小升初奥数第3节：数列求和
小升初奥数第3节：数列求和
数列求和
教学目的
1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握数列求和的方法
教学内容
知识点
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（n－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
求和公式: (首项+末项)×项数÷2
例题与巩固
题型一：求项数
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
题型二：求第n项
【例题1】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
练习：
1.一等差数列，首项=3.公差=
2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
题型三：求和
【例题1】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
【例题2】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。练习：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
【例题3】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
练习：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)
【例题3】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
练习：
1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？
【例题4】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
练习：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
【例题5】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？
练习：
1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
课堂练习
（一）基础过关。
1.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
2.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
3、计算
（1）100+99+98+…+61+60
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
4.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，
5.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
（二）综合提升。
1.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
（三）探究培优
1.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？
课后作业
（一）综合达标训练。
1、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少
2、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？
3、求等差数列1、
4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？
4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）
5、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）
6、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？
7、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100
（二）综合提升训练。
1、3个连续整数的和是120，求这3个数。
2、4个连续整数的和是94，求这4个数。
3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？
4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
6、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了多少次手？
（三）探究培优训练
1. 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______.
1234,5678,9101112,13141516,……
2. 把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______.
1
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 × × × × ×
× × × × × × ×
3. 计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是______.
4. 下面是一列有规律排列的数组:(1, , );( , , ),( , , );……;第100个数组内三个分数分母的和是______.
5. 把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),
(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41), (43),…,则第100个括号内的各数之和为______.
6. 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数出现次.那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______.
第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15
第2行30 29 28 27 26 … … 17 16
第3行31 32 33 34 35 … … 44 45
… … … … … … … … …
第行… … … … … … … …
第 +1行… … … … … … … …
第行有一个数 ,它的下一行(第 +1行)有一个数 ,且和在同一竖列.如果 + =391,那么 =______.
8. 有一串数,第100行的第四个数是______.
1, 2
3, 4, 5, 6
7, 8, 9,10,11,12
13,14,15,16,17,18,19,20
9. 观察下列“数阵”的规律,判断:9 出现在第______行,第______列.数阵中有______个数分母和整数部分均不超过它(即整数部分不超过9,分母部分不超过92).
1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,…
3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,…
5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,…
… … … …
10. 有这样一列数:123,654,789,121110,131415,181716,192021,…….还有另一列数:1,2,3,6,5,4,7,8,9,1,2,1,1,1,0,1,3,1,4,1,5,1,8,1,7 ,1,6,1,9,2,
0,2,1,……,第一列数中出现的第一个九位数是______,第二列数的第1994个数在一列数中的第______个数的______位上.
11. 假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前个数组之和恒为4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34.
今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的和.
12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,… 其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律重复出现,问:
(1) 第100个数是什么数?
(3) 从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?
