力学中的计算方法(数值积分)
力学中的加速度计算方法
力学中的加速度计算方法在力学中，加速度是一个非常重要的物理量，它描述了物体在单位时间内速度变化的快慢。
加速度的计算涉及到速度和时间的变化，下面将介绍几种常用的加速度计算方法。
1. 平均加速度计算方法平均加速度是指物体在一段时间内速度的平均变化率。
计算平均加速度的方法是将物体的初速度和末速度之差除以时间间隔。
公式如下：\[a_{avg} = \frac{v_f - v_i}{t}\]其中，\(a_{avg}\)表示平均加速度，\(v_f\)和\(v_i\)分别表示物体的末速度和初速度，\(t\)表示时间间隔。
2. 瞬时加速度计算方法瞬时加速度是指物体在某一瞬间的加速度，可以通过求物体的瞬时速度对时间的导数得到。
如果物体的运动是匀变速运动，那么瞬时加速度恒定，等于物体的平均加速度。
如果物体的运动是变速运动，则需要通过微分的方法求得瞬时加速度。
公式如下：\[a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t}\]其中，\(a(t)\)表示物体在时刻\(t\)的瞬时加速度，\(v(t)\)表示物体在时刻\(t\)的瞬时速度，\(\Delta t\)表示时间间隔的极限值。
3. 加速度-时间图解法在某些情况下，我们可以通过绘制加速度-时间图来计算加速度。
这种方法常用于描述变速运动中的加速度变化情况。
在图中，加速度的数值对应于纵坐标轴，时间对应于横坐标轴，通过计算图中加速度-时间曲线下的面积，可以求得物体的速度变化量。
公式如下：\[v = \int a(t) dt\]其中，\(v\)表示物体的速度变化量，\(a(t)\)表示加速度-时间曲线下的面积，积分范围是从初始时刻到目标时刻。
4. 积分法计算位移位移是物体在运动过程中位置变化的量度，也可以通过加速度的积分计算得到。
如果物体的加速度是一个函数\(a(t)\)，那么位移可以通过对加速度函数进行两次积分得到。
热力学与统计物理学的数值计算方法
热力学与统计物理学的数值计算方法热力学与统计物理学是研究物质宏观性质和微观粒子行为之间的关系的学科。
在研究过程中，常常需要进行数值计算来解决问题。
本文将介绍热力学与统计物理学中常用的数值计算方法。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是基于随机数的一种数值计算方法，它通过从给定的概率分布中进行随机抽样来模拟系统的状态。
在热力学与统计物理学中，蒙特卡洛方法常用于模拟粒子系统的热力学性质，如热平衡和相变等。
通过大量的随机抽样，可以得到系统在平衡态时的各种物理量。
二、分子动力学方法分子动力学方法是通过模拟粒子系统中粒子的运动轨迹来计算系统的性质。
它将粒子看作质点，根据经典力学的运动方程来模拟系统的演化过程。
在热力学与统计物理学中，分子动力学方法常用于模拟凝聚态物质的热力学性质和动力学行为。
通过对系统中每个粒子的位置和动量进行数值计算，可以得到系统的能量、压力等物理量。
三、格点模型方法格点模型方法是将连续空间上的物理系统离散化为格点上的模型，通过构建离散化的哈密顿量来进行数值计算。
在热力学与统计物理学中，格点模型方法常用于模拟自旋系统的热力学性质，如磁性材料的相变行为。
通过在每个格点上引入自旋变量，并通过哈密顿量计算系统的能量，可以得到系统的热力学行为。
四、路径积分方法路径积分方法是一种基于量子力学的数值计算方法，它将粒子的路径作为计算的基本对象。
在热力学与统计物理学中，路径积分方法常用于模拟量子统计系统的热力学性质，如费米气体和玻色气体的性质。
通过对粒子路径进行数值积分，可以得到系统的配分函数、热力学势和相对论效应等。
五、数值优化方法数值优化方法是一种通过迭代计算来优化系统状态的数值计算方法。
在热力学与统计物理学中，数值优化方法常用于求解系统的平衡态和最优态。
通过设置合适的优化目标和约束条件，可以采用迭代算法来寻找系统的最低能量态或使得某一物理量最优化的解。
六、有限元法有限元法是一种将连续问题离散化为有限自由度问题的数值计算方法。
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式惯性矩是描述物体抵抗转动的性质之一，也称为转动惯量或转动惯性。
惯性矩计算方法及其常用公式对于工程设计和物体力学研究非常重要。
本文将介绍惯性矩的计算方法以及常用截面的惯性矩计算公式。
一、惯性矩的计算方法惯性矩的计算方法有两种常见的方法：几何法和积分法。
1.几何法几何法是一种简单的惯性矩计算方法，适用于对称的二维和三维截面。
该方法基于图形的几何形状和特征参数，通过对称性和平移不变性等原理来计算物体的惯性矩。
对于二维截面，常用的几何法计算公式包括：(1)矩形截面的惯性矩计算公式：I=(1/12)*b*h^3其中，I为矩形截面的惯性矩，b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
(2)圆形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*r^4其中，I为圆形截面的惯性矩，r为圆形的半径。
