<π， 故当A ＋π4＝π2
， 即A ＝π4
时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展
14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
考点 判断三角形形状 题点 利用余弦定理判断三角形形状
答案 B
解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，
∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |
a 2＋b
2>1，
即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.
故△ABC 为钝角三角形.
15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点 用余弦定理解三角形
题点 已知三边解三角形
答案 7
解析 由条件知
cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23
， 设中线长为x ，由余弦定理，知
x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2
×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23
＝49， 所以x ＝7.
所以AC 边上的中线长为7.
高中数学必修(5)人教A版教案全套
数学5 第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理
必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？
解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22=
高中数学必修5第一章余弦定理
1.1.2余弦定理 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-
必修五第一章正弦定理和余弦定理
衡南九中 高中数学必修五第一章导学案 编制人：袁静 审核人： 使用日期： 班级： 姓名： 教师评价： §1.1 正弦定理和余弦定理（3） 】 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 1、正弦定理： 2、余弦定理： 3、在解三角形时：已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理． 4、（已知三角形两边和其中一边的对角） 在△ABC 中，已知 A ＝6 π ，a b ＝ 1、在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6 π ，a ＝1，b ＝ ② A ＝6 π ，a ，b ＝ ③ A ＝6 π ，a ＝2，b ＝ 解的个数情况会发生变化原因 2、用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）． 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解． 例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC 中，若1a =，1 2 c = ，40C ∠=?，则符合题意的b 的值有_____个 ． 例2．在?ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 提示：三角形面积定理111 sin sin sin 222 S ab C ac B bc A === 变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S =，求角C 1. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）． 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2 sin 3 A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 53 2.在?ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况. 3.在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围． 4.在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积222 4 a b c S +-=，求角C
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用
1.1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理及其直接应用 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 . 知识点一 余弦定理 思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°， a 2＋ b 2－2ab cos C ＝ c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2， 即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA → CB →，CA →＝CB →·CA → . ∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA → ＝(CB →－CA →)2＝AB → 2＝c 2. 猜想得证. 梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述
特别提醒：余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形. 思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形. 梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形. 1.勾股定理是余弦定理的特例.(√) 2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√) 3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×) 类型一 余弦定理的证明 例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解 解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB → ＝c ，
必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新
正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式 S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r. 3．余弦定理： 222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为： cos A ＝2 2 2 b c a 2bc +-，cos B ＝ 222a c b 2ac +-，cos C ＝ 222 a b c 2ab +-. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． 基础自测 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3 ，则a ＝ 1 . 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 3．在△ AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10 ，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.2 2 2sin sin sin a b c R A B C ===
新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)
正弦定理、余弦定理〔一〕 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］△ABC，BD为B的平分线，求证：AB∶BC＝AD∶DC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB sin∠ADB ＝ AD sin∠ABD ， BC sin∠BDC ＝ DC sin∠DBC ，再根据相等角正弦值相等，互补角正 弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD内，利用正弦定理得： AB sin∠ADB ＝ AD sin∠ABD ，即 AB AD ＝ sin∠ADB sin∠ABD 在△BCD内，利用正弦定理得： BC sin∠BDC ＝ DC sin∠DBC ，即 BC DC ＝ sin∠BDC sin∠DBC . ∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC， ∴sin ABD＝sin DBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sin ADB＝sin〔180°－∠BDC〕＝sin BDC
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案一新
数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5） 余弦定理 一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节 二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问
题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。 三、教学目标： 1、知识与技能： 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2．过程与方法： 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3．情感、态度与价值观： 探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。 四、教学重点： 通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。 五、教学难点：余弦定理的灵活应用 六、教学流程： (一)创设情境，课题导入： 1、复习：已知A=0 45,b=16解三角形。（可以让学生板练） 30,C=0 2、若将条件C=0 45改成c=8如何解三角形？ 设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化
人教A版高中数学必修五第一章解三角形
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形
答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C 解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3 ＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( ) A ．120° B ．105° C ．90° D ．75° 答案 A 解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题 7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75° 解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22 . ∵BC ＝2高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案
高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案 【导语】高考竞争非常猛烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡当中的张力却只有真正的勇士才可以破译。为了助你一臂之力，作者高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案》助你金榜题名！ 教案【一】 教学准备 教学目标 进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定知道答有关问题，如判定三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：运用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学进程 一、复习准备： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.教学三角形的解的讨论： ①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. 分两组练习→讨论：解的个数情形为何会产生变化? ②用以下图示分析解的情形.(A为锐角时)
②练习：在△ABC中，已知下列条件，判定三角形的解的情形. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： ①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判定三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判定 ③出示例4：已知△ABC中，，试判定△ABC的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角?→再摸索：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的情形的讨论;判定三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 教案【二】 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌控的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和运用
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理 一、知识回顾 1.三角形内角和： 2.正弦定理： ；变形① ； 变形② ；变形③ . 3.余弦定理： ； 变形 . 4.三角形面积公式： 二、基础练习 1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为 2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3 π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC= 4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=3 2π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km. 6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c. (1)若c=2,C=3 π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值.