14. 数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:
1 2 3 (100)
101 102 103 (200)
… … … … …
9901 9902 9903 (10000)
任取其中一数,并划去该数所在的行与列.这样做了100次以后,求所取出的100个数的和
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
小学奥数之巧妙求和
五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解：
习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1）
（2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答：
课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解：
四年级奥数等差数列求和一
＊数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题 目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100= 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50 对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基 米德、牛顿并列，同享盛名。 ＊数列的基本知识： （1）1、2、3、4、5、6……公差：（2）2、4、6、8、10、12……公差： （3）5、10、15、20、25、30……公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是 相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例题1：已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少它的第98项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据， 某一项=首项+（项数-1）×公差进行计算。第10项：2+3×（10-1）=29 第98项： 2+3 ×（98-1）=293 练习1：某一项=首项+（项数-1）×公差 （1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少 （2）求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少 （3）求等差数列：7、12、17、22……它的第100项是多少 例题2：已知数列2、5、8、11、14……35，这个数列共有多少项
小学奥数分数求和专题归纳与总结
分数求和 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差2008 1 ，成等差数列，我们 可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =2 1 1003 二、图解法： 计算：2 1 ＋4 1＋8 1＋ 161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图：
从图中可以看出：2 1 ＋4 1＋8 1＋ 161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1 ，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－64 1 …… =21 ×2－ 64 1 =64 63 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。 设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋8 1＋ 161＋321＋64 1 ）×2 =1+ 2 1 ＋41＋81＋161＋32 1 ② 用②－①得 2x －x=1+2 1 ＋4 1＋8 1＋ 161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ） x= 64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=64 63
小学奥数-裂项求和(一)
分数裂项求和 裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）。 裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 例1 裂项 1 2×3= 1 2 - 1 3 = 1 6 1 3×4 = 1 3 - 1 4 = 1 12 1 6×7= 1 6 - 1 7 = 1 42 你发现了什么？ 对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种形 式的分数，即 1 a×b ，这里我们把较小的数a写在前面，即a < b， 那么有 1 a×b = 1 b - 1 a 。
练1 1 9×10 = - 199×100 = - 练2 2 2 ×3 = 2 - 2 = 2 （提示：分子不是1的，注意） 3 4 ×5 = 3 - 3 = 3 练3 2 11 ×12 = - = （提示：分子空缺，自己填写） 399 ×100 = - = 例2 深度讲解 11×2 + 12×3+ 13×4 + …… + 198×99+199×100 = (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14)+ …… +(1 98 - 199) + (199 - 1100) [此处为基础训练中的裂项] = 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14+……+198 - 199 + 199 - 1 100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号] = 1 - 1100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾] = 99100 [头减尾，既得最后答案]
小升初奥数数列求和
数列求和 教学目的1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握数列求和的方法 教学内容 知识点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（n－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式: (首项+末项)×项数÷2 例题与巩固 题型一：求项数 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 练习 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？
题型二：求第n项 【例题1】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
题型三：求和 【例题1】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 【例题2】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习：
【例题3】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) 【例题3】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件
三年级奥数等差数列求和盈亏问题
