江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市届高三第三次模拟考试数学试卷
江苏省南通扬州泰州淮安徐州宿迁连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试三模试题
江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试（三模）试题(满分：150分 考试时间：120分钟)一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝{x 21－x≥12}，则A ∩B ＝( ) A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，3] 2. 已知复数z ＝21＋i ＋3i ，则|z |＝( )A. 5B. 5C. 17D. 3＋ 23. 设a ＝314，b ＝log 43，c ＝414，则( )A. c >b >aB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c4. 已知点A (1，1)，B (7，5)，将向量AB →绕点A 逆时针旋转π2得到AC →，则点C 的坐标为( )A. (5，－5)B. (3，－7)C. (－5，5)D. (－3，7) 5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n 经过5步演算得到1，则n 的取值不可能是( )A. 32B. 16C. 5D. 46. 已知双曲线E: x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，AF 2＝2AF 1，则双曲线E 的离心率为( )A. 3B. 5C. 7D. 77. 在数1和3之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成等差数列，将这n ＋2个数的和记为b n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 3b n ＋1b n 的前78项和为( ) A. 3 B. log 378 C. 5 D. log 38 8. 已知函数f (x )＝21n x －x 2e x ＋1.若存在x 0>0，使f (x 0)≥ax 0，则a 的最大值为( ) A. 0 B. －1C. 1－eD. 1－e 2二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9. 在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB →＝a, AC →＝b ，则|AM →|＝( ) A. 12|a －b|B. 12|a ＋b|C. 122（a 2＋b 2）－（a －b ）2D. 12a 2＋b 2 10. 在(2x 2－1x)6的展开式中，下列说法正确的是( )A. 各项系数和为1B. 第2项的二项式系数为15C. 含x 3项的系数为－160 D. 不存在常数项 11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C ：|x |n ＋|y |n＝1，则下列说法正确的是( )A. 曲线C 关于原点成中心对称B. 当n ＝－2时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2C. 当n >0时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为πD. 当n >0时，曲线C 所围成图形的面积小于412. 已知菱形ABCD 的边长为2, ∠ABC ＝π3，将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D ′AC ，连接BD ′.设二面角D ′ACB 的大小为θ，则下列说法正确的是( )A. 若四面体D ′ABC 为正四面体，则θ＝π3B. 四面体D ′ABC 的体积最大值为1C. 四面体D ′ABC 的表面积最大值为2(3＋2)D. 当θ＝2π3时，四面体D ′ABC 的外接球的半径为213三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝6，cos B ＝513，则sinA ＝__________．14. 为了解某小区居民的家庭年收入x (万元)与年支出y (万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ＝b x ＋a ．已知x ＝20, y ＝16，b ＝0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．15. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则直线y ＝15x 与函数y ＝f (x )的图象的交点的个数为________．16. 若矩形ABCD 满足AD AB ＝5－12，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金矩形卡片ABCD ，已知AD ＝2x ，AB ＝2y ，E 是CD 的中点，EF ⊥CD ，FG ⊥EF ，且EF ＝FG ＝x ，沿EF ，FG 剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y ＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝35，且a 1，a 4－1，a 7成等比数列． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin (2x ＋φ)(－π2<φ<0)同时满足下列3个条件中的2个.3个条件依次是：①f (x )的图象关于点(π12，0)对称；② 当x ＝5π12时，f (x )取得最大值；③ 0是函数y＝f (x )＋32的一个零点．(1) 试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；(2) 求函数g (x )＝f (x )＋6cos 2x 的值域．19．(本小题满分12分)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X (单位：mm).(1) 现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm 的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm 的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)；(2) 若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.20. (本小题满分12分)如图，A 是以BD 为直径的半圆O 上一点，平面BCD ⊥平面ABD ，BC ⊥BD . (1) 求证：AD ⊥平面ABC ；(2) 若BD ＝2BC ＝2，AD ＝2AB ，求二面角ACDB 的余弦值．21. (本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋(y －52)2＝4与抛物线E ：x 2＝my (m >0)相交于点A ，B ，C ，D ，且在四边形ABCD 中，AB ∥CD .(1) 若OA →·OD →＝154，求实数m 的值；(2) 设AC 与BD 相交于点G ，△GAD 与△GBC 组成蝶形的面积为S ，求点G 的坐标及S 的最大值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin 2x －3x .