北航09-10高数第2学期期末试卷及参考答案.doc
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x^2+2x+1答案：A2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1答案：B3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：A4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C5. 微分方程dy/dx = 2x的通解是：A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = 2x + C答案：A6. 函数y=ln(x)的二阶导数是：A. 1/xB. 1/x^2C. -1/x^2D. -1/x答案：B7. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. 1B. ln(2)C. π^2/6D. e答案：C8. 函数y=x^3-3x^2+2的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=0答案：A9. 函数y=sin(x)的周期是：B. πC. 1D. 0答案：A10. 函数y=x^3的拐点是：A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^3的三阶导数是________。
答案：6x^02. 定积分∫(-1,1) x^3 dx的值是________。
答案：03. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
答案：04. 函数y=e^(-x)的不定积分是________。
答案：-e^(-x) + C5. 微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0的特征方程是________。
答案：r^2 + 2r + 1 = 06. 函数y=cos(x)的二阶导数是________。
2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.
北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。
2. 微分方程的特解可设为________________________________________。
3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。
4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。
5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。
6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。
7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。
8.交换二次积分I=的积分顺序，则。
9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。
10. 幂级数的收敛半径为。
二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。
九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。
十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。
十三、（4分）设发散，又，证明收敛。
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
09-10高数期终试卷A及答案
09-10高数期终试卷A及答案200_9_–201_0_学年第_1_学期《＿高等数学(上)＿》课程期末考试试卷A2022.12开课学院：数理教学部，专业：工科各专业考试形式：闭卷，所需时间120分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序得分评卷人一二三四五六七八总分一.选择题(每小题2分,共16分)11.当某0时，某2in2是某的（B）某（A）较低阶的无穷小（B）较高阶的无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小某ln某某0,某12.设f某1某,讨论f某在某=1处（D）1某1（A）无定义（B）不连续（C）连续且可导（D）连续但不可导3.设f某某，其中某在，上恒为正值，其导数某为单调减少函数，且某00，则（A）．(A)曲线yf某在点某0，f某0处有拐点；(B)某某0是函数f某的极大值点；(C)曲线yf某在，上是凹的；(D)f某0是f某在，上的最小值．24.设f(某)在(,)上连续,则d[f(某)d某]=(D)(A)f(某)(B)f(某)+C(C)f(某)d某(D)f(某)d某5.下列积分中，积分值为零的是（B）（A）211某d某（B）某in2某d某11（C）某in某d某（D）某3in某d某11116.如图，某轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力参数为k，则质点和细杆之间引力的大小为(A) lkmd某kmd某lkmd某0kmd某2(A)lB．C．D．l222200(a某)(a 某)(a某)2(a某)0e7.已知y1某是方程yy某的一个解，y2是方程yye某的一个解，则方程2。
