第八章学案2双曲线
2022版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线学案新人教A版202105192134
8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质图形续表2 2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>1.过双曲线x2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a2,即k AB =b 2x0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a.6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2−y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0,即xm±yn=0.()(3)关于x,y的方程x2m −y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m −y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m−y2n=λ(λ≠0).()(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.“m>0”是“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为()A.x212-y2=1 B.x29−y23=1C.x2-y23=1 D.x223−y232=14.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是√5,则a=() A.√6 B.4C.2D.125.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.(2)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2的内切圆与边AB ,BF 2,AF 2分别相切于点M ,N ,P ,且|AP|=4,则a 的值为 .解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 29=1(a>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M 在双曲线C 上,且|MF 2|=6,则|MF 1|=( )A.2或14B.2C.14D.2或10(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 22+y 214=1(x ≥√2) D.x 22+y 214=1(x ≤-√2)(2)在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2),渐近线方程为y=±√2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 22=1 B.x 27−y 214=1C.x 23−y 26=1D.y 214−x 27=1(3)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( ) A.x 24−y 23=1B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1共渐近线的方程可设为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0);(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax ,则双曲线的方程可设为x 2a2−y 2b 2=λ(λ≠0);(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x 2m +y 2n=1(mn<0)或mx 2+ny 2=1(mn<0).对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (c ,0)作其渐近线y=√32x 的垂线,垂足为M ,若S △OMF =4√3(O 为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 23=1 B.x 28−y 26=1 C.x 216−y 212=1D.x 232−y 224=1(2)过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与双曲线C 的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C 的右焦点F 为圆心,4为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 212=1 B.x 27−y 29=1 C.x 28−y 28=1 D.x 212−y 24=1(3)经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7)的双曲线的标准方程为 .考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1 求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F ,点A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB 为直径的圆过点F 且交双曲线C 的左支于M ,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)中a ,b 的值或a 与b 的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )A.y=±√33x B.y=±√3x C.y=±√22xD.y=±√2x考向2 求双曲线的离心率【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),F 为双曲线C 的右焦点,A 为双曲线C 的右顶点,过点F 作x 轴的垂线,交双曲线C 于M ,N 两点.若tan ∠MAN=-34,则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.43D.√2解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法 (1)求a ,b ,c 的值,由e=ca =√1+b 2a 2直接求出e.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化为关于e 的方程(或不等式)求解.对点训练4(2019全国2,理11)设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√5考向3 与双曲线有关的取值范围问题【例5】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点,若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36) C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33)解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决. 对点训练5已知焦点在x 轴上的双曲线x 28-m+y 24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .考点双曲线与圆的综合问题【例6】已知点P 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F 2|,且直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±43x B.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x对点训练6过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆O :x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A ,B ,双曲线的左顶点为C ,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±√2x D.y=±√22x8.6 双曲线 必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)> 3.坐标轴 原点 (-a ,0) (a ,0) (0,-a )(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A由“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x 2m −y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.3.C由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得{2a2-3b2=1,b a =√3,解得{a=1,b=√3.故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.4.D∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a2+b2,∴√a2+1a=√5,解得a=12.故选D.5.5 3由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=√1+b2a2=√1+169=53.关键能力·学案突破例1(1)2√2(2)2(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,所以S△AF1F2=2√3,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=2√3,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.对点训练1(1)C(2)92(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6<a+c=9,知点M在双曲线C的右支上.由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.例2(1)A(2)B(3)D(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=2√2<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22−y214=1(x≥√2).(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,所以可设所求双曲线的方程为2x 2-y 2=k (k ≠0).又点P (2√2,-√2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x 2-y 2=14,所以双曲线的标准方程为x 27−y 214=1.故选B .(3)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即c a=53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .对点训练2(1)C (2)A (3)y 225−x 275=1(1)由题意易得|FM|=b ,又|OF|=c ,FM ⊥OM ,所以|OM|=√|OF |2-|FM |2=a.联立{ba =√32,12ab =4√3,解得{a =4,b =2√3, 所以双曲线的标准方程为x 216−y 212=1.故选C .(2)不妨设渐近线y=ba x 与直线x=a 交于点A ,则点A (a ,b ).依题意,c=4,√(4-a )2+b 2=4,a 2+b 2=c 2=16,解得a 2=4,b 2=12,故双曲线的标准方程为F 24−y 212=1.(3)设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7), 所以{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =-175,n =125.故所求双曲线的方程为y 225−x 275=1.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=b a x 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,b a x 0),B -x 0,-bax 0.因为以AB 为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a2x 02=c 2-c 2a2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2bax 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a 2-y 2b 2=1,得y=±b 2c ,则|MN|=2b 2F=2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=√c 2-b 2=2√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3A 由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a 22−y 2b 22=1的焦点相同,可得a 2-b 2=a 22+b 22,即a 2=3b 2,所以ba =√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A .例4B 由题意可知tan ∠MAN=2tan∠MAF1-tan 2∠MAF =-34,解得tan ∠MAF=3.令x=c ,则y=±b 2a , 可得tan ∠MAF=b 2ac -a =c 2-a 2ac -a=c+a a=3,则e=ca =2.故选B .对点训练4A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c2. ∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c24+c 24=a 2,即c22=a 2,∴e 2=c2a 2=2,∴e=√2.故选A .例5A 因为点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),x 022−y 02=1,所以MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0)·(√3-x 0,-y 0)=x 02+y 02-3<0,即3y 02-1<0,解得-√33<y 0<√33.对点训练5(0,2) 因为双曲线x 28-m+y 24-m =1的焦点在x 轴上,所以{8-m >0,4-m <0,解得4<m<8.所以焦点到渐近线的距离d=√m -4∈(0,2).例6A 如图.由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=√c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc =(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.对点训练6A如图,连接OA,OB.设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=√c2-a2=√(2a)2-a2=√3a.所以双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√3x.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线学案 文-人教版高三全册数学学案