(1)若x ＝π3是f (x )的一个极值点，试讨论f (x )在区间(0，π2)上的单调性；(2) 设－2≤a ≤2，证明：当x ≠0时，xf (x )＜0.2020～2021学年高三年级模拟考试卷(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)数学参考答案及评分标准1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. BC 10. AC 11. ABD 12. BCD 13. 81314. 23.6 15. 7 16. 二十 1203－401517. 解：(1) 设数列{a n }的公差为d (d ＞0)，则S 7＝7a 4＝35，即a 4＝5，(1分) 所以a 1＝a 4－3d ＝5－3d ，a 7＝a 4＋3d ＝5＋3d .因为a 1，a 4－1，a 7成等比数列，所以(a 4－1)2＝a 1a 7，即42＝(5－3d )(5＋3d )，解得d ＝－1(舍去)或d ＝1，(3分) 所以a n ＝n ＋1.(5分)(2) 因为b n ＋b n ＋1＝a n ，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2n －1＋b 2n )＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1(8分) ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n .(10分)18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为①③.(1分) 由条件①知，3sin (2×π12＋φ)＝0，所以2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.(3分)由条件②知，3sin (2×5π12＋φ)＝3，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(5分)由条件③知，sin φ＝－12，即φ＝2k π－π6或φ＝2k π＋7π6(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分) (2) 由(1)知，f (x )＝3sin (2x －π6)，所以g (x )＝3sin (2x －π6)＋6cos 2x ＝3(sin2x cos π6－cos 2x sin π6)＋6×1＋cos 2x 2＝332sin 2x ＋32cos 2x ＋3＝3sin (2x ＋π6)＋3. (10分) 因为－1≤sin (2x ＋π6)≤1，所以0≤g (x )≤6，所以函数g (x )的值域为[0，6].(12分)19. 解：(1) 由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H (4，3，10). P (ξ＝0)＝C 03C 47C 410＝16，P (ξ＝1)＝C 13C 37C 410＝12，P (ξ＝2)＝C 23C 27C 410＝310，P (ξ＝3)＝C 33C 17C 410＝130，(4分)所以ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P1612310130所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.(6分)另法：因为ξ～H (4，3，10)，数学期望E (ξ)＝nM N ＝4×310＝1.2.(7分)(2) 记“至少有一个零件直径大于124 mm ”为事件A ，因为X ～N (120，4)，所以μ＝120，σ＝2，(8分)所以P (X >124)＝1－P （|X －μ|≤2σ）2≈1－0.954 52＝0.022 75，所以P (X ≤124)≈1－0.022 75＝0.977 25，(10分) 所以P (A )＝1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.答：至少有一件零件直径大于124 mm 的概率为0.205 6.(12分)20. (1) 证明：因为平面BCD ⊥平面ABD ，平面BCD ∩平面ABD ＝BD ，BC ⊥BD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥平面ABD .又AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .(2分) 因为A 是以BD 为直径的半圆O 上一点，所以AB ⊥AD .(4分) 又AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .(6分)(2) 解：在平面ABD 上，过点O 作Oy ⊥BD ， 在平面BCD 上，过点O 作Oz ∥BC ，由(1)知，BC ⊥平面ABD ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为BD ＝2BC ＝2，AD ＝2AB ，则A (12，32，0)，B (1，0，0)，C (1，0，1)，D (－1，0，0)，所以CD →＝(－2，0，－1)，DA →＝(32，32，0).设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·CD →＝－2x －z ＝0，m ·DA →＝32x ＋32y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝－2，所以m ＝(1，－3，－2).(9分)因为y 轴⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量n ＝(0，1，0).(10分) 设二面角ACDB 的平面角为θ，θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n |m||n||＝|1×（－3）|12＋（－3）2＋（－2）2＝64， 所以二面角ACDB 的余弦值为64.(12分) 21. 解：(1) 依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD 是以y 轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设AB <CD ，A ，D 在第一象限，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，y 1)，C (－x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －52）2＝4，x 2＝my （m >0），消去x ，得y 2＋(m －5)y ＋94＝0 (*).方程(*)有互异两正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －5）2－9>0，y 1＋y 2＝5－m >0，y 1y 2＝94>0，解得0<m <2.(1分)由OA →·OD →＝154，得x 1x 2＋y 1y 2＝154，即m y 1y 2＋y 1y 2＝154.(3分)由y 1y 2＝94，得m ＝1.(5分)(2) 依据对称性，点G 在y 轴上，可设G (0，a ). 由k AG ＝k AC ，得y 1－a x 1＝y 1－y 2x 1＋x 2，所以y 1－a m ·y 1＝y 1－y 2m ·（y 1＋y 2）＝y 1－y 2m， 则a ＝y 1y 2＝32，即G (0，32).(8分)方法一：S ＝S 梯ABCD －(S △GAB ＋S △GCD )＝(x 1＋x 2)(y 2－y 1)－[x 1(a －y 1)＋x 2(y 2－a )] ＝x 1y 2－x 2y 1＋a (x 2－x 1)＝m ·y 1y 2(y 2－y 1)＋a m (y 2－y 1)＝m (y 2－y 1)(y 1y 2＋a )＝3m ·y 1＋y 2－2y 1y 2＝3m （2－m ）(10分) ≤3·m ＋（2－m ）2＝3.当且仅当m ＝2－m ，即m ＝1时，S 最大值为3.(12分)方法二：S 2＝S △ABD －S △ABG ＝x 1(y 2－32)＝my 1(y 2－32)＝m (y 1y 2·y 2－32y 1)＝32m (y 2－y 1)＝32m ·y 1＋y 2－2y 1y 2(10分)＝32m （5－m －3）＝32－（m －1）2＋1≤32，所以S ≤3. 