计算机算法试题

算法设计与分析试卷

一、填空题（20分，每空2分）

1、算法的性质包括输入、输出、＿＿＿、有限性。

2、动态规划算法的基本思想就将待求问题＿＿＿＿＿、先求

解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3、设计动态规划算法的4个步骤：

（1）找出＿＿＿＿，并刻画其结构特征。

（2）＿＿＿＿＿＿＿。

（3）＿＿＿＿＿＿＿。

（4）根据计算最优值得到的信息，＿＿＿＿＿＿＿。

4、流水作业调度问题的johnson算法：

（1）令N1=＿＿＿,N2={i|ai>=bj};

（2）将N1中作业依ai的＿＿＿。

5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式＿＿＿＿＿。

6、最优二叉搜索树即是＿＿＿的二叉搜索树。

二、综合题（50分）

1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)＿＿＿＿（5分）

2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=＿＿＿＿＿＿（5分）

3、最大子段和问题的简单算法(10分)

int maxsum(int n,int *a,int & bestj)

{

intsum=0;

for (int i=1;i<=n;i++)

for (int j=i;j<=n;j++)

int thissum=0;

for(int k=i;k<=j;k++)＿＿＿＿＿;

if(thissum>sum){

sum=thissum;

＿＿＿＿＿＿；

bestj=j;}

} return sum;

}

4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法

OptimalBinarysearchTree? (15分)

Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int

* * w)

{

for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]=＿

＿＿＿;}

for(int r=0;r

for(int i=1;i<=n-r;i++){

int j=i+r;

w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];

m[i][j]=＿＿＿＿＿＿;

s[i][j]=i;

for(int k=i+1;k<=j;k++){

int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];

if(＿＿＿＿＿) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;}

}

m[i][j]=t; s[i][j]=k;}

}

5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值？（15分）

三、简答题（30分）

1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形？(10分)

答：

2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建

立怎样的递归式? (10分)

3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步？（10分）

参考答案：

填空题：确定性分解成若干个子问题最优解的性质

递归地定义最优值以自底向上的方式计算出最优值

构造最优解 {i|ai

依bi的非增序排序min{bπ(i),aπ(i+1)}≥

min{bπ(i+1),aπ(i)}

最小平均查找长度

综合题：20 min{ai+T(N-{i},bi)}(1=

法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)

因为 min(a1,b2)<=min(a2,b1)

所以 1→2 (先1后2)

由 min(a1,b3)<=min(a3,b1)

得 1→3 （先1后3）

同理可得：最后为1→3→4→2

法二：johnson算法思想

N1＝{1，3，4} N2＝{2}

N11＝{1，3，4} N12＝{2}

所以 N11→N12

得：1→3→4→2

简答题：1 、（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。

（2）a[1:n]的最大子段和与的最大子段a[n/2+1:n]和相同。

（3）a[1:n]的最大子段和为∑ak(i=

2、（1）m（i,j）=max{m(i+1,j),m(i+1,j-wi)+ui} (j>=wi)或则 m（i,j）= m(i+1,j) (0<=j=wn 或则

m(n,j)=0 0<=j

3、（1）、p[n+1]={(0,0)}

（2）、由p[i+1]→q[i+1], q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi)

（3）、Mij=p[i+1]∪q[i+1]

Pi=Mij——其中的受控点＝p[i+1]∪q[i+1]——其中的受控（4）、重复（2）-（3）直到求出P[1]

1.在一个算法中调用另一个算法时，系统需在运行被调用算法之前完成哪些工作？同时从

被调用算法返回调用算法需完成哪些工作？

答：在一个算法中调用另一算法时，系统需在运行被调用算法之前先完成三件事：（1）将所有实参指针、返回地址等信息传递给被调用算法；

（2）为被调用算法的局部变量分配存储区；

（3）将控制转移到被调用算法的入口。

在从被调用算法返回调用算法时需完成三件事：

（1）保存被调用算法的计算结果；

（2）释放分配给被调用算法的数据区；

（3）依照被调用算法保存的返回地址将控制转移到调用算法。

2.动态规划算法求解问题的步骤？

答：动态规划法适用于解最优化问题。通常可以按以下4个步骤设计：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