三年级奥数第五讲等差数列求和 例题1. 计算2+5+8+11+17+20+23 练习：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19 例题2. 计算8+10+12+14+16+18+20 练习：计算3+6+9+12+15+18+21 例题3. 计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5 练习：20+17+14+11+8+5+2 例题4. 计算9+11+13+15+17+19+22 练习：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25 例题5. 计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23 练习：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26 例题6. 杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？ 练习：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公汽上的作为刚好坐满。求这两公汽共有多少个座位？ 例题7. 三年级数学培优班第1小组由8名同学，开学时，老师要求该组没人都握一次手，问共握多少次手？ 练习：有10把钥匙是互相配对的，但小组把锁和钥匙弄乱了，问最多需要实验多少次，就可以把锁和钥匙配起来？
板块一、直接计算型盈亏问题 【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的 砖共有多少块？ 【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元； 每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的 价钱是多少？ 【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有 多少个桃子？ 【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？ 【例2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若 大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴 王）比小猴多只． 【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？ 【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？
奥数专题之数列求和1
奥数专题之数列求和1 时间： 2009年05月06日作者：佚名来源：网络8021人正在讨论相关问题 例1 求100以内所有的奇数的和。 （形成性练习）求100以内所有的偶数的和。 例2 计算：1+2+3-4+5+6+7-8+9……+25+26+27-28= （形成性练习）计算：19+20+21+…＋83+84= 例3 小明家的闹钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。请问，这只闹钟一昼夜共敲了多少下？ （形成性练习）有一列数：19，22，25，28……请问这列数的前99个数的总和是多少？ 例4 从99开始，每隔三个数写出一个数来：99，103，107……求1999是这数中的第几个数？ （形成性练习）求100以内所有3的倍数的和。 例5 把1—91这91个数分成七组，使每组各数的和都相等，这个和是多少？ （形成性练习）有8个小朋友聚会，每两人都握手一次，一共要握手多少次？ 例6 一把钥匙只能开一把锁。现在有10把锁和可以打开它们的10把钥匙，但全部放乱了。请问，最多要试多少次可以打开所有的锁？（最多试多少次可以找出打开锁的钥匙？） （形成性练习）木材收购站有一堆圆木，它的每一层都比它的下一层少一根。小敏数一数，它的最下一层是26根，一共18层。你知道这堆木材一共有多少根吗？ 练习题 1、求1+2+3+4+……+35+36= 2、求2+4+6+……86+88= 3、求1+2-3+4+5-6+……+58+59-60= 4、求 1-2+3-4+5-……+2001-2002+2003= 5、31+32+33+……98+99= 6、21+22+23+……+99+100= 7、在所有的两位数中，十位上比个位上的数字大的数，一共有多少？
六年级奥数数列求和
专题二 数列求和 指点迷津 在等差数列中，相邻两个数的差称为公差，用字母d 表示，首项（第一个数）用字母a 1表示，末项用字母a n 表示，项数用字母n 表示，和用S 表示。则等差数列求和公式为S =（a 1＋a n ）×n ÷2:；通项公式a n = a 1＋（n －1）×d ；项数n =（a n －a 1）÷d ＋1。 范例点拨 例1 一堆相同的立方体堆积为右图所示的图形， 第1层1个，第2层3个，第3层6个，…。那么第 100层有多少个立方体？ 思路提示：第1层有1个，第2层有（1+2）个，第 3层有（1+2+3）个，…依次类推即可求出第100层有多少个。 尝试解答： 例2 试求所有三位数中，7的倍数的和。 思路提示：在所有三位数中，7的最小倍数是105，最大倍数是994，公差是7只要找出从105到994共有多少项，就可求出它们的和。 尝试解答： 例3 求100以内不能被3整除或5整除的所有自然数的和是多少。 思路提示：从1到100的自然数的和中减去能被3整除的数（等差数列）的和与能被5整除的数（等差数列）的和（注意重复），就是题目所要求的结果。 尝试解答： 例4 求下面这个数列的前20项的和。 101,203，,105,207,109,211, …，137,239，… 思路提示：从各个数的相同数位上寻找解题规律。 尝试解答： 例5求数列1×2、2×3、3×4、4×5、…前99项的和。 思路提示：所求倒数之和就是： 211?＋321?＋431?＋…＋100 991?，显然可以采取拆项的方法求和。 尝试解答：
触类旁通 1.求100与500之间能被9整除的所有自然数之和。 2.如下图，三角形每边2等分时，顶点向下的小三角形有1个；每边4等分时，顶点向下的三角形有6个；每边10等分时，顶点向下的小三角形有几个？30等分呢？ 3.自然数1、2、3…按下图排列成6列，1991在第 行第 列。 4.数列1、1991、1990、1、1989、1988、1、…从第3个数起每个数是前两个数的差，这个数列中第1个“0”出现在第 项。 5. 已知数列、、、、63 135115131…，求 ⑴第10个数是 ； ⑵前20个数的和是 。
四年级奥数----等差数列求和一
第三周等差数列求和(一) *数列的基本知识： (1) 1、2、3、4、5、6…… 公差：____ (2) 2、4、6、8、10、12…… 公差：_______ (3) 5、10、15、20、25、30……公差：____ 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项; 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项二首项+ (项数-1 )X公差 项数公式：项数=(末项—首项)十公差+ 1 求和公式：总和=(首项+末项)x项数十2 例题1：已知数列2、5、& 11、14……求它的第10项是多少？它的第98项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是2,公差是3,项数是10.要求第10项，可根据，某一项=首项+ (项数-1 ) x公差进行计算。第10项：2+3 x ( 10-1 ) =29 第98 项：2+3 x( 98-1 ) =293 练习1：某一项=首项+(项数-1 )x公差 (1)求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少？ (2)求等差数列: 2、6、10、14、18 它的第60项是多少？ (3)求等差数列: 7、12、17、22 它的第100项是多少？ 例题2：已知数列2、5、& 11、14……35,这个数列共有多少项？ 【思路导航】第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3 个公差……，那第n项比首项多(n-1)个公差。可根据，项数=(末项—首项)十公差+ 1 进行计算，(35-2)- 3+1=12。所以，这个数列共有12项。 练习2:项数=(末项一首项)十公差+ 1 (1)有一个等差数列：1、3、5、7、9……99,这个等差数列共有多少项？ (2) 有一个等差数列：2、5、& 11……101，这个等差数列共有多少项? (3) 有一个等差数列：11、16、21、26……1001，这个等差数列共有多少项?
