小波分析和Bootstrap(会议稿1)
小波分析程序范文
小波分析程序范文小波分析是一种将时间序列数据分解为不同频率成分的方法，它适用于各种信号处理、统计分析和模式识别问题。
以下是一个简单的小波分析程序的示例。
```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pywt#生成示例信号n=1000x = np.linspace(0, 8 * np.pi, n)y = np.sin(4 * x) + np.sin(7 * x)#进行小波分析wavelet = 'db4'level = pywt.dwt_max_level(n, wavelet)coeffs = pywt.wavedec(y, wavelet, level=level)#绘制小波系数图plt.figure(figsize=(10, 6))for i in range(level + 1):plt.subplot(level + 1, 1, i + 1)plt.plot(coeffs[i])plt.ylabel(f'Level {i}')plt.xlabel('Sample')plt.tight_layoutplt.show```上述程序使用`numpy`生成了一个示例信号`y`，其中包含两个频率成分为4和7的正弦波。
然后使用`pywt`库进行小波分析，其中`wavelet`参数指定了小波基函数的类型，`level`参数使用`pywt.dwt_max_level(`函数动态计算出小波分解的层数。
最后，使用`matplotlib`绘制了各个小波系数的图像。
运行上述程序，可以得到小波系数的图像，其中横轴表示样本点的索引，纵轴表示小波系数的数值。
不同的子图对应不同的小波分解层级，从低频到高频依次排序。
通过观察小波系数图，可以分析信号的频率成分特征。
小波分析作为一种信号分解方法，可以帮助我们更好地理解和处理时间序列数据。
小波分析及其应用
小波分析及其应用小波分析是一种将信号分解成不同频率的方法，它具有时频局域性等优点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将从小波分析的概念、算法及其应用等方面进行详细介绍。
小波分析最早由法国数学家莫尔。
尼斯特雷（Morlet）于20世纪80年代初提出。
它可以将原始信号分解成不同频率的小波基函数，通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩来适配信号的不同频率成分。
与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以提供更精确的时频信息，适用于非平稳信号的分析。
小波分析的算法主要有两种：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是将信号与连续的小波基函数进行卷积得到小波系数，然后通过小波系数的时频表示来分析信号。
离散小波变换则是通过对信号进行多级滤波和下采样得到不同频率的小波系数，然后通过小波系数的分解和重构来还原信号。
小波分析的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波分析可用于信号的去噪、特征提取和模式分析等。
例如，在语音信号处理中，小波分析可以提取出语音信号的共振峰位置和共振器参数，从而实现语音识别和语音合成。
在图像处理领域，小波分析可用于图像的边缘检测、纹理分析和压缩等。
例如，在图像压缩中，小波变换可以将图像的低频和高频信息分开编码，从而实现更高的图像压缩比。
在模式识别领域，小波分析可以用于图案识别和模式分类。
例如，在人脸识别中，小波分析可以对人脸图像的尺度和方向进行多尺度和多方向的分析，从而提取出不同特征，进而实现人脸的识别。
在生物医学工程领域，小波分析可用于心电信号的分析和疾病检测等。
例如，在心电信号的分析中，小波分析可以提取出心电信号的不同频率成分，从而实现对心脏疾病的检测和分析。
总之，小波分析是一种重要的信号分析方法，具有时频局域性和多分辨率分析的特点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理和生物医学工程等领域。
通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩，可以实现对信号不同频率成分的分解和分析，并提取出信号的时频特征，从而实现对信号的处理和分析。
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析与应用
小波分析与应用小波分析是一种数学工具，用于研究信号和数据的频率特性和时域特性。
它的发展源于20世纪70年代，随着数字信号处理和数据分析的普及，小波分析也逐渐得到广泛的应用。
本文将探讨小波分析的基本原理、算法和应用领域。
一、小波分析的基本原理小波分析是一种时频分析方法，它可以将信号分解为不同频率的成分，并且可以根据需要在时域和频域之间进行转换。
小波分析与傅里叶分析相比，不仅可以提供信号的频率信息，还可以提供信号的时域信息，因此在研究非平稳信号和脉冲信号方面具有很大的优势。
小波分析的基本原理是将信号与一组小波函数进行相关计算，通过对小波函数的不同尺度和平移进行变换，可以得到信号在不同频率下的时域表示。
小波分析中使用的小波函数可以是多种形式，常用的有Morlet小波、Daubechies小波和Haar 小波等，每种小波函数有不同的频率特性和时域特性，可根据信号的特点选择合适的小波函数。