第六节双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．答案之差的绝对值1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )答案：(1)×(2)×2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a ＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：B知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a ，y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标：A 1(－a,0)，A 2(a,0)顶点坐标：A 1______，A 2______渐近线y ＝±b ax__________离心率e ＝ca，e ∈______，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝____；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c的关系 c 2＝______(c >a >0，c >b >0)______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．答案1．(0，－a ) (0，a ) y ＝±a bx (1，＋∞) 2a a 2＋b 22．实轴 虚轴 y ＝±x e ＝ 23．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5. 答案：D4．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2 B ．32 C. 3D ．2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 答案：A5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1热点一 双曲线的定义及应用【例1】 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 在双曲线右支上运动，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.【答案】 9 【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.(1)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1解析：(1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中， |F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2 ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.答案：(1)C (2)A热点二 双曲线的标准方程【例2】 (2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D ．3x 25－3y220＝1【解析】 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【答案】 A 【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 (2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：(1)A (2)x 24－y 2＝1热点三 双曲线的几何性质 考向1 求双曲线的离心率【例3】 (2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．【解析】如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2.所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.【答案】 2考向2 求双曲线的渐近线【例4】 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.【答案】 A考向3 求变量的取值范围【例5】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 2<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 【答案】 A【总结反思】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率k MA 1·kMA 2<2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：(1)由题意，得b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.(2)由题意得，e ＝c a ＝52⇒c ＝52a ⇒54a 2＝a 2＋b 2⇒b ＝12a ，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ，故选C.(3)设M (x ，y )，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则kMA 1＝yx ＋a，kMA 2＝yx －a，∴kMA 1·kMA 2＝y 2x 2－a 2(*)．又M (x ，y )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，代入(*)式得，b 2x 2－a 2b 2a 2x 2－a 2＝b 2a 2<2，即c 2－a 2a2＝e 2－1<2⇒1<e < 3.答案：(1)B (2)C (3)B双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等．但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩．复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为ax ±by ＝0时，可设双曲线方程为a 2x2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，此方法的实质是待定系数法．忽视“判别式”致误【例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【分析】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．【解】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 解题策略：(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．。
第8章双曲线
第八章 平面解析几何
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课时作业
活学活用 1 (1)已知双曲线1x62 －y92＝1 的左、右焦点分别为
F1、F2，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若△ABF1
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2．设 F1，F2 分别是双曲线 x2－y92＝1 的左、右焦点．若点
P 在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5
B．3
C．7
D．3 或 7
[解析] 因为||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7 或 3. 故选 D. [答案] D
第八章 平面解析几何
第4节 双曲线
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1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简 单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
第八章 平面解析几何
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－|AB|＝16.
所以△ABF1 的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16＋2|AB|＝40， 解得|AB|＝12，故选 B.
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课时作业
(2)由方程得 a＝4，b＝3，故 c＝ a2＋b2＝5.
由双曲线的定义可知|PB|－|PA|＝2a(P 在左支上)．
2022数学第八章平面解析几何第七节双曲线教师文档教案文
第七节双曲线授课提示:对应学生用书第167页[基础梳理］1．双曲线的定义(1）平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F 2｜＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M｜||MF1｜－｜MF2｜|＝2a｝，｜F1F2|＝2c，其中a,c为常数且a>0，c>0。
①当2a〈|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝｜F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2｜时,M点不存在．2图形标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）错误!－错误!＝1（a>0，b>0）续表性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标:A1（－a，0),A2(a，0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0,a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝ca，e∈（1，＋∞）实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长｜A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长｜B1B2|＝2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c〉b>0)1．在双曲线的定义中，｜MF1｜－｜MF2|＝2a，表示靠近F2的一支，|MF2｜－｜MF1｜＝2a,表示靠近F1的一支．2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．方程错误!－错误!＝1（mn＞0)表示的曲线(1)当m＞0，n＞0时，表示焦点在x轴上的双曲线．（2）当m＜0，n＜0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．4．方程的常见设法(1）与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的方程可设为错误!－错误!＝λ(λ≠0)．(2）若渐近线的方程为y＝±错误!x，则可设双线曲方程为错误!－错误!＝λ(λ≠0）．［四基自测］1．(基础点:双曲线的标准方程)以椭圆x24＋错误!＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．x2－错误!＝1B．错误!－y2＝1C．x2－错误!＝1 D。
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.6双曲线
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常用结论
1.与双曲线定义及标准方程相关结论
（1）在双曲线定义中，当2 = 1 2 时，点的轨迹为以1 ,2 为端点的两条射线；
当2 > 1 2 时，轨迹不存在.
（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可
得到渐近线方程.
（3）双曲线与椭圆的标准方程可统一为 2 + 2 = 1的形式，当 > 0,
两个
（1）Δ > 0时，直线与双曲线有______不同的公共点.
一个
（2）Δ = 0时，直线与双曲线有______公共点.
没有
（3）Δ < 0时，直线与双曲线______公共点.
一个
当 = 0时，直线与双曲线的渐近线平行，若方程有解,则直线与双曲线有______
公共点.
