大学物理力学作业分析(3)

一小球在弹簧的作用下做振动，如图)3-16所示，弹力kx

F-

=，而位移t

A

xω

cos

=，其中k、A、ω都是常量。求在t=0到ω

π2/

=

t的时间间隔内弹力施于小球的冲量。

根据题意，弹力t

kA

kx

Fω

cos

-

=

-

=，力的冲量

ω

ω

ω

πkA

tdt

kA

Fdt

I t

t

-

=

-

=

=?

?2/

cos

注: 此题做得很好!

用棒打击质量0.3kg、速率1

s

m

20-

?的水平飞来的球，球飞

到竖直上方10m的高度，求棒给予球的冲量多大设球与棒的接触

时间为，求球受到的平均冲力。

设小球飞来时的速度为

1

v，被捧击打后的速度为2v，由上

抛运动公式知，gh

v2

2

=。根据动量定理：

1

2

1

2

v

v

P

P

I m

m-

=

-

=

作矢量关系图，可得冲量的大小

Ns

3.7

2

)

(

)

(21

2

2

2

1

=

+

=

+

=v

gh

m

mv

mv

I

?

=

=35

arctan

1

2

v

v

?

平均冲力

N

365

=

?

=

t

I

F

注:此题个别同学计算错误!

一质量为m=10kg的木箱放在水平地面上，在水平拉

力F作用下由静止开始作直线运动，F随时间t变化的关系

如图3-18所示。已知木箱与地面的滑动摩擦因数2

0。

=

μ，

求t=4s和7s时的木箱速度，g=10m/s2。

已知力求某时刻速度，可以考虑用动量定理p

I?

=求

解。木箱在直线运动过程中受水平拉力F和滑动摩擦力f的作用，合外力的冲量

P2=m2

P1=m v1

I

图3.3

?

m v1

m v2I

45°

v1

v2

习题3.4图

F(N)

t(s)

4

30

习题3.7图

7

??+=-==t f F t

F I dt F dt F I 0

)(f 合

其中水平拉力的冲量F I 可以用F-t 曲线下的面积计算，在0-4s 和0-7s 的时间内，I F 分别为 Ns 120430)40(=?==s ～t I F

N 5.1630)74(2

1

)70(=?+=

=s ～t I F 本题中滑动摩擦力f 的大小为mg f μ-=，是一恒力，其冲量t f I f ?-= Ns 80410102.0)40(-=???-==s ～t I f

Ns 140710102.0)70(-=???-==s ～t I f

木箱初速00=v ，末速为v ，根据动量定理 mv mv mv I I I f F =-=+=0

故

m

I I v f

F +=

t =4时 m/s 0.41080

1204=-=v

t =7时 m/s 5.210

140

1657　v =-=

注:此题做得比较好.

将滑块B 与小球视为一个系统，分别讨论碰撞过程（时间为t ?）中，竖直方向与水平方向的情况：

竖直方向：系统受重力g m g m 21+，以及地面对B 的平均作用力F ，动量由零变为22v m ，根据动量定理

2221)]([v m t g m g m F I y =?+-=

所以，平均冲力

t

v m g m m F ?+

+≈2

221)( 一般情况下，小球质量总是远小于斜块质量，12m m <<，故

t

v m g m F ?+

≈2

21 斜块B 对地面的平均作用力与F 大小相等，方向相反。

2v

习题3.9图

水平方向：系统不受外力作用，动量守恒，

211211V m v m V m =+

B 的速度增量

11

2

12v m m V V V =

==? 注:此题大多数同学都能做对,有部分同学考虑了近似情况!

三个物体A 、B 、C ，质量都是m 。B 、C 用长0.4m 的细绳连接，先靠在一起放在光滑水平桌面上；A 、B 也用细绳连接，绳跨过桌边的定滑轮，如图3-21所示。设绳长一定，绳质量和绳与定滑轮间摩擦力不计。问： (1) A 、B 开始运动后，经多长时间C 才开始运动(2)

C 开始运动的速度多大(取g =10m/s 2)

(1) A 、B 运动h = 0.4 m 后绳方拉紧，此时C 开始运动。这个过程中，只有A 受重力作用，重力做功gh m A 。设绳拉紧瞬间A 、B 的共同速度为v ，根据动能定理

0)(2

1

2-+=

v m m gh m B A A 将m m m m c B A ===代入

s m gh v /0.24.08.9=?==

再设这个过程的时间为t ?，根据动量定理

mv t mg v m m t g m B A A 20

)(=?-+=?即

解得： s 4.08.9/22/2=?==?g v t

此题也可用牛顿定律求解。将A 、B 看作一个整体，受重力g m A 作用

ma mg a

m m g m B A A 2)(=+=即 2

g a =

由匀加速直线运动公式 at v at h ==

及2

2

1，得： s 4.08

.94

.0442=?===

g

h a

h t 1

9.80.4 1.33m/s 22

g v at t ==

=??= 注:此题做得比较好!