对于三维截面，几何法的计算步骤类似，但计算公式更加复杂。
常用的几何法计算公式可参考相关的工程手册和物体力学教材。
2.积分法积分法是一种更加精确的惯性矩计算方法，适用于不规则形状的截面。
该方法基于直角坐标系下的积分原理，将截面划分成无限小的面元，并对每个面元的贡献进行积分求和，从而得到截面的惯性矩。
积分法的计算步骤如下：(1)将截面划分成无数个小区域，计算每个小区域的面积和距离轴线的距离。
(2)根据小区域的面积和距离，计算每个小区域的质量和质心的位置。
(3)根据每个小区域的质量、质心位置和距离轴线的距离，计算每个小区域对于轴线的贡献。
(4)对每个小区域的贡献进行积分求和，得到整个截面的惯性矩。
积分法的计算可以通过数值积分或解析积分进行。
对于复杂的截面形状，数值积分是一种较为方便和实用的计算方法。
1.矩形截面的惯性矩计算公式：I=(1/12)*b*h^3其中，I为矩形截面的惯性矩，b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
2.圆形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*r^4其中，I为圆形截面的惯性矩，r为圆形的半径。
3.环形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*(r2^4-r1^4)其中，I为环形截面的惯性矩，r1为内径半径，r2为外径半径。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法一、引言数值计算方法通过将裂纹尖端的应力场分布模拟为一个虚拟的数学模型，利用计算机进行数值求解来得到应力强度因子的数值。
数值计算方法通常分为两种类型：直接方法和间接方法。
1.直接方法直接方法是指直接通过有限元分析软件求解裂纹尖端的应力场分布，并通过一些后处理技术来计算应力强度因子。
其中最常用的方法是J积分法和节点法。
（1）J积分法：J积分法是一种常用的裂纹应力强度因子计算方法，它通过在裂纹尖端附近引入一个虚拟断裂面，将裂纹尖端附近的应力场分布（由有限元分析得到）转化为裂纹尖端处的应力强度因子。
具体计算方法较为复杂，一般需要通过数值积分的方法求解。
（2）节点法：节点法是一种基于有限元网格节点的方法，其基本思想是通过增加节点对裂纹尖端附近的应力场进行离散，利用节点处的应力场计算应力强度因子。
节点法相对于J积分法计算简单，但适用条件较为有限。
2.间接方法间接方法是指通过已知应力场的变化率来计算应力强度因子的方法。
常用的间接方法有格里菲斯准则法、欠奇性法和EOS法。
（1）格里菲斯准则法：格里菲斯准则法是最早提出的计算裂纹扩展的方法之一，基于弹性力学理论和线弹性断裂力学基本假设，通过对裂纹尖端周围应力场的分析，得到应力强度因子与裂纹尖端形状和尺寸以及应力场的关系。
（2）欠奇性法：欠奇性法是一种基于能量原理的裂纹尖端应力强度因子计算方法，通过构造合适的应变能表达式和裂纹尖端应力强度因子的定义，利用应变能的分式展开求解裂纹尖端处的应力强度因子。
（3）EOS法：EOS法是一种在裂纹尖端周围选取合适的控制体，通过求解控制体内外表面的应力分布，建立应力强度因子与表面应力之间的关系，从而计算裂纹尖端处的应力强度因子。
三、应用场景1.断裂力学：数值计算方法可以用于预测和分析裂纹扩展行为，在断裂力学领域中有着重要的应用。
通过计算裂纹尖端的应力强度因子，可以评估材料的断裂韧性和脆性。
2.疲劳分析：3.材料破坏：数值计算方法可以用于分析材料的破坏机理和破坏行为。
数值计算方法在工程问题求解中的应用
数值计算方法在工程问题求解中的应用一、引言数值计算方法是一种常见的数学计算方法，广泛应用于工程问题求解，特别是在工程设计、仿真和优化中。
本文将探讨数值计算方法在工程问题求解中的应用，包括基本概念、常见方法以及案例分析。
二、数值计算方法基本概念数值计算方法是一种数学计算方法，用于解决无法解析求解的数学问题。
它可以将数学模型转换为数字模型，并利用计算机进行计算和求解。
数值计算方法主要包括离散化、数值逼近、数值积分、数值微分和常微分方程数值解等。
离散化是将连续的数学模型转换为离散的数字模型，常见的方法包括有限元、有限差分和边界元等。
数值逼近是用有限个已知数据点来逼近连续函数，逼近函数的形式可以是多项式、三角函数或者其他函数形式。
数值积分是用数值方法来计算定积分的值，包括复合梯形、复合辛普森、高斯积分等。
数值微分是利用差商和极限方法计算函数的导数或者偏导数。
常微分方程数值解是用数值方法求解微分方程的解，包括欧拉法、梯形法、四阶龙格库塔法等。
三、数值计算方法常见应用数值计算方法在工程问题求解中有许多常见应用，包括以下几个方面：1. 工程设计与优化工程设计和优化往往需要大量复杂计算，数值计算方法可以将这些计算自动化，减少计算时间和成本。
例如，有限元法在结构分析中广泛应用，可以计算出结构的应力、应变、变形、自然频率等，并进行结构优化。
数值优化方法如遗传算法、模拟退火等常用于寻找工程设计最优解。
