概率论与数理统计第五章习题
概率论与数理统计第五章
1
2. 设 1, 2, , n , 是独立同分布的随机变量序列 , 且
E ( i) , D( i) 2
均存在 , 令
1n n
i , 则对任意的
,有
i1
lim P{
}
.
n
3. 设每次射击击中目标的概率为 0.001 , 如果射击 5000 次 , 其中击
中的次数为 , 试用切比晓夫不等式确定概率
P{ 0 10 }
验中 , 事件 A 出现的次数 , 试用切比雪夫不等式估计得
P 0.74
0.76
.
10000
10
3. 某批产品的次品率为 0.1, 连续抽取10000 件, 表示其中的次品
数 , 试用中心极限定理计算 P{ 970 }
.Hale Waihona Puke 已知 F0.1(1) 0.8413 , F 0.1 (2) 0.9772 , F0.1(33.333) 1.
,则
1n ni 1
i 服从的分布是 __________ .
2. 设每次射击击中目标的概率为 0.001, 如果射击 5000 次 , 试根据
中心极限定理击中次数不大于 2 的概率等于 . 已知:
F0.1(1.34) 0.9099; F0.1(1.35) 0.9115 .
三、解答题 1. 设随机变量 1 , 2, , 100 相互独立, 且均服从指数分布
P{0 4(m 1)} ( ) .
1
(A)
;
m1
m
(B)
;
m1
(C) 0 ;
1 (D) m .
二、填空题
1. 设随机变量 的数学期望 E ( ) 2 , 方差 D ( ) 1 , 试用切比雪
《概率论与数理统计》典型例题第五章数理统计初步
第五章 数理统计初步例1．若总体2~(,)X N µσ，其中2σ已知，但µ未知，而为来自总体的一个简单随机样本，试指出下列样本函数中 12,,n X X X …是统计量， 不是统计量：(1)11n i i X n =∑； (2)211(n i i X n )µ=−∑； (3)211()1n i i X X n =−−∑；；X 。
分析：利用统计量的定义即可辨别，特别注意不能含有未知参数。
解：由统计量的定义：设为总体12,,n X X X …X 的一个样本，为连续函数，如果不包含任何未知参数，则称其为一个统计量。
12(,,)n g x x x …12(,,)n g X X X …显然，(1)，(3)，(4)，(6)给出的是统计量；而(2)，(5)给出的量因含有未知参数µ，所以不是统计量。
注：统计量不包含任何未知参数，它具有两重性。
统计量是样本的一个函数，所以是一个随机变量。
若是的一组观察值，则统计量12,,nX X X …12(,,)n g X X X …12,,n x x x …12,,n X X X …12(,,)n g x x x …又是一个确定的数。
例2．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 。
(A ) X Y +服从正态分布。
(B ) 22X Y +服从2χ分布。
(C ) 2X 和都服从2Y 2χ分布。
() D 22X 服从F 分布。
分析：考察统计中三种常见分布的构成，注意正态分布的性质。
解：由于的联合分布是否为二维正态分布未知，不能确定(,)X Y X Y +服从正态分布，又因X 与Y 是否独立未知，因而不能确定X Y +服从正态分布，也不能确定22X Y +服从2χ分布，也不能确定22X Y 服从F 分布，因而选。
C 注：本例重在强调各分布的构成中，都有独立性的要求。
另外，正态分布的性质中也同样要求独立性。
例3．设2~(,)X N µσ，则样本均值X 与总体期望µ的偏差不超过（n 为样本容量）的概率为 。
概率论与数理统计林文浩第五章习题
概率论与数理统计林⽂浩第五章习题习题五⼤数定律与中⼼极限定理B 组1．设随机变量12,,,n X X X 相互独⽴，且具有相同分布，它们的均值与⽅差分别为µ与2σ。
试证随机变量11n i i X X n ==∑（X 称为样本均值），满⾜()E X µ=，2()D X n σ=，22{}P X n σµεε-≥≤。
证111111()()()n n ni i i i i E X E X E X n n n µµ=======∑∑∑22221111111()()()n n n i i i i i D X D X D X n n n nσσ=======∑∑∑应⽤契⽐雪夫不等式，对于任意的0ε>，有222(){}D X P X n σµεεε-≥≤=2．设()g x 是正值⾮减函数，并且{()}E g X 存在，证明{()}{}()E g X P X a g a ≥≤。
证因为()g x 是正值⾮减函数，故当x a ≥时，有()()0g x g a ≥>，或()1()g x g a ≥所以(){}()()()aag x P X a f x dx f x dx g a +∞+∞≥=≤?1{()}()()()()E g X g x f x dx g a g a +∞-∞≤=?3．假设12,,,n X X X 是相互独⽴且在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量，()f x 是在[,]a b 上连续的函数，试证明1()()n b pi n a i b a f X f x dx n →∞=-→∑? 证设 ()(1,2,,)i i Y f X i n == ,由已知，i X 的概率密度为1,,()0,a x b g x b a ?<=-其他.则11()()()bbi aa E Y f x dx f x dxb a b a==--?? (1,2,,)i n = 且111()()()nn b bi a a i i n E Y f x dx f x dx b a b a ====--∑∑?? 于是由契⽐雪夫⼤数定律，对于任意的0ε>，有1111lim {()}1n ni i n i i P Y E Y n n ε→∞==-<=∑∑ 即111lim {()()}1n bi an i P f X f x dx n b a ε→∞=-<=-∑?这意味着，当n 充分⼤时，必有111()()n bi a i f X f x dx n b aε=-<-∑? 即111()()n b pi n a i f X f x dx n b a→∞=→-∑? 或1()()n b pi n a i b a f X f x dx n →∞=-→∑?4．独⽴地测量⼀个物理量，每次测量产⽣的随机误差都服从[1,1]-的均匀分布。
概率论与数理统计第五章习题解答
