伽辽金法求解微分方程
板壳理论-14章
z
z
dz
z
zt 2 zt 2
0
q
q
郑州大学
板壳理论
§ 14.7伽辽金法
zx
2
E
1 m2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 m2
z2
t2 4
y
2w
t t
2 2
zx
x
zy
y
dz
t2
E
t 2 2 1 m 2
z2
t2 4
4
wdz
E
2 1 m2
b
1
cos
x
a
dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
D 4wwmdxdy
C11
L
1
cos
y
b
1
cos
x
a
dxdy
4DC11
a 0
b 0
a
4
cos
x
a
1
cos
y
b
2
1
cos
x
a
b
4
cos
y
b
1
cos
y
b
1
cos
x
2
y2 b2 dxdy
§ 14.7伽辽金法应用举例
进一步得到挠度为
w 7q0 x2 a2 2 y2 b2 2
128
a4
b4
4 7
a2b2
D
如果b=a，则
w
49q0a4 2304D
1
x2 a2
2
1
y2 a2
2
精确解
有限元方法ppt
F ydx y F n iai dx y i 1
i 1
n
x2
x1
F d F d 2 F iai dx 0 y dx y dx y 2
由于δai≠0，则
x2
n a1 a2 an 0 a1 a2 an
2.里兹法
若δai=0，则有
0 a i
得到一组n个方程
a 1 0 a an
这是与待定参数͞a的个数相等的方程组，可以求解͞a
1.利用变分法推导控制方程
边界条件
F d F x2 y 0 y dx y x1 x2 F y 0 y x1
几何边界条件
yx1 0 yx2 0 yx1 0 yx2 0
多项式插值
上式中
1 1 s 2 1 Ni 1 s 2 Ni
可以很容易写出N
Ni 1 1, Ni 1 0; N a1 a2 s
多项式插值
3.自然坐标下的插值函数（线性） —— 与单元形状有关的无因次坐标
单元内一点P的位置用如下 自然坐标表示
1.利用变分法推导控制方程
原理回顾
yx F x, y, y, ydx
x2 x1
取泛函的变分为零，有 0 物理意义是系统的势能取最小 欧拉方程为
或内力功与外力功之差为零
F d F d 2 F 2 0 y dx y dx y
多项式插值
变分原理
§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
+Sσ显然S=Su假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用有限元法是采用直接法计算变分问题的重要方法，在土木工程计算领域的分析软件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以变分法为理论基础。
本文将就有限元法的变分原理作一简单梳理，并采用Autobank软件建模分析某土石坝的渗流场及应力变形，计算结果表明大坝应力变形符合工程实际，计算分析对大坝设计工作起到了指导作用。
标签：有限元；变分法；Autobank；土石坝设计；应力变形分析引言随着坝工技术的发展，土石坝建设高度越来越高，其应力和变形计算越来越关系到大坝安全。
因此，结构计算分析将会在土石坝的设计和科学研究中发挥越来越重要的作用。
有限元法的理论基础为变分法，变分法历史悠久，是近代发展起来的一门重要数学分支，在工程技术及科学研究中有着广泛的应用。
变分法起源于泛函的极值问题，其关键定理是欧拉-拉格朗日方程。
Autobank软件应力变形分析模块是以变分法为理论基础开发的一款有限元分析软件，提供线弹性模型、非线性模型（如邓肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程设计中有着广泛的应用。
1、有限元法简介目前在水利工程结构分析领域常用的数值计算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、边界元法BEM、离散元法DEM等，其中有限元法是应用最广泛的方法。
有限元法是以变分原理为基础发展起来的，是一种高效的数值计算方法。
工程计算和科学研究领域，常常需要求解各类常微分方程（组）、偏微分方程（组），而许多微分方程（组）的解析解很难得到，甚至无法求出。
使用有限元法将微分方程离散化后，编制计算机程序辅助求解，是一种可行且高效的方法。
2、有限元法的变分原理2.1 泛函及其极值设有泛函的极值问题：研究泛函在某函数类中的极值问题即变分问题，例如最小曲面问题、悬链线问题、边坡稳定最小安全系数的滑弧问题、重力坝的最优断面问题等。
研究泛函极值的方法即变分法。
直接法是求解泛函极值的近似方法，对于无法求解解析解的变分问题及工程计算，有着及其重要的作用。
加权残值法——精选推荐
加权残值法在工程技术与科学研究中会遇到各种各样的定解问题的近似求解方法，加权残值法（Method of Weighted Residuals ）也是诸多近似方法中的一种。
