矩阵的初等变换和应用的总结
拉姆达矩阵的初等变换
拉姆达矩阵的初等变换拉姆达矩阵的初等变换1. 引言在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
而在矩阵的运算中，初等变换是一种基础而实用的方法。
本文将探讨拉姆达矩阵的初等变换，讨论其定义、性质以及在线性代数中的应用。
2. 拉姆达矩阵的定义拉姆达矩阵，即对角矩阵，是一个具有特殊结构的矩阵。
定义一个n阶的拉姆达矩阵D，其中对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，其它位置上的元素均为0。
可以表示为：D =[[d1, 0, 0, ..., 0],[0, d2, 0, ..., 0],[0, 0, d3, ..., 0],...,[0, 0, 0, ..., dn]]3. 拉姆达矩阵的性质拉姆达矩阵具有以下性质：3.1 对角线上的元素是矩阵的特征值。
由拉姆达矩阵的定义可知，拉姆达矩阵的对角线上的元素即为矩阵的特征值。
这是由于矩阵的特征值定义为满足方程Ax=λx的数λ，其中A是系数矩阵，x为非零向量。
对拉姆达矩阵而言，特征向量x即为对应的单位向量，特征值即为对角线上的元素。
3.2 初等变换不改变拉姆达矩阵的对角线元素。
初等变换是一种矩阵的基本操作，包括行交换、行伸缩和行组合三种变换。
对于拉姆达矩阵，这些变换不会改变对角线上的元素，因为行交换只改变行的顺序，行伸缩只改变行的比例关系，行组合只改变行之间的线性组合关系，不会改变对角线上的元素。
4. 拉姆达矩阵初等变换的应用4.1 解线性方程组拉姆达矩阵的初等变换在解线性方程组中具有重要的应用。
通过初等变换，可以将线性方程组化为简化形式，从而更容易求解。
可以通过行交换将方程组的主元位置移至对角线上，通过行伸缩将对角线上的元素变为1，从而简化计算过程。
4.2 矩阵的相似性变换拉姆达矩阵的初等变换还可用于矩阵的相似性变换。
矩阵相似性变换是线性代数中的一个重要概念，可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
通过初等变换，可以将矩阵化为对角矩阵的形式，从而更容易求解特征值和特征向量。
初等矩阵及其性质
证明二：初等矩阵不改变向量间的线性关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
初等矩阵不会改变向量间的线性关系，即对于任意向量组 ，经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得到，这些变换 都不会改变向量间的线性关系。因此，对于任意向量组， 经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
证明三：初等矩阵的行列式值不为零
总结词
初等矩阵的行列式值不为零，即对于任意一 个初等矩阵，其行列式值不为零。
详细描述
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得 到，这些变换都不会改变矩阵的行列式值。 因此，对于任意一个初等矩阵，其行列式值
用
矩阵的逆
通过初等矩阵的变换，可以求得一个可逆矩阵的逆矩阵，从而进行矩阵运算。
线性变换
在研究线性变换时，可以利用初等矩阵的变换，将线性变换表示为矩阵的形式，便于分析和理解。
04
初等矩阵的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
通过初等矩阵的行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程 组。
证明一：初等矩阵是可逆的
总结词
详细描述
初等矩阵是可逆矩阵，即存在一个可逆矩阵， 使得初等矩阵与单位矩阵通过一系列的行变 换或列变换相互转化。
初等矩阵由单位矩阵通过互换两行或两列、 将某一行或某一列乘以非零常数以及将某一 行或某一列乘以另一行或另一列的非零倍数 得到。由于这些变换都是可逆的，因此初等 矩阵也是可逆的。
实例三：求矩阵的逆矩阵
总结词
利用初等矩阵的行变换性质，通过行变 换将可逆矩阵化为单位矩阵，从而求出 其逆矩阵。
VS
详细描述
对于可逆矩阵，可以通过初等矩阵的行变 换将其化为单位矩阵。在行变换过程中， 原矩阵左边的矩阵即为所求的逆矩阵。这 种方法称为高斯消元法，适用于求解可逆 矩阵的逆矩阵。
初等变换与初等矩阵
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵初等变换特征值
矩阵初等变换特征值矩阵初等变换的一个重要应用是求解线性方程组。
给定一个线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个n维向量。