2. 工程仿真与模拟数值计算方法可以模拟并预测复杂现象，例如流体力学、热传递、电磁场等。
数值化仿真也可以用于评估工程方案的可行性和实用性。
例如，有限元法可以模拟热传导和流体力学现象，有限差分法可以模拟电磁场和光学现象。
3. 统计分析和数据处理数值计算方法可以用于处理和分析大量的数据，例如在工程实验和测试中所获得的数据。
数值计算方法可以通过数据拟合、回归分析等方法来分析数据的规律和趋势，提高数据分析的准确性和可靠性。
4. 控制系统分析与设计数值计算方法可以用于分析并优化复杂的控制系统，例如电机控制、自动化控制等。
积分方程的数值解法及其应用
积分方程的数值解法及其应用积分方程是一种重要的数学工具，广泛应用于科学和工程等各个领域。
然而，积分方程通常没有解析解，需要借助数值方法来求解。
本文将介绍积分方程的数值解法及其应用。
积分方程的数值解法积分方程的数值解法有很多种，常用的方法包括：•格点法：将积分方程离散化为一组代数方程组，然后用数值方法求解代数方程组。
格点法是积分方程数值解法中最简单的方法，但精度不高。
•边界元法：将积分方程转化为一组边界积分方程，然后用数值方法求解边界积分方程。
边界元法比格点法精度更高，但计算量更大。
•谱法：将积分方程转化为一组谱方程，然后用数值方法求解谱方程。
谱法是一种高精度的积分方程数值解法，但计算量非常大。
积分方程的应用积分方程在科学和工程等各个领域都有广泛的应用，例如：•电磁学：积分方程可以用来求解电磁场问题，如天线设计、微波电路设计等。
•流体力学：积分方程可以用来求解流体力学问题，如流体流动、湍流、热传导等。
•固体力学：积分方程可以用来求解固体力学问题，如弹性力学、塑性力学、断裂力学等。
•化学工程：积分方程可以用来求解化学工程问题，如反应器设计、传质、传热等。
•生物学：积分方程可以用来求解生物学问题，如种群动态、流行病学、药物动力学等。
积分方程数值解法的发展前景积分方程数值解法是一个不断发展的领域，随着计算技术的进步，积分方程数值解法的方法和精度也在不断提高。
近年来，积分方程数值解法在以下几个方面取得了重大进展：•快速算法的开发：近年来，人们开发了许多快速算法来求解积分方程，如快速多极子算法、快速边界元算法、快速谱法等。
这些算法大大提高了积分方程数值解法的速度和效率。
•并行算法的开发：随着并行计算技术的兴起，人们也开发了许多并行算法来求解积分方程。
这些算法可以充分利用多核处理器和分布式计算资源，进一步提高积分方程数值解法的速度和效率。
•自适应算法的开发：自适应算法是一种根据积分方程的局部误差来调整计算精度的算法。
《高斯求积公式》课件
02
高斯求积公式的原理
数值积分的基本概念
数值积分
数值积分是一种近似计算定积分的方 法，通过选取有限个离散点上的函数 值，利用这些点的权值来近似计算定 积分的值。
几何意义
数值积分可以理解为在数轴上选取有 限个点，然后根据这些点的权值和位 置，构造一个梯形，该梯形的面积近 似等于被积函数与积分区间的乘积。
误差分析方法
可以采用不同的误差分析方法，如二分法、泰勒级数展开等，对误差进行评估 。
04
高斯求积公式的优缺点
高斯求积公式的优点
01
精度高
高斯求积公式采用高次多项式逼 近被积函数，因此具有较高的数 值精度。
稳定性好
02
03
适用范围广
高斯求积公式在计算过程中能够 有效抑制数值误差的积累，提高 计算结果的稳定性。
03
高斯求积公式的实现
构造高斯节点和权重的步骤
确定被积函数
首先需要确定要求积分的函数，这是高斯求积的 基础。
选择高斯点
根据被积函数的性质，选择合适的高斯点，这些 点将用于近似积分。
计算高斯权重
根据高斯点的选择，计算每个高斯点的权重，用 于后续的数值积分。
使用高斯求积公式进行数值积分的过程
准备数据
线性代数方程组求解
高斯消元法中，利用高斯求积公式可以计算矩阵的元素值，进而求 解线性代数方程组。
在物理模拟中的应用
粒子模拟
在粒子模拟中，高斯求积公式可用于计算粒子在时空中运 动的轨迹，以及相互作用力的影响。
01
流体动力学模拟
在流体动力学模拟中，高斯求积公式可 用于计算流场中各点的速度、压力等物 理量。
高斯求积公式
目录
• 引言 • 高斯求积公式的原理 • 高斯求积公式的实现 • 高斯求积公式的优缺点 • 高斯求积公式的应用实例 • 总结与展望
计算物理 知识点总结
计算物理知识点总结一、计算方法1.1 数值积分数值积分是计算物理中常用的一种方法，它用于求解复杂的积分运算。
数值积分的基本原理是将积分区间分割成若干小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些结果累加起来，得到整个积分的近似值。
1.2 微分方程数值解微分方程在物理学中广泛应用，而一般情况下微分方程是无法直接求解的，因此需要利用数值方法来求解。
微分方程数值解的基本原理是将微分方程离散化，然后用数值方法求解离散化后的方程，从而得到微分方程的近似解。
1.3 存储器和算法计算物理中使用的数学模型往往需要大量的内存和计算时间，因此如何有效地利用存储器和设计算法变得尤为重要。
在实际应用中，通常需要根据具体问题的特点来选择合适的存储器和算法，以提高计算效率和准确性。
