提升小波的学习笔记
小波变换去噪基础知识整理
小波变换去噪基础知识整理简介小波变换是一种数学分析工具，可以将时间序列或信号转换为不同频率的小波子波。
在这个过程中，我们可以去掉一些噪音或非重要部分，从而得到更加准确的数据。
这种方法在信号处理、数据分析以及图像处理中都有广泛的应用。
下文将就小波变换去噪的基础知识进行整理。
一、小波变换基础小波变换是一种通过将原始信号与一些特定的小波函数进行卷积和缩放来分解信号的工具。
这些小波函数与高斯函数类似，也可以根据不同频率来进行垂直和水平的拉伸缩小，进而满足各种类型的信号分解和去噪需求。
1.1 小波函数的特点小波函数的一些基本特点包括：•局部性质：小波函数在时间和频率上都拥有局部性质，能够在一段时间内精确的描述信号的局部特征。
•正交性：小波基函数是正交的，因此不同频率上的基函数可以进行组合。
•存在尺度变换：基函数可以在尺度上（横坐标上）进行缩放。
1.2 小波变换的基本步骤小波变换的基本步骤如下：1.将原始信号进行低通滤波和高通滤波，得到低频部分和高频部分。
2.将低频信号继续进行滤波和下采样，得到更低频的信号。
3.将高频信号进行上采样和插值/filling，得到与低频信号时间长度相同的高频系数。
4.重复2~3步，直到所需要的分解尺度。
二、小波去噪基本原理小波去噪和小波分解密不可分，其基本原理是通过将原始信号分解为数个特定频率的小波子波，进而得到各种频率上对应的子波系数。
对于一个含有噪声的信号，其高频系数往往被噪声所主导，而低频系数往往对应着信号的基本信息。
因此，小波去噪的方法就是在保留低频信号不变的情况下，将高频信号的噪声剔除，并据此通过逆小波变换重建出一个干净的信号。
2.1 小波能量和阈值确定小波去噪中，我们需要确定一个能量阈值，保留大于该能量阈值的小波系数，而剔除小于该阈值的部分。
一个常用的方法是利用软阈值进行阈值处理，公式如下：soft\_threshold(x) = {x-threshold (if x>threshold) x+threshold (if x<-threshold)0 (otherwise)}其中x是小波系数，threshold是能量阈值。
小波分析基础学习资料
? 任何复杂的信号 f(t)，都能由一个母函数 ? (t) 经过伸缩和平移产生的基
底的线性组合表示； ? 信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性；
? 新的基函数 ? (t) 及其伸缩平移要比三角基 sint更好地匹配非平稳信号。
历史上， Haar第一个找到了这样一个基函数，这就是非常著名但又 及其简单的 Haar小波。
(1.9)
称 f?(? ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
? f (t ) ? ?? f?(? )e i? t d? ??
(1.10)
有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号 f(t)转换到频 域 f?(? )上，于是信号的频率特性一目了然，并且与傅立叶级数 一样，傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信 号的前面几项，这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去 200年里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用， 但傅立叶分析也有不足，主要表现在以下两点：
数表示成如下形式：
? f (t) ?
a0 2
?
??
(ak cos k? 0t ? bk sin k? 0t)
i?1
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，cos k? 0t和sin k? 0t 都是简单的调和
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
?2
ak ? T
(1.13)
构成L2(R)的一个规范正交基。故任何一个能量有限信号 f(t)? L2(R) 可以分解为
?? f (t) ?
c j,k? j,k (t)
j? Z k? Z
? 其中c j,k ??
f (t),? j,k (t) ??
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
小波分析知识点总结
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波分析笔记一。
小波方法率参数，b 是时空参数。
在实际应用中，常选取h 与hˆ为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。
加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。
概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。
据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。
小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”得美誉。
虽然从原则上讲，以往使用付里叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结果。
但小波分析并不能完全取代付里叶分析，在处理渐变信号时，付里叶或加窗付里叶分析较之小波分析更为有效。
二者配合才可适应任意信号的分析与处理。
二、小波方法1、尺度函数空间假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z ）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t)，要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t)映射在这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的不好想象。
总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t)。
这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用了。
小波,泛函分析学习感悟,超详细汇总
小波，泛函分析学习感悟，超详细汇总泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟一、度量空间和赋范线性空间〔一〕度量空间度量空间在泛函分析中是最根本的概念，它是n维欧氏空间R〔有限维空间〕的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X是一个集合，假设对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足以下条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y 〔非负性〕 2°d(x,y)= d(y,x) 〔对称性〕3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) 〔三点不等式〕那么称d(x,y)是x、y之间的度量或距离〔matric或distance〕，称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。
〔这个定义是证明度量空间常用的方法〕注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量〞这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上假设有两个不同的度量函数d1和d2，那么我们认为(X, d1)和(X, d2)是两个不同的度量空间。
⑶集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点〞，例如假设x?X，那么称为“X中的点〞。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X〞。
1.1举例1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y∈X，令 n?1，当x?y，那么称〔X，d〕为离散度量空间。
d?x，y?=??0，当x=y11.12 序列空间S：S表示实数列〔或复数列〕的全体，d(x,y)＝1?i??i； ?ii?121??i??i?1.13 有界函数空间B(A)：A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值〔或复值〕函数全体，对B(A)中任意两点x,y，定义d(x,y)＝supx(t)?y(t)t?A1.14 可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值〔或复值〕的L可测函数全体。
小波分析系列讲座7—提升法的实现
小波分析系列讲座7—提升法的实现
基于提升方法(lifting scheme)的小波变换.
