高三数学一轮 2.6 对数与对数函数导学案 理 北师大版
高三数学一轮复习 26 对数函数课件
D. You are welcome
12. —Can you see ___C___ animals in the zoo?
—Yes. And the pandas are ______ cute.
A. kind of; kind of
B. all kinds of; all kinds of
C. all kinds of; kind of D. kind of; all kinds of
【答案】 B.
2．(2009年湖南卷)若log2a＜0， A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
＞1，则( )
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【解析】 ∵log2a＜log21，∴0＜a＜1.∵ ∴b＜0.
＞1＝
，
【答案】 D
3．(2008年安徽卷)集合A＝{y∈R|y＝lgx，x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，则
14. —Is ___C___ here now, Leo?
— No. Wendy isn’t here. She is running on the
playground.
A. somebody
B. anybody
C. everybody
D. nobody
15. [ 易混题] —How exciting the story is!
—Jessica! She was the most talented dancer of all!
9. The boy is __t_a_le_n_t_e_d__ (talent) in music. He wants to be a musician.
10. The man was __se_r_i_o_u_s_ly__ (serious) hurt in the traffic accident.
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-对数运算与对数函数(含解析)
一、单项选择题1．(2023·哈尔滨模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为()A ．[1，＋∞)B.34，1C.34，1 D.0，342．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．33．若12log 0.8log 0.8x x <<0，则x 1与x 2的关系正确的是()A ．0<x 2<x 1<1B ．0<x 1<x 2<1C ．1<x 1<x 2D ．1<x 2<x 14.已知函数f (x )＝log a (x －b )(a >0，且a ≠1，a ，b 为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A ．a >0，b <－1B ．a >0，－1<b <0C ．0<a <1，b <－1D ．0<a <1，－1<b <05．(2024·通化模拟)设a ＝log 0.14，b ＝log 504，则()A ．2ab <2(a ＋b )<abB ．2ab <a ＋b <4abC ．ab <a ＋b <2abD ．2ab <a ＋b <ab6．(2023·本溪模拟)若不等式(x －1)2<log a x (a >0且a ≠1)在x ∈(1,2]内恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2，2)二、多项选择题7．(2024·永州模拟)若10a ＝5，10b ＝20，则()A ．a ＋b ＝4B ．b －a ＝lg 4C ．ab <2(lg 5)2D ．b －a >lg 58．(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝－4B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<4D ．0<x 1x 2x 3x 4≤2三、填空题9．计算：lg 25＋23lg 8－log 227×log 32＋2log 32＝.10．(2023·绍兴模拟)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >y 时，f (x )<f (y )，请你写出一个符合上述条件的函数f (x )＝.11．设p >0，q >0，若log 4p ＝log 6q ＝log 9(2p ＋q )，则p q ＝.12．(2023·龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在实数x ，使得f (－x )＝－f (x )，则称函数y ＝f (x )为定义域上的局部奇函数．若函数f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是．四、解答题13．已知f (x )＝213log (5)x ax a -+．(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．14．(2024·株洲模拟)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)－kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 9m 的取值范围．15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则()A．x>y>zB．x<y<zC．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log a x－(a)x－log a2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是．§2.8对数运算与对数函数1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [若0<a <1，此时x ∈(1,2]，log a x <0，而(x －1)2>0，故(x －1)2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈(1,2]，log a x >0，而(x －1)2>0，令f (x )＝log a x ，g (x )＝(x －1)2，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2]内恒成立，则log a 2>1，解得a ∈(1,2)．]7．BC [由10a ＝5，10b ＝20，得a ＝lg 5，b ＝lg 20，则a ＋b ＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；b －a ＝lg 20－lg 5＝lg 205＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；ab ＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5，∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab <2(lg 5)2，故C 正确．]