微波：波速、相速、群速和能量传输速度的区别与联系
微波技术
4-8
5
1218
2
1827
1.25
80100
0.3
•C~K 为早期的微波通信频段，80’s 后较少 •W(3mm) 实际上是卫星通信的主流频段 广播电视、通信频率相对较低： KHz~ 3G 在实验中使用厘米波中的X波段， 其标称波长为3.2cm，中心频率为9375MHz。
国际上对各微波频段用途的规定
2.频率极高，穿透性强
由于微波既能穿透电离层 (低频电磁波不行) 也能穿透 尘埃、云、雾 (光波不行)， 因此，微波就成了卫星通讯、 空间通讯和射电天文研究的 重要手段。 可以容易穿入介质内部： 如微波加热——食品发热
近代物理实验专题讲座 2003.8
3. 频带宽，信息性好
可用频带很宽 (数百兆甚至上千兆赫兹)，是低频 无线电波无法比拟的。因此，微波在通讯领域内得 到了广泛的应用。 微波通讯系统的工作频带宽、信息容量大、机动 性好，特别适合于卫星通讯，宇航通讯和移动通讯 等，因而在现代通讯系统中占有相当重要的地位。
λ(m)
广播 电视 微波 红外可见光 紫外
无 线 电 波 光 波
波长处于光波和无线电波之间
近代物理实验专题讲座 2003.8
微波频段的划分： 分米波, 厘米波，毫米波和亚毫米波
常用波段代号
波段代号 频率范围 （GHz） 标称波长 (cm) L S C X 8-12 3 Ku K W
1-2 2-4
微 波 技
术
山东师范大学物理实验中心
一、微波基础知识
按照国际电工委员会（IEC）的定义，微波 （Microwaves）是：
“波长足够短，以致在发射和接收中能实际 应用波导和谐振腔技术的电磁波”
微波是指：波长为１m至0.１mm,频率在 300MHz-3000GHz之间的电磁波或无线电波。
海洋中的声传播理论
3.1 波动方程和定解条件
②柱面波情况 ③球面波情况 ——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。
*பைடு நூலகம்
奇性条件
3.1 波动方程和定解条件
对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即 不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程
*
3.1 波动方程和定解条件
狄拉克函数的定义
*
3.2 波动声学基础
（2）截止频率 简正波临界频率和截止频率： 根据临界频率，可以反演海底介质的声速。 若海底为硬质海底
*
3.2 波动声学基础
某阶简正波声压振幅分布：
传播损失
*
3.3 射线声学基础
射线声学：将声波传播视为一束无数条垂直等相位面的射线传播。
声线：与等相位面垂直的射线。 射线途经的距离代表声波传播的距离； 声线经历的时间代表声波传播的时间； 声线束携带的能量代表声波传播的声能量； 射线声学为波动方程的近似解。
第3章 海洋中的声传播理论
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声场常用分析方法
*
声场常用分析方法
*
3.1 波动方程和定解条件
在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程： 波动方程
*
3.1 波动方程和定解条件
当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式有何不同?
