双曲线的标准方程导学案
双曲线标准方程教案
双曲线标准方程教案一、教学目标1. 学习者应掌握双曲线的标准方程，充分理解双曲线的基本性质。
2. 学习者应学会使用坐标法解决双曲线的问题，并熟练掌握双曲线方程的应用。
3. 在教学过程中，应培养学习者对数学的兴趣，提高他们解决问题的能力，同时提升他们的数学素养。
二、教学内容1. 讲解双曲线的定义和标准方程。
双曲线是一种二次曲线，定义为平面上与两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个固定点称为焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是两个正数，a表示横轴的长度，b表示纵轴的长度。
2. 阐述双曲线的基本性质，如范围、焦点、顶点等。
双曲线的范围是x>0和y可以取任意实数，这意味着双曲线在第一象限内是无限的，而在其他三个象限内是有限的。
双曲线的焦点位于x轴上，离原点的距离为c(c=√a^2+b^2)，焦距为2c。
双曲线的顶点是曲线在x轴上的交点，离原点的距离为a。
3. 讲解并示范使用坐标法解决与双曲线有关的问题。
坐标法是一种通过建立坐标系来解决几何问题的数学方法。
在解决与双曲线有关的问题时，我们通常使用坐标法来找出关键点在坐标系中的位置，并计算出相关的距离和角度。
例如，我们可以使用坐标法来找出双曲线的焦点、顶点、离心率等特征，以及解决与双曲线有关的面积和体积问题。
在示范过程中，我们可以使用具体的例子来说明如何使用坐标法解决与双曲线有关的问题。
三、教学过程1. 通过复习椭圆的定义和标准方程，引导学习者深入思考双曲线是否具有类似的定义和方程，并激发他们的好奇心和探究欲望。
2. 通过具体的实例和图示，详细讲解双曲线的定义和标准方程，同时深入解释其基本性质，包括双曲线的形状、大小、位置等。
3. 通过例题和练习，让学习者掌握如何使用坐标法解决与双曲线有关的问题，包括如何根据双曲线的标准方程计算其焦点位置、顶点位置、离心率等。
高中数学双曲线及其标准方程精品导学案
双曲线及其标准方程一、课前导学1.什么叫做双曲线?为什么常数2a 要小于21F F ？与椭圆有何异同？双曲线的定义： 叫做双曲线， 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
2.双曲线标准方程的推导：（类比求椭圆标准方程的方法）；确定,,a b c 的关系3.双曲线定义（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于21F F ）”改为“距离的差（小于21F F ）”，那么点的轨迹会怎样？（2）双曲线定义中动点M 到两定点21,F F 满足几何条件 （3）在椭圆的定义中，强调了c a 22<；若22a c =动点的轨迹是什么？ 若c a 22>呢？设动点M ，两定点21,F F 满足a MF MF 221=-（2a 常数），为常数）c c F F 2(221=c a MF MF 2221<=-时 轨迹是 ；c a MF MF 2212<=-时 轨迹是 ； c a MF MF 2221==-时 轨迹是 ； c a MF MF 2212==-时 轨迹是 ；c a MF MF 2221>=-时 轨迹是 要点总结注意：(1)若常数要等于12||F F ，则图形是什么？ 二、课堂导学例1已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=, 求动点P 的轨迹方程.变式1:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.变式2:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.例2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程1.a=4,b=3,焦点在x 轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3已知双曲线与椭圆1362722=+y x ，有公共的焦点，且过点)4,15( 4.焦点在y 轴上,a=4,过点)3104,1( ⒌经过两点A )26,7(--，B )3,72( 例3.如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围. 变式3：如果方程11222=+-+m y m x :表示焦点在y 轴双曲线时，求m 的取值范围. 变式4：当k 取何值时，方程13522=-+-k y k x 表示圆？椭圆？双曲线？ 三、课堂小结1.双曲线方程的推导2.求双曲线方程3.利用定义和标准方程解决一些简单的问题.四、课堂练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变形；（3）能够运用双曲线的标准方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察双曲线的图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用公式法、图形法求解双曲线的标准方程，提高学生的解决问题的能力；（3）通过小组讨论，培养学生的合作交流能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其对数学美的感受；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其变形。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解方法；（2）运用双曲线标准方程解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习椭圆的标准方程，引导学生对比椭圆、双曲线的关系；（2）提问：双曲线的标准方程是什么？双曲线有哪些基本性质？2. 知识讲解：（1）讲解双曲线的定义及其性质；（2）引入双曲线的标准方程，讲解其含义及求解方法；（3）通过示例，演示双曲线标准方程的求解过程。
3. 课堂互动：（1）学生自主探究：利用公式法、图形法求解双曲线的标准方程；（2）小组讨论：总结双曲线标准方程的求解方法，探讨实际应用案例。
四、课堂练习（1）x^2 y^2 = 4；（2）\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1。
2. 运用双曲线的标准方程，解决实际问题。
五、课后作业1. 复习双曲线的标准方程及其变形；2. 练习求解各类双曲线的标准方程；3. 探索双曲线在实际问题中的应用。
六、教学拓展1. 对比双曲线与椭圆的标准方程，探讨它们之间的关系；2. 引导学生思考：双曲线的标准方程在实际应用中有什么意义？七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结双曲线的标准方程及其求解方法；2. 强调双曲线标准方程在实际问题中的应用价值。
八、教学反思1. 反思本节课的教学过程，分析学生的掌握情况；2. 对教学方法进行调整，以提高学生的学习效果。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
双曲线及其标准方程学案
双曲线及其标准方程学案一、双曲线的定义双曲线是一类重要的数学曲线，它在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
双曲线可以通过平面上的一对焦点和总距离来定义。
具体而言，对于两个给定的焦点F₁和F₂以及一个给定的常数C，双曲线定义为到焦点F₁和F₂的距离之差等于常数C的所有点的集合。
双曲线可以分为两支，分别延伸到无穷远处，这两支称为双曲线的两个分支。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程是指在坐标系中，以坐标原点为中心、x轴和y轴为对称轴的标准双曲线的方程。
标准双曲线的方程可以表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
具体而言，在第一种标准方程中，a代表x轴上的半轴长度，b代表y轴上的半轴长度；在第二种标准方程中，a代表y轴上的半轴长度，b代表x轴上的半轴长度。
三、双曲线的性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率是确定双曲线形状的一个重要参数。
对于标准方程为x²/a² - y²/b² = 1的双曲线，离心率e可以通过以下公式计算得到：e = √(a² + b²) / a。
2. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近，且与双曲线的两个分支垂直。