五年级奥数数列求和
) 99 11()311()211(99 1 )411()311()211(41)311()211(312112 1+??+?++++?+?+++?+++ 领先教育五年级奥数-数列的求和 1. 计算: (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)÷13=______. 2. 计算: ______1990 1990199031990219901=++++ . 3. 计算: (1+337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+33 7×11)=______. 4. 在1,4,7,10,13,…,100中,每个数的前面加上一个小数点以后的总和等于______. 5. 121,12239 ,,124 ,123 ,122 这239个数中所有不是整数的分数的和是______. 6. 计算: 15131 131111191971751?+?+?+?+?=______. 7. 计算: ______3012981 131011071 741 411 =?++?+?+?+? . 8. 计算: ______991 63135115131 =++++. 9. 计算: 1+3______901 17721155611342111301 9201 7121 561 =+++++++. 10. 把1到100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码字的和是____. 11. 求: +?198719861986+?198819871986 +?198919881986 …+200019991986 ?. 12. 求: 98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++. 13. 求: 14. 一个家具厂生产书桌的数目每个月增加10 件,一年共生产了1920件,问这一年的12月份生产了多少件? ———————————————答 案—————————————————————— 答 案:
四年级奥数 等差数列求和一
第三周等差数列求和（一） ＊数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题 目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50 对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基 米德、牛顿并列，同享盛名。 ＊数列的基本知识： （1）1、2、3、4、5、6……公差：（2）2、4、6、8、10、12……公差： （3）5、10、15、20、25、30……公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是 相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例题1：已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少？它的第98项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据， 某一项=首项+（项数-1）×公差进行计算。第10项：2+3×（10-1）=29 第98项： 2+3 ×（98-1）=293 练习1：某一项=首项+（项数-1）×公差 （1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少? （2）求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少? （3）求等差数列：7、12、17、22……它的第100项是多少?
三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++ 11002993985051=++++++++ 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++ 和=1+和倍和 即，和 (1001)1002 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++= +?÷=?= （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++= +?÷=?= （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85) 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900
完整word版,四年级奥数之等差数列求和
1.小华读一本书，第一天读了16页，以后每天都比前一天多读3页。请问：他第15天读了多少页？ 2.求数列12，21，30，39，48，57，66，…….中第12个数是多少。 3.等差数列1，6，11，16，…….的第20项是多少？ 4.外国语学校的礼堂共有30排座位。从第一排开始，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位。请问： 这个礼堂的第一排有多少个座位？ 5.求数列1，3，5，7，9，…….101中有多少项。 6.求数列12，14，16，18，……138，140有多少项。 7.求数列2，6，10，14，18，……，78有多少项。 8.上体育课的时候，同学们按照身高顺序来排队，相邻两个同学之间的身高差距都是2cm，最矮的同学是160cm，最 高的同学是180cm。请问：一共有多少个同学排队？ 9.求数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中各项的和。 10.求数列2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中各项的和。 11.求数列4，7，10，13，16，19，22，25，28中各项的和。 12.求2+4+6+8+10+……..+90的结果。
