与椭圆有关的最值问题
椭圆上一点到直线距离最值问题
椭圆上一点到直线距离最值问题好啦，今天咱们聊聊椭圆和直线之间的那些事儿，真的是一个既有趣又让人抓狂的话题。
想象一下，一条优雅的椭圆，就像是你心中那个完美的梦想，绕着中心轻轻旋转。
然后，有一条直线，好像生活中的某种压力，横亘在那儿，让你觉得不那么顺畅。
这一来一去，距离就成了个大问题了。
想想看，椭圆上的一个点到那条直线的距离，这可是个有意思的挑战。
咱们得搞清楚，椭圆上哪一点最想跟直线拉开距离。
你可能会想，哎，点嘛，随便找一个就好了，可不一定。
每个点都有它自己的“性格”，有的点爱热闹，有的点喜欢安静。
这就像人际关系，有些人总是喜欢跟人保持一定的距离，生怕太亲密了会出事儿，而有些人则热情如火，恨不得每天都黏在一起。
所以，找到那个最远的点，就像是在寻找一位志同道合的朋友。
椭圆可不是个简单的角色。
它的形状就像是一个温柔的梦，既有大气又不失优雅。
你要知道，它的方程式可复杂着呢！有些同学一听到数学方程就头疼，但其实啊，理解了这个椭圆的“身世”，你就能更好地理解这些点和直线之间的微妙关系。
想象一下，椭圆就像是生活中的一个聚会场合，每个点都是一个个鲜活的角色，在这场聚会上，你得找出哪一个点能够和直线保持最大的距离。
咱们得聊聊这条直线。
这条直线，它的脾气可真不小，走到哪里都横着呢！总是妨碍椭圆上那些优雅的点，生怕他们过得太舒坦。
就像生活中的种种困难，时常让人觉得喘不过气来。
不过，关键在于，你得用心去找出椭圆上和直线的那份距离。
就好比是生活中的选择，有时候你要停下脚步，仔细思考一下，哪些事儿才是最值得追求的。
在这个过程中，运用一些简单的数学工具，可以帮助你找到最佳的那个点。
想象一下，像个侦探一样，拿着放大镜，仔细观察每一个细节，最终找到那颗闪耀的“宝石”。
这个过程也许不容易，但回头一看，收获的确实值得。
就像打拼事业，虽然过程艰辛，但最后看到成果，那种满足感简直无法用语言形容。
发现最远距离的过程，也让你对椭圆和直线之间的关系有了更深的理解。
椭圆中的面积最值解析
椭圆中的面积最值
一、解答题
1．已知椭圆Γ：22
221x y a b
+=的右焦点为()1,0，且经过点()0,1A ，设O 为原点，直线l ：
y kx t =+（1t ≠±）与椭圆Γ交于两个不同点P 、Q ，(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若AP AQ ⊥，求APQ △面积的最大值，并求此时直线l 的方程.设直线AP 方程为1y mx =+由22
122
y mx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得
2．已知椭圆()22:10E a b a b
+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .
(1)求E 的方程；
(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.
3．已知椭圆C ：2
21(0)x y a b a b
+=>>过点A （2，且C (1)求C 的方程；
(2)设直线l 交C 于不同于点A 的M ，N 两点，直线AM ，AN 的倾斜角分别为α，β，若
cos 1cos α
β
=-，求AMN 面积的最大值.