第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解解：这是检验正态总体数学期望μ是否为提出假设：0.32:,0.32:10≠=μμH H由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61.10.320N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(61=+++++⨯=x89.061.10.326.310-=-=-=n x u σμ因 0.89 1.96u =<它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显着为32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10提出假设：10:,10:10>≤μμH H 即：10:,10:10>=μμH H由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，km x 万1.10=，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51.010N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251.0101.100=-=-=n x u σμ 因 2.24 1.64u =>它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。
解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240提出假设：240:,240:10<≥μμH H即：240:,240:10<=μμH H由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625240N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.16252402200-=-=-=n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-它落入拒绝域，于是拒绝H 0，而接受H 1，即可以认为240<μ 所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量μ显着减少。
概率论与数理统计第五章习题解答.dot
当零假设H o 成立时，变量:汕 X32.0. 6~N(0, 1)1.10.89 1.9632.0，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度 显着为32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望是否大于10提出假设：H 。
：10, H 1 : 10 即：H 0 :10,H 1 :10由题设，样本容量n5，20.12，0.120.1，检验解：这是检验正态总体数学期望提出假设：H 。
：32.0, 由题设，样本容量n 6，是否为H 1 : 32.01.21，1.21 1.1，所以用 U因检验水平 0.05，由 P{| U|0.05,查表得1.96得到拒绝域: |u |1.96计算得:1(32.6 30.0 31.6632.0 31.8 31.6) 31.600-壮叫0.89它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 。
，而接受H 0，即可以认为X 10.1万 km ,所以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量: X10一5~N(0,1)0.1因检验水平 0.05,由P{U} 0.05,查表得'1.64得到拒绝域: 1.64计算得：ux 0 斤 10.1n0.110” 52.242.24 1.64它落入拒绝域, 于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1,即可认为 10所以可以认为这批新摩托车的平均寿命 有显者提高。
解：这是检验正态总体数学期望是否小于240提出假设：H 。
:即：H 。
:由题设，样本容量n240, H 1 : 240 240,H 1 : 2402625，、625 25， x 220，所6 以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量：因检验水平 0.05， 由P{U得到拒绝域： u1.64计算得：u Xn220U 02406 25”nX 2406 ~ N(0,1)250.05,查表得'1.641.959它落入拒绝域，于是拒绝H o,而接受H i，即可以认为240所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量显着减少。
概率论与数理统计答案第五章(东华大学出版)
第五章复习题Page1941、 设i (i=1,2,,50)ξ 是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为0.03λ=的泊松分布。
记1250ξξξξ=+++ ，试用中心极限定理计算P(3)ξ≥。
解：由中心极限定理可认为~ξ((),())(1.5,1.5)N E D N ξξ=，则(3)P ξ≥1.31.5)1)1(1.225)10.889751.51.5P ===-Φ=-=。
2、 一部件包括10部分。
每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。
其数学期望为2mm ，均方差为0.05mm ，规定总长度为20±0.1mm 时产品合格，试求产品合格的概率。
解：由中心极限定理可认为总长度~ξ((),())(20,0.025)N E D N ξξ=，则(19.920.P ξ≤≤()2(0.6325)10.4735025P ξ=≤=Φ-=。
3、 一个加法器同时收到20个噪声电压(1,2,,20)k V k = 。
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布。