8．AB [函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0的图象如图所示，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝t ，则0<t <4，则直线y ＝t 与函数y ＝f (x )图象的4个交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.对于A ，函数y ＝－x 2－4x 的图象关于直线x ＝－2对称，则x 1＋x 2＝－4，故A 正确；对于B ，由图象可知|log 2x 3|＝|log 2x 4|，且0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4，即log 2(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，故B 正确；对于C ，由图象可知log 2x 4∈(0,4)，则1<x 4<16，故C 错误；对于D ，由图象可知－4<x 1<－2，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1(－4－x 1)＝－x 21－4x 1＝－(x 1＋2)2＋4＝f (x 1)∈(0,4)，故D 错误．]9．210.12log x (答案不唯一)11.1212．(2，5]解析因为f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，所以x ＋m >0在[－2,2]上恒成立，所以m －2>0，即m >2，由局部奇函数的定义，存在x ∈[－2,2]，使得log 3(－x ＋m )＝－log 3(x ＋m )，即log 3(－x ＋m )＋log 3(x ＋m )＝log 3(m 2－x 2)＝0，所以存在x ∈[－2,2]，使得m 2－x 2＝1，即m 2＝x 2＋1，又因为x ∈[－2,2]，所以x 2＋1∈[1,5]，所以m 2∈[1,5]，即m ∈[－5，－1]∪[1，5]，综上，m ∈(2，5]．13．解(1)当a ＝2时，f (x )＝213log (-210)x x ，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u ＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u 为减函数，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴u ＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a ≥0，解得－14≤a ≤2，∴a 的取值范围是－14，2.14．解(1)因为9x ＋1>0，所以f (x )的定义域为R ，又因为f (x )是偶函数，所以∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x ＋1)＋kx ＝log 9(9x ＋1)－kx 对∀x ∈R 恒成立，则2kx ＝log 9(9x ＋1)－log 9(9－x＋1)＝log 99x ＋19－x ＋1＝log 99x ＝x 对∀x ∈R 恒成立，即x (2k －1)＝0对∀x ∈R 恒成立，因为x 不恒为0，所以k ＝12.(2)由(1)得f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－129log 9x ＝log 99x ＋13x ＝log x则方程f (x )＝log log x log 不相等的实数解，所以方程3x ＋13x ＝m 3x ＋1有两个不相等的实数解，令t ＝3x ，且t >0，方程化为t ＋1t ＝m t＋1，即方程m ＝t 2－t ＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g (t )＝t 2－t ＋1，则y ＝m 与y ＝g (t )在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g (t )所以g (t )≥＝34，且g (0)＝1，所以m 15．D [令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ≠0，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，令g(k)＝k t，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，当t<0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即1，令f(t)1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]16．(1，1 e e)解析由题知，x>0，f(x)＝log a x－(a)x－log a2＝log a x2－2x a，令t＝x2，t>0，则y＝log at与y＝a t的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝log a t与y＝a t互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝log a t，y＝a t的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，a m ln a＝1，a m，解得m＝e，又1m ln a＝1，所以a＝1e e>1，所以当a＝1e e时，y＝log a t和y＝a t只有一个交点，如图1；当a>1e e时，y＝log a t和y＝a t无交点，如图2；当1<a<1e e时，y＝log a t和y＝a t有两个交点，如图3.综上，a的取值范围为(1，1e e)．。
新野三高高一上学期数学(北师大版)必修一导学案总编第029：第3章 对数函数的概念 对数孙数的图像和性质
高一年级数学导学案（总编号：028）
主备课人：赵媛 审定人：王轶玲
时间：2013.10
§5.1 对数函数的概念
§5.2 对数孙数2log y x =的图像和性质
【学习目标】
1．掌握对数函数的概念．
2．理解并掌握对数函数与指数函数的关系．
3．会画具体的对数函数的图像． 【重难点】
【预习导学】
知识点1 对数函数的概念（重点）
知识点2 反函数的概念和性质（重点）
1
、求反函数的步骤
2、反函数的性质
3、互为反函数图像的对称性
4
、反函数存在的条件
【达标训练】
1、下列函数解析式中是对数函数的有
2、求下列函数的定义域：
3、
4、
5、
6
、
【拓展延伸】
1、函数()f x
=的定义域为
． 2、
3、
4、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()12x
f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
