第一章 集合与函数概念学案
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示第1课时课堂探究学案 新人教A版必修1
1.2 函数及其表示课堂探究探究一函数的概念1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一个数x”与“有唯一确定的数f(x)”说明函数中变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能“一对多”．【典型例题1】下列对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2.解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．【典型例题2】下列式子能否确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝4；(2)y解：(1)由x2＋y2＝4，得y.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．(2)因为不等式组3020xx≥⎧⎨≥⎩－，－的解集是∅，即x取值的集合是∅，故y不是x的函数．探究二求函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．求函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．函数的定义域要用集合或区间表示．【典型例题3】 (1)求函数y ＝21x --(2)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,1]，求函数y ＝f (x －5)的定义域．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ≠⎧⎨≥⎩－，＋，解得x ≥－1，且x ≠1， 即函数的定义域是{x |x ≥－1，且x ≠1}．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[－1,1]，∴－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6，因此y ＝f (x －5)的定义域为[4,6]．方法总结(1)若已知f (x )的定义域(a ，b )，求f (g (x ))的定义域，可由a <g (x )<b 解得；(2)若已知f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则g (x )在(a ，b )上的值域为f (x )的定义域．探究三 判断函数相等判断两个函数f (x )和g (x )是否相等的方法是：先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等；如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．【典型例题4】 判断下列各组函数是否是相等函数： (1)f (x )＝x ＋2，g (x )＝242x x --； (2)f (x )＝(x －1)2，g (x )＝x －1；(3)f (x )＝x 2＋x ＋1，g (t )＝t 2＋t ＋1.思路分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．解：(1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠2}．由于定义域不同，故函数f (x )与g (x )不相等．(2)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，即定义域相同．由于f (x )与g (x )的表达式不相同，故函数f (x )与g (x )不相等．(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故两个函数相等． 探究四 求函数值1．已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的所有x 即得f (a )的值．2．求f (g (a ))的值应遵循由内到外的原则．3．用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．【典型例题5】 已知f (x )＝211x+，g (x )＝x ＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (3))的值；(3)求g (a ＋1)．思路分析：(1)分别将f (x )与g (x )的表达式中的x 换为2，计算得f (2)与g (2)；(2)先求g (3)的值m ，再求f (m )的值．解：(1)∵f (x )＝211x +，∴f (2)＝2112+＝15. 又∵g (x )＝x ＋2，∴g (2)＝2＋2＝4. (2)∵g (3)＝3＋2＝5，∴f (g (3))＝f (5)＝2115+＝126. (3)g (a ＋1)＝a ＋1＋2＝a ＋3.探究五易错辨析易错点 求函数的定义域时先化简函数的关系式【典型例题6】 求函数y ＝(2)(1)(2)(3)x x x x -+-+的定义域． 错解：要使函数y ＝(2)(1)(2)(3)x x x x -+-+＝13x x ++有意义，则x ≠－3. 故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝13x x ++，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(2)(1)(2)(3)x x x x -+-+与函数y ＝13x x ++不相等． 正解：要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0，即x －2≠0，且x ＋3≠0，解得x ≠2，且x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠2，且x ≠－3}．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示同步精品学案 新人教a版必修1
1．2.1 函数的概念1．函数的定义(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)对函数概念的理解需注意以下几点：①A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y＝x2＋1可称为实数集到实数集的函数．③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了．④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)＝x2－2x＋3.当x＝2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x－1)＝(2x －1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f(a.)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量．⑤ 对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A 中的对应元素可以不唯一，也可以没有．2．两个函数相等只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．3．区间的概念函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]．②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．③满足不等式a≤x<b，或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的实数x的集合用区间分别记作[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)．对区间概念的理解，要注意以下三点：(1)区间符号里面两个字母(或数字)之间用“，”间隔开．(2)无穷大是一个符号，不是一个数．(3)在求函数的定义域或值域时，既可以用集合也可以用区间表示.题型一 两个函数相等的判断判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．①f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1②f (x )＝x ，g (x )＝x 2③f (x )＝x 2，f (x )＝(x ＋1)2④f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解 ①f (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝1的定义域为实数集R ，它们定义域不同，所以它们不表示同一函数；②f (x )＝x 的值域是R ，g (x )＝x 2的值域是[0，＋∞)，它们的值域不同，所以它们不表示同一函数；③f (x )＝x 2与f (x )＝(x ＋1)2的对应关系不同，所以它们不表示同一函数；④f (x )＝|x |与g (x )＝x 2的定义域都为实数集R ，值域都为[0，＋∞)，对应关系相同，所以它们是同一函数．点评 判断两个函数是否相同时，只要看定义域和对应关系是否完全一致，只有完全一致，这两个函数才是相等函数，对于解析式较为复杂的函数需先化简比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的．题型二 函数的求值已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求：(1)f (2)；(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解 (1)f (2)＝4＋2－1＝5.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1＝1x 2＋3x＋1.(3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5.由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.点评 求函数值主要用代入法，每当代入时要注意式子的化简和符号的变化，求f (g (x ))可以看作是求以g (x )为f (x )的自变量的函数值．题型三 函数的定义域求下列函数的定义域：(1)f (x )＝x ＋1＋12－x；(2)y ＝|x －2|＋2＋133x ＋7；(3)f (x )＝(x ＋1)|x |－x；(4)若函数f (x )的定义域为[2,3]，求f (x ＋2)的定义域；(5)若函数f (x ＋3)的定义域为[－5，－2]，求F (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域． 分析 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使式子有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合．对于复合函数的定义域，在同一对应关系f 下，括号内整体的取值范围相同．解 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1x ≠2，∴函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域是{x |x ≥－1且x ≠2}．(2)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋2≥03x ＋7≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R x ≠－73，∴函数y ＝|x －2|＋2＋133x ＋7的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠－73.(3)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x >0，得x <0且x ≠－1，故定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．(4)∵函数f (x )的定义域为[2,3]，故2≤x ≤3.由2≤x ＋2≤3，得0≤x ≤1，∴f (x ＋2)的定义域为[0,1]． (5)∵函数f (x ＋3)的定义域为[－5，－2]， 即－5≤x ≤－2，∴－2≤x ＋3≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＋1≤1－2≤x －1≤1， 得F (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[－1,0]．