九年级数学解直角三角形3
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
九年级数学下册解直角三角形教案新人教版
《解直角三角形》教案一、素质教育目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学步骤(一)明确目标1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．(二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．(三)重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．查表得A=78°51′；(2)∠B=90°-78°51′=11°9′注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些．但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)．4．巩固练习解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习P．35中1、2．练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力．参考答案：1．(1)∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA；(3)∠B=90°-∠A，a=b·tgA，说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．(四)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．幻灯片出示图表，请学生完成四、布置作业教材P．46习题6．3A组3．五、课后记解直角三角形是前面一段时间学习四个三角函数的综合应用，因此要求学生对前面知识要十分熟悉，学生表现出对知识连贯性不太好。
浙教版九年级数学解直角三角形教案
浙教版九年级下册第一单元解直角三角形知识点+习题知识梳理考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒ BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒ CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 2223 1cos α 123 2221 0tan α 0 33 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
初中九年级数学 解直角三角形及其应用
0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯 形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热 气球与高楼的水平距离为120m，这 栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3） 上升 米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是 （3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习： 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机上看低 平面控制点B的俯角α=16031／，
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D
九年级数学《解直角三角形-复习课》教案
第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。
问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。
【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。
用数学的意识。
帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。
【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。
活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。
2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。
3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。
2、组织学生交流和点评，得出正确答案。
【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。
人教版九年级下册数学《解直角三角形的应用》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
A
A．250米
B．250
米
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
C.
米
60°
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
北偏东30°方向上．
问：已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向
正东方向航行是否安全？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
50
H
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的
距离．（结果保留根号）
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
M
C
N
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
重难点突破
初三数学利用三角函数解直角三角形
解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．【例1】 如图是教学用直角三角板，边33090tan 3AC cm C BAC =∠=︒∠=，，，则边BC 的长为（ ）A ．303cmB ．203cmC ．103cmD ．53cm【巩固】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ）A ．2B ．433C ．23D ．43【巩固】如图，ABC △是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则sin ACE ∠= ．例题精讲CBA3ED CBAEDCBA如图所示，O 的直径点作O 的切线，切点为七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线FD CDCB A【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．O CA（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．图1图2图3βαDCBA课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； ACB ∠= ．课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A。
中考数学复习《解直角三角形》 知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
初中数学《解直角三角形》知识全解
《解直角三角形》知识全解课标要求（1）理解直角三角形的五个元素。
（2）理解直角三角形边与角的关系，及锐角三角函数。
（3）会运用直角三角形的有关性质解决实际问题。
知识结构（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．（2）解直角三角形过程中一般要用到：①三边之间的关系；②两锐角之间的关系；③边角之间的关系．（3）直角三角形中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，求出其余三个元素．（4）四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．第一个实际问题用到正弦函数；第二个问题用到余弦函数；第三个问题用到正切函数；第四个实际问题要反复利用正弦函数．内容解析“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．通过设计的两个实际问题抽象成数学问题，从而引出解直角三角形的内容．教科书通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．我们采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．重点难点本节内容的重点是理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；难点是通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受．教法导引全等三角形的有关理论对理解本节内容有积极的作用．在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素．因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．学法建议解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本节教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．。
人教版九年级数学下册-28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形【数学专题教学设计】
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．9mB ．6mC ．mD ．2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ）A ．kmB ．kmC ．10kmD ．20km3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．kmC ．kmD ．+1）km第3题图 第4题图4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米B.56米C.512米D.24米5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.第5题图第6题图7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6)考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一反比例函数与一次函数的综合一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x(x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一 反比例函数与一次函数的综合 一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．。