则()f x 的反函数的图像大致是（ ）．
5、对任意不等于1的正数a ，函数()log (3)a f x x =+的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是
．。
「精品」高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教师用书文北师大版
第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．1．对数的概念如果a b＝N (a ＞0且a ≠1)，那么b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b log c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M n＝n log a M (n ∈R )； ③log a M N＝log a M －log a N .3．对数函数的定义、图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .]图2613．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图261，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482059】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log43＝________.【导学号：66482060】23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100＝________.(1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.](1)(2016·河南焦作一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y＝log a |x |的图像大致是( )A B C D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：66482061】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] (2017·西城区二模)如图262，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，点C 在函数y ＝log 2x 的图像上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )A ．2B ．3 C. 2 D ．3图262D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c＞b c，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a＜c b ，D 项错误．] ☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )【导学号：66482062】A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数. 3分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 12分 [规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0； 当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数学案(文,含解析)新人教A版
学习资料2。
6 对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理 1。
对数的概念(1）根据下图的提示填写与对数有关的概念:（2)a 的取值范围 . 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a>0，且a ≠1,M>0，N>0，那么 ①log a （MN )= ； ②log a MN = ; ③log a M n = (n ∈R )。
（2)对数的性质:a log a N =N （a 〉0，且a ≠1,N>0）。
（3)对数换底公式:log a b=log c blog ca （a>0,且a ≠1;b 〉0;c>0,且c ≠1)。
3。
对数函数的图象与性质函数 y=log a x （a>0，且a ≠1） a 〉1 0〈a 〈1图象定义域:4。
反函数指数函数y=a x（a>0，且a≠1)与对数函数(a〉0,且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线对称。
1。
对数的性质(a〉0，且a≠1,b〉0)(1）log a1=0；考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
(1）log2x2=2log2x。
（) （2)函数y=log2x及y=lo g133x都是对数函数.（) （3）当x〉1时,若log a x>log b x，则a〈b。
()（4）函数f(x）=lg x-2x+2与g(x)=lg（x-2）—lg(x+2)是同一个函数。
（)(5）对数函数y=log a x(a〉0,且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1),(1a ,-1).（)2。
(2020陕西西安中学八模,理3）已知x ·log 32=1，则4x =（ )A.4B 。
6C.4log 32D 。
93。
（2020山东历城二中模拟四，3)已知a=lo g 1516,b=lo g 13π3，c=3-13,则a ，b ，c 的大小关系是( ）A.b 〈a<cB.a 〈c 〈bC.c 〈b<aD.b 〈c<a4。
04-第三节 对数函数-课时2 对数函数y=log_ax的图象和性质高中数学必修一北师大版
B. 2, +∞
C. −∞, 2
D. −∞, 0 ∪ 22 + 1 ，所以
2 − 1 = lg[ 2 − 1
2 − 1
2
2
+ 1]， + 1 = lg[ + 1
+ 1 ≥ 1 > 0, + 1
2
2
+ 1]，又
+ 1 ≥ 1 > 0,且 = lg 在 0, +∞ 上单调递
当 ∈ 0, +∞ 时, + 1 ∈ 1, +∞ ,又 > 1,所以
B × = log + 1 = log + 1 ,由复合函数单调性可知,
∈ 0, +∞ 时, 单调递增.
C √
D √
当 ∈
1
[− , 1]时,
2
+1 ∈
1
[ , 2],所以
2
= log + 1 ≥ log 1 = 0.
因为对任意 ∈ [1,2], = log + 1 = log + 1 > 1恒成
立,且 > 1,所以log 2 > 1,得1 < < 2.
13.解关于的不等式：log + 1 > log 3 − 2 ( > 0，且 ≠ 1).
3 − 2 > 0,
增，所以 2 − 1 > + 1 ⇔ 2 − 1
2
+1> +1
2
+ 1，解得
< 0或 > 2，所以的取值范围为 −∞, 0 ∪ 2, +∞ .故选D.
