实验五 控制系统的频域特性分析
控制系统的时域频域特性分析补充
wntr
wd t r n (n 0,1,2, )
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所 需时间，所以应取n=1。
tr
wd
2 wn 1
当wn一定时，ξ 越小，tr越小； 当ξ 一定时，wn越大，tr越小。 2.峰值时间tp
3-3
二阶系统分析
一. 二阶系统的数学模型
以前我们讲过的位臵随动系统，就是一 个典型的二阶系统。 结构图可以简化为
r (s)
-
G (s)
c (s)
k0 / J 开环传递函数G ( s ) s(s F / J ) k0 / J 闭环传递函数 ( s ) k0 F 2 s s J J 2 令wn k 0 / J ,2 wn F / J
h(t ) 1 (1 nt )e
n
2.欠阻尼情况 当0< ξ <1,二阶系统的闭环特征根为
s1, 2 wn jwn 1 jwd
2
wn 衰减系数
wd wn 1 为阻尼振荡频率
2
Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振 荡频率。
h(t ) 1 e
wn t
[coswd t
wn t
e h(t ) 1 sin( wd t ) 2 1
1
2
sin wd t ] ①
②
对①式两边求导，并令其=0，得：
h (t ) wn e
'
wn t
(coswd t
1
得到二阶系统传递函数的标准形式 2 即：
wn ( s) 2 2 s 2wn s wn
控制系统时域与频域特性分析.
态与稳态性能，根据期望的性能指标要求，选择合适的方法
设计串联校正环节，利用有源阻容网络实现校正环节，将有
源校正网络接入到系统中进行校验及调试，总结调试规律。
设计型3数字随动系统模型建立及控制算法设计8以数字随动系统为研究对象，研究组成和工作原理，利
1、搭建如图2.2所示的系统模拟电路。若输入信号u1 (t = U1m sin ωt，则在稳态时，其输出信号为u2 (t = U 2 m sin(ωt + ϕ，改变输入信号的角频率值ω，便可以测得两组随ω变化的值U 1m和U 2m ϕ，进而可以通过测量值的变化规律得到系统的对数幅频特性和相频特性。（a）惯性环节（b）二阶系统如图2.3被测频率特性的系统模拟电路系统的传递函数为：1 ,其中T = RC Ts + 1 1 G2 ( s = − 2 2 ,其中T = RC T s + 2Ts + 1 G1 ( s = − 2、实验步骤（1）连接被测系统的模拟电路，分测量惯性环节和二阶系统的对数频率特性曲线。（2）如图2.4所示，在ω0 ~ ω23的输入框内，键入输入信号u1 (t = U1m sin ωt的角频率ω，实验软件将会根据ω0 ~ ω23的值给被测系统加入相应的正弦信号，点击图2.4的“下一步”，实验软件会显示如图2.5所示的输入输出时域响应曲线，图中绿色线代表输入信号，红色线代表输出信号，随着输入信号的角频率的变化，红色线的响应幅值和相位都在变化，根据ω0 ~ ω23 24组不同角频率输入输出响应，可以得到24组输入与输出信号的幅值比幅频特性和相频特性（Bode图）。U 1m和相位差，最后得到被测系统的对数U 2m如图2.4系统频率特性测量参数选择
1.2基本操作说明
第5章 控制系统的频域分析法 1(48)
频率特性如图5-3所示。 由图可看出，积分环节的相 频特性等于-900 ，与角频率 ω无关.