注：直线与双曲线的关系中,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
第八章 平面解析几何
8.6 双曲线
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课时作业
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
2.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
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【教材梳理】
1.双曲线的定义
绝对值
（1）定义：一般地，我们把平面内与两个定点1 ，2 的距离的差的________等
1 2
焦点
于非零常数（小于_______）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_____，
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的______.
（2）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为
2
= ±
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案理(含解析)新人教A版
第六节双曲线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。
(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。
(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。
(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。
3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)。
一、走进教材1．(选修2－1P 61A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。
解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1>2，故|PF 2|＝6。
答案 62．(选修2－1P 61练习T 3改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6讲 双曲线学
第6讲双曲线板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．考点2 双曲线的标准方程和几何性质[必会结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2. [考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)与双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝λ(λ≠0)．( )(4)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x D ．y ＝±2x答案 A解析 由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x .3．[2018·广东模拟]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由题意设C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由右焦点为F (3,0)，可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c 2＝a2＋b 2，知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.4．[2018·福州质检]设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( )A ．5B ．3C ．7D ．3或7 答案 D解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.5．[2017·北京高考]若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.6．[2017·全国卷Ⅲ]双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案 5解析 ∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.板块二 典例探究·考向突破 考向双曲线的定义及标准方程例1 (1)[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 答案 B解析 由题意可得c a＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)，则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c，化简即得y ＝4c x ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝bax 平行，则4c ＝ba，即4a ＝bc .故⎩⎨⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.故选B.(2)[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义． (2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．【变式训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y＝b a x ＝12x ，得12＝b a，解得a 2＝20，b 2＝5. (2)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3,23)的双曲线的方程．解 设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ，将点(－3,23)代入双曲线方程，得99－1216＝λ，解得λ＝14，∴所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.考向双曲线的几何性质命题角度1 双曲线的离心率问题例2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)答案 C解析 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C.(2)[2016·山东高考]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．命题角度2 双曲线的渐近线问题例3 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝52，∴c a ＝52，即c 2a 2＝54.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12.∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)[2018·深圳调研]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3 D ．2 答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±ab x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa＝ 5.触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式训练2】 (1)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且sin ∠MF 1F 2＝15，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由题意知，∠F 1MF 2＝π2，不妨设点M 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|－|MF 2|＝2a ，|MF 2||MF 1|＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，又|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，即16a 2＋4a 2＝4c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选D.(2)已知双曲线y 2a 2－x 29＝1的两条渐近线与以椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为圆心、165为半径的圆相切，则渐近线方程为________．答案 4x ±3y ＝0解析 双曲线的渐近线方程为ax ±3y ＝0，椭圆的左焦点为F (－4,0)，因为渐近线ax ＋3y ＝0与以F 为圆心、165为半径的圆相切，所以|－4a ＋0|a 2＋9＝165，解得a ＝±4，故渐近线方程为4x ±3y ＝0.考向双曲线中焦点三角形例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52C ．2 D. 5 答案 A解析 解法一：设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，由双曲线的定义可知|d 1－d 2|＝4.又∠F 1PF 2＝90°， 于是有d 21＋d 22＝|F 1F 2|2＝20，因此，S △F 1PF 2＝12d 1d 2＝14(d 21＋d 22－|d 1－d 2|2)＝1.解法二：由x 24－y 2＝1，知|F 1F 2|＝2 5. 设P 点的纵坐标为y P ，由于∠F 1PF 2＝90°，则P 在以|F 1F 2|为直径的圆上，即在x 2＋y 2＝5上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x 2－4y 2＝4，消去x 得|y P |＝55. 故△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y P |＝1.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32 B.62C. 3D. 6 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 (22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn .∴mn ＝4. 由△F 1PF 2的面积相等，得12 ×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y |＝12×4×32. ∴|y |＝62. 即P 到x 轴的距离为62. 触类旁通【变式训练3】 (1)[2018·哈尔滨质检]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6答案 B解析 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.(2)[2016·全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 答案 A解析 解法一：由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， ∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1.∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0， ∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.解法二：∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－(3m 2－n )－(m 2＋n )＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.考向直线与双曲线的综合问题例5 直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝ 3. 解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．【变式训练4】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.核心规律1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便．2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．满分策略1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x 2，y 2前系数的正负． 2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围e >1.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 15——函数方程数学思想方法的应用(1)[2015·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解题视点 利用双曲线定义寻求△APF 周长最小时P 点位置．解析 设F 1为双曲线的左焦点，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 答案 12 6(2)已知双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1，其中a >1，求e 的取值范围．解题视点 带参量的双曲线问题，需寻找e 与参量的依存关系，即函数关系，e 的范围由e ＝f (a )来确定．解 e 2＝c 2a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2， ∵a >1，∴1＋0<1＋1a<1＋1，∴1<⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2<4，即2<e 2<5，∴2<e < 5.答题启示 解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.注意应用数学思想方法.跟踪训练[2015·山东高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案 2＋ 3解析 不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y ＝b a(x －c )，与C 交于P (x 0，y 0)． ∵x 0＝2a ，∴y 0＝b a(2a －c )．又P (x 0，y 0)在双曲线C 上，∴(2a )2a 2－b 2a2(2a －c )2b 2＝1，∴整理得a 2－4ac ＋c 2＝0，设双曲线C 的离心率为e ， 则1－4e ＋e 2＝0.∴e 1＝2－3(舍去)，e 2＝2＋3， 即双曲线C 的离心率为2＋ 3.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 答案 D解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .2．[2018·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32 答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.4．[2018·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.5．P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 B解析 如图，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c ，∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .7．[2018·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴c a＝2.8．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x 2－y 2＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4. 所求中点弦所在直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消y ，得2x 2－4x ＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．[B 级 知能提升]1．[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a＝tan60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 3－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B. 3．[2018·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最小值为2b2a，则此双曲线的离心率的范围为( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2a； 当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时， 即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b2a，即为a 2≥b 2＝c 2－a 2， 即有c ≤2a ，则离心率e ＝c a∈(1，2]．4．[2018·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以OA →·OB →>2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵PA →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0，∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0.而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.。
双曲线及其标准方程第八章教材分析 教案
双曲线及其标准方程第八章教材分析1．本节知识结构椭圆的标准方程、简单几何性质双曲线的定义、双曲线的标准方程双曲线的简单几何性质2．目的要求掌握双曲线的定义以及标准方程．能够根据条件利用工具画双曲线。
3．教学任务分析（1）双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第8.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．在讲解双曲线的定义前，可以先回忆椭圆的定义，在教材图8－3所示的图形中改变点F1与F2的距离，当|F1F2|＞|AB|时，出现圆F1与圆F2不相交，让学生根据两圆相交的条件，连心线的长|F1F2|＞|AB|＝|r1－r2|（两半径之差），自觉提出双曲线所满足的条件之一——|F1F2|＞|AB|，让学生在教师的指导下，自己操作，改变F1与F2的距离，使得|F1F2|＞|AB|时点M的轨迹成为双曲线；再改变图？？中点C的位置，出现双曲线的另一支（图？？），理解条件||MF1|－|MF2||＞|AB|中左边加绝对值的必要性，从而准确、完整地归纳、概括出双曲线的定义．对于“常数要大于0且小于|F1F2|”，可以引导学生从△MF1F2（三点共线情况除外）中两边之差小于第三边来理解．（2）与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数（与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F 1F 2|）的点M 的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程．推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程方程12222=-b y a x ；但关于坐标适合方程12222=-b y a x 点都在双曲线上，同椭圆一样，教科书中未加证明．3．讲述双曲线的标准方程时，可与椭圆比较如下：（1）如教科书中图 8－20，设 M （x ，y ）为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线的右支上，则 |MF 1|＞|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a （a ＞0）；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，因此得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．（2）当得到（c 2－a 2）x 2－a 2y 2＝a 2（c 2－a 2）后，可以与椭圆一样处理．因为a ＜c ，所以c2－a 2＞0，令c 2－a 2＝b 2，则c ＝22b a +，这与椭圆不同．（3）通过比较两种不同类型的双曲线方程12222=-by ax ，12222=-bx ay （a ＞0，b ＞0）， 向学生说明，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．（4）在讲授过程中，可抓住与椭圆标准方程的异同，在教师指导下由学生列表进行对比，使学生掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系：4．本小节的教学中，要进一步对学生进行坐标法的训练．按照循序渐进的原则，教科书中的训练内容有所增加，难度有所提高．本小节的例题（例2）中增加了用待定系数法求曲线方程的题目，即已知双曲线上两点（不是特殊点）的坐标，求双曲线的标准方程．在使用待定系数法时，是将标准方程中的a 、b 作为待定系数，通过解方程组的办法求出a 、b ．由于a 、b 在分母上，并且是二次的，这种情况学生在初中没有接触过，所以是一个难点．教科书采用换元法，把方程化为二元一次方程，解这样的二元一次方程组，学生不会感到困难．解这种方程组也可以不用换元法，而是直接解分式方程组，这样，在去掉分母后方程的次数比较高，运算量较大，教学时，可以根据学生的实际灵活处理．为了使学生熟悉这种方法，教科书中还配备了一些练习题．5．第节后的练习4曾经研究过“已知△ABC 一边的两个顶点是 B （－6，0）和C （6，0），另两边所在直线的斜率之积是－94，求顶点A 的轨迹。