二、小波分析的算法小波分析的算法主要包括离散小波变换(DWT)和连续小波变换(CWT)两种。
离散小波变换是指将信号离散化后进行小波分解的过程。
首先，将信号进行一系列的低通滤波和高通滤波操作，得到两个低频和高频信号序列。
然后，将低频信号继续进行低通和高通滤波，得到更低频的信号序列和更高频的信号序列。
这个过程可以一直进行下去，直到得到满足要求的分解层数。
最后，将分解得到的低频和高频序列进行逆变换，得到重构后的信号。
连续小波变换是指将信号连续地与小波函数进行相关计算，得到信号的时频表示。
连续小波变换具有尺度不变性和平移不变性的特点，可以对不同尺度和平移位置下的信号成分进行分析。
然而，连续小波变换计算复杂度高，在实际应用中往往采用离散小波变换进行计算。
三、小波分析的应用领域小波分析因其在时频分析和信号处理中的优势，得到了广泛的应用。
以下是小波分析在不同领域的应用示例：1. 信号处理：小波分析可以用于去噪、压缩和特征提取等信号处理任务。
小波分析的基本理论
Pj f(x)=c j,k j,k(x), Qj f(x)=d j,k j,k(x), Then we have S. Mallat’s algorithm as follows:
MRA的思想来自于计算机视觉理论。从机器视觉的角度而 言，单纯从灰度信息理解一幅图象中的物体是很困难的，更 重要的是图象中灰度的局部变化。为了能够较好地理解一个 物体，刻划这种局部变化的尺度应该与物体的大小适配。然 而在一般的图象中，需要理解的各种结构拥有不同的大小， 因此不可能预先定义一个最佳的分辨率来描述它们。
又定义其时 --- 频窗半径为： g:||g 1|2 | (R (tt*)2|g(t)|2d)1 t2
g ˆ:||g ˆ1 |2 |(R (*)2|g ˆ()|2d)12
则其时 --- 频窗大小为：[t*g,t*g][*gˆ,*gˆ]
图 时-频盒（Heisenberg长方形）
只要适当地选择窗口函数，就可以通过信号的加窗 Fourier变换获得在2 g 时间区域内的信息；另一方面， 一旦窗口函数取定，其窗口大小也随之确定，其时 --频窗的大小和形状都就一定了，时间、频率分辨率也 随之确定。
变换为： 其Fourier逆变换为：
fˆ() f(x)eixdx
R
f(x) 1 fˆ()eixd
2 R
(3) （4）
式中 称为频率。实际应用中的信号都是时间的函数，因此，
小波分析结课论文
小波分析结课论文基于正交滤波器组的Daubechies 小波设计及Quartus ll 仿真1.非平稳信号的局部变换信号s(t)和其频谱S(w)构成Fourier 变换对,由于Fourier 变换或反变换都属于全局变换，不能告知某种频率分量发生在那些时间内，因此用来不能描述信号的局部统计特性。
对于非平稳信号s(t)，应该采用局部变换来描述其随时间变化的统计特性。
并且信号的局部性能需要使用时域和频域是我二维联合表示，才能精确描述。
1.1用内积构造信号变换任何一种信号变换都可以写成该信号与某个选定的核函数之间的内积，因此可以用下面两种基本形式来构造。
信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的局部，核函数无穷长> 或信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的全部，核函数局域化>1.2小波变换1.2.1选用小波变换的原因三个信号局部变换的典型例子是短时Fourier 变换、Gabor 变换、小波变换，它们都是时频信号分析的线性变换。
而短时Fourier 变换和Gabor 变换都属于“加窗Fourier 变换”，都以固定的滑动窗对信号进行分析，可以表征信号的局部频率特性。
显然，这种时域固定等宽的滑动窗处理并不是对所有的信号都合适。
因为有较多的自然界信号在低频端应具有很高的频率分辨率，在高频端的频率分辨率可以比较低。
而从不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应该具有高的时间分辨率，低频分量应该具有低的时间分辨率。
对这类非平稳信号的线性时频分析，应该在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，小波变换就是这样一种多分辨（率）分析方法，其目的是既见森林——信号概貌，又见树木——信号细节，所以，小波分析被称为数学显微镜。
1.2.2连续小波变换的定义及参数含义平方可积分函数s(t)的连续小波变换定义为(,)()*()(),()s ab t b W T a b s t dt s t t aψψ∞-==〈〉⎰, a > 0其中小波变换的基函数()()ab t b t aψ-=是窗函数()t ψ的时间平移b 和尺度压缩a 的结果，乘以因子1/是因为要使变换结果归一化，a 是尺度参数，b 是平移参数。
小波分析小结（小编整理）
小波分析小结（小编整理）第一篇：小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。
小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。
设信号f(t)，其Fourier变换为：F(ω)=⎰f(t)e-iωtdt-∞∞F(ω)确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。