射线声学近似条件和局限性
（2）在声波波长的距离上，声速相对变化远小于1。
——声波声强没有发生太大变化。如在波束边缘、声影区（声线不能到达的区域）和焦散区（声能会聚区域），射线声学不成立。
——声速变化缓慢的介质。如在声速跃变层，射线声学不成立。
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
正常色散介质中群速度与相速度的相对关系
正常色散介质中群速度与相速度的相对关系
光的传播速度在不同介质中会发生改变，这种现象被称为光在介质中的折射，其中光传播的速度，在正常色散介质中群速度与相速度有一定的关系。
在正常色散介质中，介质中的光速度与频率之间呈现线性关系，也就是说在相同介质中，频率越高，光速度也越高。
根据自然的光学原理，光在介质中的传输速度是由群速度和相速度组成的。
群速度和相速度在正常色散介质中是有一定的关系的。
群速度表示的是光信号在介质中整体传播的速度，而相速度则是光的电场和磁场在介质中传播的速度。
在正常的色散介质中，群速度通常要大于相速度，也就是说，在介质中传输光信号的速度整体上要快于电场和磁场的传输速度。
这可以通过正常色散介质中材料的复合折射率来解释。
光的相位速度与群速度之间的差异是由折射率的频率依赖性造成的。
在正常色散材料中，较高频率的光会快速折射并且离开表面，而较低频率的光则会被材料捕获和重新释放，从而形成相对较慢的群速度。
在光纤通讯系统中，光速度和光的传输性能至关重要。
对于正常色散介质，光信号传播的快慢由材料的折射率决定，因此了解群速度和相速度之间的相对关系对于光纤通讯系统的设计和优化非常重要。
总之，在正常色散介质中，群速度和相速度之间存在一定程度的相对关系。
群速度比相速度更高，这是由于复合折射率的频率依赖性造成的。
这种相对关系在光学系统的优化中非常重要，因为光速和光的传输性能通常是光学系统设计和优化的关键因素之一。
7电磁场与电磁波-第七章(上)图片
第二节 平均坡印廷矢量
同样可导出:
则得坡印廷矢量的平均值:
第三节 理想介质中的均匀平面波
平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平 面）。 均匀平面波：等相位面为平面，且在等相位面上，电、 磁场场量的振幅、方向、相位处处相等的电磁波。 在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某 些实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍 可近似看作均匀平面波。 一、亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区 域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：
量：
Ey
y
ZExz源自若Ex和Ey的相位相同或 相差180°，则合成波为直 线极化波。
沿z轴传播的电波 Ex和Ey的合成图 直线极化波示意图
x
特性：合成波电场大小随时间变化，但矢端
轨迹与x轴夹角不变。
常将垂直于大地的直线极化波称为垂直极化波， 而将与大地平行的直线极化波称为水平极化波。
圆极化
若Ex和Ey的振幅相同，相位差90°,合成波为圆 极化波。
设入射波电场为： 则入射波磁场为
则反射波电场为： 则反射波磁场为
由理想导体边界条件可知：
理想媒质中的合成场为：
合成波场量的实数表达式为：
讨论：1、合成波的性质：
Ex 合成波的性质： 合成波为纯驻 3 波 2 振幅随距离变化 电场和磁场最大值和最小 值位置错开λ/4 z
2
第一节 亥姆霍兹方程
时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。
一、时谐场场量的复数表示 对于时谐场，其场量E和H都是以一定的角频率 w随时间t按正弦规律变化。 在直角坐标系下，电场可表示为：
式中： 由复变函数，知：
为电场在各方向分量的幅度 为电场各分量的初始相位
第三章 微波传输线
图
H11模
图
E11模
Z
Ez
Eψ
Er
O Ψ
Y
r
X
圆柱坐标系
1 ∂H z ∂H ϕ = jωεE r − ∂z r ∂ϕ ∂H r ∂H z − = jωεEϕ ∂z ∂r 1 ∂ 1 ∂H r (rH ϕ ) − = jωεE z r ∂r r ∂ϕ 1 ∂E z ∂Eϕ = − jωµH r − ∂z r ∂ϕ ∂E r ∂E z − = − jωµH ϕ ∂z ∂r 1 ∂ 1 ∂E r (rEϕ ) − = − jωµH z r ∂r r ∂ϕ