当且仅当m ＝1时，S 最大值为3.(12分)22. 解：(1) f ′(x )＝2a sin x cos x －3＝a sin 2x －3， 由f ′(π3)＝32a －3＝0，知a ＝2，(2分)所以f ′(x )＝2sin 2x － 3.令f ′(x )>0，x ∈(0，π2)，得π6<x <π3；令f ′(x )<0，x ∈(0，π2)，得0<x <π6或π3<x <π2，所以f (x )在(π6，π3)上单调递增，在(0，π6)和(π3，π2)上单调递减．(4分)(2) (i) 当0≤a ≤2时，f (x )≤2sin 2x －3x ，设h (x )＝2sin 2x －3x . ①当0<x <π2时，由(1)知h (x )极大＝h (π3)＝32－33π<0，又h (0)＝0，所以h (x )<0，从而f (x )<0. ②当x ≥π2时，f (x )≤h (x )≤2－32π<0.由①②知，当x >0时，f (x )<0 (a)；(6分)当x <0时，f (x )≥－3x >0 (b).由(a)(b)得，x ≠0时，xf (x )<0.(8分)(ii) 当－2≤a <0时，方法一：当x <0时，f (x )≥－2sin 2x －3x ，设g (x )＝－2sin 2x －3x ，g ′(x )＝－2(sin2x ＋32). ①当－π2<x <0时，由g ′(x )＝0，得x 1＝－π6，x 2＝－π3，同理有g (x )极小＝g (－π3)＝－32＋33π>0，又g (－π2)>g (－π3)>0，g (0)＝0，所以g (x )>0，从而f (x )>0.(10分)②当x ≤－π2时，f (x )≥－2＋32π>0.由①②得，当x <0时，f (x )>0 (c)；当x >0时，显然f (x )<0 (d).由(c)(d)得，x ≠0时，xf (x )<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)方法二：则0<－a ≤2，则g (x )＝－a sin 2x －3x ，满足x ≠0时，xg (x )<0. 又y ＝xf (x )与y ＝xg (x )的图象关于y 轴对称，所以x ≠0时，xf (x )<0. 由(i)(ii)结论获证．(12分)。
(优辅资源)江苏省淮安市高三第三次模拟考试数学试题 Word版含答案
江苏省淮安市2016——2017学年度高三第四次调研测试数学Ⅰ2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）设复数(),z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位），若()43z i i =+，则ab 的值是 .1. 已知集合{}{}|0,|2U x x A x x =>=≥，则U C A = . 3.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2两首歌曲至少有1首播放k 的概率是 . 4.右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 . 5．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人，.若其它年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 .6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差52,10d a ==，则10S 的值是 .7.在ABC ∆中，3,4AB AC ==.若ABC ∆的面积为则BC 的长是 .8．在平面直角坐标系中，若双曲线()22210x y a a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 .9.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 .10.若直线2y x b =+为曲线x y e x =+的一条切线，则实数b 的值为 .11.若正数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 . 12.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB CD ABC AB BC DC ∠====,若,E F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()0,2,1,1A B --，P 为圆222x y +=上一个动点，则PBPA的最大值为 . 14.已知函数()3,3,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭图象的两条对称轴之间的距离为π，且经过点.3π⎛ ⎝⎭（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()()1,0,2f παααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，求α的值.16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD PC 的中点.（1）//MN 平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD .17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F,且与x 轴不垂直，若D 为x 轴上的一点，DA DB =,求ABDF的值.18.（本题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图.半径OA 的长为1百米，为了保护景点，基底管理部门从道路l 上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F ，且CD,DE,EF 均与半圆.相切，四边形CDEF 为等腰梯形，设DE=t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算()15,03118, 2.3t f t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用.19.（本题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组()(),,.E m p r m p r =<<.（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p p r r m a b a b a b +=+=+，求q 的最大值；（3）若11,02n n m m p p r r b a b a b a b -⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭，试写出满足条件的一个数字E 和对应的通项公式n a .（注：本问不必写出解答过程）20.（本题满分16分）已知函数()2cos f x ax x =+，记()f x 的导函数为().g x （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增； （2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D,区间(),m D +∞⊂，若()h x 在(),m +∞上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调，试证明函数()ln y f x x x =-在()0,+∞上广义单调.江苏省淮安市2016——2017学年度高三第四次调研测试数学Ⅱ21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC,PD,分别交AB 于点E,F. 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，点()1,1-在M 对应的变换作用下得到点()1,5--，求矩阵M 的特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求圆C 的极坐标方程.D.选修4-5：不等式选讲已知,,,a b c d 是正实数，且1abcd =，求证：5555a b c d a b c d +++≥+++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90,2, 1.ADC DAB SD AD AB DC ∠=∠=====（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为13，求线段CP 的长.23.（本小题满分10分）已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 是()1n f x -的导数.n N *∈ （1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.。