我们可以通过将线性方程组的增广矩阵[A，b]进行一系列初等变换，得到一个简化的增广矩阵[R，c]，其中R是一个行阶梯形矩阵，c是一个n维向量。
然后，我们可以利用行阶梯形矩阵R进行回代的方法求解出向量x。
矩阵初等变换可以使得矩阵的求解更加快速和简单。
另一个重要的应用是计算矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n×n的矩阵A，我们称λ是A的一个特征值，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx。
我们称x是λ对应的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量在许多应用中具有重要的意义，例如在物理学中用于描述振动问题，在机器学习中用于降维和聚类等。
计算矩阵的特征值和特征向量可以通过矩阵初等变换来进行。
我们可以先找到矩阵A的特征多项式P(λ)，它定义为P(λ) = det(A - λI)，其中I是一个n×n的单位矩阵。
然后，我们可以通过求解方程P(λ) =0来得到矩阵的特征值λ。
一旦我们得到了特征值，我们可以将其代入方程(A - λI)x = 0，然后通过矩阵初等变换来求解出特征向量x。
总结起来，矩阵初等变换在线性代数中有广泛的应用。
它可以用来求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量。
矩阵初等变换通过一系列变换操作，可以将复杂的矩阵化简为更简单的形式，从而使得矩阵的求解更加方便和高效。
掌握矩阵初等变换的方法可以帮助我们在数学和工程领域中解决实际问题。
矩阵初等变换的应用
２． 用初 等 变 换 求 伴 随 矩 阵 利
对 于求 伴 随 矩 阵 ， 遍 算 法 是 利 用 代 数 余 子 式 （ 伴 随 矩 阵 的 元 普 即
０ Ｃ Ｌ ０ ２
ｐ（Ｔ ）＝ Ｔ Ａｐ Ａ
Ｌ Ｌ Ｌ Ｌ ０ Ｏ Ｌ ｅ
１ 求 积 Ａｒ ） ｌ Ａ
（ ＡＥ （ Ａ （ Ａ－ＡＡ ） Ｅ １ （ ＝Ｉ ｌ
， １ 、韧等变 搀
（ ＡＥ— 以结 成 ］ ）—Ｅ Ａ， ，论 立 ｒ 打 （ ） 所
由定 理 知
２ ｚｎ阵 ） ） ｎ矩 （ 作×
３ 矩 （ ）行 法 等 变 ，Ａ 化 下 角 阵 ） 阵 施 消 初 列 换把 Ｔ 为 三 矩 ， 对 Ａ
（ ） 列
ＡＰ
其中 ｃ Ｏｉ １ ，，） ｉ （ ， Ｌｎ， ＞ ＝２ Ｐ是 （）＞） 的 初 等 矩 阵 之 积 ， 而 Ｐ是 可 ｋ（ ｊ ｊ 形 从 逆 且 主 对 角 线 元 素 为 １的 下 三 角 形 矩 阵 ． 为 ＡＡ 是 对 称 矩 阵 ， 以 因 Ｔ 所 Ｐ（ ） 对 称 矩 阵 ， ｒ Ａ Ｐ是 由矩 阵 的 乘 法 与 初 等 变 换 的 关 系 可 知 ， Ｐ 左 用 Ｔ
Ｊ、 于掌 握 等 优 点 。 本 文主 要 介 绍 了利 用 初 等 变 换 求伴 随矩 阵 ， 准正 交基 和 几 个 多项 式 的 最 大 公 因 式 的 三 个应 用 。 、易 标
【 关键词】 初等变换 ； 随矩 阵； 伴 标准正交基 ； 最大公 因式
１概 述 ．
１１矩 阵 的初 等 变 换 的 定 义 ． 矩 阵 的 初 等 变换 指 的是 在 数 域 Ｆ里 的 以 下 三 种 变 换 ： １ 变 换 矩 阵 任 意两 行 （ ） 位 置； ） 列 的
矩阵的初等行变换
i
i
j
i
k
k
j
( A);
( A);
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与
变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
a11
A
a21
a12 b1
a22 b2
定义1 下面三种变换行, 记作 ↔ ）；
2.用初等行变换求
3.对 求转置，得到
= =
所以
练习
例：求解矩阵方程
2 以数 ≠ 0 乘以某一行的所有元素;
（第 行乘 , 记作 × ）
3 把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的
元素上去（第 行的 倍加到第 行上记作 + ）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
第i行
1
1
1……k
第i行
……
E(i, j(k)) =
1
第j行
1
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，
就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等
价
关
系
的
性
质：
（1） 反身性 A ∼ A；
（2） 对称性 若 A ∼ B ,则 B ∼ A;
（3）传递性 若 A ∼ B,B ∼ C,则 A ∼ C.
