北师大版九年级数学下《3.8圆内接正多边形》同步习题含答案
2020—2021学年北师大版九年级数学下册3.8《圆内接正多边形》课时训练(含答案)
2020—2021学年九年级数学下册3.8《圆内接正多边形》课时训练一、选择题1．下列命题中，假命题的是（ ）A ．各边相等的圆内接多边形是正多边形B ．正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心C ．正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心D ．一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形2．同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是（ ）A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶2D ．2∶13．正六边形的两条平行边间距离是1，则边长是（ ）A ．63B ．43C ．33D ．23 4．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ）A ．S 3>S 4>S 6B ．S 6>S 4>S 3C ．S 6>S 3>S 4D ．S 4>S 6>S 35．正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶3C ．1∶2∶3D ．1∶2∶3二、填空题1．一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形2．正八边形的中心角的度数为___，每一个内角度数为____，每一个外角度数为____3．边长为6cm 的正三角形的半径是____cm ，边心距是____cm ，面积是____cm4．面积等于36cm 2的正六边形的周长是____5．同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____三、判断题1．各边相等的圆外切多边形一定是正多边形（ ）2．各角相等的圆内接多边形一定是正多边形（ ）3．正多边形的中心角等于它的每一个外角（ ）4．若一个正多边形的每一个内角是150°，则这个正多边形是正十二边形（ ）四、计算1．已知正方形面积为8 cm2，求此正方形边心距．22，求正三角形半径．3．一个正五边形边长为a，它既有内切圆又有外接圆，则这两个圆之间所夹的圆环面积是多少？参考答案一、1．D ；2．C ；3．C ；4．B ；5．A ； 二、1．四； 2．45，135，45；3．，4．12；5．1∶2． 三、1．×；2．×；3．√；4．√四、1 2．1 3．2π4a。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°图3－8－23－8－38．[2019·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDEFG …的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA . ∵OA 2＝AB 2＋OB 2，∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2， 解得OA ＝2.故选B.2．C 3.A4．B[解析] 设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360°n，正多边形的一个外角等于360°n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm[解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等．6．D7．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH即为所求．8．A[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图②，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝ 3.则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝2 2.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定5．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为________．知识点2正多边形的画法6．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形7．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹)．(1)如图3－8－2，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O；(2)如图3－8－3，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．3－8－23－8－38．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA .∵OA 2＝AB 2＋OB 2， ∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2，解得OA ＝2.故选B. 2．C 3.A4．B [解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360°n ，正多边形的一个外角等于360°n ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm [解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等． 6．D7．解：(1)如图，点O 即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH 即为所求．8．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝2×sin30°＝1； 如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2×sin45°＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝2×cos30°＝ 3. 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n.。
圆内接正多边形练习北师大版九年级数学下册
3.8圆内接正多边形练习一、填空题1．正六边形的中心角等于度．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB＝2 ．3．如图，在圆内画正六边形、正五边形，则∠ABC＝．4．如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果AB＝4 ．二、选择题5．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O（）cm2．（结果保留π）A．B．C．D．6．如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则（）A．B．C．D．29．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个10．先作半径为的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（）A．B．C．D．11．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10（）A．40 B．50 C．60 D．80 12．如图，正六边形的顶点在矩形的各条边上，若阴影部分的面积为3（）A．B．6 C．9 D．12 13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A（）A．30°B．40°C．45°D．60°14．正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．2 15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，则∠ADB的度数为（）A．45°B．25°C．22.5°D．20°16．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连接AC、AD、BE，连接DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．18．如图是由边长为2的六个等边三角形组成的正六边形，建立适当的直角坐标系，写出正六边形各顶点的坐标．19．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．20．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．。