（2）递归地定义最优值；

（3）以自底向上的方式计算最优值；

（4）根据计算最优值时得到的信息构造最优解。

3.线性规划法中单纯形算法的基本步骤？

答：步骤一选入基变量。

步骤二选离基变量。

步骤三做转轴变换。

步骤四转步骤一。

4.分治法的基本思想和原理是什么？

答：分治法的基本思想是将一个规模为ｎ的问题分解为ｋ个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

5.利用回溯法解决问题包含哪些步骤？

答：利用回溯法解题常包含以下3步骤：

（1）针对所给问题，定义问题的解空间；

（2）确定易于搜索的解空间结构；

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

五分析题（36分）

1．求下列函数的渐进表达式：

3n2+10n; n2/10+2n; 21+1/n; logn3; 10log3n

分析与解答：

3n2+10n=O(n2);

n 2/10+2n =O(2n

);

21+1/n=O(1);

logn 3=O(logn);

10log3n =O(n)

2．讨论O(1)和O(2)的区别。

分析与解答：

根据符号O 的定义易知O(1)=O(2)。用O(1)或O(2)表示同一个函数时，差别仅在于其中的常数因子。

3．按渐近阶排列表达式

按照渐近阶从低到高的顺序排列以下表达式：4n 2，logn ，3n ，20n ，2，n 2/3。又n!应该排在哪一位？

分析与解答：

按渐近阶从低到高，函数排列顺序如下：2，logn ，n 2/3，20n ，4n 2，3n ，n ！。

4.算法效率

(1)假设某算法在输入规模为n 时计算时间为T(n)=3*2n 。在某台计算机上实现并完成该算法

的时间为t 秒。现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t 秒内能解输入规模为多大的问题？

(2)若上述算法的计算时间改进为T(n)=n 2，其余条件不变，则在新机器上用t 秒时间能解输

入规模为多大的问题？

(3)若上述算法的计算时间进一步改进为T(n)=8，其余条件不变，那么在新机器上用t 秒时间能解输入规模为多大的问题？

分析解答：

(1)设新机器用同一算法在t 秒内能解输入规模为n1的问题。因此有：t=3*22=3*2n1/64，解

得你n1=n+6。

(2)n12=64n 2n1=8n 。

(3)由于T(n)=常数，因此算法可解任意规模的问题。

5．阶乘函数

阶乘函数可递归地定义为：

0)!1(1!>=???-=n n n n n

int factorial(int n)

{

if(n==0) return 1;

return n* factorial(n-1);

}

6．Fibonacci 数列

无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci 数列。它可以递归地定义为：

请对这个无穷数列设计一个算法，并进行描述（自然语言描述和VC++描述）.

第n 个Fibonacci 数可递归地计算如下：

int fibonacci (int n)

{

if (n <= 1) return 1;

returnfibonacci (n-1)+fibonacci (n-2);

}

7．循环赛日程表

设有n=2k 个运动员要进行兵乓球循环赛。现在要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；

(2)每个选手一天只能赛一次；

(3)循环赛一共进行n-1天。

请设计一个算法解决以上问题，并进行描述（自然语言和C++语言）

按分治策略，将所有的选手分为两半，n 个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。

8．有一批集装箱要装上一艘载重量为c 的轮船。其中集装箱i 的重量为Wi 。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

分析回答以下两个问题：

(1)分析以上最优装载问题具有贪心选择性质

(2)用C++程序进行正确的算法描述

110)2()1(11)(>==??

???-+-=n n n n F n F n F

分析与解答：

(1)设集装箱已依其重量从小到大排序，(x1,x2,…,x n)是最有装载问题的一个最优解。

又设k=min{i|x i=1}。易知，如果给定的最有装载问题有解，则1≤k≤n。

②当k=1时，(x1,x2,…,x n)是满足贪心选择性质的最优解。

②当k>1时，取y1=1;y k=0;y i=x i,1

因此，()是所给最有装载问题的可行解。

另一方面，由知，()是满足贪心选择性质的最优解。所以，最优装载问题具有贪心

选择性质。

(2)最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体算法描述如下。

template

void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n)

{

int *t = new int [n+1];

Sort(w, t, n);

for (int i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0;

for (int i = 1; i <= n && w[t[i]] <= c; i++) {x[t[i]] = 1; c -= w[t[i]];}

}