点评 (1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合；(6)求抽象函数的定义域，要明确以下两点：①定义域是指自变量x 的取值集合，y ＝f (x )的定义域是x 的取值集合，y ＝f [g (x )]的定义域也是指x 的取值集合；②同一个f ，括号内整体的取值范围相同，好比法律面前人人平等，y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，则y ＝f [g (x )]的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值集合．已知函数y ＝2kx －8k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值．错解 函数的定义域为R ，即k 2x 2＋3kx ＋1≠0对任意的实数x 恒成立，∴Δ＝9k 2－4k 2<0，此时5k 2<0，无解，∴k 值不存在．错因分析 本题忽视了k ＝0的讨论，误认为k 2x 2＋3kx ＋1一定是二次函数．正解 问题转化为：求使k 2x 2＋3kx ＋1≠0成立的k 的值．(1)k ＝0时，y ＝－81＝－8，定义域为R ，∴k ＝0符合题意．(2)k ≠0时，k 2>0， ∴k 2x 2＋3kx ＋1≠0，即Δ＝9k 2－4k 2<0，此时5k 2<0，无解．综上，k ＝0时函数y ＝2kx －8k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R .高考对本节知识的考查，一是求一些简单函数的定义域；二是考查对函数定义的理解．常以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．1．(全国Ⅰ高考)函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0} B．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0} D．{x |0≤x ≤1} 解析 要使函数有意义，需 ⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)≥0，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1或x ≤0，x ≥0. ∴函数的定义域为{x |x ≥1}∪{0}． 答案 C2．(浙江高考)函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是________．解析 y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，由x 2＋1≥1，得0<1x 2＋1≤1 ∴－1≤－1x 2＋1<0，∴0≤1－1x 2＋1<1，即0≤y <1，∴值域为[0,1)． 答案 [0,1)1．下列说法中不正确的是( )A ．函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定D ．若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素 答案 B解析 函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B. 2．下列图象中不能作为函数图象的是( )答案 B解析 B 中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 和y ＝x 2xC ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．y ＝(x )2x和y ＝x(x )2答案 D解析 A ，B 中两函数的定义域不同，C 中的两个函数对应关系不同，故选D. 4．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝kx ＋b B ．y ＝kx ＋1C ．y ＝x 2－c D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B解析 选项A 、C 都是整式函数，符合题意，选项D 中，对任意实数x 都成立． 5．下列对应为A 到B 的函数的是( ) A ．A=R ，B {}0|>x x ，f:x →y=|x| B ．A=Z,B=N *,f:x →y=x 2C.A=Z,B=Z,f:x →y=xA=[]1,1-,B={}0, f:x →y=0 答案 D解析 A 、B 不满足存在性，C 不满足任意性． 6．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域是( ) A ．[－4,4] B ．[－2,2] C ．[－4，－2] D ．[2,4] 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4－2≤－x ≤4，可得－2≤x ≤2.7．已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2. (1)求f (2)与g (a . )；(2)求g [f (2)]和f [g (x )]．解 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (a )＝a 2＋2；(2)f (2)＝13，g [f (2)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2＝199，f [g (x )]＝f (x 2＋2)＝11＋(x 2＋2)＝13＋x2.8．已知f (x )的定义域为(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )·f (x －a ) (a ≤0)的定义域．解 由已知得⎩⎨⎧≤-<≤+<1010a x a x 即⎩⎨⎧=≤<-<<-a x a a x a 11(a ≤0)用数轴法，讨论(1)当a ＝0时，x ∈(0,1]；(2)当a ≤－12时，x ∈∅，即函数不存在；(3)当－12<a <0时，x ∈(－a ,1＋a .].学习目标1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．自学导引B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(其中x 叫自变量)，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(其中x 叫自变量)，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素是定义域、值域和对应法则．3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．4．(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]． (2)满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )．(3)满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a .，b ]．(4)实数集R 用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a .，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b ).一、判断对应是否为函数例1 判断下列对应是否为函数： (1)xx 2→，x ≠0，x ∈R ； (2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；(3)集合A ＝R ，B ＝{－1,1}，对应关系f ：当x 为有理数时，f (x )＝－1；当x 为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y 与之对应．解(1)对于任意一个非零实数x,x 2被x 为以确定，所以当x ≠0时，xx 2→是函数，这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．(3)是函数，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． 点评 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一(即多对一或一对一)．变式迁移1 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数：(1)A=R,B=R,对任意的2,x x A x →∈；（2）A=(){}R B R y x y x =∈,,|,,对任意的（x,y ）A ∈,(x,y)y x +→； (3)A=B=N *,对任意的A A ∈,x →|x －3|. 解 (1)是．(2)不是，因为集合A 不是数集．(3)不是，因为当x ＝3时，在集合B 中不存在数值与之对应．二、已知解析式求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝31－1－x；(3)y ＝－x 2x 2－3x －2；(4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R ；(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；(3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ≠2且x ≠－12⇔x ≤0且x ≠－12.故函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0且x ≠－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0；(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2且x ≠0＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)．点评 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．变式迁移2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(3)f (x )＝(x ＋1)|x |－x .解 (1)由x 2－3x ＋2≠0，得：x ≠1，x ≠2∴f (x )＝6x 2－3x ＋2的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥01－2x ≥0，得13≤x ≤12.∴f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．三、两函数相同的判定例3 下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；(2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (t )＝t ，g (x )＝3x 3；(4)f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2.分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．解 (1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．(2)g (x )＝x 2＝|x |，两个函数对应关系不同，故不是同一函数． (3)g (x )＝x ，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．(4)f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g (x )的定义域为R ，故不是同一函数． 点评 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数： (1)f (x )＝x ·x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)；(2)f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t ；(3)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)． 解 (2)是，(1)、(3)不是．对于(1)，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )定义域为 (－∞，－1]∪[0，＋∞)． (3)也是定义域不同．四、求函数的值域例4 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ，定义域A ＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域；(2)求函数f (x )＝1x 2＋1，x ∈R ，在x ＝0,1,2处的函数值及该函数的值域．