江苏省南通市高三第三次模拟考试数学(理)试题解析(原卷版)
一、填空题：
1.已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则A B = ▲ ．
2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．
3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．
4.平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ．
5.如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．
6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．
7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程
为 ▲ ．
8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．
10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．
11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三数学第三次调研考试(5月)试题
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三数学第三次调研考试（5月）试题（满分160分,考试时间120分钟)2019．5一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。
已知集合U＝｛－1，0，2，3},A＝｛0，3｝，则∁U A＝________．2。
已知复数z＝错误!(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4时，则输入x的值为________．4. 已知一组数据6,6,9，x，y的平均数是8，且xy＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6。
已知函数f(x）＝错误!则不等式f(x)＞f（－x）的解集为____________．7。
已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n。
若a3－a2＝4，a4＝16，则S3的值为________．8。
在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点．若△AOB的面积为错误!，则该双曲线的离心率为________．9. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC，AB＝3 cm，BC＝1 cm，CD＝2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成几何体的体积为________cm3。
10。
在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin 2x与y＝错误!tan x在(错误!，π）上交点的横坐标为α,则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF中，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．（第11题）(第12题）12. 如图,有一壁画,最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3。
5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．13. 已知函数f（x)＝x2－2x＋3a,g(x）＝错误!。
江苏省南通、扬州、泰州市高三第三次模拟考试数学试题Word版含答案
江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数z a b =+i (,∈a b R,i 为虚数单位），若(43z =+i)i ，则ab 的值是 ．2.已知集合{}{}|0,|2U x x A x x =>=≥，则U A =ð ．3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．4. 如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 ．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差52,10d a ==，则10S 的值是 ．7.在锐角ABC ∆中，3,4AB AC ==，若ABC ∆的面积为则BC 的长是 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210x y a a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 ．9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 ．10.若直线2y x b =+为曲线xy e x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 11.若正实数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 12.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB DC ABC AB BC DC ∠====，若,E F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，点()1,1,B P -为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ． 14.已知函数()3,3,x x a f x x x x a≥⎧=⎨-<⎩若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点,32π⎛ ⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()()1,0,2f παααπ⎛⎫+--∈ ⎪⎝⎭，求角α值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面,,,ABCD AP AD M N =分别为棱,PD PC 的中点.求证：（1）//MN 平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD .17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直.