13.从1开始的奇数：1，3，5，7，…….，其中第100个奇数是多少？ 14.求等差数列3，6，9，12，15，18，……….中的第20个数是多少？ 15.求等差数列2，4，6，8，10，……….，88中有多少项。 16.算式1+2+3+4+5+ (50) 17.求等差数列2，6，10，14，18，22，……..前30个数的和是多少。 18.如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，它的第8项是多少。 19.电影院有13排座位，后一排比前一排多4个座位，最后一排有90个座位，这个电影院的座位一共有多少个。 20.大双和小双两人同时分别读两本页码总数相同的数，小双第一天读8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一 天读了32页，刚好读完。大双每天读18页，请问： （1）小双用几天读完这本书？ （2）该书一共有多少页？ （3）谁读得快？一个人读完时另一个人读了多少页？ 21.一辆双层公共汽车有66个座位。空车出发，第一站上一位乘客，第二站上2位，第三站上三位。以此类推，若中途无乘客小车，第几站后，车上坐满乘客？ 22.一个礼堂有20排座位，第一排有10个座位，以后每排比前一排多1个座位。若学生在这里考试，要求每排任意两人不能挨着坐，则礼堂最多容纳多少名学生考试。
四年级奥数(2)简单的数列求和
教学内容：简单的数列问题(一) 世界著名的数学家高斯(1777年?1855年)，幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算： 1 + 2 + 3 + 4+，??+ 99 + 100 =? 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正忙着把这100 个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢? 原来小高斯通过细心观察，发现1?100这一串数中，1+ 100 = 2 + 99= 3+ 98=-= 49 + 52= 50+ 51= 101 。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100+ 2 = 50对。于是小高斯就把这道题巧算为： 1+ 2+ 3+-+ 99+ 100 =(1 + 100)X 100 + 2 = 5050 像1，2，3，-，99，100 这样的一串数我们称为“等差数列” ，下面介绍有关等差数列的概念。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。 例如： (1)5，6，7，8，-，100； (2)1，3，5，7，9，-，99； (3)4，12，20，28，-，804； (4)1，4，8，16，-，256。 其中( 1)是首项为5，末项为100，公差为 1 的等差数列；( 2)是首项为1，末项为99，公差为 2 的等差数列；( 3)是首项为4，末项为804，公差为8 的等差数列；( 4)中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。 从高斯的故事我们知道，要想求出像 1 ，2，3，-，99，100 这一等差数列的和，只要用第一个数 1 与最后一个数100 相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。 由此，我们得到等差数列的求和公式为： 数列和=(首项+末项)X项数十2 ［例1］计算1+ 2+ 3+-+ 1999 ［分析与解］这串加数组成的数列1，2，3，-，1999 是等差数列，公差是1，首项是 1，末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得： 原式=( 1+ 1999)X 1999+ 2 ［例2］求首项是5，公差是3 的等差数列的前1999 项的和。 ［分析］等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项=首项+公差X(项数— 1 ) ［解］末项= 5+ 3X( 1999－1) = 5999 和=( 5+ 5999)X 1999+ 2 ［例3］计算3+ 7+ 11 +-+ 99 ［分析］这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：
四年级奥数：等差数列求和(一)
四年级奥数：等差数列求和（一） 小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n ＝（b－a）÷d＋1 典型例题 例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。 分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝2000×1999÷2 ＝1000×1999
＝1999000 例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。 分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800 例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。 分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900
高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲 等差数列求和
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得到等差数列求和公式： ()2=+?÷和首项末项项数 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1 计算下列各题： （1）36912151821242730+++++++++； （2）4137332925211713951++++++++++． 分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？ 练习1 计算：61116212631364146++++++++． 例题2 计算下列各题： （1）511177783+++++L ； （2）827772127+++???++． 分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来． 练习2 计算：100928412++++L ． 例题3 计算下列各题： （1）10121824共项 +++L 14444444244444443； （2）131********共项 +++L 144444444 2444444443． 分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的 那些算出来．
三年级奥数等差数列求和教学设计