(1) E
(2) E
rik
E(i(k))
ri+krj
(3) E
E(i, j(k))
E
E
E
ci cj
华东理工线性代数1-5初等变换 (2)
( 3 ) 把第 i 行 (列）的 k 倍加到第
记作 rij ( k（ cij ( k )) )
j 行 （列） ,
定义2 初等行变换与列变换统称为初等变换
初等变换的逆变换仍为初等变换
rij
逆变换 逆变换 逆变换
ri (λ )
rij ( k )
rij 1 ri ( ) ;
λ
rij ( − k ) .
I
I
以 Rij ( k ) 左乘矩阵 A，得 a12 ⎛ a11 ⎜ M M ⎜ ⎜ a ai 2 i1 ⎜ M M Rij ( k ) A = ⎜ ⎜ a + ka a j 2 + kai 2 j1 i1 ⎜ M M ⎜ ⎜ a am 2 ⎝ m1
⎞ ⎟ M ⎟ ain ⎟ L ⎟ M ⎟ L a jn + ain ⎟ ⎟ M ⎟ L amn ⎟ ⎠
第一章 矩阵
第五节
初等变换和初等矩阵
一、初等变换的引入 − −方程组的 同解变换
二、矩阵的初等变换
三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用 五、小结、思考题
一、初等变换的引入-----方程组 的同解变换
引例 求解线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0 ⎪ 3 x1 + x2 = −1 ⎨ ⎪ − x − x − 2x = 1 1 2 3 ⎩
L
a1n
以 C ji ( k ) 右乘矩阵 A
AC ji ( k )
⎛ a11 L a1i + ka1 j L a1 j L a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a21 L a2 i + ka2 j L a2 j L a2 n ⎟ =⎜ L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎜a L ami + kamj L amj L amn ⎟ ⎠ ⎝ m1
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矩阵的初等变换及应用
内容摘要：
矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代
数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行
列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向
量间的线性关系。
一 矩阵的概念
定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，
n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵
二 矩阵初等变换的概念
定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换
1.初等行变换
矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);
(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作
);
(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,
记为).
1. 初等列变换
把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换
3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A
与矩阵B等价，记作A~B
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性 ;
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(2) 对称性 若,则;
(3) 传递性 若,,则.
三 矩阵初等变换的应用
1. 利用初等变换化矩阵为标准形
定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它
化为标准形
2. 利用初等变换求逆矩阵
求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等
行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边
的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)
即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化
为行阶梯形矩阵时，
若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可
逆。
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设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵
，
为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩
阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上
述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即
.
这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.
同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利
用初等列变换求矩阵. 即
.
3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩
矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线
性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初
等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的
行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于
这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式
来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方
法.
定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）
=R(B)
为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵
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解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩
利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后
通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨
论线性方程组的结构。
4. 行列式的计算
一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形
5．求线性方程组的解
一般格式:
(1)齐次线性方程组AX=0，A是m×n矩阵
1°对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，
求出r(A)。
若r(A)=n，则AX=0，只有零解；若r(A)＜n， 则AX=0有非
零解，转入2°
2°对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，
写出其对应的
线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本
未知量，其余的n-k个
未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般
解，在一般解中分别令
自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：
X１，X２，…，Xn-k
3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C
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１，C２，…，Cn-k为任意常数)就是AX=0的通解。
(2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵
1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，
求出r(A)与r(AB)，若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若
r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2°
2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩
阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则
AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯
一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷多解，
转入3°
3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，
其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右
端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得
AX=B的一个特解X0
4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的
一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，
求出导出组AX=0的基础解系，X１，X２，…，Xn-k与通解
C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k
5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２
X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B
的通解。
6. 确定向量组的线性相关性
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一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为
列构成矩阵A，对A施行
初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出
其秩r（A），若r（A）=m，
则α1α2……αm线性无关，若r（A）
7. 确定一向量能否由另一向量线性表出
一般格式：以向量组α1α2……αm与向量β为列构成矩阵
A，然后对A施行初等行变换，化为行最简形矩阵B
8. 求向量组的秩与极大无关组
一般格式：设向量组α1α2……αm，以它们为列构成矩阵A
B的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm中的
向量αi1……αir
构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm
的秩。
结 论
矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计
算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，
Bm行最简形矩阵初等行变换21A
Bm行阶梯形矩阵初等行变换21A
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所以，它们也有一些明显的区别。
计算格式1既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施
行这些变换时要注意使行列式保值。
计算格式3既可以用初等行变换也可以用初等列变换，但
是我们一般只用初等行变换。
其余计算格式只能使用初等行变换。