84
）
()()1122,,,x y N x y ，易知直线l 的斜率不为2214my t y =++=得()
22222m y mty t +++()()(2222244288m t m t t =-+-=--221222
28
22
mt t y y m m -=-=++，，。
椭圆中角的最值问题——基本不等式法和函数法
椭圆中角的最值问题——基本不等式法和函数法椭圆上点P ，点P 运动时，与点P 相关的角也在变化，如何研究角的最值问题呢？在区间[]π,0上，余弦函数x y cos =单调递减，即角的大小与其余弦值的大小相反，故求角的最值可以转化为求角的余弦值的最值。
本文将通过对两个典型题目的分析，给出两种处理最值问题的方法：基本不等式法和函数法，同时给出两个椭圆里常见的关于角的最值问题的结论，便于大家平时解题。
题目1：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，求21PF F ∠最大时，点P 的位置.分析：因为点P 是椭圆C 上的动点，由椭圆的定义知：a PF PF 221=+，即和为定值，可以考虑运用基本不等式求最值.解析：在21F PF ∆中，由余弦定理得：()212212122121221222121222cos PF PF F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF F --+=-+=∠122244212212122-=--=PF PF b PF PF PF PF c a 由基本不等式得：2221212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤，所以12cos 2221-≥∠ab PF F ，当且仅当a PF PF ==21时，“=”成立，此时21cos PF F ∠取最小值，21PF F ∠取最大值，点P 位于椭圆短轴的端点处.结论1：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，当点P 位于椭圆短轴的端点处时，21PF F ∠取最大值.题目2：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆C 上的动点，求APB ∠最大时，点P 的位置.分析：这个题目中PB P A +不是定值，很难构造出基本不等式所需的条件，可以考虑运用椭圆的参数方程设出动点P 的坐标（运用参数方程设动点的坐标的优势在于只含有一个参数），将角的余弦值表示为参数α的函数，再求函数的最值即可.解析：由椭圆的参数方程⎩⎨⎧==ααsin cos b y a x （α为参数），可设)sin ,cos (ααb a P ，)0,(a A -，)0,(a B ，则)sin ,cos (ααb a a P A ---=，)sin ,cos (ααb a a PB --=则()()22222)sin (1cos )sin (cos ααααb a b a a P A ++=++=()()22222)sin (1cos )sin (cos ααααb a b a a PB +-=+-=，由向量的数量积得：PBP A PB P A APB ⋅=∠cos [][]αααααα222222222222sin )1(cos sin )1(cos sin sin b a b a b a +-+++-=()()αααα2222222224222222sin 411sin 4sin sin )(b a b a b a b aa b -+-=+--=当1sin 2=α，即2πα±=时，APB ∠cos 取最小值，此时()2222222222sin 411cos b a b a b a ba APB +--=-+-=∠α，APB ∠取最大值，此时()b P ±,0，点P 位于椭圆短轴的端点处.结论2：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆C 上的动点，当点P 位于椭圆短轴的端点处时，APB ∠取最大值.高考题目：（2017年全国1卷文科12题）设A ，B 是椭圆C ：1322=+my x 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则m 的取值范围是（）A.(][)+∞,91,0B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0 分析：题目中给出C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，这是一个存在问题，只需确保角的最大值不小于 120，而角的最大值在点M 位于短轴端点时取得.解：由结论2知：当点M 位于椭圆C 的短轴的端点时，AMB ∠取最大值；（1）若)3,0(∈m ，则长轴32=AB ，设短轴的一个端点为点E ，m EB EA +==3，在ABE ∆中，由余弦定理得()m m m BE AE AB BE AE AEB +-+++=-+=∠3212332cos 222，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则 120≥∠AEB ，()21321233cos 1-≤+-+++=∠<-m m m AEB ，则10≤<m ，（2）若()+∞∈,3m ，则长轴m AB 2=，设短轴的一个端点为点F ，m FB F A +==3，在ABE ∆中，由余弦定理得()mmm m m m BE AE AB BE AE AEB 2626324332cos 222+-=+-+++=-+=∠，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则 120≥∠AEB ，212626cos 1-≤+-=∠<-m m AEB ，则9≥m ，综上所述，(][)+∞∈,91,0 m .。
原点到椭圆距离最大值
原点到椭圆距离最大值原点到椭圆距离最大值是一个在数学领域中常见的问题，它涉及到椭圆和点之间的距离计算。
椭圆是平面上的一个曲线，由到两个定点的距离之和等于常数的点构成。
原点到椭圆的距离最大值即为原点到椭圆曲线上的点的最大距离。
要求计算原点到椭圆的距离最大值，首先需要了解椭圆的数学表达式。
椭圆的一般方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
原点到椭圆上任意点的距离可以用距离公式计算：\[d = \sqrt{x^2 + y^2}\]为了找到原点到椭圆距离最大值，可以使用最大化问题的方法。
通过将原点到椭圆上的点的距离表示为一个关于变量的函数，然后通过对这个函数求导，找到函数的最大值。
设椭圆上的点为$(x, y)$，代入椭圆的方程中，可以得到：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]根据距离公式，原点到椭圆上的点的距离为：\[d = \sqrt{x^2 + y^2}\]将椭圆的方程代入距离公式中，得到原点到椭圆上的点的距离的函数：\[f(x) = \sqrt{x^2 + \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2)}\]要找到原点到椭圆的距离最大值，需要对上述函数求导，令导数等于0，求得函数的极值点。
通过计算可以得到导数：\[f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2)}} -\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{\sqrt{x^2 + \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2)}}\]令导数等于0，可以得到极值点的横坐标x，进而得到纵坐标y。