V 为加法器上受到的总噪声电压，求(105)P V >解：由中心极限定理可知)3500,100()121020,520())(),((~2N N V D V E N V =⨯⨯=，则(105))1(0.39)10.65170.3483P V P >=>=-Φ=-= 4、 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(0.5,0.5]-上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2） 问几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：（1）由中心极限定理：误差总和)125,0()1211500,01500(~N N =⨯⨯ξ，因此(||15)2(12(10.9099)0.1802P P ξ>=>=-Φ=⋅-=。
概率论与数理统计第五章习题课
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3
切比雪夫定理的特殊情况
设随机变X量1, X2,, Xn,相互独,立
且具有相同的数学和期方望差E：(Xk ) ,
D(Xk) 2 (k 1, 2,),作前n个随机变量
的算术平均X
1n nk1
Xk,
则对于任意正
数 有
l n iP { m X || } l n iP m n 1 k n 1 X k 1 .
ln i m P(i1Xi n)___.__
解: 由辛钦大数定律(取=1)有:
l n iP ( m n 1 i n 1 X i 0 1 ) l n iP ( m n 1 i n 1 X i 1 ) 1 ,
又显然有: (n 1i n1Xi 1)(i n1Xin)故 ,
l n iP m (i n 1X n i n ) l n iP m (n 1 i n 1X i 1 ) 1 . 从而 ln i m 有 P(i1Xin)1,即应 1. 填
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24
P(101900X36008) p(19000X28800)
2 8 8 0 4 0 7 5 2 0 8 0 5 0 0 1 9 0 0 0 4 7 5 2 0 8 0 5 0 0
1 .3 7 6 4 3 .5 8 9
0.9162
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2 60 61 0 0 / 60 05/0 6 1
故近似地有:
2 60 6 1 0 0 / 6 0 0 5/6 0 10 .9,9
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第四章 大数定律和中心极限定理
即 60 6 1 0 0 / 6 0 0 5/0 6 0 .99 , 5
查表6得 00 0 2 .5,8 60 1 /0 6 5 0 /6
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下： 5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508 1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048 3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为 1700（百册） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 353，最小观测值为 14667，则组距为 d = 1700， 区间端点可取为 0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300， 频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 （2）作图略．
频数 9 9 5 4 4 1 1 3 4 30
频率 0.225 0.225 0.125 0.1 0.1 0.025 0.025 0.075 0.1 1
累计频率 0.225 0.45 0.575 0.675 0.775 0.8 0.825 0.9 1
6． 对下列数据构造茎叶图 472 425 400 382 418 392 429 428 381 443 解：茎叶图为
i =1 i =1 i =1 n n
= ∑ ( xi − x )( y i − y ) + 0 + 0 + n( x − c)( y − d ) = ∑ ( x i − x )( y i − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
概率论与数理统计 第四版 第五章
≈１ － Φ
６０ － ３００ × ０畅 ２ ３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
＝ １ － Φ（０） ＝ ０畅 ５ ．
8 ． 一复杂的系统由 １００ 个相互独立起作用的部件所组成 ，在整个运行期间
121
（１） 求收入至少 ４００ 元的概率 ； （２） 求售出价格为１畅 ２ 元的蛋糕多于 ６０ 只的概率 ． 解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ，i ＝ １ ，２ ，… ，３００ ，则 Xi 有分布律为
Xi １ １畅 ２ １畅 ５ pk ０畅 ３ ０畅 ２ ０畅 ５
由此得
E（ Xi ） ＝ １ × ０畅 ３ ＋ １畅 ２ × ０畅 ２ ＋ １畅 ５ × ０畅 ５ ＝ １畅 ２９ ，
率是多少 ？
解 以 Xi （ i ＝ １ ，２ ，… ，５ ０００） 记第 i 个零件的重量 ，以 W 记 ５ ０００ 个零件
５ ０００
钞 的总重量 ：W ＝ Xi ．按题设 E（ Xi ） ＝ ０ ．５ ，D（ Xi ） ＝ ０畅 １２ ，由中心极限定理 ，可 i＝ １
知 W － ５ ０００ × ０畅 ５ 近似地服从 N（０ ，１） 分布 ，故所求概率为 ５ ０００ × ０畅 １
钞１０ ０００
—
X
＝
１ １０ ０００ i ＝ １
Xi
～
N
２８０
，１８
００２ ００２
，
故
p１
＝
—
P（ X ＞ ２７０）
≈ １－
Φ
２７０ － ２８０ ８
＝
１－
Φ
－
５ ４
＝
Φ
５ ４
＝ Φ（１畅 ２５） ＝ ０畅 ８９４ ４ ．
118
概率论与数理统计习题全解指南
《概率论与数理统计》习题第五章数理统计的基本概念