2020高中数学第八章双曲线及其标准方程教学案苏教版
双曲线及其标准方程一、教课目的( 一 ) 知识教课点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．( 二 ) 能力训练点在与椭圆的类比中获取双曲线的知识，进而培育学生剖析、归纳、推理等能力．( 三 ) 学科浸透点本次课注意发挥类比和假想的作用，与椭圆进行类比、假想，使学生获取对于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．二、教材剖析1．要点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．( 解决方法：经过一个简单实验得出双曲线，再经过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程经过比较加深认识． )2．难点：双曲线的标准方程的推导．( 解决方法：指引学生达成，提示学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？( 解决方法：教师能够从指引学生回想函数定义和察看双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附带条件下，双曲线方程能够转变为函数式．)三、活动设计发问、实验、设问、归纳定义、解说、演板、口答、要点解说、小结．四、教课过程(一 ) 复习发问1．椭圆的定义是什么？( 学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2 的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆．教师要重申条件： (1) 平面内； (2) 到两定点F1、F2 的距离的和等于常数；(3) 常数 2a＞ |F1F2| ．2．椭圆的标准方程是什么？( 学生口答，教师板书)( 二 ) 双曲线的观点把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会如何？它的方程是如何的呢？1．简单实验 ( 边演示、边说明)如图 2-23 ，定点 F1、 F2 是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点 M挪动时， |MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，能够画出另一支．注意：常数要小于|F1F2| ，不然作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问问题 1：定点 F1、 F2 与动点 M不在平面上，可否获取双曲线？请学生回答，不可以．重申“在平面内”．问题 2： |MF1| 与 |MF2| 哪个大？请学生回答，不定：当 M在双曲线右支上时， |MF1| ＞ |MF2| ；当点 M在双曲线左支上时， |MF1| ＜ |MF2| ．问题 3：点 M与定点 F1、 F2 距离的差能否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不必定，也能够是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．问题 4：这个常数能否会大于等于|F1F2| ？请学生回答，应小于 |F1F2| 且大于零．当常数 =|F1F2| 时，轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线；当常数＞ |F1F2| 时，无轨迹．3．定义在上述基础上，指引学生归纳双曲线的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常数 ( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点 F1、 F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义能够与椭圆相比较来记忆，不要死记．( 三 ) 双曲线的标准方程此刻来研究双曲线的方程．我们能够近似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要修业生回答，主要惹起学生思虑，随即指引学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、 F2 的直线为 x 轴，线段F1F2 的垂直均分线为y 轴 ( 如图 2-24)成立直角坐标系．设 M(x，y) 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距是2c(c ＞ 0) ，那么 F1、F2 的坐标分别是(-c ， 0) 、 (c ， 0) ．又设点M与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的会合由定义可知，双曲线就是会合：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=± 2a}．(3)代数方程(4)化简方程 ( 由学生演板 )将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．( 以上推导完整能够模仿椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c＞2a即c＞a，因此c2-a2＞0．设 c2-a2=b2(b ＞ 0) ，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 ．这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较( 指引学生归纳) ：教师指出：(1)双曲线标准方程中， a＞ 0， b＞ 0，但 a 不必定大于 b；(2)假如 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；假如 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．注意有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上．(3) 双曲线标准方程中a、 b、 c 的关系是c2=a2+b2，不一样于椭圆方程中c2=a2-b2 ．( 四 ) 练习与例题1．求知足以下的双曲线的标准方程：焦点 F1(-3 ， 0) 、 F2(3 ， 0) ，且 2a=4；3．已知两点F1(-5 ， 0) 、 F2(5 ， 0) ，求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨迹方程．假如把这里的数字 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说：按定义，所求点的轨迹是双曲线，由于c=5， a=3，因此 b2=c2-a2=52-32=42 ．由于 2a=12， 2c=10，且 2a＞2c．因此动点无轨迹．(五)小结1．定义：平面内与两定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹．3．图形 ( 见图 2-25) ：4．焦点： F1(-c ， 0) 、 F2(c ，0) ； F1(0 ， -c) 、 F2(0 ， c) ．5． a、 b、c 的关系： c2=a2+b2； c=a2+b2．五、部署作业1．依据以下条件，求双曲线的标准方程：(1) 焦点的坐标是(-6 ， 0) 、 (6 ，0) ，而且经过点A(-5 ， 2) ；3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜ 0＜ m+n)，求其焦点坐标．作业答案：2．由 (1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1 六、板书设计。
(浙江专用)高考数学第八章平面解析几何第七节双曲线教案(含解析)