yy某e某的通解为y（D）某e(A)某(B)C1co某C2in某2e(C)C1co某C2in某某(D)C1co某C2in某某2某某8.(2分)下列各微分方程中是一阶线性方程的是（B）（A）某yy某（B）y某yin某（C）yy某（D）y某y022二.填空题(每小题2分,共14分)2某2某11.函数f某的间断点为某=0,某=12某某2.设f某可导,lim 某0f某某f某某2f某某3.曲线ye某的凹区间(,22222][,)，凸区间为(,).22221某2321d 某4.设某f(某)d某arcin某C，则f(某)3C．5.曲线ye某和直线y1,某1所围圆形的面积等于e2;26.设一平面曲线方程为yf(某)，其中f(某)在a,b上具有一阶连续导数，则此曲线对应于某a到某b的弧长L=ba21[f(某)]某d；若曲线的参数方程为某(t),y某y(t),（a≤t≤），某t(),yt()在,上有连续导数，则此曲线弧长L=[某(t)]2[y(t)]2dt；7.曲线上任一点P某,y处的切线与横轴交点的横坐标等于切点横坐标的一半，y2y某____则曲线所满足的微分方程是___三.计算题(每小题6分,共48分)某in某ee1.lim某0某in某in某某in某in某某1eeein某e某in某e解:limlim2分lim2分12分某0某in某某0某0某in某某in某2.yln1in某,求y 1in某1in某1ln1in某ln1in某1in某2(2分)解:ylny1co某co某()21in某1in某(2分)(2分)1co某2在抛物线y某找出到直线3某4y2的距离为最短的点。
(2020年编辑)第二学期高等数学期末考试试卷及答案2
一．填空题（本题满分
1．设 ，则 ________________________．
解：
由 ，得 ，所以，
应填： ．
2．交换累次积分的顺序 ______________________．
解：
．
应填： ．
3．设 ，则 ___________________．
解：
，所以，
， ， ．
所以，
．
的特解．又微分方程 有形如
．
的特解．所以，微分方程 有形如
的特解．
应选：（D）．
三．（本题满分
设 ，其中函数 具有二阶连续的偏导数，试求 ， ．
解：
，
．
四．（本题满分
计算二重积分 ，其中 ．
解：
作极坐标变换 ，有
五．（本题满分
当轮船的前进速度为 时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为 ，其中 为常数，而 为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？
（A）． ；（B）． ；
（C）． ；（D）． ．
解：
级数 是发散的（因为其通项的极限不为0）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是条件收敛的（因为 发散，而由Leibniz判别法，交错级数 收敛）．
应选：（D）．
4．设函数 是以 为周期的周期函数，它在 上的表达式为
．
由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于 的偶函数，所以
．
又由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于 的奇函数，所以
09学年第二学期大学数学2试卷(A卷)-参考...
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案2009学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、1、0.6，0.3 2、 3 3、2nσ 4、10.083312= 5、(1,1)F n - 6、1。
二、1、D 2、A 3、C 4、B 5、A 6、 C 三、解 令1A 表示事件“甲在第一次射击中射中”， 1B 表示事件“乙在第一次射击中射中”。
依题意()()()()1111110.8,0.2,0.5,0.6P A P A PBA PB A==== （3分）（1）()()()()()1111111P B P A P B A P A P B A =+0.80.50.20.60.52=⨯+⨯= （6分）（2）()()()1111110.80.510|()0.5213P A P B A P A B P B ⨯===（10分）四、解 令X 表示取到正品之前已经取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2。
（1分）8{0}10P X ==， 288{1}10945P X ==⋅=，2181{2}109845P X ==⋅⋅=，所以X（4分）所以88120121045459E X =⨯+⨯+⨯=， （6分）2222881401210454515E X=⨯+⨯+⨯=， （8分）224488()1581405D XE X E X =-=-=。
（10分）五、解 方法1 ln Y X =的分布函数为(){}{ln }{}()yyY X F y P Y y P X y P X e F e =<=<=<=，即 ()()y Y X F y F e =。
（4分）()()()y y Y Y X f y F y e f e '∴== （6分）22(1)y yee π=+。
（8分）方法2 因为ln y x =为严格单调函数，且其反函数y x e =有连续导数，于是所求密度函数为'22()()()|()|(1)yyyY Y x yf y F y f e e e e π'==⋅=⋅+。
高等数学b2期末考试试题及答案
高等数学b2期末考试试题及答案高等数学B2期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+1在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→∞) (1/x) 的值是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A3. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 3答案：D4. 函数y=ln(x)的不定积分是（）。
A. x+CB. x^2+CC. 1/x+CD. ln(x)+C答案：C5. 函数y=e^x的二阶导数是（）。
A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 0答案：A6. 函数y=sinx+cosx的周期是（）。
A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B7. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A8. 函数y=x^3-3x^2+2x的拐点是（）。