解 (1)函数的定义域为A ＝{0,1,2,3}，分别令x ＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}．(2)f (0)＝1，f (1)＝12，f (2)＝15.容易看出，这个函数当x ＝0时，取得最大值，当自变量x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0.从而可知，这个函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x 2＋1，x ∈R ＝(0,1]．点评 (1)求函数的值域的问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数，其值域是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,2]与f (x )＝x 2－2x ，x ∈R .(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．变式迁移4 (1)函数f (x )＝x －1的值域为(用区间表示)________；(2)函数y ＝2x(1≤x ≤2)的值域为(用区间表示)______．答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]1．函数符号y ＝f (x )是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下即可得到y ”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．一、选择题1．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x (x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C解析 A 中的两函数定义域不同，B 中的两函数值域不同，D 中的两函数对应法则不同．C 正确．2．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x |B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0答案 B解析 在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它的对应的数．3．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14．函数y ＝(x －1)|x |＋x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0|x |＋x >0，得x >0且x ≠1.5．给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立； ④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了． 以上命题正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D 二、填空题6．将集合{x |x ＝1或2≤x ≤8}表示成区间为____________． 答案 {1}∪[2,8]7．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________.答案 2或128．函数y ＝x 2－x (－1≤x ≤4，x ∈Z )的值域为________． 答案 {0,2,6,12} 三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝5－x|x |－3； (2)y ＝x －1＋1－x .解 (1)要使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0|x |－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5x ≠±3，在数轴上标出，如图，即x <－3或－3<x <3或3<x ≤5.故函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 当然也可以表示为{x |x <－3或－3<x <3或3<x ≤5}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{1}．10．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现；(3)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 008)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008.解 (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＝221＋22＝45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，证明如下： f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.(3)由(2)知：f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，…， f (2 008)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋12 007个＝2 007＋12＝4 0152.1．2.2 函数的表示法1．函数的表示方法(1)表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． ①解析法就是把两个变量的函数关系，用一个数学表达式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．②列表法就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系． ③图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系． (2)三种方法的优缺点：①解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．缺点：不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来． ②列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值． 缺点：它只能表示自变量较少的有限值的对应关系． ③图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况．缺点：只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 2．分段函数在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．对分段函数的概念必须注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．例如，已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0,2]，当x ∈[0,1]时，对应关系为y=x ；当x ∈(1,2]时，对应关系为y=2-x ，则函数用解析法可表示为y=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x ，x ∈[0,1],2-x ，x ∈(1,2]))，用图象表示这个函数，它由两条线段组成，如图所示．,注意：分段函数的图象是由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．,3.映射,B .,→B .,对映射概念的理解：,B ，其中A ，B 是两个非空集合；A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不同；,→B ，其中A ，B 是两个非空集合；A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不同；,(2)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)；,B (A ，B 是非空集合)，允许B 中元素没有被A 中元素对应，A 中元素与B 中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．,→B (A ，B 是非空集合)，允许B 中元素没有被A 中元素对应，A 中元素与B 中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．,(4)函数是集合A ，B 为非空数集的一种特殊映射，映射是函数概念的推广题型一 映射概念的理解,,(1)在下列对应关系中，哪些能构成A 到B 的映射？,(2)设集合P={x|0≤x ≤4}，Q={y|0≤y ≤2}，下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )A.f:→,y ＝12xB.f:x →y ＝13xC.f:x →y ＝23x D.f:x →y ＝x(1)解 判断一个对应是否是映射，关键是看这个对应是否满足映射的特性． 对于①，是多对一，且每个元素都有象，因此是映射； 对于②、③，也满足映射的定义；对于④，有一个元素没有象，不满足映射的存在性； 对于⑤，元素a .有两个象，不满足唯一性，因此也不是映射． 所以只有①、②、③是映射．(2)解析 判断集合P 中任何一个元素能否在集合Q 中都有唯一确定的元素与它对应．由于是选择题，可直接找出不是映射的对应．通过对比发现，在对应关系f:x →y ＝23x 的作用下，4×23＝83>2. 答案 C点评 在映射中，集合A 的“任一元素”，在集合B 中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情形．只能是“多对一”或“一对一”形式．题型二 分段函数的图象及应用求下列函数的图象及值域：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x ≥1)；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.分析 解答本题可先将解析式化简，然后画出函数图象，再根据图象得到函数的值域． 解 (1)函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<)1()10(1x x x x 的图象如图，观察图象，得函数的值域为[1，+∞)．(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤=-)2(12)21(3)1(12x x x x x . 它的图象如图．观察图象，显然函数值y ≥3， 所以函数的值域为[3，+∞)．点评 本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．题型三 求函数解析式已知函数y ＝f (x )的图象是下图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象可知，设左侧射线对应的函数解析式为 y=kx+b (x<1)，因为点(1,1)，(0,2)在射线上， 所以解得所以左侧射线对应的函数解析式为 y=-x+2 (x<1)．同理x>3时，函数的解析式为y=x-2 (x>3)． 设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2 (1≤x ≤3，a<0)． 因为点(1,1)在抛物线上， 所以a+2=1，a=-1.所以1≤x ≤3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2 (1≤x ≤3)．综上可知，函数的解析式为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-<+-)3(2)31(24)1(22x x x x x x x 点评 图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，求f (x )的解析式．错解 ∵f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，设t ＝x 2＋2，则f (t )＝t 2－4.∴f (x )＝x 2－4.错因分析 本题错解的原因是忽略了函数f (x )的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f (x )＝x 2－4来看，并未注明f (x )的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f (x )＝x 2－4的定义域不是全体实数．