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫 做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．会集P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，此中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1) 当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x 2y 2y 2x 2标准方程a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点极点坐标：1(－a,0)，2(a, 0)极点坐标：AAA 1(0，－a )，A 2(0，a )ba渐近线y ＝±a xy ＝±b x性质c离心率e ＝a ，e ∈(1 ，＋∞)a ，b ，cc 2＝a 2＋b 2的关系线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA |＝2a ；1 21 2实虚轴线段1 2叫做双曲线的虚轴，它的长 |1 2|＝2BBBBba 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]x 2 y 21．双曲线3－2＝1的焦距为________．x 2 y 22分析：由双曲线3－2＝1，易知c ＝3＋2＝5，所以c ＝5，x 2 y 25.所以双曲线－ ＝1的焦距为232答案：25x 2y 22．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为极点，极点为焦点的双曲线方程为43________．22分析：设要求的双曲线方程为x 2－y2＝1( ＞0，＞0)，a b abx 2 y 2由椭圆4＋3＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，极点为(±2,0)．所以双曲线的极点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，2y2 所以双曲线标准方程为x －＝1.32y2 答案：x －3＝1x 2 y 253．(2018·北京高考)若双曲线a 2－4＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.c a 2＋b 2 a 2＋452分析：由e ＝＝a 2，得2＝，∴a ＝16.aa4∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视 点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|2a ＜|F 1F 2|这一条件．若，则轨迹不存在．2a ＝| F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求不过a ＞0，b ＞0，易误以为与椭圆标准方程中a ，b 的要求同样．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.b4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点地址关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±a ，a当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±b .[小题纠偏]x 2y 21．设P 是双曲线16－20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9， 则|PF 2|等于________．分析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 分析：由于双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，22不如可设该双曲线的方程为2x －y ＝λ.所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2，2y 2即其标准方程为x －2＝1.22y答案：x －＝12考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆 x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为()A.x 2－ y 2＝1B.y 2－x 2＝133x 2 y 2y 2 x 2C.9－16＝1D. 16－9＝1分析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在 y 2 y 轴上，设其方程为2－ax222 ①又知渐近线方程为a3，②2＝1(a＞0，b＞0)，且a＋b＝4，3x±y＝0，∴＝b b2 2 y22由①②得a＝3，b＝1，∴双曲线方程为3－x＝1.x2 y22．(2018·海口二模)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )A.x2－y2＝1 B. x2－y2＝1 1 9 322y2 x2 y2C．x－3＝1 D.2－3＝13 2b分析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，∴a＝tan60°x2 y2 23 2 ＝3，即b＝3a，∵双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点( 2，3)，∴a2－b2＝1，即a23 2 2 2 y2－3a2＝1，解得a ＝1，∴b ＝3，故双曲线C的标准方程是x－3＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0) ，且离心率等于3，2 则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．分析：由于＝3，所以c 3＝2，所以 2 ＝x2－c e ＝＝，解得a b5.所以双曲线的标准方程为a 2 42 5y＝1，其渐近线方程为y＝±x.5 2答案：x2－y2＝1 y＝±5x4 5 2y2 24．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线4－x＝1 有同样渐近线的双曲线的标准方程是________________．y2 2 x2 y2分析：设所求双曲线的标准方程为4－x ＝－λ(λ＞0) ，即λ－4λ＝1，则有4λ＋λx2y2＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为5－20＝1.x2y2答案：5－20＝1[牢记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2y2a2－b2＝1有同样渐近线时，可设所求双曲线方程为x2y2 a2－b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点地址确立c的值．考点二双曲线的定义要点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线2y2x－24＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若| PF1| 4＝3|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48B．24C．12D．6分析：选B由双曲线的定义可得1|PF1|－|PF2|＝3|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，1所以S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数一定小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转变应用．[即时应用]1 2 2 2 1 21．已知F，F为双曲线C：x －y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF|＝2| PF|，则cos∠F1PF2＝( )1 3A. B.4 53 4C.4D.5分析：选C 双曲线方程可化为x2 y2－＝1，2 2∴a＝b＝2，∴c＝2.|PF |－|PF |＝22，由12得|PF |＝42，|PF |＝22，由余弦定理得cos ∠FPF ＝|PF |＝2|PF |121212|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|232|PF |·|PF＝.|4122．(2018·余姚期初)已知△ABC 的极点A ，B 分别为双曲线x 2 y 216－9＝1的左、右焦点，|sin A －sin B | 的值为____________． 极点C 在双曲线上，则 sin CBCACAB|sin A －sinB |分析：由正弦定理知，sin A ＝sin B ＝sin C ，由双曲线的定义可知，sin C＝||BC |－|AC || 84|| ＝10＝5.AB4 答案：5考点三 双曲线的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热门． 常有的命题角度有：(1) 求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程； (3) 求双曲线方程．[题点全练] 角度一：求双曲线的离心率(或范围)x 2 y 21．(2016·山东高考 )已知双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个极点在 E上，， 的中点为 E 的两个焦点，且 2||＝3| |，则 E 的离心率是________．ABCDABBC2b 2分析：如图，由题意知 |AB |＝a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，2b 2 2， ∴2×＝3×2，即2＝3ac bac∴2(c 2－a 2 )＝3ac ，两边同除以 a 2并整理得 2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程x 222．(2018·乐清调研)以椭圆4＋y＝1 的焦点为极点，长轴极点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．x 2 y 2分析：由题意可知所求双曲线方程可设为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，3故所求渐近线方程为 y ＝±3x .3答案：y ＝±3x角度三：求双曲线方程223．过双曲线： x2－ y2＝1( ＞0，＞0)的右极点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相C a b ab交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A.－＝1B.－＝141279x 2 y 2x 2 y 2C.8－8＝1D.12－4＝1b分析：选A 由题意知右极点为 (a,0)，不如设此中一条渐近线方程为y ＝a x ，所以可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为 (0)，由已知可得c ＝4，且| |＝4，即(c －)2＋ b 2＝16，所以有( c － )2Fc,AFaa＋ b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的2x 2y 2方程为4－12＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率 (或范围)．依照题设条件，将问题转变成关于， c 的等式(或不a等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依照题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进 而得出双曲线的渐近线方程．(3) 求双曲线的方程．依照题设条件，求出a ，b 的值或依照双曲线的定义，求双曲线的 方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及[演练冲关]a ，b ，c 之间的关系求解．x 2y 21．