（2）常用低次模的截止波长： 例1：矩形波导尺寸为a=8cm，b=4cm；试求工作频率在 3GHz时该波导能传输的模式。
3、波导尺寸的选取 （1）目的：只传输H10模，抑制H20模和H01模，即只传输主 模。因为这样可以使信号能量集中，减小损耗，且避免模式 间干扰和多模式传输引起的附加色散。 （2）选取原则：
一、直角坐标系中电磁场关系 1、基本方程 对于无损耗的媒质来说，电磁场中的基本方程，即麦克思韦方程变为
r r ∂H ∇ × E = −µ ∂t r r ∂E ∇× H = ε ∂t
（1）
为了求解方便，设场量按正弦规律变换，则
r r jwt −γz E = Em e r r jwt −γz H = H me
可以得到磁场的直角分量为
∂E z + γE y = − jwµH x （书P33，3－6式） ∂y ∂E z − γE x − = − jwµH y ∂x ∂E y ∂E x + = − jwµH z ∂x ∂y
用Ez和Hz表示其它场分量，由上述两个式子可以得到：
Ex = −
1.4导行波及其一般传输特性
相互正交、独立、无耦合。
具有截止特性 (形状、系统）。
(4) 规则导行系统（ragular guided system): 无限长、笔直，其尺
寸、介电系数、边界沿轴向均不发生变化。
2. 导行波场的分析
麦克斯韦方程组：
D H J t B E t B 0 D
（1.4-42）
Z ( z ) Ae
由
j z
k k
2 c 2
2 2
2
fc kc k 1 f 1 k f
可知当 k 2 k c2 时 ，β 为虚数，则导模不能传播。 当 k 2 k c2 ，β 为实数，则导模能传播。 传输状态： c k kc 或 f f c
(iii) 混合波:
k 0
2 c
k2 2
k k
2 c 2
2
对应导行系统为横向衰减型，其波束缚于导行系统表面
附近 (surface wave) 。
vp c / r
故称为慢波、有色散。
当且仅当k > kc才能传播。
以上是微波常用的分类法。
Z ( z ) A1e
j z
质损耗。因而电磁波在传输过程中，其振幅会逐渐减小，也 就是说存在功率损耗，这种损耗应根据具体情况来计算。
本章小结
本章主要介绍了：微波的波段、分类、特点与应用。
导行系统、导行波、导波场满足的方程（Halmholtz Eq、横 纵关系）； 导行波的分类（TE、TM、TEM）和基本求解方法： 本征值 --- 纵向场法； 非本征值 --- 标量位函数法（TEM）
基本传输特性 ，表1-2要理解，即书上p14。������
习题8
习题八
∂H z ∂x
x=0 = 0
x=a
由此可得 kx
=
mπ a
，B
= 0 ，故
Hz
=
H
zm
A
cos⎜⎛ ⎝
mπ a
x ⎟⎞ e− jβ z ⎠
=
H
0
cos⎜⎛ ⎝
mπ a
x ⎟⎞ e− jβ z ⎠
式中， H0 = H zm A 。
将(1)式代入横向场分量的表达式，可得
Ey
=
jωµ kc
∂H z ∂x
⎟⎟⎠⎞2
小于媒质中的光速，与频率、波导的口面尺寸、波导中的媒质 ε r 及媒质中的光速有
关。 群速、相速、光速的关系是
(3) 截止波长
vp
⋅ vg
=
⎜⎛ ⎜⎝
c光 εr
⎟⎞2 ⎟⎠
λc =
2 ⎜⎛ m ⎟⎞2 + ⎜⎛ n ⎟⎞2
⎝ a ⎠ ⎝b⎠
它与传输模式、波导的截面尺寸有关。
117
习题八
(4) 波导波长
解： 相速是电磁波等相位点移动的速度。群速是包络波上某一恒定相位点移
114
《电磁场与电磁波》——习题详解
动的速度。 根据平面波斜入射理论，波导内的导行波可以被看成平面波向理想金属表面斜
入射得到的，如图 8-1 所示。从图中可以看出，由于理想导体边界的作用，平面波
从等相位面 D 上的 A 点到等相位面 B 上的 M 点和 F 点所走过的325λ0 = 3.976 cm
⎝ 2a ⎠
β = k 1− ⎜⎛ λ0 ⎟⎞2 = 0.755k = 1.58×10−2 rad/m ⎝ 2a ⎠
Z = TE10
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波速、相速、群速、能量传输速度
1、定义
波速〔wave celerity〕：单位时间内波形传播的距离，以波长与波周
期之比表示.V=入/T.
