所示：

从图中可以看出，主生产计划受________和________的影响．

答案用户订单需求预测

解析主生产计划受用户订单与需求预测的影响，要先了解用户订单与需求预测才可以开始生产.

方法路路通

规律方法勤探究高考成绩优中优1．顺序结构的程序框图是按从上到下依次

执行的框图，不会引起程序步骤的跳转．2．条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的求值、数据的大小关系等问题中，常常用到条件结构来设计算法．

3．利用循环结构画程序框图，要明确三件事：确定循环变量和初始条件、确定循环体和确定循环的终止条件．

4．在画框图时，如果问题里涉及的运算运行了许多重复步骤，且各数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构．

5．用循环结构需注意的问题：

(1)不要忽视变量的初值、循环终止条件和循环变量三者之间的一致性而出现错误．

(2)不要忽视流程线的方向，导致出现把“是”和“否”的位置写反的错误．

6．流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画．

7．画结构图与画流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来标明各要素之间的关系.

正误题题辨

学海暗礁常提醒逐波踏浪舟更轻例下列三图是三位同学为计算22＋42＋62＋…＋1002而绘制的算法程序框图，根据程序框

图回答后面的问题．

其中正确的程序框图有哪几个？错误的程序框图有哪几个？错误的要指出错在哪里．解析以上三个程序框图都不正确．

(1)图1所示的程序框图中，计数变量是22,42,62，…，1002，指数都是2，而底数是变化的，相邻两项底数相差2，因此计数变量要加2.

故图1有三处错误：

第一处错误，第二个处理框中的“i＝42”应该是“i＝4”；

第二处错误，第三个处理框中累加的是“i2”而不是“i”，即p＝p＋i2；

第三处错误，第四个处理框中内容应是“i ＝i＋2”，而不是“i＝i＋1”；

(2)图2所示的程序框图中共有四处错误：

第一处错误，流程线没有箭头显示程序的执行顺序；

第二处错误，第三个处理框中的内容应是“p＝p＋i2”，而不是“p＝p＋i”；