等差数列
等差数列所有公式
等差数列所有公式等差数列是一种数学表示，它由一组等间距的数字组成。
它可以用来描述几何尺寸。
它也可以用来描述数学函数，如正弦函数、余弦函数，和其他常用函数。
此外，它还可以用来求解统计和组合问题。
在这里，我们将介绍等差数列的几个常见公式。
1、定义定义：等差数列是一组有序的数字，其中每一项与它的前一项的差一定数值相等。
2、等差数列的和等差数列的和可以用以下公式表示：S = n(a1+an)/2其中：n表示数列元素的个数，a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素。
3、公差公差，一般表示为d，它是指等差数列中每一项与它的前一项的差值。
即：d=an-a14、等差数列的通项公式等差数列中的每一项可以用通项公式表示：an=a1+d(n-1)其中：a1表示等差数列中的第一个元素，d表示公差，n表示等差数列中的每一项。
5、等差数列求和(1)如果知道数列元素的个数及第一项，可以用等差数列的和公式求和。
(2)如果知道数列元素的个数及最后一项，也可以用等差数列的和公式求和。
6、等差数列的最长极限如果等差数列有正无穷无限项，那么它的最长极限可以用以下公式表示：limn→∞an=d其中：d表示等差数列的公差。
7、等差数列的总和等差数列的总和也可以用公式表示：S = n(a1+an)其中：n表示数列元素的个数，a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素。
8、等差数列的平均值等差数列的平均值可以用公式表示：a = S/n = (a1+an)/2其中：a1表示等差数列中的第一个元素，an表示等差数列中的最后一个元素，n表示等差数列中元素的个数。
9、等差数列的倒数等差数列的倒数可以用以下公式表示：1/an=1/a1+d(1/n-1)10、等差数列的商当等差数列中存在相同的元素时，可以使用以下公式计算数列中元素的商：a/b=a1/b1其中：a1表示等差数列中的第一个元素，b1表示等差数列中的最后一个元素。
等差数列及其变式
等差数列及其变式一、基本等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：(1)前n项和公式为：或注意：以上n均属于正整数。
【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，…1、二级等差数列一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。
解题模式：（1）观察数列特征。
大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、（3）测测规律（4）检验。
（5）重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( )A．32 B．34 C．36 D．38【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36）做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列【答案】C【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( )A．14 B．15 C．16 D．1 7【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17）做一次差：5 4 3 2 1 等差数列【答案】D【例3】(2002国家，B类，第5题)－2，1，7，16，( )，43A．25 B．28 C．31 D．35【解题关键点】原数列：-2 1 7 16 （z） 43做一次差： 3 6 9 x y猜测：一个公差为3的等差数列。
尝试：x=9+3=12，（ z ）=16+12=28检验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B 【例】3，6，11，( )，27A．15 B．18 C．19 D．24【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 273 5 7 9 【答案】 B3、二级等差数列变式（1）相邻两项之差是等比数列【例】0，3，9，21，( )，93A．40 B．45 C. 36 D．38【解题关键点】二级等差数列变式0 3 9 21 (45) 93求差3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列【答案】B（2）相邻两项之差是连续质数【例】11，13，16，21，28，( )A．37 B．39 C.41 D.47【解题关键点】二级等差数列变式11 13 16 21 28 （39）求差2 3 5 7 （11）质数列【答案】B（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列【例】1，2，6，15，（）A．19 B．24 C．31 D．27【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
等差数列常见结论
等差数列常见结论 1， 判断给定的数列{}n a 是等差数列的方法（1） 定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列；（2） 通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；（3） 前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列；（4） 等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列；2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n m a a d n m N n m n m -⇒=∈≠-； 3，若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+ 4，若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列； 5，等差数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列； 6，等差数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列； 7， 若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项； 8， 若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9，若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10， 若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12； 11，若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12，若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++； 13， 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,m m m m S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前m项,2m 项,3m 项,4m 项,……的和，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列（等差数列的片段和性质）；14，等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221n n a S S a =+奇偶； 15，在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列； 16， 有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：（1） 何时存在最大值和最小值① 若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值② 若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值（2） 如何求最值① 方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值； ② 方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；③ 利用等差数列的相关性质求解17，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”。
等差数列的通项
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是an=a1+（n-1）*d，其中n是项数。
另外，若首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为Sn=a1*n+[n*（n-1）*d]/2或Sn=[n*（a1+an）]/2。
注意，以上n均属于正整数。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述、推导的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
— 1 —。
等差数列
练习三
1、已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的
等差中项 .