这种方法具有原理统一、简便，工作量少，计算精度较高等优点，是一种别具特色的工程数值计算方法。
加权残值法的思想远在19世纪初就已提出。
但是直到20世纪20年代，才由毕卡（Picone ）用来求解微分方程。
后来，克兰德（Crandall ）将这一方法统一，并定义为加权残值法。
在国外，这种方法一直用于计算流体力学，热交换问题以及一些化工问题。
在国内，20世纪60年代期间，最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问题；徐次达教授自60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。
在他们的倡导和推动下，我国的力学工作者深入研究了加权残值法，并且将其广泛用于解决工程中各类力学问题、非线性问题以及非力学问题等。
值得一提的是我国在固体力学加权残值法方面的研究工作在国际上处于领先地位，作为一名力学工作者、结构工程师，了解和熟悉这一工程数值方法是很有必要的。
本章将就加权残值法的一些基本概念、基本原理以及方法的实施、实现作一些简要介绍，并将其用于求解一些简单的力学问题，以期对这一数值方法的求解过程有比较深刻的认识，使读者熟练掌握。
§1 加权残值法的基本概念设某一具体的工程定解问题0=−f Lu （在域V 内） （1.1）0=−g Gu （在边界S 上） （1.2）这里，u 为待求的未知函数，L 和G 分别是控制方程（在域V 内）以及边界条件（在边界S 上）的微分算子，f 和g 分别是域内和边界上的已知项。
一般地，定解问题（1.1）、（1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u 的试函数iNi i U C u ∑==1~ （1.3） 其中i C 为待定系数，i U 为试函数项。
将（1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals ）V R 和边界残值S R ，即0~≠−=f uL R V （1.4） 0~≠−=g uG R S （1.5） 为了消除残值，我们选取内部权函数（Weighted function ）V W 和边界权函数S W ，使得残值V R 和S R 分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即就是0d =∫v W R VVV（1.6） 0d =∫s W R SSS（1.7）据此，我们就可以得到了关于待定系数i C ),,2,1(N i "=的代数方程组，求得了i C 后，即确定了近似解（1.3）。
matlab解四阶偏微分
matlab解四阶偏微分在Matlab中，可以使用偏微分方程来解决四阶偏微分方程。
在本文中，我们将介绍四阶偏微分方程的一般形式、数值解法和一些相关的参考材料。
四阶偏微分方程的一般形式为：D^4u(x,y) + a*D^2u(x,y) + bu(x,y) = f(x,y)其中，D^4表示四阶空间导数算子，a和b是常数项，u(x,y)是要求解的未知函数，f(x,y)是已知的函数。
在Matlab中，可以使用偏微分方程工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）来求解这个方程。
偏微分方程工具箱提供了多种数值方法来解决偏微分方程，包括有限差分法、有限元法、伽辽金法等。
有限差分法是最常用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为一组有限差分方程，然后使用迭代方法求解这组方程。
有限差分法的基本思想是将求解区域离散化为网格，然后在网格节点上近似表示未知函数和导数。
通过在节点上构造差分方程，可以得到一个线性方程组，然后使用迭代方法求解这个方程组。
除了有限差分法，偏微分方程工具箱还提供了其他数值方法。
例如，有限元法将求解区域划分为多个小区域，然后在每个小区域内近似表示未知函数。
通过构造一组局部方程和边界条件，可以得到一个大型的线性方程组，然后使用迭代方法求解。
伽辽金法是一种通过变分原理求解偏微分方程的方法，它通过选取一个合适的试验函数，将偏微分方程转化为一组变分方程，然后通过极小化泛函来求解。
在Matlab中，偏微分方程工具箱提供了丰富的函数和工具来求解四阶偏微分方程。
例如，可以使用pdepe函数来求解带有边界条件的四阶偏微分方程，可以使用pdenonlin函数来求解非线性四阶偏微分方程。
此外，偏微分方程工具箱还提供了可视化工具和后处理函数，可以将求解结果可视化并进行进一步的分析。
除了Matlab自带的偏微分方程工具箱，还有一些其他的参考材料可以帮助理解和求解四阶偏微分方程。
例如，《Partial Differential Equations for Scientists and Engineers》是一本经典的偏微分方程教材，介绍了偏微分方程的基本理论和求解方法。
间断伽辽金法DGM求解弹性地基梁问题
