最新人教部编版七年级下册数学全册优质公开课教案

5．1 相交线

5．1.1 相交线

1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认；(重点)

2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；(重点、难点)

3．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．

一、情境导入

同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相

交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？

二、合作探究

探究点一：对顶角和邻补角的概念

【类型一】对顶角的识别

下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( )

解析：观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C.

方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．

【类型二】邻补角的识别

如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．

解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.

方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．

探究点二：对顶角的性质

【类型一】利用对顶角的性质求角的度数

如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．

解析：根据对顶角的性质，可得∠AOC 与∠BOD 的关系，根据OA 平分∠COE ，可得∠COE 与∠AOC 的关系，根据邻补角的性质，可得答案．

解：由对顶角相等得∠AOC ＝∠BOD ＝42°.∵OA 平分∠COE ，∴∠COE ＝2∠AOC ＝84°.由邻补角的性质得∠DOE ＝180°－∠COE ＝180°－84°＝96°.

方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．

【类型二】 结合方程思想求角度

如图，直线AC ，EF 相交于点O ，OD

是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE ＝1

2∠EOC ，∠DOE ＝72°，求∠AOF 的度

数．

解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE ＝x ，则∠AOF ＝∠EOC ＝2x ，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．

解：设∠BOE ＝x ，则∠AOF ＝∠EOC ＝2x .∵∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，∴∠AOB

＝180°－3x .∵OD 平分∠AOB ，∴∠DOB ＝12∠AOB ＝90°－3

2x .∵∠DOE ＝72°，∴90°

－3

2

x ＋x ＝72°，解得x ＝36°.∴∠AOF ＝2x ＝72°. 方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．

【类型三】 如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB

的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请你写出测量方法，并说明几何道理．

解析：可以利用对顶角相等的性质，把∠AOB转化到另外一个角上．

解：反向延长射线OB到E，反向延长射线OA到F，则∠EOF和∠AOB是对顶角，所以可以测量出∠EOF的度数，∠EOF的度数就是∠AOB的度数．

方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化．

探究点三：与对顶角有关的探究问题

我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……

(1)10条直线交于一点，对顶角有________对； (2)n (n ≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．

解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，得

出结论，代入数据求解．如图①，两条直线交于一点，图中共有（4－2）×4

4＝2对对顶角；

如图②，三条直线交于一点，图中共有（6－2）×6

4＝6对对顶角；如图③，四条直线交于一

点，图中共有（8－2）×8

4＝12对对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶

角共有（20－2）×204

＝90(对)．故答案为90；

(2)利用(1)中规律得出答案即可．由(1)得n (n ≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为2n （2n －2）

4＝n (n －1)．故答案为n (n －1)． 方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数据的变化特征．

三、板书设计

两条直线相交????

??

邻补角

对顶角对顶角相等求角的大小

本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生活密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展

5.1.1 相交线

1.观察图片，注意剪刀剪开布片过程中有关角的变化.

2.将剪刀抽象为几何图形并画一画.

答：如图：

几何语言描述图形：直线AB、CD相交于点O.

概念：如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点。

3.观察上图，同桌讨论。

（1）两条直线相交组成几个角？

（2）这两条直线相交得到哪几对角？

（3）每对角中两个角的位置有怎样的关系？

(4)根据它们的位置和度数的关系将这几对角进行分类.

4.概念归纳

（1）∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．

（2）∠1与∠2是直线AB、CD相交得到的，有公共顶点O，且有一条公共边，像这样的两个角叫做邻补角.

5.概念深化

（1）找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？

（2）找一找上图中还有没有邻补角，如果有，是哪两个角？【教师提示】教师统一学生观点并板书．