若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求ABDF的值.18. 如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C D E F ---,且,,CD DE EF ,均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE t =百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算()15,03118,23t f t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组()(),,E m p r m p r =<<.（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p p r r m a b a b a b +=+=+，求q 的最大值.（3）若11,02n n m m p p r r b a b a b a b -⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式n a .(注：本小问不必写出解答过程)20. 已知函数()2cos (f x ax x a =+∈R ），记()f x 的导函数为()g x .（1） 证明：当12a =时，()g x 在R 上的单调函数； （2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(),m D +∞⊆.若()h x 在(),m +∞上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调.试证明函数()ln y f x x x =-在()0,+∞上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦,PC PD 分别交AB 于点,E F .求证：PE PC PF PD ⋅=⋅.B. 选修4-2：距阵与变换 已知矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，点()1,1-在M 对应的变换作用下得到点()1,5--，求矩阵M 的特征值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点4π⎛⎫⎪⎝⎭，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知,,,a b c d 是正实数，且1abcd =，求证：5555a b c d a b b d +++≥+++.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90,2,1ADC DAB SD AD AB DC ∠=∠=====.（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD ，求线段CP 的长. 23. 已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数，n ∈N *. （1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1．12- 2.{}|02x x << 3.564.35.75006.1101 11.8 12：[]4,6-13.2 14.3,22⎛⎫-⎪⎝⎭二、解答题:15. 解：(1)由条件，周期2T π=，即22ππω=，所以1ω=，即()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()f x 的图象经过点3π⎛ ⎝，所以()2sin1,sin 323A A f x x ππ⎛⎫=∴=∴=+ ⎪⎝⎭.(2)由()12f παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 1332πππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 1,2sin 13333ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=∴+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1sin 2α=.因为()0,,6παπα∈∴=或56π. 16. 解：(1)因为,M N 分别为棱,PD PC 的中点，所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//,//AB DC MN AB ∴.又AB ⊂平面,PAB MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为,AP AD M =为PD 的中点，所以AM PD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD平面,,ABCD AD CD AD CD =⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为,CD PD ⊂平面,,PCD CDPD D AM =∴⊥平面PCD .17. 解：(1)由题意，知24,2a a ==∴=.又2221,,c a b c b ==+∴=22143x y +=.(2)设直线AB 的方程为()1y k x =+.①若0k =时，24,1,4ABAB a FD FO DF====∴=. ②若0k ≠时，()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点为()00,M x y ，代入椭圆方程，整理得()22223484120k x k x k +++-=，所以()2221200022224443,134343434k k k k x x x y k x k k k k ---+==∴=-∴=+=++++，所以AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.因为DA DB =，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22222233,0,1343434k k k D DF k k k ⎛⎫+-∴=-+= ⎪+++⎝⎭，因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得()1142AF x =+，同理()()2212021112124,442234k BF x AB AF BF x x x k +=+∴=+=++=+=+，所以4ABDF=，综上，得ABDF的值为4. 18. 解：设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，,OQ l DQ QE ⊥=，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . (1)设EF 圆切于G ，连结OG 过点E 作EH AB ⊥，垂足为H .因为,,EH OG OFG EFH GOF HEF =∠=∠∠=∠，所以1,2Rt EHF Rt OGF HF FG EF t ∆≅∆∴==-.由()2221111,0224t EF HF EF t EF t t⎛⎫=+=+-∴=+<< ⎪⎝⎭.