但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。
例：f(t)=1,(-2<=t<=2)，其Fourier变换对应图如下：短时Fourier变换阶段：短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。
其表达式为：Gf(ω,τ)=〈f(t),g(t-τ)ejωt〉=⎰f(t)g(t-τ)e-jωtdtR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，e-jωt起频限作用，Gf(ω,τ)大致反映了f(t)在τ时、频率为ω的信号成分含量。
由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。
小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。
小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。
对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义：∝(ω)，若满足设ψ(t)∈L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为ψ容许条件：|ψ(ω)|2⎰-∞|ω|dω<+∞∞∝∝(0)=∞ψ(t)dt=0，说明ψ(t)具有波动则称ψ(t)为母小波，由容许条件可得：ψ⎰-∞性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t-12以Marr小波ψ(t)=(1-t)e2为例，如下图：2π2将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:ψb,a(t)=1t-bψ(),a>0aa其中a为伸缩因子，b为平移因子。
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通讯作者：杨寿渊 基金项目：国家大学生创新性试验计划项目（编号：091042120），国家自然科学基金项目（编号：10701040，60872161，60862002），江西省教育厅重点科技项目（编号：GJJ09022） 作者简介：杨寿渊(1974.9-)，男，博士学位，副研究员，硕士生导师，数量经济学会会员；戈婷(1991.10-)，女，周璇(1989.8-)，女，唐伟伟(1989.8-)，男，邹诗锋(1990.1-)，男，研究方向：风险管理和金融工程，数量经济学会会员。
第10组实验经济学及其他分支学科 小波分析和Bootstrap抽样相结合的VaR估计
戈婷，周璇，唐伟伟，邹诗锋，杨寿渊 （江西财经大学，信息管理学院，江西省，南昌市，330013） E_mail:gt911028@163.com; zhouxuan.820@163.com; tdw1989@163.com; 904322728@qq.com; yshouy@sina.com
摘要：本文提出了一种将小波分析与Bootstrap抽样相结合的VaR估计方法—WB方法，充分利用了小波分解的多尺度特性和Bootstrap的小样本优势，对收益率序列不同尺度的细节成分的波动率作出精确的估计，然后加权整合得到整个收益率序列的波动率的综合估计，并据此估计VaR。我们将WB方法与几种常见的VaR估计方法作了比较，实验结果表明WB方法明显优于其它几种方法。 关键词：VaR；小波变换；Bootstrap；历史模拟法 中图分类号：F 830.9 文献标识码： A
引言 风险值（VaR）是目前国际通用的一种风险度量标准，根据Jorion(1996)的定义[1]，VaR指的是在一定概率水平(置信度)下，某一金融资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失。用公式表示如下: Prob()1wVaRc (1)
其中w为资产组合在持有期h内的损失，VaR值为置信水平c下的风险值， 其含义是资产组合在持有期h内损失大于VaR的概率等于c1。 传统的VaR估计方法如历史模拟法假定股票收益率不具有序列依赖性，然而许多研究表明股票收益率并不是独立同分布的，而是具有序列依赖性，因此历史模拟法并不能够很好地估计VaR。后来研究者又提出ARCH[2]、GARCH[3-4]等模型来估计股票的风险值，得到了较好的估计结果，但是这些模型都假定股票收益率服从正态分布，而实证研究表明股票收益率分布往往具有不对称及尖峰厚尾的特性，因此这些估计方法也具有一定的局限性。本文提出一种与股票收益率特性较为吻合的基于小波变换与Bootstrap抽样的风险值估计方法。利用小波变换可以较好地模拟收益率序列在不同时间尺度上的分布特性，而Bootstrap抽样则可以解决小样本情况下的参数估计问题，因此两种方法相结合可以得到更精确的估计结果。我们利用 2
Daubechies小波（db4）对上证综指数分别作3层和4级小波分解[5]，然后利用Bootstrap抽样方法对各层小波系数的方差进行了估计，然后对各层小波系数的标准差作加权和以得到综合标准差，然后利用这一综合标准差来估计VaR。实验结果表明我们提出来的估计方法能够得到更精确的估计结果。