《对数与对数函数》——高三数学一轮复习
xlg|x－1| xlg－x＋1
＋∞)，当 x<0 时，－x＋1>1，函数 f(x)＝
＝
＝－lg(－x＋1)<0，故
|x|
－x
xlg|x－1| xlg－x＋1
排除 A、B 选项；当 0<x<1 时，0<－x＋1<1，故函数 f(x)＝
＝
＝lg(－
|x |
x
xlg|x－1| xlgx－1
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
ABC
)
图象的应用
解析 对于 A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，∵lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)，∴f(x＋2)为偶函数，
A 正确；对于 B，当 x≥0 时，f(x＋2)＝lg(x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递增，
转化为函数 y＝2x，y＝3x，y＝log5x 与直线 y＝t>1 的交点的横坐标的关系，故作出函
数图象，如图，由图可知 z>x>y.
比较大小
例 7. (2022·山东淄博一模)若 4x＝5y＝20，
z＝logxy，
则 x，
y，
z 的大小关系为(
A．x<y<z
B．z<x<y
C．y<x<z
D．z<y<x
≈541 万元，故选
40
2
PART.02
对数函数的图象及其性质
知识回顾
3．对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，
9东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--对数与对数函数A
五、 课时作业 对数与对数函数 一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后 的括号内．) 1．函数 y＝log1(2x2－3x＋1)的递减区间为(
2
Байду номын сангаас
) 1 C. 2，＋∞ 1 D. －∞，2
A．( 1，＋ ∞)
3 B. －∞，4
3
1 0 5
> log3 4
1 0 5
(C) log3 4 > log1 10 >
3
1 0 5
(D) log1 10 > log3 4>
3
2
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 009A
探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例 6：已知0 < ������ < 1 ，0 < ������ < 1 ，且alo g b (X −3) <1,则 x 的取值范围是 。
1 1 1 c a b
= +
（B）
2 2 1 c a b
= +
（C） = +
1 2 2 c a b
（D） = +
2 1 2 c a b
例 2：已知log6 7=a ，log3 4=b ，用 a， b 表示log14 21 探究二：对数函数及其性质 例 3：求函数 y=2 lg x − 2 − lg x − 3 的最小值
c
M
log N
0, 且 c ≠ 1, N > 0) 2、 对数函数与对数函数的性质 （1） 、一般地，我们把函数 f(x)= loga x(a > 0, 且 a ≠ 1)叫做对函数，其中 x 是自 变量，函数的定义域是（0，+∞）。 （2） 、对数函数的图象及性质 图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分 a>1 与0 <a<1 两种情况。
高考数学大一轮复习 2.6对数与对数函数学案 理 苏教版
学案9 幂函数导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的单调性和奇偶性．自主梳理1．幂函数的概念形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y ＝x R R 奇(1,1) y ＝x 2 R [0，＋∞)偶 [0，＋∞)(－∞，0]y ＝x 3R R奇Y ＝x 12[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)Y ＝x －1(－∞，0) ∪(0，＋∞)(－∞，0) ∪(0，＋∞)奇(－∞，0) (0，＋∞)(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．自我检测1．如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________________．2．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是_____________________________________．3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．4．与函数y ＝xx ＋1的图象形状一样的是________(填序号)．①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝1x；④y ＝x ＋1.5．已知点(33，33)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式是____________．探究点一 幂函数的定义与图象例1 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点(2，14)．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)求当x 为何值时：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x g x ，gx ，f x g x ，试求函数h (x )的最大值以及单调区间．探究点二 幂函数的单调性例2 比较下列各题中值的大小．(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233； (3)122，131.8；(4)254.1，233.8-和35( 1.9)-.变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小：①138--________131()9-；②0.20.5________0.40.3.(2)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m，则m 的取值范围为_____________________________． 探究点三 幂函数的综合应用例3 (2010·葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．变式迁移3 已知幂函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若函数f (x )是幂函数，且满足f f＝3，则f (12)的值为________．2．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n，则n ＝________.3．下列函数图象中，正确的序号有________．4．(2010·安徽改编)设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系为____________．5．下列命题中正确的是________(填序号)． ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n ＝0时，函数y ＝x n的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n当n <0时在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 6．(2011·徐州模拟)若幂函数y ＝222(33)m m m m x ---+的图象不经过原点，则实数m的值为________．7．已知a ＝x α，b ＝2x α，c ＝1x α，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是______________．8．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确的命题序号是______________．二、解答题(共42分) 9．(14分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．10．(14分)已知f (x )＝2123nn x -++(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．11．(14分)(2011·苏州模拟)已知函数f (x )＝22k k x -++(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．答案 自主梳理1．y ＝x αx α 2.(2)(0，＋∞) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过 自我检测1．