2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.8圆内接正多边形 同步练习
2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.8 圆内接正多边形同步练习一、单1.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）A、30°B、40°C、45°D、50°+2.以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A、B、C、D、+3.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A、2rB、C、D、+4.如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）A、B、（）a2 C、 2 D、（）a2+5.已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A、B、C、D、+6.如图，将正五边形绕其中心O顺时针旋转ɑ角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形是中心对称图形，则ɑ的最小角度为（）A、30°B、36°C、72°D、90+7.如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，想在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张．体验店平面图是长9米、宽7米的矩形，通道宽2米，桌子的边长为1米；摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，则体验区可以摆放桌子（）A、4张B、5张C、6张D、7张+8.正六边形的边心距与边长之比为（）A、1 : 2B、：2C、：1D、：2+9.以下说法正确的是( )A、每个内角都是120°的六边形一定是正六边形B、正n边形的对称轴不一定有n条．C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D、正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．+10.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A、1.4B、1.1C、0.8D、0.5+二、填空题11.如图，点G是正六边形ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+ ∠HGC= 度，若AB=a，则FH= （用含a的代数式表示）．+12.如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为．+13.如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝°.+14.如图，是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是结果用含的式子表示．+15.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设⊙的半径为1，若用⊙的外切正六边形的面积来近似估计⊙的面积，则.（结果保留根号）+16.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．+三、解答题17.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．(1)、求∠BPC的度数；(2)、若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．+18.如图，圆O的半径为r．（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．+19.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)、设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)、求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．+20.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动(1)、求图10－1中∠APN的度数；(2)、图10－2中，∠APN的度数是，图10－3中∠BPN的度数是。
北师大版九年级下册数学 3.8圆内接正多边形 同步练习
3.8圆内接正多边形同步练习一．选择题1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°2．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π3．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°4．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（）A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米5．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°6．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°7．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（）A．sin15°B．tan15°C．D．8．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，过点A作圆O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BF B．AF∥CD C．D．AB＝BF9．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．1610．如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得到，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．2π﹣2C．﹣3D．﹣2二．填空题11．中心角为36°的正多边形边数为．12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．13．正方形ABCD内接于⊙O，点F为CD的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接CE，则sin∠DCE＝．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连结AM，若⊙O的半径为2，则AM＝．15．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A ＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．参考答案一．选择题1．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．2．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．3．