(2) 设修建该参观线路的费用为y 万元. ①当11320,525342t t y t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<≤=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232'502y t ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，则y 在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以当13t =时，y 取得最小值为32.5. ②当123t <<时， 2111632821242t y t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()223316241331'12t t t y t t t-+-=-+=， 212,33103t t t <<∴+->，且当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y <；当()1,2t ∈时，'0y >，所以y在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增.所以当1t =时，y 取得最小值为24.5. 由 ①②知，y 取得最小值为24.5.答：（1）EF 的长为114t ⎛⎫+⎪⎝⎭百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元. 19. 解：(1)由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，即()()21221,2101d b q q q q d b q ⎧=-⎪∴--=⎨=-⎪⎩，11,2q q ≠±∴=-.(2)由m p p r a b a b +=+，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()()1r m m r p d b q --=-，因为,,m p r 成等差数列，所以()12p m r p r m -=-=-.记p m q t -=，则有2210t t --=，1,1q t ≠±∴≠±，故12t =-，即1,102p mq q -=-∴-<<.记p m α-=，则α为奇函数，又公差大于1，所以113113,22q αα⎛⎫⎛⎫≥∴=≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312q ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，当3α=时，q 取最大值为1312⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)满足题意的数组(),2,3E m m m =++，此时通项公式为11331,288m n a n m m -⎛⎫⎛⎫=---∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N *.例如：()3111,3,4,88==-n E a n . 20. 解：(1)当12a =时，()()21cos ,'sin 2f x x x f x x x =+∴=-，即()()sin ,'1cos 0g x x x g x x =-∴=-≥，()g x ∴在R 上单调递增.(2)()()()'2sin ,'2cos g x f x ax x g x a x ==-∴=-. ①当12a ≥时，()'1cos 0g x x ≥-≥，所以函数()'f x 在R 上单调递增.若0x >，则()()'00f x f >=；若0x <，则()()''00f x f <=，所以函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，单调减区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.②当12a ≤-时，()'1cos 0g x x ≤--≤，所以函数()'f x 在R 上单调递减.若0x >，则()()''00f x f <=；若0x <，则()()''00f x f >=，所以()f x 的单调减区间是()0,+∞，单调增区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意. ③当1122a -<<时，()00,x π∃∈，使得0cos 2x a =，即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >，即()'0g x <，所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，所以()()''00f x f <=，即函数()f x 在()00,x 单调递减，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）记()()2cos ln 0h x ax x x x x =+->. ①若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x < 当212x a ⎛>⎝⎭时，()'2sin 1ln 22h x ax x x ax =--->-112022a a =>⎭.所以2m ∃=，函数()h x 在(),m +∞上单调递增.②若0a ≤，当1x >时，()'2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x =---<---<，所以1m ∃=，函数()h x 在(),m +∞上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间()0,+∞上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. A. 解：连结,,,PA PB CD BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以,PAB PBA PCB PBA ∠=∠∴∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,,E F D C 四点共圆.所以PE PC PF PD ⋅=⋅.B. 解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2,4a b ==，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.所以矩阵M 的特征多项式为()11f λλ-= 22564λλλ-=-+-，令()0f λ=，得122,3λλ==，所以M 的特征值为2和3.C. 解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 极坐标方程为cos a ρθ=，又因为点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =，所以圆C 极坐标方程为6cos ρθ=.D. 解：因为,,,a b c d 是正实数，且51,4abcd a b c d a =∴+++≥=，① 同理54b b c d b +++≥，② 54c b c d c +++≥， ③ 54d b c d d +++≥，④ 将①②③④式相加并整理，即得5555d b c d a b c d +++≥+++. 22. 解：(1)以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,2D B C S ，所以()()()2,2,2,0,1,2,0,0,2SB SC DS =-=-=，设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =，由110,0n SB n SC ⋅=⋅=，得2220x y z +-=且20y z -=，取1z =，得1,2x y =-=，所以()11,2,1n =-是平面SBC 的一个法向量.因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =，设二面角S BC A --的大小为θ，所以12121cos 6n n n n θ⋅===，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --的余弦值为6. (2)由（1）知()1,0,1E ，则()()2,1,0,1,1,1CB CE ==-.