双曲线性质总结及经典例题

双曲线

知识点总结

1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：.

一般方程：.

⑵①i. 焦点在x轴上：

顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或

ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或

②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距

（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

例题分析

定义类

1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支

12||||610

PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为

)0(116

9

2

2

>=-

x y

x

2双曲线的渐近线为x y 2

3±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，

2

3=a

b ，2

13=e ；当焦点在y 轴上时，

2

3=

b

a ，3

13=

e

4 设P 为双曲线112

2

2

=-

y

x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）

A ．36

B ．12

C ．312

D ．24

解析：2:3||:||,13,12,121==

==PF PF c b a 由 ①

又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF

,52||,52||||2

212

22

1==+F F PF PF

为21F PF ∴直角三角形，

.12462

1||||2

12121=??=

?=

∴?PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线

16

2

x

－

4

2

y

=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组

[解析] 解法一：设双曲线方程为2

2a

x －

22b

y =1.由题意易求c =25. 又双曲线过点（32，2），∴

2

2

)23(a

－

2

4b

=1.

又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8. 故所求双曲线的方程为

122

x

－

8

2

y

=1. 解法二：设双曲线方程为k x

-162

－

k

y

+42

＝1，

将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122

x

－

8

2

y

＝1.

2.已知双曲线的渐近线方程是2

x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程

为 ；

[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为

14

2

2

=-

λλ

y

x

，20104

52

=∴=∴λλ，

当0<λ时，化为

142

2

=--

-

λ

λy

y ，20104

52-=∴=-

∴λλ，

综上，双曲线方程为

2

2

120

5

x

y

-

=或

120

5

2

2

=-

x

y

3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2

23y x ，9)32(3

42

=∴=∴λλ，双曲线方程为

1

3

9

2

2

=-

y

x

【例1】若椭圆

()012

2

n m n

y

m

x

=+

与双曲线

2

2

1x

y

a

b

-

=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P

是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）

A. a m -

B.

()a m -2

1 C. 2

2

a m - D. a m -

【解析】椭圆的长半轴为()1221m PF PF m ∴+=，

双曲线的实半轴为()1222a PF PF a ∴-=±，

()

()()2

2

12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.

【例2】已知双曲线

127

9

2

2

=-

y

x

与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM

PF

2

1+

最小，则P 点的坐标为

【分析】待求式中的

1

2

是什么？是双曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，

右准线为3

2l x =：.作M N l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，

连FP ，则122

P F e P N P N P N P F ==?=

.此时

PM

13752

2

5

P F P M

P N

M N

+=+==-

=为最小.

在

127

9

2

2

=-

y

x

中，令3y =，得2

122 3.x

x x =?=±∴ 0，取23x =.所求P 点的坐

标为233（，）.

【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2

1±

=的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为

()2

2

14

x

y k

-=

点（1，3）代入：13594

4

k =-=-.代入（1）：

2

2

2

2

35414

4

3535

x

y

x

y -=-

?

-

=即为所求.

【评注】在双曲线222

2

1x y a

b

-

=中，令

222

2

00x y x y a

b

a

b

-

=?

±

=即为其渐近线.根据这一点，可

以简洁地设待求双曲线为

222

2

x y k a

b

-

=，而无须考虑其实、虚轴的位置.

【例7】直线l 过双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，

则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）

A .e >

2 B.1

3 C.15

【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线

m 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由

X Y O

F (6,0)M (5,3)P N

P ′

N ′

X =

32

X

Y

O

F

2

2

2

2tan tan 245b c a e a a

βαβα->?>?>?

>?>.

∵双曲线中1e >，故取e >5.选D. 【例8】设P 为双曲线2

2

112

y

x -

=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，

则12PF F △的面积为（ ）

A ．63

B ．12

C.123 D ．24

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：

1,23,13a b c ===

.设；

12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=

于是22

2

1212

126, 4.52PF PF PF PF F F ==+== ，

故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.

∴1

2

121164122

2

P F F S P F P F ?=

?=

??=.选B.

【例9】双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为

（ ）

A. 12-=x y

B. 22-=x y

C. 32-=x y

D. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有： ()()222222

111212121222

121222

101x y y y x x x x y y x x y y x y ?-=-+?---=?=?-+-=?. ∵弦中点为（2，1），∴121242

x x y y +=??+=?.故直线的斜率1

212

12122y y x x k x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-?=-，故选C.

【例10】在双曲线12

2

2

=-

y

x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线

方程；如不存在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：

X

Y

O

F 1

F 2

P 2r

()()()()()22

111212

121222221112

011212

x y x x x x y y y y x y ?-=???-+--+=??-=??.

∵M （1，1）为弦AB 的中点， ∴()()()121212121212

2022

AB x x y y x x y y k y y x x +=?----=∴=

=?

+=-?代入1：2，

故存在符合条件的直线AB ，其方程为：()12121y x y x -=-=-，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 其一：将点M （1，1）代入方程12

2

2

=-

y

x ，发现左式=1-

112

2

=

＜1，故点M （1，1）在双曲线

的外部；其二：所求直线AB 的斜率2A B k =，而双曲线的渐近线为2y x =±.这里22 ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.

【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

()()2

2222

1221224302221y x x x x x y x ?-=??--=?-+=?

?=-?

这里16240?=- ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

课堂展示： 1. 如果双曲线

2

42

2y

x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离

是（ ） (A)

3

64

(B)

3

62 (C)6

2

(D)3

2

2. 已知双曲线C ∶

222

2

1(x y a a

b

-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的

圆的半径是 （A ）a

(B)b

(C)ab

(D)22b a +

3. 以双曲线

2

2

1916

x

y

-=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

A ．221090x y x +-+=

B ．2210160x y x +-+=

C ．2210160x y x +++=

D ．221090x y x +++=

4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-= Ｄ．22450x y x +++=

5. 若双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为

32

a 的点到右焦点的距离大于它到左准

线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

6. 若双曲线

12

22

2=-b

y a

x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心

率是（ ）

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 7. 过双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

A B B C

=

，则双曲线的离心率是 ( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．10 8. 已知双曲线

)0(12

2

22

>=-

b b

y x

的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为

x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ?

＝（ ）

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4 1．双曲线

2

2

125

144

x

y

-

=上的一点P 到左焦点的距离为9，则P 到右准线的距离是＿＿＿

2．双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e. 3． 双曲线的

12

22

2=-

b

y a

x (a ＞0，b ＞)0渐近线与一条准线围成的三角形的面积

是 . 4．若双曲线

)

0,0( 12

22

2>>=-

b a b

y a

x ，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与P 到右焦点2

F

的距离之比为4：3，求P 点的横坐标。

1．已知双曲线2

22

2b

y a

x -

= 1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于A ，△OAF

面积为2

2

a

（O 为原点），则两条渐近线夹角为（ ） A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

2．已知双曲线的离心率为2,准线方程为2y x =-,焦点F(2,0),求双曲线标准方程 3．求渐近线方程是4x 03=±y ,准线方程是5y 016=±的双曲线方程

3．解答题 （1）判断方程

13

92

2

=--

-k y

k

x

所表示的曲线。

（5）.双曲线2x 2－y 2=k 的焦距是6，求k 的值.