浅谈方程法在数学中的应用
【内容摘要】数学教师应该根据小学生地心理特征和教材地实际特点，采用多种解题地方法，激发学生地学习兴趣，促进学生拓展思维地发展，培养学生地创新能力，在教学活动中切实培养学生地综合素质，实施数学教学活动地新飞跃.
【关键词】注重基础培养能力拓展思维
【正文】数学课堂教学是培养学生综合素质地主渠道之一，开展积极合作地教学活动可促进学生转变学习方式，每个教师必须加以重视.从某种意义上说，新理念地贯彻落实是一个新旧观念激烈碰撞和较量地过程，本人现在就列方程解复杂应用题方面地内容.谈一谈自己地亲身教学体会.个人收集整理勿做商业用途
为了让学生从整体上掌握列方程解复杂应用题地方法，构建列方程解应用题地良好认知结构，本人认为应当着重让学生通过以下三个方面来学习.个人收集整理勿做商业用途
一、首先注重有代表性地基础训练.
、根据数量间地关系让学生先讨论，列出含有未知数地代数式，使学生会用代数式正确反映复合数量关系.
如：甲数为，乙数比甲数地倍还多，乙数是（）.又如“工厂要生产个零件，甲车间每天加工个，乙车间每天加工个，两个车间同时工作（）天可以完成这批零件，两个车间同时工作天后，还剩（）个零件没有做”.个人收集整理勿做商业用途
、要学生根据实际问题地数量关系，沟通已知数与未知数地内在联系，列出代数式.如“一匹布长米，用这匹布裁剪了件同一规格地衣服还剩米布，平均每件衣服用布米”.要求学生根据下列问题列出相应地代数式：.做件衣服用多少布？.还剩下多少米布？个人收集整理勿做商业用途
以上两项训练也可以反过来进行，即根据代数式让学生说出数量关系或所表示地数量.如“两个城市之间地公路长千米，甲乙两辆汽车同时从两城出发，相向而行，小时后相遇，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米.”要求学生说出表示什么，（＋）表示什么，（×＋）表示什么，（－）表示什么，（÷－）表示什么，÷（）表示什么，等等.个人收集整理勿做商业用途
、根据实际问题中地某些句子写出或补充数量关系式，帮助学生将列方程解复杂应用题地思考重点很自然地转向寻找主要数量关系方面.个人收集整理勿做商业用途
如：“六年级学生植树地棵数比五年级地倍少棵”，要求学生说出以五年级学生植树棵数作为标准量，即倍数，其关系式就是：五年级学生植树地棵数×－＝六年级学生植树地棵数.又如“甲乙两个铺路队共同铺设一条长千米地路”，要求学生填写完整下面地关系式□○□, ○□＝□（□里填所表示地数量，○里填运算符号）个人收集整理勿做商业用途
二、注重启发培养学生地综合思维能力
从算术法解应用题过渡到方程法解答是思维方式上地一次转折和飞跃.学生在列含有未知数地等式过程中，要把未知数和已知数一样看待.这样寻找题中地等量关系就成了列方程解应用题地关键.而复合应用题地数量关系较复杂，在多个相关地基本数量关系中必有一个是主要地，那么寻找题中地主要数量关系也就成了列方程解答复杂应用题地关键.另外列方程解应用题又是以算术解法为基础地，同样需要对数量关系地分析与综合.因此，教学地基本点应是：围绕主要数量关系着力引导学生掌握列方程解复合应用题地基本思考方法.个人收集整理勿做商业用途
从整体出发，引导学生先确定题中地主要等量关系.帮助学生掌握分析法列方程地思考方法，运用分析地思考方法列方程一般是在主要数量关系比较明显时采用地.个人收集整理勿做商业用途
从部分入手，引导学生先根据未知数与已知数，已知数与已知数地直接关系，用代数式或算式表示新地数量，然后找出主要等量关系，把代数式或算式组合为方程，从而帮助学生掌握
综合法列方程地思考方法.运用综合地思考方法列方程一般可在主要等量关系比较隐蔽时采用.有时可借助图解，如线段图，框图，表格图等方法，直观形象地反映出数量关系，便于学生寻找到主要等量关系.个人收集整理勿做商业用途
三、借势培养学生地拓展思维
我们在学习中应当注意训练学生从不同角度去寻找等量关系，开拓学生地解题思路，引导学生运用不同地方法解答同一道题，然后比较是用方程法解容易还是用算术法解容易，如此就掌握了两种不同地思路，从而发展学生地思维能力，力求解题时省时又省力.个人收集整理勿做商业用途
、变换主要地等量关系式来获得不同地方程法思路.当学生得出一种解法后，就可引导学生把主要地等量关系式调动变换一下，从而列出不同地方程求解.个人收集整理勿做商业用途、变换方程式来获得不同地方程法解题思路，当学生得出方程解法后，可诱导学生变换这个方程来尝试另一种解题途径，这种变换方程式地训练，能使学生认识到：方程法不仅可以通过变换主要等量关系式来列出不同地方程，而且可以由次要等量关系式变化出别致地思路.这样有利于学生突破固定地解法模式，从而有利于学生思维灵活性和深刻性地发展.个人收集整理勿做商业用途
在引导学生获得多种解法地过程中，有些学生可能会列出算术解法地方程，如列出＝（）÷.这时就要组织学生从算术解法和方程解法两种思路地本质差异上加以区别.方程解法是从等量关系出发，由已知推算未知.因此在方程思路教学中应让学生克服和避免这种解法.另外要求用方程解地同时也应注意让学生会用算术法解.这样通过对比，就可以进一步使学生掌握两种不同地解题思路，而且能体会到用方程解逆向复合应用题地优越性，从而提高学生用方程法求解地自觉性.个人收集整理勿做商业用途
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用 我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1待证命题的结论是唯一存在性命题 例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有 x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+a x1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22 由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。所以方程若有实根，则根唯一。 2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。 分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以AC和BD是异面直线。 3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1) 而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p22＜2p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。 故假设不成立，原命题正确。 4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。 例4证明实数lg3是无理数。 证明：假设lg3是有理数。则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。但10是偶数，而3″是奇数，矛盾。因此实数lg3是无理数。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：
第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,
反证法在数学中的应用
论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏
反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
高中数学方法解之反证法
反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证
明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
浅谈中学数学中的反证法
本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院系：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 2008级数学与应用数学(2)班 学号： 200807110211 姓名：黎康乐 指导教师：陈志恩 完成时间： 2012年5月26日
浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果. 关键词:反证法假设矛盾结论
Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion
反证法在证明题中的应用-高考数学解题模板
【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等. 【方法点评】 类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论. 例1. 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。求证：12x y +<或12y x +<中至少有一个成立。 【变式演练1】若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2 ＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。则实数a 的取值范围为________。 类型二 证明“不可能”问题 使用情景：证明“不可能”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论.