设()01CP CB λλ=≤≤，则()()()2,1,02,,0,12,1,,1CP PE CE CP λλλλλ==∴=-=---，易知CD ⊥平面(),0,1,0SAD CD ∴=是平面SAD 的一个法向量.设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos ,5PE CD PE CDPE CDα⋅===13=，得13λ=或119λ=（舍）.所以215,,0,333CP CP ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以线段CP 23. 解：（1）()()()()()()()()'''10212232',+-+--⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+++⎣⎦cx d bc ad cb ad a bc ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b . （2）猜想()()()()1111!,n n n n a bc ad n f x n N ax b --*+-⋅⋅-⋅=∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当,n k k N *=∈时，结论正确，即有()()()()1111!k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+.当1n k =+时，()()()()()'11'111!--++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎣⎦k k k k k a bc ad k f x f x ax b()()()()'1111!--+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦k k k a bc ad k ax b ()()()()211!+-⋅⋅-⋅+=+k k k a bc ad k ax b ，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切n N *∈结论正确.。
江苏省连云港市高三数学第三次调研测试卷 人教版
江苏省连云港市高三数学第三次调研测试卷 人教版本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么A P (·)()A P B =·)(B P如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=球，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的序号填在第Ⅱ卷前的选择题答题表中。
1．不等式|2|1x -≤的解集是 （ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]-2．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 （ ）A 2B 32C ．4D ．83．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是( ) A ．3y x = B ．3y x =- C ．3y =D ．3y = 4．已知点(2,1)A ,(0,2)B ,(2,1)C -,(0,0)O ．给出下面的结论：①//OC BA ；②OA AB ⊥；③OA OC OB +=；④2AC OB OA =-. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 5．已知231(2)nx x +(n ∈N*)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．9 Ｄ．106．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙．现有编号为1～6的6种不同花色石材可供选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果共有 （ ）A ．350种B ．300种C ．65种D ．50种7．若b a ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ）A ．,,a b αα⊂⊂a ∥β,且b ∥βB ．,,βα⊂⊂b a 且a ∥bC ．a α⊥,b β⊥,且a ∥bD ．a ∥,αb ∥β,且a ∥b8．某电视机内的一种晶体管使用时间在10000小时以上的概率为0.2，则三个这样的晶体管在使用10000小时后最多有一个坏了的概率为 （ ）A ．0.014B ．0.104C ．0.410D ．0.4019．已知数列{}n a 中，12a =，对一切正整数n 恒有12n n a a n ++=，则10a 的值为 （ ）A ．8B ．10C ．20D ．3810．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[2,0]-D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 11．若曲线4y x x =+在P 点处的切线与直线30x y +=平行，则P 点的坐标是 ．12．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么函数3z x y =+的最大值是 ．13．已知()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)6f -=，那么(2)f π+= ．14．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的半焦距为c ，直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率为 ．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2PA AC ==体积是 ．16．若函数()f x 是二次函数且满足：对任意的,(1,1)u v ∈-，都有|()()|||f u f v u v -≤-成立．则()f x 可以是 （只需写出一个即可）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）已知ABC ∆中，角A , B , C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 320cot tan22A A A =-． （1）若角C 为60︒，求cos 2B 的值； （2）若a b c <<，求sin cos A A -的值．18．（本小题14分）已知两个定点A 、B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，动点P 满足||AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点C (0,1)的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．EDC 1B 1A 1CBA19．（本小题14分）如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点，E 为11A B 的中点．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线11A B 到平面DAB 的距离； （3）求二面角A BD C --的大小．20．（本小题14分）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。
江苏省七市南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁2020届高三数学下学期第三次调研考试试题含解析