2，12，－12，－2解析 方法一 由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (c 1)>n (c 2)>n (c 3)>n (c 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.方法二 作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22,11222,2-，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.2．④③①②解析 第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y ＝k x，③y ＝x －1恰好符合，∴第二个图象对应③；第三个图象为指数函数图象，表达式为y ＝a x，且a >1，①y ＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；第四个图象为对数函数图象，表达式为y ＝log a x ，且a >1，②y ＝log 2x 恰好符合，∴第四个图象对应②.∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②. 3．1,3 4．③5．f (x )＝x －3课堂活动区例1 解 (1)设f (x )＝x α，∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵图象过点(2，14)，∴14＝2β，解得β＝－2. ∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(－1，1)和(1,1)． ∴①当x >1，或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．变式迁移1 解 求f (x )，g (x )解析式及作出f (x )，g (x )的图象同例1， 如例1图所示，则有：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <－1或x >1，x 2，－1≤x ≤1.根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．解 (1)函数y ＝3x 是增函数，∴30.8>30.7.(2)函数y ＝x 3是增函数，∴0.213<0.233.(3)∵1113222 1.8 1.8>>，∴11322 1.8>.(4)22554.11>＝1；0<22333.81--<＝1；35( 1.9)-<0，∴35( 1.9)- <22353.84.1-<.变式迁移2 (1)①< ②< (2)m >0解析 根据幂函数y ＝x 1.3的图象，当0<x <1时，0<y <1，∴0<0.71.3<1.又根据幂函数y ＝x 0.7的图象，当x >1时，y >1，∴1.30.7>1.于是有0.71.3<1.30.7.对于幂函数y ＝x m ，由(0.71.3)m <(1.30.7)m知，当x >0时，随着x 的增大，函数值也增大，∴m >0.例3 解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴1133(1)(32)a a --+<-等价于a ＋1>3－2a >0， 或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的范围为{a |a <－1或23<a <32}．变式迁移3 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．课后练习区 1.13解析 依题意设f (x )＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f (x )＝2log 3x，于是f (12)＝2log 31()2＝221log log 3322-=＝13.2．－1或2解析 可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 3．③解析 对①、②，由y ＝x ＋a 知a >1，可知①、②图象不正确；③④中由y ＝x ＋a 知0<a <1，∴y ＝a x和y ＝log a x 应为减函数，④错，③对． 4．a >c >b解析 ∵y ＝25x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，∴225532()()55>，即a >c ，∵y ＝(25)x在x ∈(－∞，＋∞)上单调递减，∴235522()()55>，即c >b ，∴a >c >b .5．②⑤ 6．1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合．7．c <a <b解析 ∵α∈(0,1)，∴1α>α>α2.又∵x ∈(0,1)，∴x 1α<x α<x α2，即c <a <b .8．①②③解析 作出y ＝x α(0<α<1)在第一象限内的图象，如图所示，可判定①②③正确，又f xx表示图象上的点与原点连线的斜率， 当0<x 1<x 2时应有f x 1x 1>f x 2x 2，故④错．9．解 设在[－1,1)中，f (x )＝x n，由点(12，18)在函数图象上，求得n ＝3.…………………………………………………(5分)令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.……………………………………………………………………(10分)又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．………………………………………………………………(14分)10．解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.…………………………………………………………(4分) 又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13，∴f (x )在R 上单调递增．…………………………………………………………………(10分)∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(14分)11．解 (1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.…………………………………………………………………………………(6分)(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得．……………………………………………………………………………………………(8分)而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝q －24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，………………………………………………………………(12分)g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．……………………………………………………(14分)。
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习2.6 对数与对数函数教学设计及答案
第六节对与对函对与对函(1)解对的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对转成自然对或常用对；了解对在简运算中的作用．(2)解对函的概念；解对函的单调性，掌握函图象通过的特殊点．(3)知道对函是一类重要的函模型．(4)了解指函y＝a x与对函y＝log a x互为反函(a＞0，且a≠1)．知识点一对及对运算1．对的定义一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对，记作x ＝log a_N，其中a叫作对的底，N叫作真．2．对的性质(1)log a1＝0，log a a＝1.(2)a log a N＝N，log a a N＝N.(3)负和零没有对．3．对的运算性质如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么(1)log a (MN)＝log a M＋log a N.(2)log a MN＝log a M－log a N.(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．(4)换底公式log a b＝log m blog m a(a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1).必记结论1．指式与对式互：a x＝N⇔x＝log a N.2．对运算的一些结论：①log am b n ＝n mlog a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________. 解析：本题考查指和对的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：182．lg 427－lg 823＋lg 75＝________.解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二 对函定义、图象与性质易误提醒 解决与对函有关的问题时易漏两点： (1)函的定义域． (2)对底的取值范围．必记结论1．底的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对函的底逐渐变大．