A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=0答案：B9. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. 1/xC. -1/x^2D. -1/x答案：A10. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x+CB. e^(-x)+CC. -e^x+CD. 0答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是______。
答案：x=112. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是______。
答案：113. 函数y=x^2+1的二阶导数是______。
答案：214. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案：x+C15. 函数y=e^x的二阶导数是______。
答案：e^x16. 函数y=sinx+cosx的周期是______。
答案：2π17. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是______。
答案：318. 函数y=x^2-4x+4的最小值是______。
高数第二学期期末复习试题库(A)
高等数学第二学期期末复习试题库(A)一、填空题1. 由定积分的几何意义计算⎰=-2024dx x _________ ⎰=π0cos xdx ______2.若⎰⎰=+baabdt t f dx x f b a x f )()(,],[)(则上连续在 。
3.⎰-=1134sin xdx x 。
4.设⎩⎨⎧≥=0,10,)(x ＜x x x f ，则=⎰-dx x f )(21。
5.=+⎰+∞211dx x。
6．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
7．x e y =''的通解是 。
8．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
9．微分方程02=+'-''y y y 的通解为 。
10．微分方程0='-''y y 的通解为 。
11.用待定系数法求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解y*形式为_________________。
12．已知某样品质量的称量结果为：2.07.58±g ，则其绝对误差限为 ；相对误差为 。
13.一个正方形的边长为2.010±，则其面积的绝对误差为 。
相对误差为 。
14.用牛顿法求方程0)(=x f 的根，则迭代公式：=+1n x 。
15.用牛顿法求方程x e x -=2的根，现取10=x ，1x = 。
16.经过（1，2），（3，5）两点的一次多项式为： 。
17.经过),(00y x ，),(11y x ，),(22y x ，三点的插值多项式为： 。
18.已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是________g 。
19.有一优选试验，试验的因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为40，则第二个试点最好为________。
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北京航空航天大学
2009-2010学年第二学期期末
考试统—用答题册
考试课程高等数学2
院菜_____________ 学号_______________ 姓名__________________
2010年6月29日
一.填空题(每小题4分，共20分)
1.设函数z = z(x,y)由方程X2-2/+ Z2-4X +2Z-5=0所确定，则该函数在点(5,2,2)处的梯
I T 4 T
度事% 2,2)= - / + y J•(巧103)
09 。
2.设一平面薄片所占的区域D由抛物线为与直线兀=2所围成，其面密度为p = y\则
72
该薄片的质fim= y .(|$ 103)
7
Y
3.微分方程2yy -xy1 =xe x满足初始条件y |v=0= 1的特解为y = (一 + 10
4.设厶
为由点0(0,0)到点A(l, 1)的圆弧(X
一I)2 +)，= 1，则J(x2 + 2xy)dx +
(x2 + y4)dy=—. L15
5 .设函数f (x) = x2 (0 < x < 1) , s(x) = b n sin mix, b n = 2 j' /(x) sin nnx ,则/;=!
5.设稳定流动的不可压缩的流体的速度场V =(兀,y,Z),球面E:才+才+ z2二4,则单位吋间内流体从E内流向为外的流虽为32兀.
二.单项选择题(每小题4分，共20分)
1.设函数f(x, y)连续,且在点P(x0,y0)处存在二阶偏导数，则f(x, y)在点P(x0,y0)处_人
(A)几人不一定连续；(B) f；-定连续；
(C)沿任何方向的方向导数都存在；(D)m
2.设函数.f(兀』)连续，则jjd^S，n6?(rcos^, rsin^)dr = ______ D_.
(A)J；&广心/(x, y)dy; (B) J； dxj：*心/(x, y)dy ；
(C) J；/(X,^)dx ；( D)J： dyJ f(x, y)dx.
3.已知级数》知条件收敛，记v… =| u n | +知,w“ =1 u n | -u n（n = 1,2,…），则B.
n=\
8 8 8 8
（A）工匕和工叫都收敛；（B）工乙和工叫都发散；
/?=1 /?=1 ?z=l n=l
8 8 8 8
（C） D和工w”必有一个收敛；（D） D和工叫的收敛性不能确定.
n=\ n=\ n=\ n=\
4.设y；, y；是线性非齐次微分方程y"+ p（x）y' + q（x）y = f（x）的两个不同的解，y：, y；是对应齐次方程的两个线性无关的解，则*+ p（x）y+q{x）y = f（x）的通解为_B_ （q心为任意常数）.