最后，将横纵坐标代入距离函数，计算得到原点到椭圆的距离最大值。
通过上述步骤，可以找到原点到椭圆的距离最大值。
这个问题是一个经典的最大化问题，通过数学的方法和计算，可以得到准确的最大距离值。
椭圆中的参数范围及最值问题(学生版)
椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为223，且经过点6,33．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆O:x2+y2=1相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．3.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x=2的距离和点P到点C1,0 Array的距离的比为2，记点P的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C的直线l与Γ交于M，N两点，且∠OCM=∠xCN，求△CMN面积的最大值.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点P1,32在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且经过点A(-2,0)，B(2,0)，过点M-23,0作直线l与椭圆交于点P，Q(点P，Q异于点A，B)，连接直线AQ，PB交于点N.(1)求椭圆的方程；(2)当点P位于第二象限时，求tan∠PNQ的取值范围.6.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，且△ABF1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.9.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M(0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l:y=kx-1与椭圆C相交于A、B两点，求MA⋅MB的最大值.13.在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)，动点P到直线x=6的距离等于2PF+2.动点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A(2,0)，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1+S2的最大值.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.15.如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A 两点，AA=4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P'，过P、P'作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，椭圆C的离心率为12，B0,3在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆C交于M、N两点(不同于点A)，且AD⊥MN，D为垂足，求三角形ABD面积的最大值．17.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的离心率为63，且经过点P1,3．(1)求椭圆C的方程；(2)A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．，M是圆O:x2+y2=4内一动点，圆O与18.已知O为坐标原点，定点F1,0以线段FM为直径的圆内切．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若直线l与动点M的轨迹交于P，Q两点，以坐标原点O为圆心，1为半径的圆与直线l相切，求△POQ面积的最大值．19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．20.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，其离心率e=22，过点F垂直于x轴的直线交椭圆Γ于P，Q两点，PQ=2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B，过点D(2，0)的直线l与椭圆Γ相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为k1,k2，求k1+k2的取值范围．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.22.已知椭圆E:x22+y2=1的右焦点为F，椭圆Γ:x22+y2=λλ>1．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l:x=my-1交椭圆Γ于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．①求证：AB=CD；②若λ=5，求△ABF面积的最大值．23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．24.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．25.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，过C的右顶点A的直线l与C的另一交点为P.当P为C的上顶点时，原点到l的距离为25 5.(1)求C的标准方程；(2)过A与l垂直的直线交抛物线y2=8x于M,N两点，求△PMN面积的最小值.26.已知曲线C由C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0)和C2:x2+y2=b2(x<0)两部分组成，C1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B1,B2，右焦点为F,C2与x轴相交于点D，四边形B1FB2D的面积为3+1.(1)求a,b的值；(2)若直线l与C1相交于A,B两点，AB=2，点P在C2上，求△PAB面积的最大值.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.28.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F、F2，F1F2=4，点P3,1在椭圆E上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A、B，求△F1AB面积最大时直线l的方程．29.如图，A 为椭圆C :x 28+y 24=1的左顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，直线AM ,AN 与圆O :x 2+y 2=8的另一交点分别为P ,Q ．(1)设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1⋅k 2为定值；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1,S 2，求S1S 2的最大值．30.已知椭圆C ：x 23+y 2=1，经过圆O ：x 2+y 2=4上一动点P 作椭圆C 的两条切线．切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点．(1)求证：M ，O ，N 三点共线；(2)求△OAB 面积的最大值．。