2．对函y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函图象只在第一、四象限． [自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.答案：B4．函y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函y ＝log a x 在[2,4]上是增函，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.(2)当0＜a ＜1时，函y ＝log a x 在[2,4]上是减函，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.由(1)(2)知a＝2或a＝1 2 .答案：2或1 2考点一对式的简与求值|1．(2015·内江三模)lg 51 000－823＝( )A.235B．－175C．－185D．4解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2. log23 2－4log23＋4＋log213＝( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2解析： log23 2－4log23＋4＝ log23－2 2＝2－log23，又log213＝－log23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.解析：原式＝2log4 3＋2－log43＝3＋13＝433.答案：43 3对运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底或真进行变形，成分指幂的形式，使幂的底最简，然后正用对运算性质简合并．(2)将对式为同底对的和、差、倍运算，然后逆用对的运算性质，转为同底对真的积、商、幂的运算．考点二 对函图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎨⎧lg x －1 ，x ＞1，lg 1－x ，x ＜1.当x ＝1时，函无意义，故排除B 、D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对型函的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对型函，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用形结合思想．(2)一些对型方程、不等式问题常转为相应的函图象问题，利用形结合法求解．1．已知函f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三 对函性质及应用|已知函f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函f (x )有意义， 则⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对函的性质研究对型函性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底与1的大小关系；三是如果需将函解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函的构成，即它是由哪些基本初等函复合而成的．2．已知函f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83.5.插值法比较幂、对大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函y ＝x 0.5和对函y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)成同底的指式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或形结合进行比较；(3)先判断函φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．[解析] (1)根据幂函y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1； 根据对函y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103.法一：在同一坐标系中分别作出函y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3 103＞1， ∴log 4 3.6＜log 3103. ∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6.由于y ＝5x为增函，∴5log 2 3.4＞5log 3 103＞5log 4 3.6.即5log 2 3.4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b .(3)因为函y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函y ＝xf (x )为奇函．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0， 则函y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函，所以当x ∈(0，＋∞)时，函y ＝xf (x )单调递减． 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对的大小可以利用形结合和引入中间量利用函单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况构造相应的函，利用函单调性进行比较，如果指相同，而底不同则构造幂函，若底相同而指不同则构造指函，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a b ，y ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＞1，y ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1bb ＝－1，则y ＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．函f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函f (x )的解析式可确定该函为偶函，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k2k －23k －3＝108.所以选C.答案：C4．(2015·长春质检)已知函f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函f (x )＝log a |x |为偶函，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：B5．已知函f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋t 是奇函，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋t ，所以21＋x ＋t ＝121－x＋t ，整得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x ＞01＋x1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝________.解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实a 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函f (x )＝lg x 2＋1x ，有下列结论：①函f (x )的定义域是(0，＋∞)； ②函f (x )是奇函；③函f (x )的最小值为lg 2； ④当x ＞0时，函f (x )是增函．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函f (x )＝lg x 2＋1x 的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ×1x ＝lg2，得③正确；函u ＝x ＋1x在x ∈(0,1)时为减函，在x ∈(1，＋∞)时为增函，函y ＝lg u 为增函，所以函f (x )在x ∈(0,1)时为减函，在x ∈(1，＋∞)时为增函，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函，∴函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a 的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a23＞0，当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1解析：由题图可知，函在定义域内为减函，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y ＞0，即log a c＞0，所以0＜c＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2 (x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函y＝log2(x＋1)的图象如图所示．所以f(x)≥log2 (x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}，所以选C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log222＝________，2log23＋log43＝________.解析：log222＝log22－12＝－12，2log23＋log43＝232log23＝2log2332＝27＝3 3.答案：－123 35．(2015·高考北京卷)2－3,312，log25三个中最大的是________．解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log24＜log25，即log25＞2，所以三个中最大的是log25.答案：log52。