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故选：C．4．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．5．解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝＝108°，由正六边形内角，得∠ABC＝＝120°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABK＝60°，∴由四边形的内角和，得∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°．故选：C．6．解：因为多边形的外角和为360°，所以圆内接正十边形的外角和为360°，故选：B．7．解：如图所示：，∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，∴此正多边形的边数为＝12，即多边形为12边形，连接OA、OB，过O作ON⊥AB，边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，∴OB＝＝，即这个正多边形的半径是，故选：C．8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，∴∠EAB+∠ABD＝180°，∴AE∥BF，故本选项不符合题意；B、∵∠F＝∠CDB＝36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，∴AD＝AF，∴FH＝DH，当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，此时DF＝AF，∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；D、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，∵F A切⊙O于A，∴∠OAF＝90°，∴∠F AB＝90°﹣54°＝36°，∵∠ABD＝72°，∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠F AB，∴AB＝BF，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，∴∠BOC＝30°，∴n＝＝12，故选：C．10．解：连接OB、OC、OD，S扇形CAE＝＝2π，S△AOC＝＝，S△BOC＝＝，S扇形OBD＝＝，∴S阴影＝S扇形OBD﹣2S△BOC+S扇形CAE﹣2S△AOC＝﹣2+2π﹣2＝﹣4；故选：A．二．填空题11．解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．12．解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．13．解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，∵F为CD的中点，∴FD＝a，由勾股定理得：AF＝＝，∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝＝，故答案为：．14．解：连接AC，OB交于点H．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OB＝2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝120°，∴＝，∴OB⊥AC，∴AH＝HC，∠ABH＝∠CBH＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝，∴AC＝2AH＝2，∵∠ACB＝∠BAC＝30°，∠BCD＝120°，∴∠ACM＝90°，∵CM＝MD＝1，AC＝2，∴AM＝＝＝，故答案为．15．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵AK＝BK，∴KF＝AK＝BK，∵正方形ABCD的外接圆的半径为，∴AB＝BC＝＝2，∴KF＝AK＝KB＝1，∵∠CBK＝90°，∴CK＝＝＝，∵CF≥CK﹣KF，∴CF≥﹣1，∴CF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．三．解答题16．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC＝4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．18．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；。
九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形同步练习新版北师大版_
3.8圆内接正多边形一、夯实基础1．方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2．正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3．正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是，又是对称图形。
4．如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A正三角形 B正五边形 C正六边形 D正七边形．二、能力提升6．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为__ cm7．正方形ABCD的内切圆⊙O的面积是81π，正方形ABCD的周长是______．8．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．9．如图，有一个边长为3cm的正六边形，如果要在正六边形纸片中剪出一个最大的圆，则这个圆的半径是___________cm．10．如图，五个相同的圆的圆心连成一个边长为10cm的正五边形，五边形内阴影部分的面积为_____.11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．三、课外拓展12．求出半径为R的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.13．足球面是由若干个正五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是多少？14．将固定宽度的纸条打一个简单的结，然后系紧，使它成为一个平面的结，如图所示，求证：这个五边形是正五边形.15．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）四、中考链接1．（2016·山东省德州市·4分）正六边形的每个外角是度．2．（2016·广西桂林·3分）正六边形的每个外角是度．6．（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）。
3.8 圆内接正多边形课后练习2020-2021学年 北师大版九年级下册数学