(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状. 7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32= -. (1)求角A 的大小; (2)若角B= 6 π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积. 三、巩固练习 1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a= 2.在△ABC 中,B= 6 π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中,A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=
数学 1.1.2余弦定理教学设计 新人教A版必修5 教案
《余弦定理》教学设计 一．教学内容分析 本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。 二．目标与目标分析 数学的公式定理课-------我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。导致学生还是无法接受新的知识。华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。才能够用数学的思维去思考和解决问题。 三．学生学习情况分析 我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。 四．设计思想 本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。 五．教学目标 知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，
高一数学正弦定理和余弦定理
高一数学正弦定理和余弦定理 第一章解三角形教学案 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是"在任意三角形中有大边对大角，小边对小角"，"如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全"等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题："在任意三角形中有大边对大角，小 边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准 确量化的表示呢?"，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题"如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等 的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从 已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的 问题。"设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个 有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学 习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的 边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全 等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让 学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题"在任意三角 形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得 到这个边、角的关系准确量化的表示呢?"，在引入余弦定理 内容时，提出探究性问题"如果已知三角形的两条边及其所 夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、
高中数学必修⑤112《余弦定理》教学设计
课题：必修⑤1.1.2余弦定理 三维目标： 1、知识与技能 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的合作探索，掌握余弦定理的内容及其证明方法；； （2）能运用余弦定理与三角形内角和定理及相关的三角知识解斜三角形的两类基本问题； （3）通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能，为下一步学习打好基础。 2、过程与方法 ⑴引领学生从已有的几何、三角知识出发,共同探究在任意三角 形中，边与角的关系，引导学生通过观察、分析、实践、交流，用各种方法推证余弦定理及其推论，在体验知识的运用过程和 合作探究过程的同时，不断认识三角、向量知识的工具性作用 及所带来的分类讨论思想、转化思想及数形结合思想； ⑵通过用向量推导三角公式，体会向量的强大威力，锻炼自己的 抽象思维能力和推理论证能力； ⑶通过公式的推导与应用，进一步体会三角知识的本质联系以及 数学工具应用的广泛性与重要性； ⑷培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的 运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 3、情态与价值观 （1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三 角形函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现 事物之间的普遍联系与辩证统一。 （2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、 用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向 而不懈奋斗。 （3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、
主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻 研精神，并提高参与意识和合作精神； 教学重点： 用向量法推导余弦定理及其基本应用 教学难点： 余弦定理的探索、推导以及综合运用。 教具：多媒体、实物投影仪 教学方法：合作探究、分层推进教学法 教学过程： 一、双基回眸科学导入： 同学们，上一节课我们学习了正弦定理，通过初步运用，我们进一步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力…… 请同学们回顾一下正弦定理所带来的三角公式： 若在ABC ∆中，已知b =,和角A——即已知两边及夹角 AB= AC c ，怎样求另一边BC？能直接用正弦定理求吗？显然不能，能否还有其它的关于边角的公式呢？有了正弦定理，是不是应该还有余弦定理呢？今天，我们一起探讨这个问题—— 二、创设情境合作探究： 【创设情境】 下面，我们就来解决上面提出的问题： 在ABC ∆中，已知b =,和角A——即已知两边及夹角，怎 AB= c AC 样求另一边BC C
高中数学必修五1.2余弦定理
1．1．2余弦定理 【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 【教学过程】 [创设情景] C 如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a A c B (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()() 2 22 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2+-= b c a A bc