图5-3 积分环节的频率响应
14
表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用； 其幅频特性等于1/ω，是ω的函数，当ω由零变到无穷大 时，输出幅值则由无穷大衰减至零。 在[G(jω)]平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。
17
1
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时， 即G(jω)=k/(jTω+1)时，其频率特性是圆心 为:[k/2,0]，半径为k/2的实轴下方半个圆周。
(四）振荡环节
振荡环节的传递函数是:
(5-34)
其频率特性是:
(5-35)
图5-4 惯性环节的频率响应
幅频特性和相频特性分别为:
18
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关， 不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。 当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr>1) 和谐振频率ωr由幅频特性的极值方程解出。
时，输出幅值衰减很快。
当阻尼比 时，此时振 荡环节可等效成两个不同时间 常数的惯性环节的串联，即:
T1,T2为一大一小两个不 同的时间常数，小时间常数对 应的负实极点离虚轴较远，对 瞬态响应的影响较小。
图5-6 振荡环节的频率响应
21
振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是180 。 推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时， 即 ，其对应频率特性 的起点为
G( j ) G( j ) e jG ( j ) (5 - 15)
；
称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用 下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。
9
G ( j ) G ( j ) e jG ( j )
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
控制系统的频域分析
Y (ω ) ② 据频率特性函数 G ( jω ) = X (ω )
例5-1 求一惯性环节的频率特性。 设这个惯性环节为
Y ( s) k = G(s) = X ( s ) Ts + 1
解： 令s = jω , 代入G ( s )有
k k − jtg −1ωT = e G ( jω ) = j ωT + 1 (ωT ) 2 + 1 若换一种方式，设输入x(t ) = A sin ωt，则用拉氏反变
1 + (0.1ω ) 2
e − jarctg ( 0.1ω )
M (ω ) =
10 1 + ω 2 1 + (0.1ω ) 2
φ (ω ) = −tg −1ω − tg −1 (0.1ω ) ω = 0,0.5,1,2,L,10
M = 10,8.9, L ,0.71
o o
φ = 0 ,29.4 ,L,129.3
i =1
( jω ) 2 ∏ (τ k jω + 1)
k =1
n
= M (ω )e
j φ (ω )
M (ω ) =
K ∏ (τ iω ) 2 + 1
m
ω 2 ∏ (Tkω ) 2 + 1
k =1 ∞ ∞
i =1 n
φ (ω ) = −180o + ∑ tg −1 (τ iω ) − ∑ tg −1 (Tkω )
第五章 控制系统的频域分析
学习要求
基本内容： 频率特性：频域响应、频率特性的概念，频率 特性的两种主要描述方式—幅相频率特性图（ Nyquist 图）和对数频率特性图（ Bode 图）。 典型环节的频率特性（包括典型环节的 Nyquist 图和 Bode 图）。 系统开环频率特性： Nyquist 图和 Bode 图的绘 制，最小相位系统的概念，利用实测开环幅频特 性确定最小相位系统的开环传递函数。
第五章自动控制系统的频域分析法
s
频率特性： G ( j ) j 对数幅频特性为：20lg |
j | 20lg dB
0
对数相频特性为： ( ) 90
其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：
一阶微分环节（Ts 1, T 0 ）
频率特性：G( j) jT 1
2
对数幅频特性： L() 20lg | G( j) | 10lg(1 (T) )
( )
( n m)
20lg K
0
2
2
( n m)
2
3 2
( n m)
2
( n m)
2
2
2
( n m)
带二阶零阻尼系统开环传递函数幅相曲线的绘制 不失一般性，现设二阶系统的开环传递函数如下：
G( j) G(s) |s j R() jX ()
其中：R( ) Re[G( j )], X ( ) Im[G( j )] 系统频率特性也可通过幅值 | G( j ) | 和相角 ( ) 表示成 如下形式：
G( j) | G( j) | e j ( j ) | G() | [()]
j 1 l
k
m
2 (1 jTi ) (1 2 ) k i 1 k 1
幅频特性为：
2 | G( j ) H ( j ) | K [1 ( j ) 2 ]1 / 2 [1 (Ti ) 2 ] (1 2 ) k j 1 i 1 k 1 m n2l 1 2 l
2 n 对数相频特性： ( ) arctan 2 1 2 n
第五章 控制系统的频域分析方法(1)
第五章 控制系统的频域分析方法
第五章 控制系统的频域分析方法
5-1 频率特性的概念 5-2 典型环节的频率特性 5-3 幅相频率特性曲线的绘制 5-4 对数频率特性曲线的绘制 5-5 奈奎斯特稳定性判据 5-6 开环频率特性的稳定裕度指标 5-7 系统频域指标与时域指标的关系 5-8系统开环频率特性与系统性能的关系
0
1 T
幅频特性曲线
( )
1 T
1 1 (U )2 V 2 ( )2 2 2
j
A() 0
[G (j )]
1 2
() 90
0
G ( j 0) 1
0
45 90
G( j 1 T ) (0.5 j 0.5)
