空间曲线直线及方程
空间曲线及其方程
F ( x, y, z ) 0 投影曲线 的求法： 设 C ： G ( x , y , z ) 0 消去 z ， 得 H ( x, y ) 0 — —关于 xOy 面的投影柱面在此柱面 上。
2 2 2
t
o
x A
M
M
x a cos t , y a sin t , z vt t 0. x a cos , 若取 ( t )为参 y a sin , y v 数，得参数方程 z .
{
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三、空间曲线在坐标面上的投影
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a 2 (x ) y 圆柱面, 2 4
交线如图.
2
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2 2
面 z 3( x y )所围成, 求它在 xOy 面上的投影 .
2 2 z 4 x y , 解 上半球面和锥面的交线为 C : 2 2 z 3( x y ) , 2 2 消去 z ，得投影柱面 x y 1,
x 2 y 2 1, 则交线 C 在 xOy 面上的投影为 z 0.
所求立体在 xOy 面上的投影为 x y 1.
2 2
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第三节空间曲线
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置，设 空间 P0 点（即 r(s0 ) r0
）0，时并，且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明（1）以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面，又因为
和 都垂直于切向量 ，所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面， 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为： 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ，则
除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，
s 使得参数 是曲线的自然参数，并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知（P11） lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
三维空间 直线的一般方程
三维空间直线的一般方程三维空间中直线的一般方程是如何表示的呢？首先，我们需要了解什么是三维空间和直线。
三维空间是指具有长度、宽度和高度三个维度的空间，也是我们所处的物理空间。
而直线是由无数个点组成的，它是最简单的曲线形状之一。
在三维空间中，直线的一般方程可以用向量表示。
具体来说，设直线上一点为P，直线的方向向量为n，直线上的点P的坐标为(x, y, z)，则直线的一般方程可以表示为：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c)其中，(x0, y0, z0)是直线上的一个已知点，(a, b, c)是直线的方向向量，t是一个参数。
这个一般方程的意义是，对于直线上的任意一点P，它的坐标(x, y, z)可以通过已知点(x0, y0, z0)加上方向向量的t倍得到。
也就是说，直线上的每个点都可以通过这个方程来表示。
那么，如何求解直线的一般方程呢？一种方法是通过已知点和方向向量来确定。
假设已知点为P0(x0, y0, z0)，方向向量为n(a, b, c)，我们可以将这些已知信息代入一般方程中，得到：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c)这样就得到了直线的一般方程。
另一种方法是通过两个不同的已知点来确定直线的一般方程。
假设已知点为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，我们可以将这两个点代入一般方程中，得到一个方程组：(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t * (a, b, c)(x, y, z) = (x2, y2, z2) + s * (a, b, c)通过解这个方程组，我们可以求解出直线的一般方程。
需要注意的是，直线的一般方程并不是唯一的，它可以有无数个不同的表示方式。
这是因为我们可以选择不同的已知点和方向向量来确定直线的一般方程，而这些不同的表示方式在几何上都表示同一条直线。
在实际应用中，直线的一般方程可以用于描述很多问题，比如计算直线与平面的交点、求直线的长度、判断两条直线是否相交等等。
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。
参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。
本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。
一、什么是参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。
在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。
因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。
通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。
二、参数方程的应用参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。
下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。
1. 直线的参数方程考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。
可以使用参数方程来表示直线上的点。
假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。
则直线L 的参数方程可以表示为：x = x₁ + t(x₂ - x₁)y = y₁ + t(y₂ - y₁)z = z₁ + t(z₂ - z₁)其中，t 是参数，可以取任意实数。
当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。
2. 圆柱面的参数方程圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。
假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθz = c + t*h其中，θ 是参数，表示圆柱面上的点绕着圆心的角度，t 是参数，表示圆柱面上的点在高度方向上的位置。
3. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种特殊的曲线，其可以通过参数方程来描述。
