高中数学导学案双曲线及其标准方程

1. 1.3双曲线及其标准方程
课前预习学案
一、预习目标
①双曲线及其焦点,焦距的定义。

②双曲线的标准方程及其求法。

③双曲线中a，b，c的关系。

④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。

二、预习内容
①双曲线的定义。

②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类
比。

③掌握a，b，c之间的关系。

三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、教学过程
前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。

下面我们来考虑这样一个问题？
平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？
我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。

若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线
那么由这个实验我们得出一个结论：
“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。

”
但大家思考一下这个结论对不对呢？
我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？
下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；
随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；
当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；
若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。

那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：
定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。

定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。

我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准
方程。

当焦点在x 轴上时，122
22=+b
y a x ；当焦点在y 轴上时，12222=+b x a y
那么双曲线方程是否也有标准方程呢？
我们就来求一下看看：
解：建立直角坐标系x o y ，使x 轴经过F 1，F 2，并且点O 与线段F 1F 2的中点重合。

如图所示：
设M （x ，y ）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c ＞0），那么，焦点F 1，F 2， 的坐标是（－c ，0）（c ，0）。

又设点M 与F 1，F 2，的距离的差的绝对值等于常数2a 有定义可知，双曲线就是集合
p ＝{M||MF 1|－|MF 2|=±2a} 因为 |MF 1|=2
2
)(y c x ++ |MF 2|=2
2
)(y c x +- 所以得
22)(y c x ++－22)(y c x +-＝±2a ①
将方程①化简，得
（c 2－a 2）x 2－ay 2＝a 2（c 2－a 2）
由双曲线的定义可知，2c ＞2a ，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0 令c 2-a 2=b 2其中b ＞0，代入上式，得
b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2
两边除以a 2b 2，得
12
2
22=-b y a x （a ＞0,b ＞0）这个方程叫做双曲线标准方程。

当焦点在y 轴上时, 1
22
22=-b x a y
F 1(0,－c) F 2(0,c) （a ＞0,b ＞0）
*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题： 1、焦点在哪个轴上如何判断？ 2、方程中a,b,c 的关系怎样?
（椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。

）
例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：
1． a=3,b=4焦点在y 轴上， 解：因为焦点在y 轴上
所以所求方程为
116
92
2=-y x
2． a=5,b=7,
分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析
解：当焦点在x 轴上时
149
252
2=-y x 当焦点在y 轴上时
149
252
2=-x y 3．两焦点为F 1(－5,0),F 2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8 练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
1、a=4,b=6,焦点在x 轴
解：由b 2=c 2－a 2=62－42=20
又因为焦点在x 轴上所以所求方程为：
120
162
2=-y x 2、c=10,b=7焦点在y 轴上 解：由a 2=c 2－b 2=102－72=51
又因为焦点在y 轴上，所求方程为：
149
512
2=-x y 例2：求下列双曲线的焦点坐标：
1、
164
362
2=-y x 解：a 2=36,b 2=64
∴c 2=36+64=100,c=10 又因为焦点在x 轴上，
所求焦点坐标为(10,0),(－10,0)。

2、1
8
22
-=-y x 解：化标准方程为：18
2
2
=-x y a 2=1,b 2=8，又因为焦点在y 轴上, 所求焦点坐标为(0,3),(0,－3)。

3、9y 2-4x 2=36
解：化标准方程为：
1942
2=-x y
所以a 2＝4，b 2＝9。

由从c 2＝a 2+b 2=4+9=13。

又因为焦点在y 轴上;
所求焦点坐标为（0，13）和（0，－13）。

例3：双曲线11522
=-y x 的焦点与椭圆19
252
2=+y x 的焦点有什么关系? 解：双曲线115
2
2
=-y x 中a 2=1,b 2=15,由c 2=a 2+b 2得c=4 所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)
椭圆19
252
2=+y x 中a 2=25,b 2=9由c 2=a 2+b 2=25－9=16得 所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(－4,0)。

它们的焦点相同.
思考题：
1已知曲线的方程为
14
322
=-++m y m x （1） 若c 为椭圆，求m 的取值范围，并求椭圆的焦点 。

(m ＞4)
（2） 若c 为又曲线，求m 的取值范围，并求双曲线的焦点 。

(－3＜m ＜4)
2已知双曲线的方程为
14622
=-++m
y m x ，讨论c 曲线的形状 －6＜m ＜4时，为椭圆，(m>－1焦点在x 轴，m ＜－1焦点在y 轴) m ＝－1时为圆 m>4或m ＜－6时，为双曲线;( m>4焦点在x 轴，m ＜－6焦点在y 轴)
小结：
1定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线.
2双曲线的标准方程为：
焦点在x 轴时, 122
2
2=-b y a
x （a ＞0,b ＞0） 叫焦点坐标F 1（－c ，0）F 2（c ，0）。

焦点在y 轴时, 122
2
2=-b x a
y （a ＞0,b ＞0） 焦点坐标F 1(0,-c),F 2(0,c)
3注意双曲线与椭圆的区别与联系
椭圆 双曲线 |MF 1|＋|MF 2|=2a
|MF 1|－|MF 2|=±a
a 2=
b 2+
c 2
c 2=a 2+b 2
122
22=+b y a x
（a ＞b ＞0）
122
22=+b
x a y 122
22=-b y a x
（a ＞0,b ＞0）
122
22=-b
x a y a 比b 大
a 不一定比
b 大 焦点位置与分母大小相对应
焦点位置与项的正负对应
二、板书设计
双曲线及其标准方程
椭圆的定义，椭的标准方程 例1，例2，思考1 小结：1、定义
2、标准方程
3、双曲线与椭圆的区别与联系
双曲线的定义，双曲线的标
准方程
练1，例3，思考2。