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1 学案8 对数与对数函数 导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理 1．对数的定义 如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a≠1) ①Naalog＝____； ②1loga＝____； ③Naalog＝____； ④aalog＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②balog＝ablog1，推广dcbcbalogloglog••＝________. (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________； ③logaMn＝__________(n∈R)； ④naMmlog＝nmlogaM. 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<1
图 象
性 质
(1)定义域：______ (2)值域：______ (3)过点______，即x＝____时，y＝____ (4)当x>1时，______ 当01时，______当0(6)是(0，＋∞)上的______函数 (7)是(0，＋∞)上的______函数 2
4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测 1．(2010·四川)2log510＋log50.25的值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4
2．(2010·辽宁)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为 ( ) A.10 B．10 C．20 D．100
3．(2009·辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)的值为 ( )
A.124 B.112 C.18 D.38
4．(2010·安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f(13)＝0，则满足)(log81xf>0的x的取值范围是 ( )
A．(0，＋∞) B．(0，12)∪(2，＋∞) C．(0，18)∪(12，2) D．(0，12) 5．(2011·台州期末)已知0______.
探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log32；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245； (3)已知2lgx－y2＝lg x＋lg y，求yx)223(log.
变式迁移1 计算： (1)log2748＋log212－12log242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小． 3
①log323与log565； ②log1.10.7与log1.20.7. (2)已知log12b
变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则 ( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝a21log，(12)b＝b21log，(12)c＝log2c，则
( ) A．aC．c探究点三 对数函数的图象与性质
例3 已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|，若0a＋2b的取值范围是 ( ) A．(22，＋∞) B．[22，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
分类讨论思想的应用 例 (12分)已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)． (1)解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)； (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0. 【答题模板】 (1)解 ∵f(x)＝loga(1－ax)， ∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0∴不等式可化为loga(1－ax)>loga(1－a)．
∴ 1－ax>0，1－ax<1－a.，即 ax<1，ax>a.∴0∴不等式的解集为(0,1)．[4分] (2)证明 设x1∵1－ax>0，∴ax<1. ∴a>1时，f(x)的定义域为(－∞，0)；[6分] 4
0当0x1>0，∴2xa<1xa.
∴1211xxaa>1.∴1211logxxaaa<0. ∴f(x2)同理可证，当a>1时，也有y2
综上：y2∴直线AB的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】 解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0义域，如果将函数变换，务必保证等价性．
1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域； (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间； (4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小， 其中a>0且a≠1.
①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)⇔0(2)同真数的对数值大小关系如图： 图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即03．常见对数方程式或对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于
logaf(x)>logag(x)等价于01时，).()(,0)(,0)(xgxfxgxf (2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解．
(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 5
1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于
( ) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则 ( ) A．aC．c
3．(2010·天津)若函数f(x)＝ log2x，x>0，log12(－x)，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 ( )
A．f(13)
B．f(12)C．f(12)D．f(2)5．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 ( )
A.12 B.14 C．2 D．4 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)
6．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝________.
7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f(x)＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________． 8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________. 三、解答题(共38分) 9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．