第五章 数理统计的基本概念一. 填空题1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, 2), 且随机变量)1(~)(221χ∑==ni iX C Y , 则常数C=___.解.∑=ni iX1~ N(0, n 2),)1,0(~1N n Xni iσ∑=所以21,1σσn c n c ==.2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且243221)43()2(X X b X X a Y -+-=,则a = ______, b = ______时, Y 服从2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100))1,0(~20221N X X -, )1,0(~1004343N X X -201,201==a a ; 1001,1001==b b . Y 为自由度2的2分布.3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体2(n)的分布,则._____)(______,)(==X D X E解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体2(n), 所以E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n),)(n X E = 22)()(221=⋅==∑=nnn nX D X D ni i二. 单项选择题1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, 2)的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1221的方差为 (A)2 (B) n 2σ (C) n 42σ (D) n4σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, 2), 所以,1)(),1(~)(222=σχσiiX E X 2)(2=σiX Dnn nnX D nX D A D ni ini i4242214212222))(()()(σσσσ=⋅===∑∑==. (C)是答案.2. 设X 1, X 2为来自正态总体N(,2)的样本, 则X 1 + X 2与X 1－X 2必 (A) 线性相关 (B) 不相关 (C) 相关但非线性相关 (D) 不独立 解. 假设 Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1－X 2 所以 E(Y 2) = E(X 1)－E(X 2) = 0.cov(Y 1, Y 2) = E(Y 1Y 2)－E(Y 1)E(Y 2) = E(0)()()22212221=-=-X E X E X X . (B)是答案.3. 设X 服从正态分布N(0, 22), 而X 1, X 2, …, X 15为来自总体X 的简单随机样本, 则随机变量)(221521121021X X X X Y ++=所服从的分布为 (A) 2(15) (B) t(14) (C) F(10, 5) (D) F(1, 1)解.)10(~4221021χX X +, )5(~42215211χX X + 所以 )5,10(~204021521121021F X X X X ++++ , 即 )5,10(~)(221521121021F X X X X Y ++= (C)是答案.三. 计算题1. 设X 1, X 2, …, X 102)的一个样本, 求∑=>1012)44.1(i iXP .解. 因为X 1, X 2, …, X 102)的一个样本, 所以)10(~3.0101222∑=i i X χ ()44.1(1012P X P i i=>∑=1.0)16)10(()09.044.13.0101222=>=>∑=i i P X χ 2. 从一正态总体中抽取容量为10的一个样本, 若有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上, 试求总体的标准差. 解. 因为总体X 服从N(,2),所以)1,0(~10/N X σμ-. 由02.0)4|(|=>-μX P 知 02.0)104|10/(|=>-σσμX P即 99.0)104(,01.0)104(=Φ=-Φσσ查表得.43.533.2104,33.2104===σσ3. 设总体X ～N(72, 100), 为使样本均值大于70的概率不小于0.95 , 问样本容量至少应取多大?解. 假设样本容量为n, 则)1,0(~1072),100,72(~N nX nN X -由 95.0)70(≥>X P 得P(n X 1072->95.0)107270≥-n 所以 0625.68,65.15,95.0)5(≥≥≤Φn nn.4. 设总体X 服从N(, 4), 样本(X 1, X 2, …, X n )来自X, X 为样本均值. 问样本容量至少应取多大才能使i. 1.0)|(|2≤-μX E ii. 95.0)1.0|(|2≥≤-μX P解. i. 1.04)(1)()|(|2≤===-nX D n X D X E μ 所以 n ≥ 40. ii. )1,0(~2),4,(~N nX nN X μμ-. 所以 P X P =≤-)1.0|(|μ(95.0)21.0|2|≥≤-nnX μ975.0)201(≥Φn , 查表得 ,96.1201≥n n ≥ 1537 5. 设∑==ni i X n X 11, 证明:i.∑=-ni iX12)(μ=∑=---ni i X n X X 122)()(μ;ii.∑∑==-=-ni ni i iX n X X X12122)()(.解. i.=-∑=ni iX12)(μ∑=-+-ni iX X X12)(μ=2)(12+-∑=ni iX X∑=+--ni i X X X 1))((μ∑=-ni X 12)(μ=2)(12+-∑=ni iX X∑=+--ni i X n X X 1))((μ2)(μ-X n=∑=---ni iX n X X122)()(μii.=-∑=ni i X X 12)(21121222)2(X n X X X X X X X ni i ni ini i i+-=+-∑∑∑====22122X n X n Xni i+-∑==212)(X n X ni i ∑=-上海第二工业大学《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。