(2018·萧山六校联考 )已知 l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l2 2 2 2 2 2与圆F ：(x －c ) ＋y ＝a (此中c ＝a＋b )订交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为()A ．2B. 525 6C.3D.2分析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，x 2 y 22 2 2∵l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )＋y ＝a (其中c 2 ＝a 2＋b 2)订交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .|bc ＋0| bc2|AB |22又(c,0)到l的距离d ＝b 2＋a 2＝c ＝b ，∴b ＋2 ＝a ，将| AB |＝ 2a 代入上式，22222c6得a ＝2b .又c ＝a ＋b ，∴e ＝a ＝2.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2 22－y 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则ab双曲线的渐近线方程为 ________．分析：由于2b ＝2，所以b ＝1，由于 2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝ c 2－b 2＝ 2，b 2所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a x ＝±2 x .2 答案：y ＝±2xx 2 y 23．(2018·杭州二中适应)双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点 O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．3c 2分析：由题可得，要使三角形 OPF 2为正三角形，则 P 21c ，2c 在双曲线上，所以4a 2－3c 2222c422 24b 2＝1，结合 b ＝c－a 及e ＝a ，化简得 e －8e ＋4＝0，解得e ＝4＋2 3或e ＝4－2 3.由于＞1，所以 e 2＝4＋2 3，所以 e ＝ 4＋23＝ 3＋1.e答案： 3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 2＋y 2＝1，它的焦点F 到渐近线8－m4－m的距离的取值范围是 ________．x 2y 2分析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |x 2y 2x 2 y 222＝b .而双曲线＋＝1，即－ ＝1的焦点在b ＋a8－m 4－m8－mm －48－＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．x 轴上，则m －4＞0，答案：(0,2)考点四直线与双曲线的地址关系要点保分型考点——师生共研[典例引领]x 2 y 2设A ，B 分别为双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右极点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线 y ＝ 3 －2 与双曲线的右支交于，两点，且在双曲线的右支上存在点 ，3xMND使―→＋―→ ＝ ―→，求 t 的值及点 D 的坐标．OM ON tOD解：(1)由题意知a ＝2 3，b∵一条渐近线为y ＝a x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，|bc | 得b 2＋a 2＝3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，x 2y 2∴双曲线的方程为12－3＝1.(2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.3x 2 y 2将直线方程y ＝3x －2代入双曲线方程 12－3＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋ 2＝ 3 x 1＋ 2)－4＝12.3 ( y xx 0 ＝ 4 3y 0 3 ， 03，x ＝4∴2 2解得y 0＝3.x 0y 0－＝1.12 3∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的地址关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的地址关系的判断与应用和直线与椭圆的地址关系的判断 方法近似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数能否为0的判断．(2) 技巧：关于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在座标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝ 0(n ∈R)三均分，务实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，49λ＋25μ＝1，依题意有λ＋μ＝1， λ＝－1， 解得μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1. (2) 将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1，得 x 2＋4 ＋(22－1)＝0，①mxm222＝(4m )－4(2m －1)＝8m ＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则 x 1＋ 2＝－4，12＝22－1，xmxx mx 1＋x 2所以x 0＝＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，2所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1，m故＝－1，即m ＝－2.6＋2m将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7， 所以||＝1＋12|x 1－2|＝62.MNx故直线 l 截圆 E 所得弦长为 1 | |＝22.3 MN 又(6,0)到直线l 的距离 ＝22， Ed所以圆E 的半径 R ＝22＋2 2＝ 10，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快x2 21．(2018·浙江高考)双曲线3－y＝1 的焦点坐标是( ) A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0) ，(2,0)C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)x2 2分析：选B∵双曲线方程为3－y ＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0) ，(2,0) ．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线x2 y2 x2 y2 ：2－2＝1(＞0，＞0)的离心率与椭圆25＋C m n m n 16＝1 的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( ) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0分析：选A 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝b2 3 1－2＝，∴双a 5曲线的离心率为n2 5 n4，∴双曲线的渐近线方程为n 41＋2＝，∴＝y＝±x＝±x，即4x±3y m 3 m3 m 3＝0. 应选A.x2 y23．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦1 2 1 2 1 1 1点分别是F，F，正三角形AFF的一边AF 与双曲线左支交于点B，且AF＝4BF，则双曲线C的离心率为( )3 3＋1A. 2＋1B. 213 13＋1C. 3＋1D. 3分析：选D 不如设点A在x轴的上方，由题意得，F1(－c,0) ，A(0，3c)，设B(x，3 311 c cy)，∵AF＝4BF，∴(－c，－3c)＝4(－c－x，－y)，∴x＝－4，y＝4，代入双曲线9c 2 3c 21616 a4213＋1 .＝1，∴9e －28e ＋16＝0，∴e ＝3222x 2y 24．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线9－16＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.分析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.由于|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π，211 所以S △F 1PF 2＝2|PF 1|·|PF 2|＝32×2＝16.π答案：2165. 以下列图，已知双曲线以长方形ABCD 的极点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两极点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2y 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，4＝a 2＋b 2，2∴49解得a ＝1，2a 2－b 2＝1，b ＝3，x 2 y 2∴双曲线的标准方程为－3＝1.2y 2答案：x －3＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 2 ＋ y2 ＝1表示双曲线”的( )25－k k － 9A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件x 2y 2分析：选A ∵方程25－k ＋k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9 或k＞25，∴“k ＜9”是“方程x 2＋ y 225－k＝1表示双曲线”的充分不用要条件，应选A.k －92y 22．(2018·杭州调研)过双曲线x －3＝1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝()A. 4 3 B ．2 3 3 C ．6D ．