正解 ∵f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2 (t ≥2)，则f (t )＝t 2－4 (t ≥2)，∴f (x )＝x 2－4 (x ≥2)．函数的表示法是高考考查的热点，以选择题或填空题的形式出现居多，主要考查数学语言(表格、图象、符号)、识图和用图的能力；分段函数知识，是高考卷中体现较多的，同时也是较基础的知识点；映射是函数知识的一个应用，近两年高考涉及很少．1．(安徽高考)图中的图象所表示的函数的解析式为()A ．y=23|x-1| (0≤x ≤2) B ．y=2323-|x-1| (0≤x ≤2)C ．y=23-|x-1| (0≤x ≤2)D ．y=1-|x-1| (0≤x ≤2)解析 方法一 (特殊值)取x=0可排除A 、C ，取x=1可排除D ，故选B.方法二 (直接法)0≤x<1时，k=23，则y=23x ； 1≤x ≤2时线段过(1，23)，(2,0)两点，则k=-23，∴y=-23(x-2)．∴y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤21,32310,23x x x x 分析答案知选B.答案 B2．(天津质检)已知函数y ＝f (x )，x ∈[a . ，b ]且A ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈[a .，b ]}，B ＝{(x ，y )|x ＝1}，则A ∩B 中所含元素的个数是( )A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或2 解析 若1∈[a ，b ]，则根据函数定义知，x ＝1与y ＝f (x )交点只有一个，若1∉[a ，b ]，则A ∩B ＝∅，∴应选C.答案C1．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值为( )A ．5B ．－5C ．6D ．－6 答案 C解析 由f (1)＝f (2)＝0，得p ＝－3，q ＝2，故f (x )＝x 2－3x ＋2，于是f (－1)＝6. 2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－x 2， x <0的图象是抛物线．其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 函数是特殊的映射，由此知①正确； ②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点； ③是分段函数，它的图象不是抛物线． 因此，②、③都不正确．3．已知集合M ＝{0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中，不能构成M 到P 的映射的是( )A ．f :x →y ＝12xB ．f :x →y ＝13xC. f :x →y ＝xD.f :x →y ＝16x答案 C解析 由映射定义判断，选项C 中，x ＝6时，y ＝6∉P .4．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 f(x)=x+xx ||的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}， 所以f(x)=⎩⎨⎧<->+0,10,1x x x x ，由此即得．5．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )答案 C解析 由题意，当0<x ≤3时，y=10； 当3<x ≤4时，y=11.6； 当4<x ≤5时，y=13.2； …当n-1<x ≤n 时，y=10+(n-3)×1.6.6．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 之间的函数关系如图(1)所示，那么水瓶的形状(如图(2)所示)是( )答案 B解析 解决这道函数应用题，不可能列出V 与h 的精确解析式，需要对图形进行整体把握，取特殊值加以分析或通过观察已知图象的特征，取模型来判断．方法一 很明显，从V 与h 的函数图象上看，V 从0开始后，h 先增加较慢，后增加较快，因此应是底大口小的容器．方法二 取特殊值当h=2H 时，V>2V ，而通过观察可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是20V ，A 图中的水瓶的容量小于2V ，不符合上述分析，排除A ，C ，D 选项．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝________.答案 2解析 f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 8．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为____________． 答案 F (x )＝3x ＋5x解析 设f (x )＝kx ，g (x )＝m x(k ≠0，m ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x .由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x.9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2， ∴x <0.综上可知x ≤1.10．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，求f (x )的解析式．解 如图，当P 点在AB 上运动时，PA ＝x ； 当P 点在BC 上运动时，由Rt△ABP 可得PA ＝1＋(x －1)2；当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 可得PA=2)3(1x -+；当P 点在DA 上运动时，PA=4-x. 故f(x)的表达式为：f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<=-≤≤43,432,10621,2210,22x x x x x x x x x x1．2.2 函数的表示法(一)学习目标1．掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点． 2．掌握函数图象的画法及解析式的求法. 自学导引表示函数的方法常用的有：解析法、图象法、列表法．(1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系.一、函数的表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝a .x ＋bx，当x ＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况． 分析 可用待定系数法求函数解析式．解 (1)由题设条件知：当x ＝2时，t ＝100，当x ＝14时，t ＝28得方程组⎩⎪⎨⎪⎧14b ＝(a －1)2.＋b 14＝28，2b ＝(a －1)2.＋b 2＝100.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝(a －1)2.＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x，又因为x ≤20，x 为正整数， 所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N *}．。
集合与函数参编学案
第一章 集合与函数概念1 集合的含义【学习目标】了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系，重点理解“∉∈,”符号；了解集合元素的三个特性。
【预习提纲】1．一般地，我们把 统称为元素，把 叫做集合，简称 。
2．两个集合相等的条件是 。
3．元素与集合的关系有两种：如果a 是A 的元素，就说a 集合A ，记作 ；如果a 不是A 的元素，就说a 集合A ，记作 。
4．集合中元素的三个特征是 、 、 。
5．观察下列实例：① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数； ③抛物线12+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题：（1）哪些对象能组成一个集合.（2）指出以上集合哪些集合是有限集. 6．下列关系中，正确的个数为 个 ①R ∈21②Q ∉2 ③N ∈-3 ④Z ∈-4 【例题精讲】例1 下列各组中的两个集合是否相同？为什么？（1）{}{}3,4,4,3； （2）{}2,7{})2,7(,；（3）{},,2R x x y y ∈={},,2R x x y x ∈=例2 设集合A 是由2,,122++k k k 为元素组成的集合，求实数k 的取值范围。
【归纳点拨】透彻理解集合的概念，明确集合中元素的特征及元素和集合的关系。
【课堂反馈】1. 下列说法正确的是（ ） A. 某班中年龄较小的同学组成一个集合B. 集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同集合C. 参加2008年北京奥运会的所有中国运动员组成一个集合D. 311,0,5,,22组成的集合含有四个元素 2．已知集合}{,,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 3.设a 、b 、c 为非0实数，则=M a b c abc a b c abc+++的所有值组成的集合为（ ） A.{4} B.{-4} C.{0} D.{0，4，-4} 4.用符号∉∈与填空：（1）0 *N Z ；0 N ；0)1(- *N ；23+ Q ；34Q 。
人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.1 集合导学案
设A是有限集， A中元素的个数称为集合A的元素数，记为|A|。
特别， | φ |=0，|{φ}|=1A ⊆B 子集和元素的区别符号包含属于A=B 当且仅当 A⊆B且B⊆A。
（用于证明）是否存在集合A和B, 使得 A∈B 且A⊆B ？若存在，请举一例设A={a} ，B={a,{a},b,c}，则有:A∈B 且A⊆B再例如：φ∈{φ}且φ⊆{φ}设A是集合，A的所有子集为元素做成的集合称为ρ(A)={S|S ⊆ A}例： A={a,b,c} ，则ρ(A)={φ, {a},{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}幂集合仍然是集合。
例. 写出集合{a, b}的幂集合：正确的写法：ρ(A)={φ,{a},{b},{a,b}}错误的写法：ρ(A)= φ,{a},{b},{a,b}集合A一共有C n0 + C n1 +… + C n n 个子集➢设C是一个集合。
若C的元素都是集合，则称C为集合族。
➢若集合族C可表示为C={S d|d∈D}，则称D为集合族C的标志（索引）集。
设A，B是两个集合。
由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记以A-B，或A\B。
设A，B是两个集合。
则A与B的环和(对称差),记以A⊕B, 定义为 A⊕B=(A-B)∪(B-A)。
A与B的对称差还有一个等价的定义，即A⊕B=(A∪B)-(A∩B)。
设A，B是两个集合，则A与B的环积定义为 A ⊗ B = A⊕B1.分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
证明：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)先证A∩ (B∪C) ⊆（A∩B）∪（A∩C）。
任取a∈A∩ (B∪C)，则a∈A 并且a∈ B∪C。
由a∈ B∪C知，a∈B或a∈ C。
若a∈B，则a∈A∩B；若a∈C，则a∈A∩C。
因此，a∈A∩B或a∈A∩C,即 a∈(A∩B)∪(A∩C)。
人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.1 集合导学案(1)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
∪ A = {x : 存在A∈ A, 使得x ∈ A} 。 ∪ 例 2.1 设 A = {{a,b},{c, d},{d , e, f }} ，则 A = {a,b, c, d , e, f }。
i1 <i2 < <ik
此定理称为包含排斥原理，简称容斥原理。
+ (−1)n | A1 ∩ A2 ∩
∩ An | 。
证明：采用数学归纳法易证。
例 2.3 求出在1和 250 之间，能被 2, 3, 5, 7 中任意一个数整除的整数的个数。
解：设 A1 ， A2 ， A3 ， A4 分别是1和 250 之间能被 2, 3, 5, 7 整除的整数集合。因为
|
A1 ∩ A2 ∩