提升法被称为第二代小波，可见其重要性。
下面先举一个Harr小波的例子。
在一序列中有相邻数据 a, b 我们计算出其低频l = (a+b)/2 高频h =b-a
如果不引入新数据，仅对a ,b 更新，可写作 b - =a , a+=b/2 这样我们发现其可在自身位置上完成小波变换，而且还大大简化了计算过程（在复杂的变换中更明显）。
仔细分析，我们知道b是差异高频，它是当前值及前一个值对当前值的预测差，然后低频a ，由当前值及差异计算出。
这样就提供了我们一个新思想。
提升法的是实现步骤。
1．分裂：将原始信号Sj分裂成Sj-1（保存低频数据部分）和Dj-1（保存高频数据部分）
2．预测：用Sj-1预测Dj-1，并计算出预测差作为高频数据，保存于Dj-1中
3．更新：根据高频数据Dj-1 更新低频部分Sj-1
这样就完成了一次提升变换，呵呵，很简单吧，其逆变换可相应推导出。
为防止误解，这里指出的预测可以使用多个数据来预测一个数据。
例下
λ Dk - = ( Sk+Sk+1 ) /2
λ Sk + = (Dk+ D k+1) /4
你也可以结合上节所讲的滤波器，构造出更多的提升小波变换。
若你发现了文章中的问题，请联系我*******************谢谢。
小波变换 学习笔记
1.与傅里叶变换比较：Fourier变换：全局性变换。
不具备局部分析能力，不能分析非平稳信号。
小波变换：时间和频域的局域变换，能有效从信号中提取信息，通过伸缩和平移等对函数或信号多尺度细化分析。
能充分突出问题某些方面的特征。
2.小波wavelet小区域，长度有限，均值为0的波形。
小指衰减性；波指波动性。
最终达到高频处时间细分（短的时间间隔），低频处频率细分（长的时间间隔）。
3.信号去噪与压缩在小波变换域上进行阈值处理：多层小波分解—阈值处理—多层小波重构4.多小波的概念其基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。
5. 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。
缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。
6.在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。
不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。
为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2 ^j( j>0的整数)的倍数。
使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式7.小波消噪方法：将信号映射到小波域，根据噪声和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同的性质和机理，对含噪信号的小波系数进行处理。
A．对实际信号进行小波分解，选择小波并确定分解层次为N，噪声通常在高频中。
B．对小波分解的高频系数进行门限阈值量化处理。
C．根据小波分解的第N层低频系数和经过量化后的1——N层高频系数进行小波重构。
恢复真实信号。
强制消噪处理：高频成分全变为零。
默认阈值消噪处理：利用ddencmp函数产生默认阈值，用wden 函数消噪处理。
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endfor
for each even sample do
even=even+Conv(U,odd)
enபைடு நூலகம்for
if completed then
break
endif
}
反变换算法
while(true) do
{
for each scale coefficient do
整数提升
在传统的小波变换算法中(即Mallat算法),采取了输入信号与高通和低通滤波器相卷积的方法来实现高频和低频信息的分离.但是小波滤波器的系数都是小数,中间结果中有一些是小数,如果对小数进行取整,会丢失很多信息,使得重构和分解是不可逆,从而无法实现精确重构.但是在提升方案中,可以进行整数变换,并且整数变换是不影响精确重构.
实际上,小波提升的核心就是更新算法和预测算法,通过预测算法可以得到高频信息,而通过更新算子可以得到正确的低频信息.提升样式可以实现原位计算和整数提升,并且变换的中间结果是交织排列的.其中原位计算和整数提升在硬件实现中很有价值.
原位计算
提升样式中一个很大的特点就是进行小波变换的时候在原位计算各个系数.原位计算,只是占用了跟输入大小相同的空间,不需要其他的辅助空间.
转载：提升小波的学习笔记
原文：/kingoal/archive
提升样式(lifting scheme),叫做提升方案.
小波变换是现在研究的比较多的时(空)频域分析理论,离散的小波变换(DWT)的快速算法时最近研究的热点.Swelden提出的一种不依赖于傅立叶变换的新的小波构造方案-----lifting scheme,其复杂度只有原来卷积方法的一半左右,因此成为计算离散小波变换的主流方法.
正因为小波提升样式由于其计算速度快,占用内存少,可以实现整数变换等等特点所以被JPEG 2000所推荐作为小波变换,是JPEG 2000里面的核心算法.其通过预测和更新两个提升环节实现信号的高低频分离,由于信号有局部相关性,某一点的信号值可以通过其相邻的信号的值通过适当的预测算子预测出来,同时预测出来的误差就是高频的信息,从而这个过程就是预测环节.预测环节下面得到的高频信息又通过更新算子来调整信号的下抽样来得到低频信息,这个过程就是更新环节,在整个的提升算法中,更新环节叫做primary lifting,而预测环节叫做dual lifting.
Cs=Cs+Conv(-U,Cw)
endfor
for each wavelet coefficient do
Cw=Cw+Conv(P,Cs)
endfor
if completed then
break
endif
}
创建于：2005-12-21 10:02:56，修改于：2006-01-20 13:32:05，已浏览514次，有评论1条
其实lifting scheme就是为了构造第二代小波,使得不像第一代小波那样构造,非常依赖Fourier变换.同时已经证明了提升方式可以实现所有的第一代小波变换.
提升方式的特点:
1.继承了第一代小波的多分辨率的特性
2.不依赖傅立叶变换
3.不占用系统内存
4.反变换很容易从正变换得到,只是改变了数据流的方向和正负号
分解结果交织
下面就一维信号进行分解为例:
X进行第一级分解,低频信息在奇数上面,高频在偶数上面,进行第二级分解,对第一级的低频信息进行分解,分解的结果则是在奇数数据中的奇数位数为低频信息,偶数位数为高频信息.
算法Algorithm
变换算法
while(true) do
{
for each odd sample do