1.4 随机数生成在模拟技术中，常常需要使用随机数来模拟物理过程中的随机性。
因此如何生成高质量的随机数成为一个重要的问题。
现代的计算机通常能够生成高质量的随机数序列，但需要注意的是，随机数的生成方法和质量直接影响了模拟结果的准确性。
二、模拟技术2.1 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种常用的模拟技术，它通过使用随机数来模拟物理系统的行为。
蒙特卡洛方法广泛应用于统计物理、量子力学等领域，具有很高的准确性和灵活性。
2.2 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种用于研究原子和分子在时间和空间上的运动规律的方法。
通过对分子之间的相互作用力进行近似计算，然后用数值积分方法求解微分方程，得到了分子的运动轨迹和能量变化。
2.3 能带结构计算能带结构是固体物理和半导体物理中的一个重要概念，它描述了材料中电子的能量分布情况。
计算物理可以通过模拟方法来计算材料的能带结构，从而帮助研究者理解材料的电子性质和相应的物理特性。
2.4 流体动力学模拟流体动力学模拟是一种用于研究流体运动规律的方法，它广泛应用于气体、液体和等离子体等领域。
通过对流体的运动和相互作用进行模拟，可以帮助研究者理解流体的物理特性，并且为相关工程应用提供参考。
分子动力学和蒙特卡罗模拟
分子动力学和蒙特卡罗模拟在物理学和化学领域，分子动力学和蒙特卡罗模拟是两种被广泛应用的计算方法，用于研究原子和分子的行为以及宏观系统的性质。
本文将介绍这两种模拟方法的原理、应用领域以及优缺点。
一、分子动力学模拟分子动力学模拟是一种通过数值积分求解牛顿运动方程模拟粒子运动的方法。
该方法基于分子间相互作用力学模型和独立粒子近似，将原子或分子看作质点，通过数值积分方法模拟它们在力场作用下的运动轨迹。
分子动力学模拟可以用于研究各种系统，包括固体、液体和气体等。
通过模拟原子和分子的位置、速度以及相互作用力，可以计算系统的能量、物理性质和动力学过程。
此外，分子动力学模拟还常用于研究相变、化学反应和生物分子等复杂系统。
优点：1. 可以直观地观察和研究分子和原子的运动轨迹。
2. 可以计算系统的热力学性质和物理性质，如能量、压力、粘度等。
3. 可以模拟复杂系统的动力学过程，比如化学反应和相变等。
4. 可以优化材料结构和探索新材料。
缺点：1. 计算时间较长，尤其是对于大规模系统或长时间尺度的模拟。
2. 对于某些复杂系统，需要建立准确的力场模型，这可能需要大量的计算和实验数据。
3. 分子动力学模拟只能模拟系统的经典力学行为，对于量子效应的研究有一定局限性。
二、蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种基于随机数和统计方法的计算方法，用于模拟复杂的物理系统和统计问题。
该方法通过大量的随机抽样来获取系统的统计信息，模拟系统的行为和性质。
在分子模拟中，蒙特卡罗模拟主要用于模拟平衡态系统，例如气体、液体等。
通过定义某些物理量的随机变化规则，如位移、转动或粒子交换等，通过大量的模拟实验得到系统的平均状况。
优点：1. 能够模拟大尺度的系统和长时间尺度的过程，对于平衡态系统研究有很大优势。
2. 能够计算系统的平均性质，如平均能量、平均密度等。
3. 对于某些统计问题，蒙特卡罗模拟可以得到准确的解析解或数值解。
缺点：1. 不能直接观察粒子的运动轨迹，只能获得平均性质。
计算力学考试试题和答案
计算力学考试试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 计算力学中，以下哪种方法不是数值积分方法？A. 高斯积分B. 牛顿-莱布尼茨积分C. 梯形积分D. 辛普森积分答案：B2. 在有限元分析中，以下哪种元素不是一维元素？A. 杆件元素B. 梁元素C. 壳元素D. 板元素答案：C3. 以下哪种方法不是计算流体力学中常用的数值方法？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 蒙特卡洛方法答案：D4. 在计算力学中，以下哪种边界条件不是自然边界条件？A. 位移边界条件B. 力边界条件C. 压力边界条件D. 温度边界条件答案：A法？A. 高斯消元法B. 共轭梯度法C. 牛顿迭代法D. 雅可比迭代法答案：C6. 在计算力学中，以下哪种方法不是用于求解非线性方程的方法？A. 牛顿-拉弗森方法B. 割线法C. 牛顿迭代法D. 欧拉方法答案：D法？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 欧拉方法答案：D8. 在计算力学中，以下哪种方法不是用于求解动态问题的方法？A. 显式时间积分B. 隐式时间积分C. 静态分析D. 模态分析答案：C法？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 欧拉方法答案：D10. 在计算力学中，以下哪种方法不是用于求解结构优化问题的方法？A. 梯度下降法B. 遗传算法C. 