① 0，5，10，15，20，…
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
② 48 ，53，58，63.
从第二项起，后一项与 前一项的差是5。
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5.
从第二项起，后一项与 前一项的差是-2.5。
④ 10072，10144，10216，10288，10360. 从第二项起，后一项 与前一项的差是72。
解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3 解之得 a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：
an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, 例5 （1）已知三个数成等差数列，它们的和是
12，积是48，求这三个数.
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
练 习 一
a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 思考：在数列
是 （4）3，3，3，3，… （1），a =？我
是
1 1 1 1 们该如何求解呢？ 不是 (5)1, , , , , 2 3 4 5
不是
100
a1=3,d=0
（6）15，12，10，8，6，…
例3 （1）在等差数列{an}中，是否有
an 1 an 1 an (n 2)? 2
（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n （n≥2），都有
等差数列
第5讲等差数列（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…（3）1，4，9，16，25，36，49，…上面三组数都是数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项，……以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项。
项的个数叫做项数。
一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。
如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。
首项是4，末项是28，公差是3。
这一讲我们学习有关等差数列的知识。
例题与方法：例1．在等差数列1，5，9，13，17，…，401中，401是第几项？思路点拨：丁丁：我从1，5，9，13，17，…一直数到401共101项。
机灵猴：你这样数太烦了，应从这个数列的规律入手。
求401是第几次，就是求这个等差数列的项数。
观察下图：第一项第二项第三项第四项第五项第六项第七项小麦斯：对！求401是第几项，就是求项数。
将401看作末项，1看作首项，这个数列的公差是4，即求项数的方法是：项数=（末项-首项）÷公差+1 解：（401-1）÷4+1=101答：401是第101项。
小麦斯：求项数的方法是：项数=（末项－首项）÷公差+1例2：有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层，最下面一层有多少根？思路点拨：丁丁：将每层圆木根数写出来是：5，6，7，8，9，10，…，可以看出是一组等差数列。
小麦斯：能将这一梯形堆放的圆木每层的根数抽象出等差数列是解题的关键，在这组等差数列中，已知首项是5，公差是1，项数是28，求最下面的一层有多少根就是求这个等差数列的第28项，即末项。
机灵猴：因为第2项比第1项多1根，也就是多一个公差“1”，求第28项，就是求比第一项（首项）多27个公差就可以了。
等差数列的概念、性质及其应用
等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。
它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。
本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。
一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。
设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。
2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。
3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。
4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。
5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。
三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。
例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。
2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。
例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。
3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。
等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。
通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。
希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。
等差数列的概念
等差数列的概念
等差数列是数学中用来指定有特定规律的序列。
一般来说，等差数列是在满足某些条
件下才能组成的，它必须满足以下三个条件：
（1）首项和公差：等差数列的首项为a，公差为d。
（2）全部项数：等差数列中共有n项。
（3）递增关系：每一项比前一项大d。
按这三个条件定义可以给出一般的等差数列的一般形式，为：a, a+d, a+2d,
a+3d, ... ，其中a是首项，d是公差（即相邻项间的差）。
等差数列中每个项不一定都是整数，有些等差数列由实数构成。
例如等差数列（π，
2π，3π，4π）就是一种由实数组成的等差数列。
等差数列可以在几乎所有的数学问题中起到重要作用，它不仅可以帮助解决简单的数
学问题，还可以用于作图，建模，求解积分等等。
等差数列中的 n 项都有规律可循，比较简单的等差数列的变化公式通常会有 a +
n*d，这意味着如果知道首项 a 以及公差 d，我们就可以通过公式快速计算任意项的数值，从而避免一项项累加每一项，简化了计算难度。
因此，“等差数列”是数学中常用的非常重要的概念，定义了一种有特定规律的序列，可以用于解决几乎所有的数学问题。
通过熟练地掌握这个概念，我们可以更快地解决数学
问题和找到更清晰简洁的结果。
等差数列
a1 11, d 1
a12 0
变式1：已知{a n }为等差数列， a 4 a 5 a6 a7 56, a 4 a7 187, 求a1,d
变式2：已知{an }为等差数列， a 2 a 5 a 8 9, a 3a 5a....+n=p+...+q，则
am ... an a p ... aq
注意：等式两边项数要相等。
练习1．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋ a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于( ) A． 4 B．5 C ．6 D ．7 2．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋ a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( ) A．30 B．27 C．24 D．21 3．(2010· 全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3 ＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数 列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
去掉前m项所构成的数列依旧是等差数列 am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+1，公差为d，项数为n-m
性质
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} 也为等差数列，公差为kd。 2、若数列{an}与{bn}为项数相同的等差数列， 则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列 ，{pan+qbn}也为等差数列。
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可
以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项. 一个等差数列中，从第2项起，每一项 都是它的前一项与后一项的等差中项.