（A） y = +C2（y；— y：）+*（y； + y；）; （B） y = +02（力一必）+ *0；+ 歹；）；
（C）y = cj+C2（y；—y：）—y； ; （D）y = c^+c2（y2-y}）-yi
5.下列级数屮发散的是_C_.
（A）£—（B）fln（cos丄）；（c）£f）"; （D）£（-1）"^^；
^nAn2n幺 / 幺徧+（_1）”幺H2
三.（10分）^z = /（x2-y2,^）,其中/具有二阶连续偏导数，求罠氏冀.
dx dy dxdy
解釜=2兀斤+）泸乃，
¥ = -2卅+心・
dy
w=_ 4x y幷 + 2（兀- y2 y xy fn + xye 心咒2 + （1 + •
dxdy
四（10分）求平面-+^+- = 1和柱面F+y2= 1的交线上与xO y^标面距离最短的点.
解设所求点为*O,y,z）,该点至吹0），面的距离d=\z\・
于是设拉格朗日函数
厶（X, y, z） = z? + 久（扌 + 彳 + ； -1） + /（x2 + /-1
根据问题的实际意义，最短距离一定存在，故人上2匕）为所求的点. 5 5 12
五.设 E : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0), f(x, y, z)= < / =
jj(x 2 + y 2 + z 2)^S. 解 记锥面z = J/ + y2上面的球面部分为乙，下面的球面部分工2. 由题设，
[[f （x,y 9z ）dS = 0,
= （2-V2）^4,其小 D ：F + y2s 幺・
六.（io 分）求幕级数£处2”的收敛区间与和函数，并求级数££的和. n=\ n=\
3
解 lim | - \= lim | （n + 1）f （
?I+1）|= x 2,
介* 血（兀）
・•・当F v 1时,级数绝对收敛，
解方程组
L x =-^2^ = 0 如=彳+ 2/ = 0 厶_ = 2z — = 0 H 、也 2
2,"八,IAr 厶ZrKT l 、E 乩 / ，八 2 (1-x 2)2 ~(l-x 2)2
0, 若 Ze# + y
所以和函数5(X)=———,XG (-1,1)
1
占3〃-计」-犖
3
七.(10分)求微分方程-y = 4xe x在原点与y二兀相切的特解.
解由题设，初始条件为歹(0)二0,.『(0)二1・对应齐次方程的通解丫= CQ + C2e~\ 由于久=1是单根，
故设特解形式为y=x(ax^b)e\
代入原方程解得Q = l,b = -1.
所以)产一y 二4劇的通解y 二C}e x + C2e'x + (x2-x)e x.
代入初始条件，得C] =1, C2 =-b故所求特解为y = e x -e~x 4-(x2-x)e x.
… 2 2 2
八.(10分)计算jj xzdydz + xydzdx + c2dxdy ,其中27为上半椭球而二~ +厶-+ * = 1 、: /x C (a9b9c>0,z>0)的F侧.
2 2
解补一平z = 0,4 + ^v<l,取上侧，设Q为》和乙所围的立体，
a kr
则由高斯公式
JJ xzdydz + xydzdx + c2dxdy
=JJ xzdydz + xydzdx + crdxdy - jj xzdydz + xydzdx + c~dxdy
=-JJJd + - jj xzdydz + xydzdx + c2dxdy
Q
而Jj xzdydz + xydzdx + c2 dxdy =兀abc2,
jjj (z + x)dV = jjj zdV + 0
(2 (2
2 \
=£ zJzjj dxdy =兀ab^ z(l 一三)dz = — nabc1・
0 D. °c 4
・•・ jj xzdydz + xydzdx + c2dxdy = - * nabc2一nabc2 =彳nabc2.。