粒子群优化D. 欧拉方法答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 在计算力学中，以下哪些因素会影响数值解的精度？A. 网格划分的密度B. 边界条件的设置C. 初始条件的选择D. 计算方法的选择答案：A, B, C, D12. 在计算力学中，以下哪些方法可以用于求解静态问题？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 欧拉方法答案：A, B, C13. 在计算力学中，以下哪些方法可以用于求解动态问题？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 欧拉方法答案：A, B, C14. 在计算力学中，以下哪些方法可以用于求解热传导问题？A. 有限差分法B. 有限元法C. 有限体积法D. 欧拉方法答案：A, B, C15. 在计算力学中，以下哪些方法可以用于求解结构优化问题？A. 梯度下降法B. 遗传算法C. 粒子群优化D. 欧拉方法答案：A, B, C三、填空题（每题2分，共20分）16. 在计算力学中，数值积分的目的是将连续的微分方程转化为离散的代数方程。
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机械求积法： f
a
b
x dx Ak f xk
k 0
定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意 k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ] 0 对某个 n+1 阶多项式
成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 例：对于梯形公式
解：设
1 1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
因为只有2个待定系数
b
a
x 2dx b
3
a 3 3
b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
就是梯形公式
思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
( 2) n = 2: C 0
1 2 1 ( 2) ( 2) , C1 , C 2 Simpson’s Rule 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 ab f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b )] a 代数精度 = 3 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
ba , i 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
Cotes系数 Ci( n )
( 1) ( 1) , C1 n = 1: C0
1 2
b a
f ( x )dx
b
ba [ f (a ) f (b )] 2
R[ f ] [
k 1 n
= Tn
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
3
*/
h2 (b a ) f ( ), (a , b) 12
复化 Simpson 公式： h
x k 1 xk
k 0 n
n
b a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
Ak
Ak
b
a
由节点 决定， j k ( xk x j ) dx 与 f (x) 无关。 误差
( x x j )
b a b
R[ f ]
n k 0
f ( x )dx Ak f ( x k ) [ f ( x ) Ln ( x )]dx Rn ( x )dx
2
2 2 h h 6 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
I T2 n 1 I Tn 4
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3
12
2
4
§3 龙贝格积分
例：计算
I T2n 1 I Tn 4
/* Romberg Integration */
4 2 0 1 x
1
dx
已知对于 = 106 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202
43 C 2n C n Rn 3 4 1
Romberg
T1 = T0( 0 )
T2 = T0( 1 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
S1 = T1( 0 ) S2 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2
(0) (1)
<?