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
空间曲线的性质与方程
空间曲线的性质与方程在数学中，空间曲线是描述在三维空间中具有一定规律的曲线。
对于空间曲线的研究，我们既关注其性质，也关注能够准确描述曲线的方程。
本文将介绍空间曲线的性质以及常见的方程形式。
一、空间曲线的性质1. 弧长和曲率空间曲线的弧长指的是在曲线上一小段弧的长度。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，表示曲线在某一点的弯曲程度。
弧长和曲率是空间曲线的重要性质，能够帮助我们了解曲线的形状特征。
2. 切线和法平面对于曲线上的每一点，都可以找到一个切线，切线的斜率是曲线在该点的导数。
切线能够切割曲线，并且与曲线相切于该点。
同时，通过曲线上的三个不共线点可以确定一个平面，称为法平面，它与曲线在该点相切。
3. 曲率半径曲率半径是曲线在某一点的曲率的倒数，用R表示。
曲率半径越大，曲线越接近直线；曲率半径越小，曲线越弯曲。
4. 对称性空间曲线可以具有各种对称性，如轴对称、中心对称等。
对称性能够帮助我们理解曲线的特殊性质。
5. 参数方程空间曲线可以使用参数方程进行描述，参数方程由参数t表示曲线上的点，通过给定参数的取值范围，我们可以获得曲线上的所有点。
二、空间曲线的方程形式1. 直线方程直线是最简单的空间曲线，可以用点和向量表示。
一般形式的直线方程为ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c是直线的方向向量的分量，d是常数。
通过确定直线上的两个点或一个点和一个方向向量，我们可以得到具体的直线方程。
2. 平面方程平面是由三个非共线点或一个点和一个法向量唯一确定的。
一般形式的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是常数。
通过给定平面上的三个点或一个点和一个法向量，我们可以得到具体的平面方程。
3. 曲线方程曲线方程是描述空间曲线的方程，常见的曲线方程包括圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。
这些曲线方程可以通过点和方程的特定形式来给出，例如圆的方程可以用圆心坐标和半径表示。
大学数学第四节 空间的曲面与曲线
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆： z
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2019年11月25日星期一
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
2019年11月25日星期一
14
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怎样了解三元方程 F(x, y, z) 0所表示的曲面的形状呢?
17
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2.单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
2019年11月25日星期一
28
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空间曲线及其方程
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
* 曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如
x x s, t , y y s, t , z z s, t .
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例3 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4 解 z a2 x2 y2
球心在坐标原点，半径为 a 的上半球面,
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高等数学
投影曲线的研究过程如图所示.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0
T ( x , z ) 0 y 0
解 方程组中第一个方程表示母线
平行于z轴的圆柱面, 其准线是 xOy 面上的圆, 圆心在原点O,半径为1. 方程组中第二个方程表示一个 母线平行于y轴的柱面, 由于它 的准线是zOx面上的直线, 因此
空间曲线绕任意直线旋转的方程
空间曲线绕任意直线旋转的方程“空间曲线绕任意直线旋转的方程”是一个非常经典的数学问题，该问题的解法可以为我们提供非常重要的现实意义。
在实际工程应用中，我们常常需要将一个空间曲线沿着一个任意直线进行旋转，例如建筑设计中的塔楼、桥梁等结构物。
在本文中，我将为大家详细介绍这个问题的解决方案。
首先，让我们来定义一下“空间曲线绕任意直线旋转”的具体含义。
所谓空间曲线，就是三维空间中的一个曲线，它由一系列点的坐标组成。
而任意直线，则是一个随意选择的与该曲线不重合的直线。
接下来，我们需要找到一个方法，将该空间曲线沿着任意直线旋转。
这个方法就是：将任意直线旋转到一个与坐标轴平行的位置，再进行旋转。
这样可以使我们的计算工作变得简单方便。
具体步骤如下：1.找到一个平面，垂直于任意直线，并通过该直线。
2.将该平面旋转到一个与坐标轴平行的位置，这里我们可以通过矩阵运算来实现。
3.将曲线上的任一点 P 投影到该平面上，连接该点与任意直线的交点 O，绘制向量 OP 以及垂直该平面的方向向量。
4.将 OP 与垂直该平面的方向向量分别旋转相同的角度，旋转后新的向量与任意直线的交点即为曲线上新的点。
我们可以通过矩阵运算来实现各个向量的旋转。
5.不断重复以上步骤，就可以得到整个空间曲线绕任意直线旋转的过程。
最后，让我们来推导一下空间曲线绕任意直线旋转的具体方程。
假设我们的空间曲线可以表示为参数方程：x = f(t)y = g(t)z = h(t)我们假设旋转直线的方程为：x = a + λmy = b + μnz = c + νp其中，（a，b，c）为直线上一点的坐标，（m，n，p）为直线的方向向量，λ，μ，ν为实数。
我们将空间曲线沿该旋转直线旋转一个角度θ 后，得到旋转后的新点坐标为：x’ = [cos(θ)+(1-cos(θ))m^2]f(t) + [(1-cos(θ))mn-cos(θ)pq]g(t) + [(1-cos(θ))mp+cos(θ)n]h(t)y’ = [(1-cos(θ))mn+cos(θ)pq]f(t) + [cos(θ)+(1-cos(θ))n^2]g(t) + [(1-cos(θ))np-cos(θ)mq]h(t)z’ = [(1-cos(θ))mp-cos(θ)n]f(t) + [(1-cos(θ))np+cos(θ)mq]g(t) + [cos(θ)+(1-cos(θ))p^2]h(t)其中，cos(θ)为旋转角度的余弦值，m^2，n^2，p^2，mn，mp，np为旋转直线的方向向量中各个分量的乘积。
solidworks 空间曲线 方程式
solidworks 空间曲线方程式【1.SolidWorks 空间曲线概述】SolidWorks是一款强大的三维建模软件，其中的空间曲线功能让用户能够轻松地创建复杂的三维曲线。