相速(phase velocity)：相速度,单一频率的正弦电磁波波的等相面
〔例如波峰面或波谷面〕在介质中传播的速度v=c/n，c为自由空间
中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射指数。
在理想介质中，电磁波的相速仅与介质参数有关.
群速(group velocity)：〔1〕、波列作为整体的传播速度〔2〕波群传播的速度。
波的群速度，简称群速，是指波的包络传播的速度。
实
际上就是波实际前进的速度。
群速是一个代表能量的传播速度。
概念引入原因：
实用系统的信号总是由许多频率分量组成，在色散介质中，各单色
分量将以不同的相速传播，因此要确定信号在色散介质中的传播速
度就发生困难，为此引入群速的概念，它描述信号的能量传播速度。
能量传播速度：群速是波群的能量传播速度.
2、相互关系
〔1〕相关概念
非色散介质：无线电波在介质中传播时，介电常数ε与频率无关，
波的传播速度也与频率无关的介质；
色散介质：与此相反，如果介电常数ε或传播速度v与频率有关的
介质.
正常色散：一切无色透明介质在可见光区域均表现为正常色散。
特点：波长变大时，由v=λf,频率不变，则V增大。
而n=c/v，则折
射率值n变小，角色散率D变小。
反常色散：在某些波段会出现，波长变大时折射率值增大的现象，
这称为反常色散。
反常色散同样是物质的普遍性质。
反常色散与选
择吸收密切相关，即在发生物质的选择吸收波段附近出现反常色散。
角色散率：由夫琅和费衍射理论知，产生衍射亮条纹的条件〔光栅
方程〕：dsinθ=kλ〔k＝ 1， 2，…， n〕光栅方程对λ微分，就
可得到光栅的角色散率：ψ=Δθ/Δλ=k/dcos.
角色散率是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，随着k的增大，色
散率也就越大。
它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角间距，
当光栅常数d愈小时，角色散愈大；光谱的级次愈高，角色散也愈大。
且当光栅衍射时，如果衍射角不大，则cosθ接近不变，光谱
的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱
镜的不均匀色散有明显的不同。
〔2〕他们之间的相互关系
波速与相速：〔1〕、由波动方程所确定的光波速度v=c/n，反映了
光波波面相位的传播速度。
〔2〕、相速度只代表相位变化的快慢，并不代表电磁波能量的真正
传播速度。
〔3〕、电磁波的波速〔3*10^8〕是固定不变的.电磁波的相速
〔c/n,n可以小于1〕于介质n有关，可以超过光速，也可以为负值.
波速与群速：群速则总小于自由空间的光速c。
由于色散的存在，
同一光信号所包含的不同光谱成分在色散介质中不能同步传播,其合
振动是一个复色平面波,随着该平面波以一相速度向前传播，调制波
也以一速度速度向前优越传播，该速度反映了光波能量度的传播速度，故称之为光波在色散介质中的群速度。
相速与群速：群速和相速只是在频散煤质中才有差异.群速度可以理
解为多个频率的光相互影响和形成的一个周期性的复杂震动。
其相
速度是这个周期中某一个震动形式相同的位置的传播速度，群速度
就是整个这个周期传播的速度。
在无色散介质中，群速等于相速度，
其群速度跟相速度同方向同大小；在色散介质中，群速度不等于相
速度：在正常色散区域，群速度小于相速；在反常色散区域，群速
度则大于相速度。
利用速度的差异可以使不同颜色的光分开。
群速与能量传播速度：群速是波能或信号的传播速度。
3、在前面那些课程中接触过，怎么介绍的,自己如何理解的?
〔1〕高中学习物理中的机械波时，老师讲过波速。
波速指单位时间
内波传播的距离，与波传播的方向相同，v=s/t.