A4
|=
⎢ ⎢⎣
2
250 ×3×
7
⎥ ⎥⎦
=5，
|
A1
∩
A3
∩
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 2×5×
7
⎥ ⎥⎦
=
3
，|
A2
(新)高中数学第一章集合与函数概念1_2函数及其表示互动课堂学案新人教A版必修11
1.2 函数及其表示互动课堂疏导引导1.2.1 函数的概念1.函数的定义设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集.疑难疏引函数概念的正确理解：(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，与f(x)＝x2是同一个函数.(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.2.函数的三要素构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.疑难疏引核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数. 3．区间的概念（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］.（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b).（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a,b)、(a,b］.疑难疏引无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.●案例1下列各题中的两个函数表示同一个函数的是( )A. f （x ）＝x ，g （x ）＝n n x 22B. f （n ）＝2n ＋1（n ∈Z ），g （n ）＝2n －1（n ∈Z ）C. f （x ）＝x －2，g （t ）＝t －2D. f （x ）＝xx --112，g （x ）＝1＋x 【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A 中两函数的值域不同；B 中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C 中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D 中两函数的定义域不同.C 符合.【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数.4.函数的定义域函数定义域是函数y=f(x)自变量x 的取值范围.疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x 2(x∈R)与y=x 2(x>0)；y=1与y=x 0.(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围.(3)常见函数定义域类型及求解策略：如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：①解析式是整式的函数，其定义域为R ；②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.复合函数f ［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x 的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x 的取值范围.如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.●案例2已知函数y=862++-m mx mx 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.【探究】 首先向不等式转化，在求m 的取值范围时，由于m 为二次项系数，∴要对其进行分类讨论；当x ∈R 时,mx 2-6mx+m+8≥0恒成立.当m=0时,x ∈R.当m ≠0时，⎩⎨⎧≤∆>,0,0m 即⎩⎨⎧≤+-->0)8(4)6(02m m m m 解之，得0<m ≤1.故0≤m ≤1.【溯源】 由定义域是R 求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x 2项问题中要对其系数进行讨论.5.函数的解析式疑难疏引 （1）在y=f(x)中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样.（2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.（3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.●案例3已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<=>0,00,10,2x x x x 根据已知条件分别求出f （1），f （－3），f ［f （－3）］，f｛f ［f （－3）］｝的值.【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.答案：f （1）=12=1；f （－3）=0；f ［f （－3）］=f （0）=1；f ｛f ［f （－3）］｝=f ［f （0）］=f （1）=12=1.【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点．●案例4已知函数f （x+1）=x 2－1，x ∈［－1，3］，求f （x ）的表达式.【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f （x+1）=x 2－1，即知道了x+1被法则“处理”的结果是x 2－1，如果知道x 2－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f （x ）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”.解法一：（配凑法）∵f （x+1）=x 2－1=（x+1）2－2（x+1），∴f （x ）=x 2－2x.又当x ∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f （x ）=x 2－2x ，x ∈［0，4］.解法二：（换元法）令x+1=t ，则x=t －1，且由x ∈［－1，3］知t ∈［0，4］，∴由f （x+1）=x 2－1，得f （t ）=（t －1）2－1=t 2－2t ，t ∈［0，4］.∴f （x ）=（x －1）2－1=x 2－2x ，x ∈［0，4］.【溯源】 已知函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.所谓“配凑法”即把已知的f ［g （x ）］配凑成关于g （x ）的表达式，而后将g （x ）全用x 取代，化简得要求的f （x ）的表达式；所谓“换元法”即令已知的f ［g （x ）］中的g （x ）=t ，由此解出x ，即用t 的表达式表示出x ，后代入f ［g （x ）］，化简成最简式.需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f （x ）的表达式后，都需要指出其定义域，而f （x ）的定义域即x 的取值范围应和已知条件f ［g （x ）］中g （x ）的范围一致，所以说求f （x ）的定义域就是求函数g （x ）的值域.●案例5已知二次函数f （x ）的图象过点A （1，1）、B （2，0）及点C （6，0），求f （x ）的表达式.【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f （x ）=ax 2+bx+c （a 、b 、c∈R 且a ≠0）；交点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ∈R 且a ≠0），其中x 1、x 2分别是f（x ）的图象与x 轴的两个交点的横坐标；顶点式f （x ）=a （x －m ）2+n （a ∈R 且a ≠0），（m ，n ）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f （x ），具体解法如下. 解法一：（待定系数法）由题意可设f （x ）=ax 2+bx+c （a 、b 、c ∈R 且a ≠0）.∵f （x ）的图象过点A （1，1）、B （2，0）及点C （6，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++06360241c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==5125851c b a ∴f （x ）=51x 2－58x+512. 解法二：（待定系数法）∵f （x ）的图象过点B （2，0）及点C （6，0），∴f （x ）的图象与x 轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f （x ）=a （x －2）（x －6），a ∈R 且a ≠0.∵f （x ）的图象过点A （1，1），∴1=a （1－2）（1－6）.解得a=51. ∴f （x ）=51（x －2）（x －6），即f （x ）=51x 2－58x+512. 解法三：（待定系数法）∵f （x ）的图象过点B （2，0）及点C （6，0），∴f （x ）的图象关于直线x=262+，即x=4对称.∴可设f （x ）=a （x －4）2+m ，其中a 、m ∈R 且a ≠0.又f （x ）的图象过点A （1，1）、B （2，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ma m a 22)42(0)41(1 ∴⎩⎨⎧=+=+0419a m a m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5451m a ∴f （x ）=51（x －4）2－54，即f （x ）=51x 2－58x+512. 【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f （x ）=kx+b ，k 、b 为待定系数；求反比例函数可设f （x ）=x k ，k 为待定系数. 6．函数的值域基本函数的值域：（1）正比例函数y=kx 与一次函数y=kx+b(k ≠0)的值域为R.（2）反比例函数y=x k (k ≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞). （3）二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).当a>0时,值域为［ab ac 442-,+∞);当a<0时,值域为(-∞,ab ac 442-］. 常见函数值域的求解类型和方法：(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c 的函数的值域问题,均可使用配方法.(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x 的次数与根式外的x 的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x 也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d ±c bx +(ab ≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.(3)形如y=bax d cx ++(c ≠0,bc ≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并且分式的变量x 只在分母中,又因为反比例函数y=x 1及其相应的形式y=b ax +1的值域为{y|y ≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方法为“分离常数法”.(4)形如y=22211212c x b x a c x b x a ++++(a 1、a 2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x 的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式.●案例6在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？（1）y=x 2+4x-2,x ∈R;（2）y=x 2+4x-2,x ∈［-5,0］;（3）y=x 2+4x-2,x ∈［-6,-3］;（4）y=x 2+4x-2,x ∈［0,2］.【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.