相频特性曲线
幅相频率特性曲线（极坐标图）
5 0
L(dB)
5
10 15 20 0.1
1
高频段（ 20dB / 十倍频程）
低频段
低通滤波特性
准确值-估计值
0
10
0
20
T
1
L(dB) 2
3
( )
40
60 80
0.1
T
1
10
0.1
T
1
10
13
自动控制原理
第五章 控制系统的频域分析方法
4、纯微分环节：
§5-1 频率特性的概念
对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳 态响应也是正弦的，频率与输入相同，只是幅值和相 位与输入不同。
ur A sin t
R
C
0.8 0.6 0.4
uc
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
实验五 控制系统的频率特性研究（Matlab）_自动控制原理_[共2页]
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㊀第8章 自动控制原理实验１７５在M a t l a b中输入以下程序n u m＝[a１a２ a n];％传递函数分子系数向量d e n＝[b１b２ b m];％传递函数分母系数向量g＝t f(n u m,d e n)３ 绘制根轨迹.调用r l o c u s命令绘制根轨迹,基本命令格式:r l o c u s(g).４ 系统分析在根轨迹上点击曲线上任意点,可获得该点对应的性能参数:G a i n根轨迹增益;P o l e极点;D a m p i n g阻尼比;O v e r s h o o t:单位负反馈闭环系统单位阶跃响应下的超调量;F r e q u e n c y:系统的震荡频率.分析判断系统的稳定性.５ 查找特征根命令格式:r l o c f i n d(g).运行此命令后,用户可用鼠标在根轨迹上选定极点,系统会返回选定点的极值及该极值对应的k值下的所有极点值.６ 绘制阶跃响应曲线在稳定状态下,绘制某一k值所对应的闭环系统的单位阶跃响应曲线(在显示其参数状态下按P r i n t S c r e e n键截屏保存).具体操作:(１)在根轨迹上找到k值,如取k＝８;(２)输入此时系统传递函数,即g１＝kˑg＝８ˑg;(３)求g１对应的单位负反馈闭环系统传递函数:g２＝f e e d b a c k(g１,１);(４)观察闭环系统的单位阶跃响应:s t e p(g２).７ 完成保存所有图形㊁曲线,分析处理.四、实验报告要求１ 保存所有源程序.２ 保存所有图形根轨迹图,图上要标示出选定的k值及临界稳定k值.３ 阶跃响应曲线,图上要显示特殊点的参数.４ 实验结论及分析.实验五 控制系统的频率特性研究（Matlab）一、实验目的１ 通过实验,进一步理解控制系统频域分析的概念.２ 学会用M a t l a b软件绘制系统的N y q u i s t图和B o d e图,根据图形曲线分析系统的稳定性.二、实验内容（2学时）１ 用M a t l a b软件绘制给定模型的N y q u i s t图和B o d e图.。
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实验五 控制系统的频域特性分析（2学时）
一．实验目的：
用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、根轨迹图
二．实验原理及预习内容：
1．Bode 图：利用已知系统的传递函数()H s ，求出系统的频率响应()H jw ；系统的Bode 图就是()H jw 的幅值与相位对ω进行绘图，即幅频和相频特性曲线。
2．Nyquist 曲线：是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 曲线，可判断闭环系统的稳定性。
3．根轨迹图：是分析和设计线性定常控制系统的图解方法。
根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s 平面上的轨迹。
利用根轨迹法可分析控制系统的稳定性和动态性能。
三．实验内容：
1．某反馈控制系统的开环传递函数为
()()()()
2
4420K
G s H s s s s s =
+++ 试绘制其根轨迹，并分析其闭环系统稳定性。
（习题5-2） 实验程序： num=[1]
den=conv([1 4 0],[1 4 20]) %G=tf(num,den) %[Z,P,K]=tf2zp(num,den) figure(1) rlocus(num,den) grid on
[k,p]=rlocfind(num,den) %分析闭环系统稳定性 figure(2)
k=259
num1=k*[1];
den=conv([1 4 0],[1 4 20])
[num,den]=cloop(num1,den,-1);
impulse(num,den) %闭环系统脉冲响应
figure(3)
k=260
num1=k*[1];
den=conv([1 4 0],[1 4 20])
[num,den]=cloop(num1,den,-1);
impulse(num,den) %闭环系统脉冲响应
实验结果：通过[k,p]=rlocfind(num,den)语句形成十字光标寻找根轨迹图上的临界点，在matlab上得到其标记点相应的k、p值
k=259，系统临界稳定，阻尼非常小超调量近似100%，闭环系统脉冲响应收敛
k=260，闭环系统脉冲响应发散，系统不稳定
2．已知某系统传递函数为
2180(1)100()11(1)[()20.31]40200200
s W s s s s +=
++⨯⨯+ 试绘制其伯德图。
（习题5-3） 实验程序： num=[80,8000];
den=[1/16000,0.01,2.8,100]; sys=tf(num,den); bode(sys) 实验结果：
3．有二阶系统22251
()23
s s H s s s ++=++，绘制系统的Nyquist 曲线，并分析其单位
负反馈构成的闭环系统的稳定性。
实验程序：
H=tf([2 5 1],[1 2 3]); nyquist(H)
实验结果：
四．实验要求：
1．编制MATLAB程序，画出实验要求的Bode图、Nyquist图和根轨迹图；
2．通过图形分析控制系统的稳定性和动态特性。