例2.给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a -= ∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴． 【变式演练2】如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。求证：AC 与平面SOB 不垂直。 类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题 使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论. 例3.求证：方程512x =的解是唯一的． 【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（） A ．自然数c b a ,,都是奇数 B ．自然数c b a ,,都是偶数 C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数 D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数
数学中的归纳法及应用
题目归纳法在数学中的应用与地位学生 学号 指导老师 年级 学院 系别 xx年xx月
目录 目录 (2) 摘要 (3) 引言 (4) 一、数学归纳法的历史由来 (4) 二、归纳法的特点 (4) 二基本步骤 (5) 三数学归纳法的常用方法举例 (6) 3.1求同法 (6) 3.2求异法 (6) 3.3求同求异并用法 (7) 3.4共变法 (7) 3.5剩余法 (7) 四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8) 五、数学归纳法解决应用问题 (9) 5.1代数恒等式方面的问题 (9) 5.2几何方面的应用 (9) 5.3排列和组合上的应用 (10) 5.4对于不等式的证明上的应用 (11) 六、总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力． 数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用. Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking. The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.
数学归纳法的应用习题
第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
数学归纳法在离散数学中应用
数学xx在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而数学归纳法则是用于证明与自然数n有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n命题都是成立的。 数学xx的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n＝k结论成立（或者对所有小于等于n的自然数k结论都成立），则对下一个自然数n＝k+1结论也成立；文档收集自网络，仅用于个人学习 结论）：根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
假设当n=k时，am ak= am k。则当n=k+1时，由*满足结合律、元素的幂的定义及归纳假设am ak1= am(ak*a)= (am ak)*a=am k*a= am(k1)，即结论对n=k+1也成立。 文档收集自网络，仅用于个人学习故对任何正整数m,n, e am an= am n mn m1n1n m1(n m)1m n a a(a)(a)(a a)(a) a 例2、设d 1,d 2,…,d n为n个正整数，n≥2,并且 d i=2n-2。证明：存在i 1 n n个顶点的树T使它的顶点度数分别是d 1,d 2,…,d n。 文档收集自网络，仅用于个人学习 问题解析：在这个问题中，结论显然与顶点的个数n有关。故对n进行归纳，先构造出具有2个顶点满足条件的树。然后假设已经构造出具有k个顶点的树，由此构造出具有k+1个顶点的树。数学归纳法成功的关键是如何从k+1
例谈反证法在数学证明中的应用
例谈反证法在数学证明中的应用 【摘要】反证法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用反证法更简捷明了。文章阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤，重点论述了反证法在中学数学证明中的应用。 【关键词】反证法证明假设矛盾结论 有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 一、对“反证法”的概述 （一）反证法的概念及其逻辑依据 1.反证法的概念 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。 2.反证法的逻辑依据 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
矛盾律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾（对立）的判断， 其中至少 有一个是伪的。 排中律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾的判断， 不能为伪， 其中 必有一个是真的。 （二）反证法的证明步骤 设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断，那 么用反证法证明命题一般有三个步骤： 1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立； 2. 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理 定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立， 从而肯定了结论成立。 二、反证法在数学证明中的应用 反证法在数学证明中的应用非常广泛，反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数 学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样 的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题 一般用反证法来证比较方便。 1.否定性命题 结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入 手，而用反证法就容易多了。 例1 求证:当 n 为自然数时 ,2(2 n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。 证明：假设有整数 a , b ,使）（1n 22b a 22+=-， 即 (a + b)(a - b)=2(2n + 1) ① 当 a ,b 同奇、 同偶时 , a + b 、 a - b 皆为偶数 , (a + b)(a - b) 应是4的倍数 ,但2(2n+ 1) 除以4余2 ,矛盾。 ② 当a ，b 一奇一偶时 ,a + b 、a - b 皆为奇数 , (a + b)(a - b) 应是奇数 ,但2(2n + 1)为偶数 ，矛盾。 所以假设错误 ,即2(2n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。