（1）配方,得y=(x+2)2-6,由于x ∈R,故当x=-2时,y min =-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).（2）配方,得y=(x+2)2-6,因为x ∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min =-6,当x=-5时,y max =3.故函数的值域是［-6,3］.（3）配方,得y=(x+2)2-6,因为x ∈［-6,-3］,所以当x=-3时,y min =-5,当x=-6时,y max =10.故函数的值域是［-5,10］.（4）配方,得y=(x+2)2-6,因为x ∈［0,2］,所以当x=0时,y min =-2;当x=2时,y max =10.故函数的值域是［-2,10］.【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子.1.2.2 函数的表示法1.函数的表示方法主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.（3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.疑难疏引用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.●案例1小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )【探究】首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D. 【溯源】实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断.2.分段函数疑难疏引有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式.●案例2用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值.【答案】 ∵f(x)=⎩⎨⎧<-≥-1,11,1x x x x ∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用.2.映射的概念映射f ∶A →B 的定义是：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.疑难疏引（1）映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等.（2）映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的.（3）映射要求对集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A 中元素的任意性和在集合B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.（4）映射允许集合B 中存在的元素在A 中没有元素与其对应.（5）映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”. （6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A 和B 可为任何集合，如人、物、数等.●案例3下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，为什么？（1）A=R ，B={x ∈R|x ≥0}，对应法则是“求平方”；（2）A=R ，B={x ∈R|x ＞0}，对应法则是“求平方”；（3）A={x ∈R|x ＞0}，B=R ，对应法则是“求平方根”；（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.【探究】 只有（1）是映射，因为A 中的任何一个元素，在B 中都能找到唯一的元素与之对应.（2）不是从集合A 到集合B 的映射.因为A 中的元素0，在集合B 中没有象.（3）不是从集合A 到集合B 的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A 中的任何元素，在集合B 中都有两个元素与之对应，象不唯一.（4）不是从集合A 到集合B 的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.【溯源】 对于一个A 到B 的对应，A 中的任何一个元素都对应B 中的唯一一个元素，或A 中的多个元素对应B 中的一个元素，这样的对应都是映射，而A 中的一个元素对应B 中的多个元素的对应就不是映射.可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射. 活学巧用1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A. y=x －1和y=112+-x x B. y=x 0和y=1C. f （x ）=x 2和g （x ）=（x+1）2D. f （x ）=x 2)2(和g （x ）=2)(x x 【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A 选项中的两个函数定义域不相同；B 选项中的两个函数的定义域也不同；C 选项中的两个函数的解析式不同；只有D 选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同.【答案】 D2. 下列各组函数是否表示同一个函数?(1)f(x)=2x+1与g(x)=1442++x x ;(2)f(x)=xx x -2与g(x)=x-1; (3)f(x)=|x-1|与g(t)= ⎩⎨⎧--,1,1t t⎩⎨⎧<≥;1,1t t (4)f(n)=2n-1(n ∈Z)与g(n)=2n+1(n ∈Z).【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数.(2)f(x)=x-1(x ≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.(3)f(x)=⎩⎨⎧--,1,1x x⎩⎨⎧<≥,1,1x x f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数.(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y ，如果一个x 对应两个以上的y ，那么这个图象表示的就不是函数的图象.A 的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x 的取值(如:x=0)有两个y 与之对应，不符合函数的定义.因此A 不正确；B 的图象是关于x 轴对称也不符合函数的定义.因此B 也不正确；C 的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义.∴C 选项也不正确；D 表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此选D.【答案】 D4. 求下列函数的定义域：（1）y ＝2＋23-x ； （2）y ＝x -3·1-x ；（3）y ＝（x －1）0＋12+x . 【思路解析】 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x 值的集合，所以应取各部分的交集.【答案】 （1）要使函数有意义，当且仅当x －2≠0，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.（2）要使函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧≥-≥-,01,03x x 解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x|x ∈R 且1≤x ≤3}. （3）要使函数有意义，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧≥+≠-,012,01x x 解得x>－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x ≠1}.5. 若函数f(x+1)的定义域为［0，1］，则f(3x-1)的定义域为 .【思路解析】 ∵0≤x ≤1,∴1≤x+1≤2.又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系，∴1≤3x-1≤2.∴32≤x ≤1,即f(3x-1)的定义域为32≤x ≤1. 【答案】32≤x ≤1 6. 如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是 ，这个函数的定义域为 .【思路解析】 据长方体的体积公式，易得V=x （a －2x ）2，其中0＜x ＜2a . 【答案】 V=x （a －2x ）2 {x|0＜x ＜2a } 7. 设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤≤-+,2,3,20,21,01,22x x x x x 则f （－21）= ，f （1）=________，f （6）=________.【思路解析】 分清自变量对应的解析式. 【答案】 1 －21 3 8. 如果f （x 1）=21x x -，求f （x ）的解析式. 【思路解析】 函数解析式y=f （x ）是自变量x 确定y 值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到21xx -这一结果. 【答案】 配凑法：∵f （x 1）=21x x -=1122-x x x =1)1(12-xx ， ∴f （x ）=12-x x （x ∈R 且x ≠0，x ≠±1）. 换元法：设t=x 1，则x=t 1，代入f （x 1）=21x x -，得 f （t ）=2111tt -=12-t t ， ∴f （x ）=12-x x （x ∈R 且x ≠0，x ≠±1）. 9. 已知一次函数y=f(x)满足f ［f(x)］=4x+3,求一次函数的解析式.【思路解析】 设f(x)=ax+b （a ≠0），用待定系数法.【答案】 设f(x)=ax+b （a ≠0）,∴f ［f(x)］=a ·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3. ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==3212b a b a 或 ∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.10. 已知函数f(x)=b ax x +2（a 、b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4，求函数f(x)的解析式.【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a 、b 是我们解题的目标，根据已知条件f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4，可以将题意转化为方程组求解.【答案】 将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+8416939ba b a 解之得⎩⎨⎧=-=21b a所以f(x)=xx -22(x ≠2). 11. 设函数f(x)满足f(x)+2f （-x ）=x(x ≠0)，求f(x).【思路解析】 以-x 代换x ，解关于-x 、x 的方程组，消去-x.【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x ①以-x 代换x,得f(-x)+2f(x)=-x ②解①②组成的方程组得f(x)=-3x.12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0，求f(x).【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设y=0,代入得f(x ·0)=f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0).又∵f(0)≠0，∴f(x)=1.13. 已知a 为实数，x ∈(-∞,a),则函数f(x)=x 2-x+a+1的最小值是( )A. a+43 B. a 2+1C. 1D. a 2+1或a+43【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值. f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43，若a ≤21，则函数f(x)=x 2-x+a+1在(-∞,a)上单调递减，从而函数f(x)=x 2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a 2+1;若a>21，则函数f(x)=x 2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(21)=a+43. 