第三章圆8.圆内接正多边形课后练习2020-2021学年下学期九年级下册初中数学北师大版一、单选题（共12题）⌢上，则∠P的度数为（）1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在ABA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63.已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（）A. 2B. 1C. √3D. √324.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 156.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为√2，则这个正多边形为（）2A. 正十二边形B. 正六边形C. 正四边形D. 正三角形7.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A. 3：2B. 1:√3C. 1:√2D. √2:√38.正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（）A. 2 √2B. √2C. 1D. √229.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（）A. 12B. 6√3C. 6D. 3√310.半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A. a2B. √2a2C. √3a2D. a11.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A. √32R2 B. πR2 C. 3√32R2 D. 3√34R212.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH 的长为（）A. √5cmB. 5 √3cmC. 3 √5cmD. 10 √3cm二、填空题（共6题）13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧CD上，则∠BFE的度数为________14.如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD；若线段HD恰好是⊙O 的一个内接正n边形的一条边，则n=________．15.若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为________.16.数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________.17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB=3cm，则⊙O的半径为________.18.我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 √2<r<4，那么利用图2中的圆内接正六边形和外切正六边形周长可进一步将π的范围缩小到________(结果保留根号)三、综合题（共4题）19.如图，已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距n，面积S ．20.如图，ABCDE是⊙O的内接正五边形．求证：AE∥BD.21.试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。
数学随堂小练北师大版(2012)九年级下册：3.8圆内接正多边形(有答案)
数学随堂小练北师大版（2012）九年级下册3.8圆内接正多边形一、单选题1.如图，六边形ABCDEF 为O 的内接正六边形，AB a =，则图中阴影部分的面积是（ ）A.2π6aB.2π6a ⎛ ⎝⎭ 2 D.2π3a ⎛ ⎝⎭2.已知A 、B 、C 三点在O 上，且AB 是O 内接正三角形的边长，AC 是O 内接正方形的边长，则BAC ∠的度数为( )A ．15°或105°B ．75°或15°C ．75°D ．105°3.如图,正六边形ABCDEF 内接于O ,M 为EF 的中点,连接DM ,若O 的半径为2,则MD 的长度为( )C.2D.14.正六边形ABCDEF 内接于O ,正六边形的周长是12,则O 的半径是( )B. 2C.D.5.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6.从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，则此正六边形的边心距是( )A. C.7.如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最小为（）A. πC. 2πD. 4π8.如图，小华从一个圆形场地的A出发，沿着与半径OA夹角为行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角α的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于AB上，此时AOE∠=︒，则α的度数是( )56A.52︒B.60︒C.72︒D.76︒a R r= ( )9.已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则::A.B. 2:2C. 1:2:3D. 1:2:二、填空题10.如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠=________。
11.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中,点P 是其对角线BE 上一动点,连接,PC PD ,则PCD 的周长的最小值是_________.12.如图, 要拧开一个边长为 6?a cm =的正六边形螺帽,扳手张开的开口b 至少为 .13.如图，正方形ABCD 是O 的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是 .三、解答题14.已知：如图，正八边形12345678A A A A A A A A 内接于半径为R 的O .(1)求13A A 的长；(2)求四边形123A A A O 的面积；(3)求此正八边形的面积S .参考答案1.答案：B连接,OA OB .正六边形的边长为a ，22ππa a ⨯=O ∴的半径为a ，O ∴的面积为22ππa a ⨯=.AOB △的面积为21sin602a a ⨯⨯⨯︒.∴正六边形的面积为226=，∴阴影部分的面积为2221ππ66a a ⎛⎫⎛⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 故选B.2.答案：B先求出BOC ∠的度数，然后根据圆周角定理求解，注意分类讨论．解：①如图1所示：AB 是O 内接正三角形的边长，AC 是O 内接正方形的边长，12090AOB AOC ∴∠=︒∠=︒，，36012090150BCO ∴∠=︒-︒-︒=︒，1752BAC BOC ∴∠=∠=︒；②如图2所示，同①得出15BAC ∠=︒，故选：B ．3.答案：A如图，连接 O M OD OF ，，.正六边形ABCDEF 内接于O ，M 为EF 的中点，∴ 60120OM EF EDO FED ⊥∠=︒∠=︒，，，∴ 90MOD OMF ∠=∠=︒.在Rt OMF △中，由勾股定理可得OM =∴ MD === A.4.答案：B如图，连接.OB OC ，多边形ABCDEF 是正六边形，∴ 60BOC ∠=︒.OB OC ∴=，OBC ∴△ 是等边三角形，OB BC ∴=.正六边形的周长是12，2BC ∴=,O ∴的半径是2.故选B.5.答案：A正三角形一条边所对的圆心角是3603120︒÷=︒，正方形一条边所对的圆心角是360490︒÷=︒，正五边形一条边所对的圆心角是360572︒÷=︒，正六边形一条边所对的圆心角是360660︒÷=︒，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选A.6.答案：C如图，连接,OA OB ，过O 作OD AB ⊥于D ，圆内接多边形是正六边形，360606AOB ︒∴∠==︒ ,OA OB OD AB =⊥，11603022AOD AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒5,AD OD ∴=∴== C.7.答案：C正方形的边长为2，∴正方形的对角线的长为∴正方形的外接圆的直径为∴正方形的外接圆的面积为2π，故该图形纸片的面积最小为2π.故选C.8.答案：A连接OC OD 、BAO CBO α∠=∠=AOB BOC COD DOE ∴∠=∠=∠=∠56AOE ∠=︒，36056764AOB ︒-︒∴∠==︒ 18076522α︒-︒∴==︒ 故选A.9.答案：B圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形,这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，等边三角形的高与正六边形的边心距相等，等边三角形的高是它的边长的::2:2a R r =10.答案：48︒如图，连接OA .五边形ABCDE 是正五边形，360572AOB ∴∠=÷=. AMN △是正三角形，3603120AOM ∴∠=÷=.1207248BOM AOM AOB ∴∠=∠-∠=-=11.答案：6要使PCD 的周长最小，则PC PD +应最小.