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法可以分为两种：几何方法和解析方法。
1. 几何方法：
- 图形法：将椭圆图形画出，通过观察最高点和最低点的位置，得出最值的近似值。
- 平移旋转法：通过平移和旋转椭圆，将椭圆化为标准方程，再利用最值定理求解。
- 加点法：在椭圆上加入一些点，通过计算点的坐标值得出
最值。
2. 解析方法：
- 参数方程法：将椭圆的参数方程代入目标函数，求导后求
解最值。
- 最值定理：利用椭圆的不等式性质和最值定理，通过求解
约束条件得出最值。
- Lagrange乘子法：将约束条件加入目标函数，通过Lagrange乘子求解最值。
需要注意的是，椭圆中最值问题的求解方法因具体情况而异，选取适合的方法需要根据具体题目来决定。
椭圆中的最值和取值范围问题课件
（三）合作探究，强化运用意识
（1）解：由题意，可设直线 AB 的方程为 x=﹣ky+n，代入椭圆方程
，
可得（k2+2）y2﹣2kny+n2﹣2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由题意，△=4k2n2﹣4（k2+2）（n2﹣2）=8（k2﹣n2+2）＞0，
由韦达定理得
设线段 AB 的中点 P（x0，y0），
解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱ 连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知–︱PF1︱ ︱MP︱-︱MF1︱ ︱PF1︱ 当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、M 与 M2 重合时取左等号。 因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
（一）知识回顾，聚焦核心考点
2.椭圆的标准方程 和简单几何性质
|x|≤a，|y|≤b (±a，0)，(0，±b)
|y|≤a，|x|≤b (0，±a)，(±b，0)
x＝0，y＝0 (0，0)
（一）知识回顾，聚焦核心考点
3.弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1、 椭圆中的最值问题类型较多, 距离、离心率、弦长、面积，斜率等等， 解法灵活多变, 有函数法、不等式法、定义法、几何法、三角代换 法，设而不求法，等，但总体上主要有两种角度: 一是几何角度,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解; 二是代数角度,即把几何条件转化为代数表达,然后利用方程法，函
丰富学生思维活动，提升数学核心素养
椭圆上一点到上顶点的最大值公式
椭圆上一点到上顶点的最大值公式椭圆是一个经典的几何形状，具有很多有趣的性质。
其中一个问题是，如果我们在椭圆上选取任意一点P，那么该点到椭圆的上顶点的距离可以表示为一个函数。
这个函数的最大值对于很多实际问题具有重要意义。
首先，我们考虑一个普通的椭圆方程：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴。
最上方的顶点为(0,b)。
接着，我们取椭圆上任意一点P，坐标为(x,y)。
现在我们要求点P到椭圆上顶点的距离的最大值。
这个距离可以用点到点的距离公式来表示：$$d = \\sqrt{(x-0)^2 + (y-b)^2} = \\sqrt{x^2 + (y-b)^2}$$我们的目标是找到d的最大值。
为了简化问题，我们可以引入一个参数$\\theta$，该参数为点P处的切线和椭圆的x轴之间的夹角。
这样我们可以把x和y表示为 $\\theta$ 的函数。
假设斜率为 $m = \\frac{dy}{dx}$，则点P处切线的方程为：y−y0=m(x−x0)其中(x0,y0)为椭圆上点P的坐标。
我们还知道椭圆上任意一点(x,y)满足椭圆的方程。
将切线代入椭圆方程中，我们可以得到一个关于 $\\theta$ 的方程，进而可以求解x和y。
接下来，我们对d求导数，并令导数等于0，可以得到最大值点。
最后，我们将这个最大值代入d的表达式，就可以得到点到椭圆上顶点的最大距离公式。
通过这种方法，我们可以求解任意椭圆上一点到顶点的最大距禿问题。
这种方法也可以扩展到曲线的其它问题中，例如椭圆上一点到一定直线的最短距禿等。
椭圆作为一个经典的曲线，在几何学和应用数学中有着重要的地位，求解椭圆上点之间的几何关系问题，是一个具有挑战性和实际应用的课题。
在实际问题中，通过优化算法和数值计算方法，我们可以更准确地求解椭圆上点到顶点的最大距离问题。
这种方法可以应用于工程、物理学和计算机图形学等领域，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
椭圆上纵坐标最大和最小的点
椭圆上纵坐标最大和最小的点引言椭圆是一种常见的数学曲线，具有许多有趣的性质和应用。
其中一个问题是找到椭圆上纵坐标最大和最小的点。
本文将介绍如何解决这个问题，并详细讨论椭圆的定义、性质以及相关的数学知识。
椭圆的定义椭圆可以用数学方程来表示，通常使用标准方程：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)是椭圆的中心点坐标，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。
椭圆的性质椭圆具有许多有趣的性质，以下是一些重要的性质：1.椭圆上的点到椭圆中心的距离之和等于常数2a，这个常数称为椭圆的主轴长度。
2.椭圆的离心率是一个重要的参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦点到中心的距离。
3.椭圆对称于两条轴，即椭圆关于 x 轴和 y 轴对称。
4.椭圆上的点的坐标满足椭圆的方程。
解决问题现在我们来解决问题：如何找到椭圆上纵坐标最大和最小的点。
首先，我们要明确一点，椭圆上的点的纵坐标是有界的，即存在一个最大值和最小值。
我们可以通过求解椭圆的方程来找到这些点。
假设我们有一个椭圆的方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1我们可以将其转化为：y = ± b * sqrt(1 - (x-h)^2/a^2) + k上述方程给出了椭圆上所有点的纵坐标。
要找到纵坐标最大和最小的点，我们需要找到椭圆上的极值点。
这些极值点可以通过求解方程的导数来找到。
为了简化计算，我们可以先对方程进行一些变换。
假设c是椭圆的离心率，我们可以使用c来表示椭圆的长半轴和短半轴：c = sqrt(a^2 - b^2)将其代入椭圆方程，我们可以得到：(x-h)^2/(a^2 - c^2) + (y-k)^2/b^2 = 1现在我们可以对方程进行求导，得到：dy/dx = -b^2 * (x-h) / (a^2 - c^2) / (y-k)要找到极值点，我们需要令导数等于零。
由于y-k不可能为零（否则椭圆将无界），我们可以将方程化简为：(x-h) = 0这意味着椭圆上的极值点位于椭圆的中心点(h, k)处。
圆锥曲线最值的练习题
圆锥曲线最值的练习题一、椭圆最值问题1. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a >b > 0$），求椭圆上点到原点的最大距离。