综上，当a ≤21时，函数的最小值为a 2+1；当a>21时，函数的最小值为a+43.因此选D. 【答案】 D14. 二次函数y=-x 2+6x+k 的值域为(-∞,0］,求k 的值.【思路解析】 ∵二次函数y=-x 2+6x+k 的值域为(-∞,0］,∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x 轴相切.【答案】 法1:y=-x 2+6x+k=-(x-3)2+k+9.∵值域为(-∞,0］,∴k+9=0,k=-9.法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0］,∴其图象与x 轴相切,判别式Δ=0,即Δ=62-4·(-1)·k=36+4k=0.∴k=-9.15. 函数y=3232+-x x 的值域是( ) A ． (－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ． (－∞，1)∪(1，＋∞)C ． (－∞，0)∪(0，＋∞)D ． (－∞，0)∪(1，＋∞)【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x 的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.y=3232+-x x =326)32(+-+x x =1-326+x ∵326+x ≠0,∴y ≠1.故选B. 【答案】 B16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x 的次数与根式外的x 的次数相同,故可用“换元法”来求值域.【答案】 令t=4x-13(t ≥0),则x=4132+t .所以y=272+t +t =21322++t t =212)1(2++t . 因为t ≥0,所以当t=0时，y min =213. 所以函数的值域是(-∞, 213］. 17. 求函数y=12252222++++x x x x 的值域. 【思路解析】 函数的解析式是分式,且分母中变量x 的次数是二次的,函数式可化为关于x 的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.【答案】 将解析式改写成关于x 的一元二次方程(2y-2)x 2+(2y-2)x+y-5=0.当y ≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2+20(2y-2)≥0⇒y ≥1或y ≤-9.当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).18. 李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中（s 为距离，t 为时间），符合以上情况的是( )【思路解析】 对位要清楚,注意时间和路程的变化关系．【答案】 C19. 已知f(x)=x 2+2x-3，用图象法表示函数g(x)=2|)(|)(x f x f +. 【思路解析】 知道函数g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数g(x)的图象，所以要先求出函数g(x)的三要素.当f(x)≤0，x 2+2x-3≤0，-3≤x ≤1，g(x)=0.当f(x)>0，即x<-3或x>1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.【答案】20. 函数在闭区间［-1,2］上的图象如图所示，求此函数的解析式.【思路解析】根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.【答案】 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+20,211,1xxxx21. 已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤-+-≥+-,1,51,3,32xxxxxx则函数y的最大值是_______________.【思路解析】可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值.而点A的坐标就是方程组⎩⎨⎧+=+-=53xyxy的解，解得⎩⎨⎧=-=41yx∴A（-1，4）.∴函数的最大值为4.【答案】 422. 判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f ：x →2x+1；（2）设A=N *,B={0,1}，对应法则f ：x →x 除以2得到的余数；（3）设X={1,2,3,4}，Y={1,21,31,41},f:x →x 取倒数； （4）A={(x,y)||x|<2，x+y<3，x ∈Z ，y ∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y ；（5）A={x|x>2,x ∈N}，B=N,f ：x →小于x 的最大质数；（6）A=N ，B={0,1,2}，f ：x →x 被3除所得余数.【思路解析】 根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射.【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是A 到B 的映射，（4）不是A 到B 的映射.23. 是不是从A 到B 的映射？是不是函数？（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）,f ∶x →y=|x|;（2）A={x|x ≥0},B=R,f ∶x →y,y 2=x;（3）A={x|x ≥2,x ∈Z},B={y|y ≥0,y ∈Z},f ∶x →y=x 2-2x+2;（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f ∶作矩形的外接圆.【思路分析】 按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为0∈A ，但|0|=0∈B ，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为y=±x ，当x>0时，元素x 的象不唯一.（3）是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x ∈A 时，y ∈Z ，所以(3)是映射.又因为A 、B 都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A 中每一元素在B 中都有唯一的象，所以（4）是映射.但A 、B 不是数集，所以不是函数.【答案】 （1）不是；不是. （2）不是；不是. （3）是；是. （4）是；不是.24. 已知A={1,2,3,k},B={4,7,a 4,a 2+3a},a ∈N,k ∈N,x ∈N,y ∈B,f:x →y=3x+1是从定义域A到值域B 的一个函数,求a 、k 、A 、B.【思路解析】 函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.【答案】 由对应法则:1→4,2→7,3→10,k →3k+1.∵a 4≠10,∴a 2+3a=10 a=2(a=-5舍去).又3k+1=16,∴k=5.故A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系导学案(无答案)新人教A版必修1
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————1.1.2集合间的基本关系【导学目标】1.通过实例理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集等概念,能识别给定集合的子集.2.在具体情景中，了解空集的含义.3. 体会类比方法，渗透分类思想，提高数学思维能力【自主学习】知识回顾：集合中元素的性质？集合的表示方法？新知梳理：1.子集类比两个实数间的大小关系，分析课本的三个引例，总结两个集合不能用大小来称呼，如果集合A的元素都是集合B的元素，这时我们就说这两个集合有关系，并称集合A为集合B的子集，记做（或）.图形表示：感悟:这里我们讲的集合的基本关系主要就指包含关系（相等关系是包含关系的特例），包含关系中蕴含着子集、集合相等、真子集等概念，而子集又分集合相等与真子集两种情况对点练习：1. 已知A={1，2，3，5，7}，B={2,5}，则（）A、A>BB、 A⊇BC、B∈AD、A=B2. 集合相等分析课本的引例（3），集合C，D都是由所有组成的集合，集合C，D的元素是，所以集合C与集合D相等.⊆），且集合B也从子集的角度来理解，如果集合A是集合B的 ________ （A B是集合A的⊆）,称集合A与集合B相等，记做 _________ ._____ （B A感悟:集合相等的概念在前一节已出现，这里从子集的角度提升对此概念的理解.a+=对点练习：2.若集合A={1，a}，B={3,b}，且A=B，则b3.真子集如果集合A B ⊆，但 ，称集合A 为集合B 的真子集，记做 （或 ____________ ）.图形表示：感悟:关键把握在子集的前提下，增加什么条件使之成为真子集，正确理解这一条件. 对点练习：3. 集合{2,5}的真子集的个数有（）A 、4 个B 、 3个C 、2个D 、1个 对点练习：4. 用适当的符号填空：（1）1 {x|x 2=1} （2）{1} {x|x 2=1}（3）φ {x|x 2+2=0} （4）{2,3} {x|(x-2)(x-3)=0}4.空集我们把 的集合叫做空集,记为 ______ ，并规定 .5. 子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的____________，即__________；（2）空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 ；(3)对于集合A ,B ,C ,如果A ⊆B ,B ⊆C ,那么___________.6.结合实例说明A a ∈与{}a A ⊆的区别.7.思考：（1）集合A={0}和φ有什么区别？（2）如果一个集合中含有n 个元素，则该集合子集的个数为多少？真子集的个数有多少？非空真子集的个数呢？【合作探究】 典例精析例1、写出集合{}b a ,的所有子集，并指出哪些是它的真子集.变式练习1、写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例题2、已知集合{}{}的自然数是不大于3,12x x B x x A ===，满足,C A ⊆C B ⊆，则集合C 中元素最少有（ ）A. 2个B. 4个C.5个D.6个**变式2： 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z a a x x A ,61，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z b b x x B ,312，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z c c x x C ,612，则集合 C B A ,,满足的关系是 （用,,⊆⊂=中的符号连接）例题3、{},21≤≤=x x A {}1,1≥≤≤=a a x x B .（1）若A B ，求a 的取值范围（2）若B ⊆A ，求a 的取值范围变式训练2、已知集合{}21<<=ax x A ，B={}1<x x ，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围【课堂小结】。
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§1.2.1 函数的概念（1） 学习过程 一、课前准备 （预习教材P15~ P17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是21305htt. B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 1991 1992 1993 1994 1995 … 恩格尔系数% 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：:fAB. 新知： 函数定义. 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______________，在集合B中都有____________和它对应，那么称:fAB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：(),yfxxA. 其中，x叫______，_____________叫作定义域（domain），与__________叫函数值，函数值的集合________________叫值域（range）. 试试： （1）已知2()23fxxx，求(0)f、(1)f、(2)f、(1)f的值.