432y 2分析：选D 由题意知，双曲线x －3＝1的渐近线方程为 y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为 (2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.x 2 y 23．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点， 过F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点2πB ，若|AF|＝2a ，∠FAF ＝3，则1112S △AFF12S △ABF 2 ＝()A ．1B. 1 2C. 1D. 233分析：选B以下列图，由双曲线定义可知|AF |－|AF |＝2a .21由于|AF |＝2a ，所以|AF |＝4a ，122π又∠FAF ＝3，1 21 211 21 2132所以S △AFF ＝2|AF |·|AF |·sin ∠FAF ＝2×2a ×4a ×2＝2 3a .由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.π 由于∠BAF 2＝3 ，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，3232 2所以S △ABF 2＝ 4|AF 2|＝ 4 ×(4a )＝43a ，1 22 3a 2 1.故S △AFF ＝＝△24 3a 22S ABF224．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ： x 2 － y2＝a b1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点 F 2的直线与双曲线 C 的右 支交于P ，Q 两点，且|PF |＝2|F Q|，P Q ⊥F Q ，则双曲线 C 的离心率221是( )A.2B. 3 10D.17C.32分析：选D设|F Q|＝m ，则|F Q|＝2a ＋m ，|FP |＝2m ，|FP |＝2a ＋2m .由于P Q ⊥F Q ，2121122 2 228所以(2a ＋m )＋(3m )＝(2a ＋ 2m )，解得6m ＝4am ，解得m ＝3a ，所以|F 1Q|＝3a .所以在△F 1F 2Q2a 2 8a 2 2222c217 17中，|F 1F 2|＝2c ，所以3 ＋ 3＝(2c ) ，解得17a ＝9c ，所以e ＝a 2＝9，即e ＝3.x 2 y 25．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直π π 线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈12，6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1] 分析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r ，|MF ′|＝r ，则|NF |12＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关222②，于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 1＋r 2＝4c由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴1r 1r 2＝2·1c 2·sin2β，∴b 2＝c 2·sin222221ππ13 21 2β＝c －a ，∴e ＝1－sin2β，又∵β∈12，6 ，∴sin2β∈2，2，∴e ＝1－sin2β ∈[2，(3＋ 2，又∵e ＞1，∴e ∈[ 2，3＋1]，应选D.1)]6．已知双曲线的一个焦点 F (0， 5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．y 2x 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，c ＝5，a 2＋b 2＝5，a 2＝4，由题意得 a?a ＝2b2b ＝2b ＝1，2y 所以双曲线的标准方程为－x ＝1.c 5所以a ＝2，离心率e ＝a ＝2.y 225 答案：4－x ＝127．若点P 是以 (－3,0)，(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一AB个交点，则||＋||＝________.PAPB分析：不如设点 P 在双曲线的右支上，则 |PA |＞|PB |.由于点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知， |PA |－|PB |＝2 5， ①又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得 2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：213：x228．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线2－y2＝1(＞0， ＞0)的右焦点为，过点FC a b a bF 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C的离心率＝________.e分析：法一：由 2＝知，|MF |＝1.由渐近线的对称性知∠＝∠，即为∠2|FN |NOM 的角均分线，则|OM ||MF | 1π ，∠NOF ＝∠MOF ＝πcos ∠NOM ＝||＝ ||＝2，所以∠NOM ＝36.由于ON FNbbπ 3cb 223 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a x ，所以a ＝tan6＝3，所以e ＝a ＝1＋a＝3.法二：以下列图，双曲线C 的一条渐近线的方程为 bx ＋ay ＝0，右焦bc点为F (c,0)，所以|FM |＝a 2＋b 2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又由于2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin1 π ππ b 3∠FNP ＝2，所以∠FNP ＝ 6 ，故在△OMN 中，∠MON ＝ 3 ，所以∠FON ＝ 6 ，所以a ＝3，所以双曲线 C 的离心率 ＝ b 2 231＋2＝.e a 323答案：39．已知双曲线的中心在原点，焦点F ，F 在座标轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)，12点M (3，m )在双曲线上．(1) 求双曲线的方程；―→(2)求证：MF 1·MF 2＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.―→(2) 证明：设MF 1＝(－23－3，－m )， ―→ 3－3，－m )． MF 2＝(2―→ ―→＋23)×(3－2 22∴MF 1·MF 2＝(3 3)＋m ＝－3＋m ，∵M 点在双曲线上，22∴9－m ＝6，即m －3＝0，―→―→∴MF 1·MF 2＝0.(3) ∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43. 由(2)知m ＝±3.1∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝2×43×3＝6.x 2y 210．已知双曲线：2－ 2＝1( ＞0，＞0)的离心率为 3，点(3，0)是双曲线的一个C a b ab极点．(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A ，B ， 求|AB |.2 2解：(1)∵双曲线： x2－ y2＝1( ＞0， ＞0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一C a ba bc3，6，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1. 个极点，∴a＝解得c ＝3，＝b36a ＝ 3，x 2 y 22，(2)双曲线3－6＝ 1的右焦点为F (3,0)3∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝3(x －3)．x 2y 23－6＝1，联立得5x 2＋6x －27＝0.3y ＝3x －，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，627则x 1＋x 2＝－ 5，x 1x 2＝－ 5.所以|AB |＝16 227 16 31＋3×－－4× －5＝5 .5三登台阶，自主选做志在冲刺名校：x 221．(2018·暨阳联考)已知双曲线2－y 2＝1( a ＞0， ＞0)的左焦点为，过点 F 作双C ab bF曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足 ―→―→ ―→FPFP ＝3FH ，则双曲线的离心率为()A. 3B ．23C. 13D.132b|bc | ―→―→分析：选C不如取渐近线方程为 y ＝－a x ，则|FH |＝a 2＋b2＝b .由于FP ＝3FH ，所b以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .由于cos ∠PFF 2＝c ，|FF 2|＝2c .所 以由余弦定理得： (3b2c 2 ＋9 2 b＝3.若取 a ＝2，则＝3，－2)＝4－2×2×3×，化简得2abc b cbabc13c ＝13.所以离心率为e ＝a ＝2.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直均分线 l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．x 2 y 2解：(1)设双曲线C 的方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1，x 22∴双曲线C 的方程为3－y ＝1.2x 22(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入－y ＝1，得(1－3k )x －62kx －9＝0.1－3k2≠0，＝－k2＞0，由题意知62k解得3A B＜0，＜k＜1. x＋x＝1－3k2 3AB－9xx＝1－3k2＞0，∴k的取值范围为3. 3，1 62k(3)由(2)得：x A＋x B＝1－3k2，∴y A＋y B＝(kx A＋2)＋(kx B＋2)2 2＝k(x A＋x B)＋22＝1－3k2.∴AB的中点P的坐标为32k22. 2，1－3k 1－3k设直线l 0的方程为：y＝－1＋，kxm4 2将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝1－3k2.3 2∵3＜k＜1，∴－2＜1－3k＜0.∴m＜－22.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。