电子质量为kg 10

931

-?，在半径为m 103.511-?的圆周上绕氢核作

匀速运动，已知电子的角动量为π2/h (h 为普朗克常量，/s m kg 10.6.6234??=-h )，求它的角速度。

以速率v ，半径r 作圆周运动的电子，对圆心（原子核所在处）的角动量为rmv L =， 故电子的速率和角速度分别为

rm

h

rm L v π2=

=

34

211231

6.6261022 3.14(5.310)9.110

v h w r r m π---?===?????224.110/s =? 注:此题有部分同学答案错了,数量级不对!

长为l 的细绳，一端固定于O 点，另一端系一小球。开始时，小球与O 点的距离l h <，以垂直于小球中心与O 点连线的方向在光滑的水平面上运动，待绳拉直后即以O 点为中心作圆周运动，见图3-23。问小球作圆周运动时的动量为初动量的多少倍

小球在绳绷紧前水平方向不受外力作用，绳绷紧后受绳拉力作用，但拉力对0点不形成力矩，故整个过程对0点的力矩为零，小球对0点的角动量守恒。设初始时小球速度大小为0v ，角动量00mhv L =，绳绷紧后速度大小为v ，角动量mlv L =，由角动量守恒

mlv mhv =0

则初始动量大小00mv p =，绳绷紧后动量大小mv p =，

l

h mv mv p p ==00 在图3-24中，A 、B 为质量相等的两个钢球，正被轻绳拉着以s 的角速度绕竖直轴在同一水平面内转动，两球与轴的距离都是15cm 。现用外力将轴环C 缓慢下移，使两球到轴的距离缩短为5cm 。求此时钢球的角速度增加的倍数。

将A 、B 球构成一个系统，相对于转轴上的任意一点，A 、B 球受到的合力矩均等于零，满足角动量守恒的条件，故有： 22221122r m r m ωω=

121221129)5

15

()(

ωωωω=?==r r 钢球角速度增大为原来的9倍。

注:以上两题做得很好!

地球绕太阳作椭圆运动，太阳在椭圆的一个焦点上，当地球处于远日点时，到太阳中心的距离m 1052.1111?=r ，轨道速度为m/s 1093.241?=v ，半年后，地球处于近日点，到太阳中心的距离m 1047.1112?=r ，求：(1) 地球在近日点时的轨道速度2v ；

(2) 两种情况下，地球的角速度1ω和2ω。

(1)地球绕太阳作椭圆轨道运动时，受太阳的引力直指太阳中心，故对太阳的力矩为零，地球对太阳的角动量守恒。在远日点111v mr L =，在近日点21222,L L v mr L ==

2211v mr v mr =

m/s 1003.31047.11052.11093.24

11

1142112?=????==r r v v

（2）r

v =

ω

s r v /1093.11052.11093.27

114111-?=??==ω

s r v /1006.210

47.11003.3711

4

222-?=??==ω 注:此题做得很好!

地球可看成是半径m 104.66?=R 的球体，人造卫星正在地面上空m 100.85?=h 的圆轨道上，以m/s 105.73?=v 的速度绕地球运动，今在卫星上点燃一火箭，利用其反冲力使卫星获得一个指向地心的分速度m/s 2002=v ，从而使卫星改为沿椭圆轨道运行。求卫星近地点和远地点到地面的距离。

无论卫星是在圆轨道还是椭圆轨道上运动，卫星受到的对地心的引力力矩均为零，卫星对地心的角动量守恒。

卫星在圆轨道时，s m v h R r /105.7,3?=+=，角动量mrv L =，卫星在椭圆轨道的近地点或远地点时，距地心的距离设为r '，速度v '，且r v '⊥'，角动量v r m L ''='，根据角动量守恒定律，

v r m mrv ''= ①

另外，卫星在椭圆轨道上运动时，机械能守恒。初入椭圆轨道时r mM G

v v m E -+=22)(21（M 为地球质量），在近地点或远地点时，r mM

G v m E '-'='221，有E E '=，即

r mM

G

v m r mM G v v m '-'=-+22221)(21 ②

再考虑到卫星在圆轨道上时有

r

v

m r

mM G

=2

③

联立①、②、③式，解得：

2

v v vr

r ±=

' 则卫星距地面的距离

R r h -'='

近地点时：R v v h R v R v v vr

h -++=-+='2

2)(

63563104.6200

105.7)

100.8104.6(105.7?-+??+???=

m 1013.65?= 远地点时：R v v h R v R v v vr

h --+=--=

'22)( 63563104.6200

105.7)

100.8104.6(105.7?--??+???=

m 1097.95?=

注:此题很多同学没做对,没找到解题方法!