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概率论与数理统计习题
第五章 大数定律及中心极限定理
习题5-1 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机
地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概
率。
解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理
1知
8.04001600100161600192010016
1600)1920(160160161iiiiiiXPX
PXP
.7881.0)8.0(
从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161iiiiXPXP
习题5-2 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期
望为0.5kg，均方差为0.1kg ,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
解设Xi表示第i只零件的重量, 则E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.01. 于是5000只零件的总重量
X=50001iiX, 所以由独立同分布中心极限定理知,
{2510}PX
=250025102500{}50000.150000.1XP1(2)=1-0.921=0.079.
习题5-3 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随
机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
解设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）
从而
301000.2{30}1{30}11000.20.8PXPX
1(2.5)10.99380.0062.
习题5-4（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每
个部件损坏的概率为0.10 ,为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个
2
系统起作用的概率. DXDX 故至少须有个部件工作的概率为： 9 （2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成.每个部件的可靠性为0.90， 解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,……n) P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=1－p=0.1 由问题知 95.0100801niinXP 求n=? 而 nXPnii100801 XnD P =nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01 =95.03.01.03.01.01nnnn 习题5-5 随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的 差为0.3，以YX,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求}1.59.4{XP； （2）求}1.01.0{YXP 3.080580801 （1）3.080580801.53.0805803.080580809.4}1.59.4{801iiXPXP 8968.019484.021)63.1(263.12458063.1801iiXP 而24801801jjiiYXVUZ 3.080801.03.0803.080 1)15.1(2263.1263.1}63.163.1{ZP 习题5-6 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差.4002为了 测得其寿命为nXXX,,,21，以niiXnX11作为的估计.为了使 解：由中心极限定理知，当n很大时 )1,0(~221NσnμnXnσnμnXnii 22222}1|{|σnnσnnσnnσnμnXnσnnPμXP =95.01202n 查标准正态分布表知 即n至少取1537。
100(100,0.9),))85{85)1)1(1.67)(1.67)0.9525XXBPX注释：设这个部件中没有损坏部件数为，
则服从二项分布且有
______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9
由拉普拉斯定理，
b-EXa-EX
P{a
85-90
(
且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠
性不低于0.95？
部件损坏不工作部件工作01iX
E (Xi ) =p=0.9, D (Xi ) =0.9×0.1=0.09
)(10080)(1iiniiXnDnpn
npX
=1－nnnnnXPnii3.09.0100803.09.01由中心极限定理知
3
查标准正态分布表得645.13.01.0nn
解得n≥24.35
取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.
pH值.各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方
（1）求P {4.9<1.5X} （2）1.01.0{YXP}
解：由中心极限定理知
iiX
U
～N (0,1) 3.080580801jjYV～N (0,1)
（2）由Xi , Yj的相互独立性知801801jjiiYX与独立。从而U，V独立。
于是U－V～N (0, 2)
801.0
}1.01.0{801801jjiiYXPYXP
4
=2×0.8749－1=0.7498
估计，随机地取n只这种器件，在时刻0t投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，
95.0}1|{|XP
，问n至少为多少？
所以975.020n
64.153696.120n
n