空间曲线不仅能够在平面上绘制，还可以在空间中自由绘制，为建模和设计提供了无限的可能。
【2.创建空间曲线的方程式】在SolidWorks中，空间曲线主要由参数方程或极坐标方程控制。
这些方程可以描述空间中的点、线和面。
例如，一个空间曲线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * dxy = y0 + t * dyz = z0 + t * dz其中，t是参数，x0、y0、z0是曲线上的初始点，dx、dy、dz是曲线在x、y、z方向上的切线。
【3.空间曲线在SolidWorks中的应用】空间曲线在SolidWorks中的应用非常广泛，包括创建模型、装配体、工程图等。
通过空间曲线，用户可以轻松地创建复杂的几何形状，为产品设计和工程分析提供支持。
此外，空间曲线还可以用于模拟和分析物体的运动轨迹，为机械设计和动态仿真提供数据支持。
【4.实例：创建一个空间曲线】以下是一个创建空间曲线的实例：1.打开SolidWorks，新建一个零件文件。
2.在工具栏中选择“曲线”工具，然后选择“空间曲线”。
3.在空间曲线对话框中，选择“通过点”创建方式。
4.在对话框中输入曲线的起始点和终止点，并确定曲线类型（如圆弧、样条曲线等）。
5.点击“确定”，完成空间曲线的创建。
【5.总结与建议】掌握SolidWorks空间曲线的创建方法与应用，有助于提高三维建模效率和质量。
在学习过程中，不仅要熟练运用空间曲线功能，还要了解曲线方程的基本原理。
通过实践，不断积累经验，才能更好地发挥空间曲线在实际工程中的应用价值。
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5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2： 由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲 面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不 唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)
令
t
y y0 x x0 m n y y z z0 0 n p
——可将对称式 转化为参数式
注： x x 0 m0 0
n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
2 x y 4 解得 解法1 ：令z 0 (1, 2, 0) L x y 1 L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1) i j k 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1) 1 1 1 取s (0,1,1)
4. 两直线的夹角
L1 L2 s1 s2 0 m1m2 n1n2 p1 p2 0 i j k m1 n1 p1 L1 // L2 s1 s2 m1 n1 p1 0 m2 n2 p2 m2 n2 p2
设s1 // L1 , s2 // L2 , 且s1 (m1 , n1 , p1 ), s2 (m2 , n2 , p2 ) 若 L1 , L2 s1 , s2 ，则： s1 s2 cos | s1 | | s2 |
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
x x (t ) ：y y (t ) z z (t )
tI
x x0 nt 例如：y y0 m t — 直线：S {n, m, p}, 过点( x0 , y0 , z0 ) z z pt 0
z
3 a 2
a
0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3 a 2
a
0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
9 2 cos L1 , L2 2 3 2 3 故： L1 , L2
4
5. 直线的平面束方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 设L : ，则称： A2 x B2 y C2 z D2 0 Π : A1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 为直线L的平面束方程。
2. 直线的参数方程
则 平面L的方程为：
x x0 m t L：y y0 nt 其中s 是L的方向向量 z z pt 0
3. 直线的对称方程
——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 y y0 z z0 m n p
z
3 a 2
问题： 这是个怎样的立体？
这是个七面体
a x=0
y=0
0
z=0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
本节结束
其它的自学！
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2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
消去x得：y z 2 0
x 1 0 x 1 y 2 z 原式 L: —对称式 0 1 1 y 2 z
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
二、参数方程
2 x 2 y 2 1 x2 y 2 z 2 1 例： 解：消去z得 试把空间曲线 ： 参数化。 xz xz
1 1 设 ：x cost , y sin t z x cost 2 2 1 x 2 cost 则： y sin t 1 cost z 2
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
0
.
6
y
2 4
x
6
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
x y z 0 故投影直线方程为： y z 1 0
Π x 1 或： y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
y
2
x
6
27. 作图练习43;2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
例8
1 x y z 3 x y2 求L1 : 与L2 : z的夹角 1 4 1 2 2
解： s1 (1,4,1) | s1 | 1 16 1 18 3 2 而s2 (2,2,1) | s2 | 4 4 1 3 s1 s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
y
2
x
6
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
0
.
6
y
2 4
x
6
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3 a 2
a
0
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图