第28卷增刊岩土力学Vol.28Supp.2008年11月Rock and Soil Mechanics Nov.2008收稿日期：5基金项目：国家自然科学基金资助项目(N 55)。
作者简介：艾智勇，男，66年出生，博士，副教授。
主要从事岩土及地下工程方面的研究工作。
：z y @j 文章编号：1000－7598－(2008)增刊－603－04间断伽辽金法(DGM)求解弹性地基梁问题艾智勇，王全胜，王熹（同济大学地下建筑与工程系岩土及地下工程教育部重点实验室上海200092）摘要：间断伽辽金法使用节点位移一类未知数作为测试函数，削弱了内部单元边界上的一阶及n 阶导数的连续性，大大降低了构造形函数的难度，特别适合控制方程为高阶微分方程问题的求解。
基于间断伽辽金法的基本原理，推导了弹性地基梁四阶微分控制方程的积分“弱”形式，编制了计算程序，进行了数值计算和收敛性分析。
计算结果表明：用间断伽辽金法求解弹性地基梁问题是十分有效率的。
关键词：间断伽辽金法；弹性地基梁；连续性；测试函数中图分类号：TU 470文献标识码：ADiscontinuous Galerkin method for elastic foundation beam problemsAI Zhi-yong,WANG Quan-sheng,WANG Xi(Department of Geotechnical Engineering ，Key Laboratory of Geotechnical and UndergroundEngineeri ng of Mini s try of Educati on,Tongji University,Shanghai 200092,C hina)Abstract:Discontinuous Galerkin method(DGM)used node displacement approximations as trial functions,and weakened the continuity of first order and n-th order differential in the internal element boundary,reduced the difficulty to construct the shape functions,so this method is especially fit for solving the problem of higher order differential equation.Based on the principle of DGM,the integral weak form of the forth order differential control equation of elastic foundation beam is established.Numerical calculation and convergence analysis are carried out by the computer program.The results of calculation show that it is efficient for DGM to solve the elastic foundation beam problems.Key words:discontinuous Galerkin method;rlastic foundation beam;continuity;trial functions1引言间断伽辽金法（DGM ）是有限单元法的一支，是使用完全不连续的分段多项式作为数值解以及测试函数的一种有效的数值方法。
变分法
σ x τ yx τ zx (l1τ zx + l2τ zy + l3σ y )δ w] d S x + y + z δ u σ y τ xyx τ zy σ z τ xz τ yz + y + z + x δ v + z + x + y δ w d x d y d z
∫∫∫
及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx py= l1τxy+l2σy+l3τzy pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或
Pi = σij lj
而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从 虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含 了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是 坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹 性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚 位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界 条件,也就是说他们是弹性问题的解.