《等差数列求和》教学设计 【教学目标】： 1、通过学习，初步建立配对求和的逻辑推理，简便计算的能力。 2、培养学生的观察和思考的能力。 3、学习本课知识有助于养成全面地，由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯。【教学重点】 用配对求和的简便方法解决问题，推导等差数列的求和公式。 【教学难点】 等差数列求和公式的推导。 【教学过程】 一、激趣引入 老师：同学们，如果，我说的是如果。你们第一次来上课老师奖励你们没人一块钱，第二次奖励两块，第三次奖励三块，……请问，到第10次课后，你们每人得到了多少钱？ （学生在草稿纸上计算，老师板书；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） 老师：你们有什么简便的方法计算出这个式子的结果吗？ 学生：凑十法！ 老师：怎么凑？ 学生：1+9，2+8，3+7，4+6。 老师：很好，凑十法也能够很快算出结果。不过，凑十法也有缺陷，你们看，用凑十法最后还剩下走不到伴的数。大家想想，还有什么办法计算？ （学生思考，讨论。） 老师：请同学来回答。 学生：第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加…… 老师：这位同学观察很仔细。1加上10等于11，2加上9等于11……这里面十个数刚好分为了5组，每组的和都是11.。所以我们也可以这样来计算这个式子的和。 （板书：
（小结：在这里，我们使用了一种简便的计算方法：配对求和。即先配对再求和。） 二、讲授新课 老师：如果，还是如果。老师爱心泛滥，继续奖励你们money。请问，第一百天后，你们每人得到多少钱呢？ （板书：例题一 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋…＋ 98 ＋ 99 ＋ 100） 老师：这个式子又该怎样计算呢？就用刚才老师教的配对求和的方法。谁和谁配对呢？ 学生：1和100，2和99，3和98…… （副板书： 老师：总共有多少对呢？ 学生：50对。 老师：没错，一百个数，两个数一对，可以分为100除以2等于50对。所以在这道题中，我们也可以这样计算。 （板书： 老师：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。这是一个自然数列，它们有着这样的规律。从第二项起每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。后项与前项的差叫该
小升初奥数第3节：数列求和
小升初奥数第3节：数列求和
数列求和 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握数列求和的方法 教学内容 知识点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（n－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式: (首项+末项)×项数÷2 例题与巩固 题型一：求项数 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 题型二：求第n项 【例题1】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 题型三：求和 【例题1】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 【例题2】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。练习： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 【例题3】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
练习： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) 【例题3】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 练习： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 【例题4】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
五年级奥数：数列的求和(B)(含答案)
五年级奥数：数列的求和(B)（含答案） 一、填空题 1. 计算: (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)÷13=______. 2. 计算: ______19901990199031990219901=++++ . 3. 计算: (1+ 337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11)=______. 4. 在1,4,7,10,13,…,100中,每个数的前面加上一个小数点以后的总和等于______. 5. 121,12239,,124,123,122 这239个数中所有不是整数的分数的和是______. 6. 计算: 15131131111191971751?+?+?+?+?=______. 7. 计算: ______301 2981131011071741411=?++?+?+?+? . 8. 计算: ______99 163135115131=++++. 9. 计算: 1+3______90 11772115561134211130192017121561=+++++++. 10. 把1到100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码字的和是____. 二、解答题 11. 求: +?198719861986+?198819871986+?198919881986…+2000 19991986?.
12. 求: 98.087.076.065.054.043.032.02 1.0 +++++++. 13. 求: )99 11()311()211(991)411()311()211(41 )311()211(3121121+??+?++++?+?+++?+++ 14. 一个家具厂生产书桌的数目每个月增加10件,一年共生产了1920件,问这一年的12月份生产了多少件? ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1. 解法一 (3+4+5+6+…+14+15)÷13 =2 153+×13÷13 =9×13÷13 =9 解法二 (3+4+5+6+…+14+15)÷13 =[(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)+(11+15)+13+(12+14)]÷13 =13×9÷13 =9 2. 19901+19902+19903+…+1990 1990