1 方法介绍 1.1 小波变换 小波变换是一种时频分析工具，在信号处理、时间序列分析、非参数统计等领域有着广泛的应用[5,6]。的特点是具有很好的时频局部性，能够将信号分解成具有不同时间尺度的成分，从而便于分析各个时间尺度成分的特性。设是一个具有某些良好性质（如紧支性、消失矩、光滑性等）的函数，我们通常称之为
母小波（Mother wavelet），小波基,:,mnmnZ是由母小波经由平移和伸缩变换而得到的函数系，即 /2,()22, ,,mm
mnttnmnZ (2)
其中指标m代表不同的时间尺度，指标n反映小波函数的中心位置。所谓小波分解就是将一个信号()ft分解为具有不同时间尺度和中心位置的小波函数的线性叠加，即 ,,,()(),mnmnmnftctZ
(3)
其中,:,mncmnZ称为小波系数。如果,:,mnmnZ是正交小波基，则小波系数可以按如下公式计算：
,,()(), ,,mnmncfttdtmnZ (4)
这就是离散小波变换。但在实际计算时，由于小波函数一般不具有显式表达式，因此我们并不是直接利用上述公式，而是利用尺度函数和小波函数所满足的二尺度关系 ()2(2),nnthtn (5)
2(2),nntgtn
(6)
其中nh，ng为已知，分别对应于高通和低通滤波器系数。实际计算时，我们 先通过预处理将输入信号表示为
,,():(),JJkJkkftfdt
(7) 3
其中/2,22JJJktk，当J取得足够大时，（1.1.6）的误差可以足够小。小波分解的目的就是将输入信号分解为具有不同时间尺度的成分，即 11,,,,.JJJjJMjkjkJMkJMkjJMjJMkkfgfcd
(8)
其中,::jjkCckZ表示第j层的小波系数，,::jjkDdkZ表示第j层的尺度系数。由（5）和(6)可得到下列计算小波系数的公式： 2,1,,1,2, ,lkjkjljkjllklldhdcgd
(9)
利用公式（7）可以将输入信号分解为具有不同时间尺度的成分。在实际计算时，输入信号是离散的，而且长度是有限的，在作小波分解时作为输入的尺度系数JD可近似地用信号的采样值代替，设原信号由N
个采样值构成（即长度为N），经过一级小波分解后得到1JC和1JD，分别对应原信号的细节和近似成分，近似信号是原始信号变化不大且表现相对平稳的部分，而细节信号是原始信号剧烈上下变动的部分。如果需要对)(tf做两级小波分解，则只需对近似成分1JD再做一次（一级）小波分解，得到2JC和2JD，如此下去，如果将原信号作M级小波分解，那么最终得到M个不同尺度的细节成分12,,,JJJMCCC
和
一个近似成分JMD。由于每次分解得到的细节信号和近似信号的长度都近似等于原始信号长度的一半，因此对于长度为N(2MN)的一个原始信号，最大分解级数为2logNM。
1.2 小波分析方法的VaR估计 采用小波分析的方法估计VaR，主要依据是小波变换的能量守恒的特性[7]。股票收益率序列是一种特殊的信号，由于收益率的均值近似为零，收益率序列变动剧烈程度可以用信号的能量来反映，而信号经过小波变换可以得到近似系数和细节系数，因此收益率信号的能量可以由近似系数和细节系数的能量来度量。设离散信号f经M级小波分解后得到细节成分12,,,JJJMCCC和一个近似成分JMD，则：
2221||||||||||||,JMjJMjJfCD
(10)
其中表示欧氏范数，2jC表示细节成分jC的能量。由于每一层细节系数的均值为零，所以2
varjjCC。对于特定的第j层细节系数的能量占收益率序列总能量的比例即相对能量为 4
22jj
C
f
， (11)
将所有层的相对能量相加，可得到总的相对能量，即收益率序列中剧烈波动部分含有的能量总和： 221JMjjjJCf
， (12)
其中j代表各层相对能量的权重，在此设为1。 小波变换能够计算出收益率序列剧烈波动的比例(相对能量)，为了找出原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动部分，我们可以利用相对能量乘以原始收益率序列的标准差，即可得到调整后的标准差~，而这就是原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动部分，用标准差可表示为 ,~ (13)
利用调整后的标准差，代入正态分布条件下的VaR的计算公式，得 ,~0hwVaR (14)
其中0w为股票的初始值，)0(为指定置信水平c下标准正态分布的分位数，h为股票的持有期间。
1.3 Bootstrap方法估计F的p分位数p基本步骤 设分布F未知，nXXX,,,21
是来自F总体的的独立同分布)..(dii样本，)(xf为总体分布F的密
度函数，p为其p分位数，*p为样本p分位数， 那么当n时：
)()1(,02*pLppnfpp
NnZ
，其中L表示依分布收敛。由于)(xf未知，不能直接计算
n
Z
的方差。当在大样本条件下，)(xf满足渐近正态分布，)(xf可以用非参数方法中的核密度估计方法得到，当样本数据量较少时，得到的结果不会很准确。本文采用一种非参数估计方法——Bootstrap抽样估计方法来解决小样本问题[8-10]。Bootstrap方法估计F的p分位数p的基本步骤为：
1) 由总体的一次观测样本nxxx,,21构造经验分布函数nF； 2) 从nF中抽样，就是从原始样本nxxx,,21中每次随机地有放回地抽取一个个体，如此得到一个容量为)(nmm的样本**2*1,,mxxx，我们称之为一个Bootstrap子样，并有niFx~； 3) 重复步骤（2），抽取N个Bootstrap子样，记第i个子样的p的分位数为ip,ˆ，Ni,1；