………………
n
2
收敛速度与误差估计：
定义 若一个积分公式的误差满足 称该公式是 p 阶收敛的。 Tn O(h2 ) , Sn
lim
h 0
R[ f ] C p h
且C 0，则
~
~
O(h4 ) , Cn
~
O(h6 )
运算量基 本相同
例：计算
4 2 0 1 x
1
dx
其中 xk
k 8
a
f (a ) f (b) f ( x )dx (b a ) 2 ab f ( x )dx f ( )(b a ) 2
b f (a ) 4 f ( a 2 ) f (b) f ( x )dx (b a ) 6
b
a
b
a
特点：a、b、（a+b)/2的加权平均
求积系数 求积节点
1 2
Trapezoidal Rule
代数精度 = 1
f ( x ) /* 令 x = a+th, h = ba, 用中 R[ f ] ( x a )( x b) dx a 值定理 */ 2! 1 3 ba h f ( ) , [a, b] , h 12 1
R[ f ]
8 7 (6) h f ( ) 945
复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： h
xk
ba , xk a k h n
a
b
b2 a 2 2
3
=
代入 f(x) =
x2 ：
b
a
x 2dx b
a 3 3
b a 2
代数精度 = 1
例：对于两点公式
b a
f ( x )dx A0 f (a ) A1 f (b)
求A0、A1，使其具有尽可能高的代数精度。
解：分别令f(x) = 1、x时，公式准确成立 则 f(x) = 1： A0＋A1=b－a f(x) = x ： A0a＋A1b=（b2－a2）/2 解得：A0＝A1＝（b－a）/2 代入 f(x) = x2 ：
第二章 数值积分 /* Numerical Integration */
近似计算 I f ( x )dx
a b
平均高度
/*Mean height*/
机械求积
f ( ) :
b a
f ( x )dx (b a ) f ( )
f(a) f(a) a a
ab 2
f(x) f(x) f(b) f(b) b f(x) b f(b) f(a) a
a a b
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
b a
f ( n 1) ( x ) n ( x xk ) dx ( n 1)! k 0
牛顿－柯特斯公式 Ak f( x) 注：形如 n 次代数精度 该 k ) 的求积公式至少有 I n ( b a C f ( x ) i i k 0 b /*Newton –Cotes Rule*/ k 0 公式为插值型（即： Ak lk ( x )dx ）
( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
x k x k 1 [ f ( x k 1 ) f ( x k )] , k 1, ... , n xk1 2 n n1 b h h [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a f ( x)dx 2 2 k 1 k 1 f ( x )dx
= 3.141592502
§2 Composite Quadrature
Q: 给定精度 ，如何取 n ? 例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
2 n h h ? [ f ( k ) h] R[ f ] (b a ) f ( ) 12 k 1 12 h2 b h2 f ( x )dx [ f (b) f (a )] 12 a 12
S4 = T1
C2 = T2
R1 = T3
(0)
§4 高斯型积分
/* Gaussian Quadrature */
n
构造具有2n+1次代数精度的求积公式
b a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点， 公式称为Gauss 型求积公式。 1 4个未知量 f ( x ) dx 例：求 1 的 2 点 Gauss 公式。
b a
a f ( x )dx b 2 [ f (a ) f (b)]
考察其代数精度。
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 f(x) = 1： a 1 dx b a =
b
b a 2
b a 2
[1 1]
[a b]
[a 2 b2 ]