δ = ∑ umδ m u A
m
δ = ∑ vm δBm v
m
δ = ∑ wmδ m w C
m
应变能的变分为
U U U δ = ∑( U δm+ A δm+ B δ m) C Am Bm C m
外力势能的变分为
δ = V
∑ ∫∫∫ ( F
m x m
bx m
u δ m + Fb y vm δBm + Fb z wmδ m ) d x d y d z A C
有 δU =
∫∫∫ ο = x δ u + ... + γ ∫∫∫
x
U 0 U 0 δ ε x + ... + δ γ yz + ... d x d y d z ε γ yz x δ w+ δ yz z y v + ... d x d y d z
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伽辽金法求解微分方程
1. 引言
伽辽金法（Galerkin method）是一种常用的数值求解微分方程的方法之一。
它通过将待求解的微分方程转化为一个无穷维的线性代数问题，然后利用适当的近似空间和测试函数空间进行离散化，最终得到一个有限维的线性代数方程组。
本文将介绍伽辽金法的基本原理、步骤以及如何应用于求解微分方程。
2. 基本原理
假设我们要求解一个形如下式的常微分方程：
Lu=f
其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f是已知函数。
伽辽金法的基本思想是，选取适当的测试函数空间和近似函数空间，使得待求解函数可以表示为这两个空间中的有限个基函数的线性组合。
通过将待求解方程在这两个空间中进行内积操作，并利用正交性质和线性独立性质，可以得到一个有限维的线性代数问题。
3. 求解步骤
伽辽金法求解微分方程主要包括以下几个步骤：
步骤1：选择测试函数空间和近似函数空间
首先，需要选择适当的测试函数空间和近似函数空间。
通常情况下，可以选取一组具有一定性质（如正交性、线性独立性等）的基函数作为测试函数和近似函数。
步骤2：建立离散化方程
将待求解微分方程在测试函数空间和近似函数空间中进行内积操作，得到一个离散化的方程。
这个方程是一个有限维的线性代数方程组。
步骤3：求解线性代数方程组
将离散化的方程组表示为矩阵形式，并利用数值方法求解线性代数方程组。
常用的求解方法包括直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等）。
步骤4：计算近似解
通过求解得到的线性代数方程组，可以得到近似解。
这个近似解是基于选择的测试函数和近似函数构造出来的。
4. 应用举例
下面以一个简单的例子来说明如何应用伽辽金法求解微分方程。
考虑以下二阶常微分方程：
u″+u=sin(x), 0<x<π
满足边界条件u(0)=u(π)=0。
我们可以选择正弦函数的线性组合作为测试函数和近似函数，即：
ϕk(x)=sin(kx), k=1,2,3,…
将待求解方程在测试函数空间和近似函数空间中进行内积操作，得到离散化方程：
∑(a k−k2a k)∞
k=1ϕk(x)+∑a k
∞
k=1
sin(kx)=sin(x)
其中a k是待求解的系数。
通过计算内积，可以将离散化方程转化为一个有限维的线性代数方程组。
假设我们选取前N个正弦函数作为基函数，则有：
∑(a k−k2a k) N
k=1ϕk(x)+∑a k
N
k=1
sin(kx)=sin(x)
将上式写成矩阵形式，得到一个N维的线性代数方程组。
最后，利用适当的数值方法求解这个线性代数方程组，就可以得到近似解。
5. 总结
伽辽金法是一种常用的数值求解微分方程的方法，它通过将微分方程转化为一个线性代数问题，并利用适当的近似函数和测试函数进行离散化，最终得到一个有限维的线性代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到微分方程的近似解。
本文介绍了伽辽金法的基本原理、求解步骤以及一个应用举例。
希望读者能够通过本文对伽辽金法有一个初步的了解，并能够灵活运用于实际问题的求解中。
参考文献： 1. Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2007). Numerical mathematics. Springer Science & Business Media. 2. Strang, G. (2007). Computational science and engineering. Wellesley-Cambridge Press.。