这两条渐近线的斜率分别为±b/a，方程可以表示为y = ±(b/a)x。
3. 双曲线的焦点和直径双曲线的焦点是定义双曲线的重要元素。
对于标准方程为x²/a²- y²/b² = 1的双曲线，焦点的坐标可以表示为(F₁,0)和(-F₂,0)，其中F₁和F₂分别是双曲线的焦距。
双曲线的主轴长度为2a，副轴长度为2b，主轴和副轴的交点与双曲线的两个分支的交点分别称为双曲线的顶点。
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
双曲线的定义导学案
日照实验高中2016级高一下学期数学导学案2.3.1双曲线的标准方程【学案序号】 【编写人】刘英 【审核人】张茂花 【学科联系人签字】 学习目标：知识与技能：1.理解双曲线的定义并能独立推导双曲线的标准方程；2．会用定义法与待定系数法求双曲线的标准方程；3. 能正确运用双曲线的定义与标准方程的解题；过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高观察与探究能力；情感态度价值观: 通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣. 重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程;难点：双曲线标准方程的推导.【知识链接】1、椭圆的定义式：_____________________________2、椭圆的标准方程：__________________________【新知探究】1.动手实验：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点12,F F 上，把笔尖放在点P 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出笔尖所经过的点的轨迹，则动点P 满足的几何关系_______________________； 作图：若调换拉链两点重复试验，画出动点P 的轨迹：动点P 满足的几何关系________________________________；这两条曲线合起来叫做______________，每一条叫做双曲线的____________.2.双曲线的定义：___________________________________________________________3．解读：1212||||||PF PF F F -<表示_____________________________1212||||||PF PF F F -=表示______________________________________1212||||||PF PF F F ->表示______________________________________1212||||PF PF F F -<表示_______________________________________4.根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：步骤：1、建系 2、设点 3、列式 4、坐标代换 5、检验推导过程：5.结论：焦点在x 轴上的标准方程_____________________（其中a ，b ，c 关系是________）思考：1、焦点在y 轴上的标准方程_____________________2、方程+=221Ax By 表示双曲线的充要条件是______________【小试牛刀】1. 请说出以下双曲线的焦点坐标2．求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，a=4,b=3 （2）焦点为（0，-5），（0，5），a=4【典型例题】题型一:用待定系数法求双曲线的标准方程 例1.已知双曲线焦点的坐标为-1(5,0),(5,0)F F ，双曲线上一点P 到12F F ， 的距离的差的 绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
高中数学选修一《双曲线及其标准方程》教案与导学案和同步练习
《3.2.1双曲线及其标准方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。
从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。
而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。
在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
【教学目标与核心素养】【教学重点】：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.【教学难点】：双曲线的标准方程及其求法.【教学过程】双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。
类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？1.双曲线的定义121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。
在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。
l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？F F AB M从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。
F(-c,0),F F(0,-c),F解：建立平面直角坐标系，使并且原点与线段的中点重合。
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主备人：审核人：班组：姓名：
双曲线及其标准方程导学案
【学习目标】1.了解双曲线的定义，图像和标准方程。
2.能用定义法或待定系数法求双曲线的标准方程。
3.能用坐标法解决一些与双曲有关的简单几何问题和实际问题。
【学习重点】双曲线的定义，求双曲线的标准方程。
【学习难点】推导双曲线的标准方程。
【使用说明与学法指导】
|
1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的
学习目标
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案
3.带*号的为选做题。
【自主探究】
1.平面内到两个顶点F1，F2___________________________的点的集合叫做双曲线，定
点F1，F2叫作_______，F1，F2之间的距离叫作_______。
2.双曲线的标准方程
焦点在Ｘ轴上的双曲线的标准方程为__________________________
焦点在Ｙ轴上的双曲线的标准方程为__________________________
【
以上两个标准方程中a,b,c之间的关系是__________________________
【合作探究】
1.知两点
1(5,0)
F ，
2(5,0)
F,求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹。
2. 求经过点
1516
(3,)(,5)
43
P Q
，两点的双曲线的标准方程。
3.—
4. 11
4222=+--m y m x 表示交点在y 轴的双曲线，求m 的取值范围。
【巩固提高】
1.已知定圆C 1：0241022=+++x y x ，C 2：()16522
=+-y x ，动圆M 与定圆C 1、C 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
2. 《
3. 设12,F F 为双曲线2214
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足01290,F PF ∠=求12F PF ∆的面积
3.过双曲线22
13y x -=的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求： （1）__________;AB = （2）2F AB ∆的周长；（2F 为双曲线的右焦点）
★4. .判断方程22
193
x y k k +=--表示的曲线。
-
★5.已知双曲线的方程为2
2
12y x -=，试问：是否存在被(1,1)B 平分的弦如果存在，求
出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由.。