（2）函数223,{1,0,1,2}yxxx值域是 . 反思： （1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 . （2）常见函数的定义域与值域.
函数 解析式 定义域 值域
一次函数 (0)yaxba
二次函数 2yaxbxc， 其中0a 反比例函数 (0)kykx
探究任务二：区间及写法 新知：设a、b是两个实数，且a{|}[,]xaxbab叫闭区间；
{|}(,)xaxbab叫开区间； {|}[,)xaxbab，{|}(,]xaxbab都叫半开半闭区间. 实数集R用区间(,)表示，其中“∞”读“无
穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.
试试：用区间表示. （1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、 {x|x≤b}= 、{x|x（2）{|01}xxx或= .
（3）函数y＝x的定义域 ， 值域是 . （观察法）
※ 典型例题 例1已知函数()1fxx. （1）求(3)f的值； （2）求函数的定义域（用区间表示）； 2
（3）求2(1)fa的值. 变式：已知函数1()1fxx. （1）求(3)f的值； （2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求2(1)fa的值. ※ 动手试试 练1. 已知函数2()352fxxx，求(3)f、(2)f、(1)fa的值. 练2. 求函数1()43fxx的定义域. 三、总结提升 ※ 学习小结 ①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示. ※ 知识拓展 求函数定义域的规则： ① 分式：()()fxygx，则()0gx； ② 偶次根式：*2()()nyfxnN，则()0fx； ③ 零次幂式：0[()]yfx，则()0fx. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知函数2()21gtt，则(1)g（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数()12fxx的定义域是（ ）. A. 1[,)2 B. 1(,)2 C. 1(,]2 D. 1(,)2 3. 已知函数()23fxx，若()1fa，则a=（ ）. A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 4. 函数2,{2,1,0,1,2}yxx的值域是 . 5. 函数2yx的定义域是 ，
值域是 .（用区间表示）
课后作业 1. 求函数11yx的定义域与值域.
2. 已知()2yftt，2()23txxx. （1）求(0)t的值； （2）求()ft的定义域； （3）试用x表示y. §1.2.1 函数的概念（2） \ 学习过程 一、课前准备 （预习教材P18~ P19，找出疑惑之处） 复习1：函数的三要素是 、 、 .
函数23xyx与y＝3x是不是同一个函数？为何？
复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝kx的定义域与值域，其中0k，0a.
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数相同的判别
讨论：函数y=x、y=(x)2、y=32xx、y=44x、y=2x
有何关系？ 试试：判断下列函数()fx与()gx是否表示同一个函数，说明理由？ ① ()fx = 0(1)x；()gx = 1. ② ()fx= x； ()gx = 2x. ③ ()fx= x 2；()gx = 2(1)x. ④ ()fx= | x | ；()gx= 2x. 小结： ① 如果两个函数的_____和_____,______完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. ※ 典型例题 例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）. （1）23()2xfxx； （2）()29fxx； （3）1()12fxxx. 试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）. （1）2()343xfxxx； （2）1()94fxxx.
小结： （1）定义域求法（分式、根式、组合式）； （2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
例2求下列函数的值域（用区间表示）： 4
（1）y＝x2－3x＋4； （2）2()24fxxx； （3）y＝53x； （4）2()3xfxx.
变式：求函数(0)axbyaccxd的值域. 小结： 求函数值域的常用方法有： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
※ 动手试试 练1. 若2(1)21fxx，求()fx.
练2. 一次函数()fx满足[()]12ffxx，求()fx. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 定义域的求法及步骤； 2. 判断同一个函数的方法； 3. 求函数值域的常用方法.
※ 知识拓展 对于两个函数()yfu和()ugx，通过______，y可以表示成x的函数，那么称它为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作________.
例如21yx由与yu21ux复合.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数()131fxxx的定义域是（ ）. A. [3,1] B. (3,1) C. R D.
2. 函数2132xyx的值域是（ ）.
A. 11(,)(,)33 B. 22(,)(,)33 C. 11(,)(,)22 D. R 3. 下列各组函数()()fxgx与的图象相同的是（ ） A.2(),()()fxxgxx B.22(),()(1)fxxgxx C.0()1,()fxgxx
D.()||,()xfxxgxx(0)(0)xx
4. 函数f(x) = 1x+12x的定义域用区间表示是 . 5. 若2(1)1fxx，则()fx= .
课后作业 1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.
2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式. §1.2.2 函数的表示法（1） 学习过程 一、课前准备 （预习教材P19~ P21，找出疑惑之处） 复习1： （1）函数的三要素是 、 、 .
（2）已知函数21()1fxx，则(0)f ，1()f
x
= ，()fx的定义域为 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.
复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点.
小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.
※ 典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数()yfx.
变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.
反思： 例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0≤40）重的信应付邮资数y（元）. 试写出y关于x的函数解析式，并画出函数的图象.