由正六边形的性质，得点C 关于BE 的对称点为点A ，如图，连接AD 交BE 于点P '，则有,P C P A P C P D AD ''''=+=最小.又易知四边形ABCD 为等腰梯形，60BAD CDA ∠=∠=︒，作BM AD ⊥于点M ,CN AD ⊥于点N .21AB DN AM =∴==，， 4AD ∴=.故PCD 的周长的最小值为6.12.答案：如图,设正六边形ABCDEF 的中心是O ,则60AOB BOC ∠=∠=︒,∴OA OB AB OC BC ====,∴四边形ABCD 是菱形,由菱形的性质及勾股定理可得AM =,∴2AC AM ==.13.答案：45︒如图，连接,OB OC四边形ABCD 为O 的内接正方形，90BOC ∴∠=︒1452P BOC ∴∠=∠=︒ 14.答案：（1）正八边形12345678A A A A A A A A 内接于半径为R 的O 3221360458A OA A OA ︒∴∠=∠==︒,3190A OA ∴∠=︒3131,OA OA R A A ==∴===（2）设13A A 与2OA 相交的点为B 点，322145A OA A OA ∠=∠=︒3221213,A A A A OA A A ∴=∴⊥∴四边形123A A A O 的面积为22321212111122222OA A B OA A B OA A A R R ⋅+⋅=⋅==（3）四边形123A A A O 的面积为22R ,3190A OA ∠=︒∴正八边形的面积为22360902S R =⨯=.。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步测试
3.8 圆内接正多边形同步测试一、选择题1.下列说法正确的是（）A.各边都相等的多边形是正多边形B.一个圆有且只有一个内接正多边形C.圆内接正四边形的边长等于半径D.圆内接正n边形的中心角度数为2.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )A．1: B:1 C．1:2:3 D．3:2:1 3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD的度数是（）A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°4.等边三角形的边心距、半径、边长之比为（）A.1：√3：2B.1：2：√3C.1：2√3：2D.1：2：2√35.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（）A．60° B．45° C． 36° D． 30°6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A. 55°B. 70°C. 90°D. 110°7如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105° B. 95° C. 75° D. 60°8.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．429.如图，⊙O 的一条弦AB 垂直平分半径OC ，且AB=2√3，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）A.6B.6√3C.12D.12√310.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是A. 115°B. l05°C. 100°D. 95°二、填空题11.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=________．12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在»AD上，则∠BEC= ．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=________°．14.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为________m．15.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）三、综合题16. 如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求正八边形的面积。
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北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形 同步习题
一、选择题(9分×3＝27分)
1．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A.62 B.34 C.63 D.43
2．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大
小关系是( )
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3
C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
3．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正
方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为( )
A．60° B．65° C．72° D．75°
二、填空题(9分×2＝18分)
4．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点
O是正八边形中心，则∠MON＝____________．
,第4题图) ,第5题图)
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则
正八边形的面积为_______cm2.
三、解答题(17分＋18分＋20分＝55分)
6．学习完正多边形和圆后，在师生共同小结与归纳时，下面有几位同学谈
了自己的想法．
针对以上三位同学的意见，谈谈自己的想法．
7．如图，已知l是⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，BC交⊙O于E，
交直线l于C，OC交⊙O于F，且AB＝AO＝AC.一同学通过测量猜测，
EF为⊙O的内接正二十四边形的一边，你认为他的猜测正确，请你证明；
若你认为他的猜测不正确，请说明理由．
8．如图1，2，3，…，n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形
ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，
且BM＝CN，连接OM、ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是_______；图3中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
答案：
1. A
2. B
3. D
4. 45°
5. 40
6. 解：矩形不一定是正多边形，因为其各边不一定都相等，菱形不一定是
正多边形，因为其各角不一定相等，正方形是正多边形；圆内接菱形是正
方形，因为菱形各边相等，且各边所对的弧也相等，可推出其各内角也都
相等；正多边形是轴对称图形，但不一定是中心对称图形．
7. 解：猜测正确．证明：连接OE.∵AB＝AO＝AC，又OB＝OA，
∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝60°，由l切⊙O于A得OA⊥l，
∴∠ABC＝∠ACB＝15°，∴∠AOE＝30°，由OA＝CA，OA⊥AC得
∠AOC＝45°，
∴∠EOF＝15°，而
360°
15°
＝24，
故EF为⊙O的内接正二十四边形的一边．
8. 解：(1)连接OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，
∠BOC＝120°，又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM
＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°
(2)90° 72°
(3)∠MON＝360°n