一个等差数列中，从第2项起，每一项
等差数列的概念与性质
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见的一种数列类型，它具有一定的规律和性质。
在本文中，将介绍等差数列的概念、公式以及一些重要的性质。
1. 概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数。
例如，一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。
2. 公式等差数列有两种常见的表示形式：一般形式和通项公式。
(1) 一般形式：等差数列的一般形式可以用递推关系式来表示，即：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
(2) 通项公式：等差数列的通项公式用来表示第n项的值，通常表示为：an = a1 + (n-1)d。
这个公式可以直接求得等差数列的任意一项的值。
3. 性质等差数列具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个。
(1) 公差性质：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，这个差值称为公差。
公差可以用来确定等差数列的特征。
(2) 通项性质：通过等差数列的通项公式，可以快速计算出数列的任意一项的值。
这个性质在数学问题的求解中非常有用。
(3) 首项与末项性质：等差数列的首项和末项可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
当已知首项、公差和项数时，可以快速计算出末项的值。
(4) 项数性质：等差数列的项数n可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d 来求解。
这个性质在确定等差数列的有效区间时非常有用。
4. 应用等差数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数学、物理、经济等领域中，等差数列常被用来描述一些随时间变化的规律。
通过对等差数列的分析，可以求解一些复杂的数学问题，帮助理解和解决实际应用中的相关问题。
综上所述，等差数列是数学中常见的一种数列类型，具有一定的规律和性质。
理解等差数列的概念、公式以及性质，对于解决实际问题和推导数学知识都有重要的意义。
通过运用等差数列的知识，我们可以更好地理解和应用数学中的相关概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列基础习题选
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ）
A. B． 1
C． D． ﹣1
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ）
A.. 以7为首项，公差为2的等差数列 B.
以7为首项，公差为5的等差数列
C． 以5为首项，公差为2的等差数列 D． 不是等差数列
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ）
A． 23 B． 24 C． 25 D．
26
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=6，a4=8，则公差d=（ ）
A． 一1 B． 2 C． 3 D． 一2
5．两个数1与5的等差中项是（ ）
A． 1 B． 3 C． 2 D．
6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，
则它的公差是（ ）
A． ﹣2 B． ﹣3 C． ﹣4 D． ﹣5
7．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．
4
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若满足an=an﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（ ）
A． 5 B． 3 C． ﹣1 D．
1
9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． 3 D．
7
10．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（ ）
A． 30 B． 35 C． 36 D．
24
11．已知数列{an}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D．
2
12．等差数列{an}中，an=2n﹣4，则S4等于（ ）
A． 12 B． 10 C． 8 D．
4
13．等差数列{an}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（ ）
A． 5 B． 25 C． 50 D．
100
14．在ABC中，“60B”是“B是A、C的等差中项”的 （ ）
A．充分且必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充实条件 D.非充分又非必要条件
15.已知整数对排列如: 1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4,，
则第60个整数对是_______________.
6．在-1与7之间顺次插入三个数 a、b、c，使这五个数成等差数列，求此数列。
17. 已知数列{an}，若an= 2n + 13 ，求Sn达到最大值时n的值，并求Sn的最大值。
18. (1) 设等差数列{an}的通项公式是3n－2，求它的前n项和公式；
(2) 设等差数列{an}的前n项和公式是Sn=5n2+3n，求它的前3项，求它的通项公式。
19．已知数列na的前n项和为nS，且满足21),2(0211anSSannn，
（1）求证：nS1是等差数列； （2）求na的表达式．