2. 椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 上任一点到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离的最大值是多少？3. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上任一点到点 $P(4, 0)$ 的距离的最小值是多少？二、双曲线最值问题4. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，求双曲线上任一点到中心的最大距离。
5. 双曲线 $\frac{x^2}{9} \frac{y^2}{16} = 1$ 上任一点到直线 $2x 3y + 6 = 0$ 的距离的最小值是多少？6. 双曲线 $\frac{y^2}{4} \frac{x^2}{5} = 1$ 上任一点到点$A(2, 0)$ 的距离的最大值是多少？三、抛物线最值问题7. 已知抛物线 $y^2 = 4ax$，求抛物线上任一点到焦点的距离的最小值。
8. 抛物线 $x^2 = 8y$ 上任一点到直线 $y = 2x + 1$ 的距离的最大值是多少？9. 抛物线 $y^2 = 12x$ 上任一点到点 $B(3, 0)$ 的距离的最小值是多少？四、综合应用题10. 已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，求椭圆上点到直线 $3x + 4y 10 = 0$ 的距离的最大值。
11. 双曲线 $\frac{x^2}{9} \frac{y^2}{16} = 1$ 上任一点到直线 $x y + 2 = 0$ 的距离的最小值是多少？12. 抛物线 $y^2 = 8x$ 上任一点到点 $C(2, 0)$ 的距离的最大值是多少？13. 已知椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 和抛物线$y^2 = 4x$，求两曲线上的点到直线 $x + y 3 = 0$ 的距离之和的最小值。
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教材分析
1
与椭圆有关的最值问题
王秋波
圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆
为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化
思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式
等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见
的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法
例1。P(-2,3),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值
和最小值。
分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值
可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义
︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。
解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF
1
交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知
–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为
2a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
结论1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意
一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。
例2：P(-2,6),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和
最小值。
分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF
1
︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。
结论2：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，
则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。
2.二次函数法
例3．求定点A(a,0)到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x,y的函数，求最小值。
F2
F1
M1
M
2
o
教材分析
2
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱2=(x-a)2+y2 =(x-a)2+1-x212=2)2(21ax+1-a2由椭圆方
程知x的取值范围是[-2,2]
（1） 若︱a︱≤22,则x=2a时︱PA︱min=21a
（2） 若a>22,则x=2时︱PA︱min=︱a－2︱
（3） 若a<－22,则︱PA︱min=︱a+2︱
结论3：椭圆12222byax上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式
表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4：椭圆14222yx上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。
分析：若按例3那样d=542yx转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
的参数方程，即三角换元。
解：d=542yx ∵14222yx ∴令Ryxsincos2 则
d=54sin2cos2=2)4sin(252
当sin)4(=1时,dmin=510254, 当sin)4(=﹣1时,dmax=510254
结论4：若椭圆12222byax上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，
统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线m：x+2y+c=0 将x=﹣2y﹣c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±22,
c=-22 时直线m：x+2y-22=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行
教材分析
3
直线m与l的距离，所以dmin=510254
c=22时直线m：x+2y+22=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行
直线m与l的距离，所以dmax=510254。
结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判
别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确
率。