当时老师重点强调了波速的方向与质点振动的方向。
对于横波：波速的方向与质点振动的方向垂直；对于纵波：波速的方向与质点
振动的方向平行；
例：
设Y=0处为波源，t=0时刻开始沿竖直方向做简谐运动，振幅为A，
周期为T,波长为S。
则：每个质点运动状态：X坐标不改变，沿着Y轴在振幅范围内做
简谐运动。
波速的方向：随着波源的运动，会将波能传出去沿着x轴方向，大
小为S/T.
〔2〕、大学里学习《普通物理学》时，深入学习了机械波和电磁波。
讲到了波速与相速和。
同高中时候一样，老师也加以区分了波速与
质点振动的方向。
对于波速：机械波的仅决定于介质的弹性和惯性。
对于相速：由于波的振动状态由相位确定，所以波速就是波的相位
的传播速度，成为相速。
〔3〕、大学里学习《电磁场与电磁波》提到了相速、群速。
关于相速：电磁波的等相位面在空间中的运动速度称为相位速度，
简称为相速。
对于波上任意固定观察点，其相位是恒定值，均匀平面波的相
速为V=dz/dt=w/k;在理想介质中，均匀平面波的相速与频率无关，
但与媒介参数有关。
自由空间中，相速=光速。
对于群速：引入原因：一个信号总是有许许多多频率成分组成，用
相速无法描述一个信号在色散媒介中的传播速度，从而引入群速的
概念。
定义：包络波上任一恒定点的推进速度。
相速与群速的之间的关系：Vg=dZ/dB;
Vg=Vp/(1-w*dVp/Vp*dw).
可知，dVp/dw=0，则群速等于相速，为无色散。
dVp/dw＜0，则群速小于相速，为正常色散。
dVp/dw＞0，则群速大于相速，为反常色散。
自己的理解：以电磁波为例。
电磁波在自由空间内周期T,波长为λ。
波速：波速指单位时间内波传播的距离，与波传播的方向相同，
v=s/t.如下列图：v=λ/T.
相速：电磁波的等相位面在空间中的运动速度称为相位速度，简称
为相速。
群速：包络波上任一恒定点的推进速度，用相速无法描述一个信号
在色散媒介中的传播速度，从而引入群速的概念。
能量传播速度：群速即为能量传播速度。
4、相关概念在当前科学技术中有什么应用和发展？对自己今后的工作会有什么帮助？
〔1〕、应用：波速测试技术在岩土工程勘察设计中的应用
简介：地震勘探方法之一
原理：获得岩土体的弹性波速
用途：为工程设计提供所需的动弹性力学参数、划分建筑物场地类别、评定地震效应、进行场地地震反映分析、地震破坏潜势分析等
剪切波速：剪切波速是指震动横波在土内的传播速度，单位是m/s。
可通过人为激震的方法产生震动波，在相隔一定距离处记录振动信
号到达时间，以确定横波在土内的传播速度。
测试方法一般有单孔法、跨孔法等。
剪切波速是抗震区确定场地土类别的主要依据。
剪切波速的应用：划分场地土类型、在地震小区划中的应用、判断
场地液化、计算场地土层的动弹性模量、推算卵石、圆砾地基承载
力标准值.
〔2〕、未来应用
之前的讨论里我们知道，群速度超过了光速的光脉冲波峰的速
度〔群速度不能用于计算信号的传播速度，光波波头的传播速度才
是传播速度〕。
绝对零度环境中，互相干扰的不同频率的激光束，由于波速，
相速，群速等的不同，这两个相互干扰的激光束将在频谱中产生可
以被吸收的震荡，激光的波长被改变，光速改变。
光速改变技术有
助于我们进一步揭露那些新的物理现象。
应用未来：光学领域
光学延迟线控制技术、光学数据存储、光学储存器以及量子信息的
研究。