江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三数学下学期第三次调研考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A B＝_______．【答案】{﹣1，0，1，2}【解析】【分析】直接利用集合的并集运算求解.【详解】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A B＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2. 设复数z满足(3﹣i)z，其中i为虚数单位，则z的模是_______．【答案】1【解析】【分析】先利用复数的除法求出复数z，再求复数的模得解.【详解】解：∵(3﹣i)z，∴z====，∴1z==．故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是____．【答案】5【解析】【分析】->模拟程序的运行结果，即可得由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件2k4k0，到输出的k值【详解】模拟执行程序，可得k=1->执行循环体，k=2不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=3不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=4不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=5不满足条件2k4k0,->退出循环，输出k的值为5满足条件2k4k0,故答案为5【点睛】本题考查程序框图的应用，明确每次循环，准确判断何时结束循环是关键，是基础题4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是_______．【答案】55【解析】【分析】根据分层抽样每个个体入样的可能性相同，计算可得；【详解】解：依题意可得20(443)55 4⨯++=．故答案为：55【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是_______.【答案】3 5【解析】【分析】根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】从“三药三方”中随机选出2种共2615C=个基本事件,其中1药1方的事件数有11 339C C=个.故概率P＝93 155=.故答案为：3 5【点睛】本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题.6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212x ya-=(a＞0)的左准线,则实数a的值是_______．【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212x ya-=(a＞0)的左准线,故21-=即()()24222210a a a a +=⇒-+=,因为0a >故解得a ＝2． 故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题. 7.已知5cos()13αβ+=，3sin 5β=，α，β均为锐角，则sin α的值是_______． 【答案】3365【解析】 【分析】计算得到12sin()13αβ+=，4cos 5β=，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】∵α，β均为锐角，∴()0,αβπ+∈，从而sin()0αβ+>，cos 0β>，∵5cos()13αβ+=，3sin 5β=，∴12sin()13αβ+=，4cos 5β=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 故答案为：3365. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8. 公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V 1,正方体的体积为V 2,则12V V 的值是_______．【答案】56【解析】 【分析】设正方体的棱长为2a 即可得出V 2,再利用总体积减去正方体八个角上的三棱锥的体积求出V 1,继而得出12V V 即可.【详解】解析：设正方体的棱长为2a ,则V 2＝8a 3,23331211420883233V V a a a a a =-⨯⨯⋅=-=, 故3132205386aV V a ==． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积问题,属于基础题. 9. 已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则14lg lg x y+的最小值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式计算可得；【详解】解：∵10xy =,1x >,1y >，∴lg lg 1x y +=，lg 0x >，lg 0>y ，所以1414lg 4lg ()(lg lg )55lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+59=+=，当且仅当lg 4lg lg lg y x x y=，即1310x =时取“＝”． 故答案为：9【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题.10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24S ,4S ,32S -成等差数列,且232a a +=,则6a 的值是_______．【答案】32- 【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质列式求解得2q =-,再利用等比数列各项的关系求解6a 即可. 【详解】∵24S ,4S ,32S -成等差数列,∴423242S S S =-,即4223S S S S -=-, 所以343a a a +=-,故432a a =-.∴2q =-. 又232a a +=,则()2122a -=,所以22a =-,46232a a q ==-．故答案为：32-【点睛】本题主要考查了等比数列的简单性质,等差中项的运用等,属于基础题.11. 海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式S △ABC其中2a b cp ++=，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径r 的值是_______．【解析】 【分析】首先根据海伦公式求得三角形ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形ABC 的内切圆.详解】567922a b c p ++++===，S △ABC =由于()12ABC S a b c r ∆=++⋅，所以225673S r a b c ⨯===++++．【点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题. 12. 如图,△ABC 为等边三角形,分别延长BA ,CB ,AC 到点D ,E ,F ,使得AD ＝BE ＝CF ．若BA 2AD =,且DE＝13,则AF CE ⋅的值是_______．【答案】92-【解析】 【分析】设AD ＝x ,再在△BDE 中根据余弦定理求解得出1x =,再利用数量积公式求解AF CE ⋅即可. 【详解】易知△DEF 也为等边三角形,设AD ＝x ,则BD ＝3x , △BDE 中,由余弦定理得：()()221133232x x x x ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭,解得x ＝1, 故BD ＝3,则9AF CE 33cos1202⋅=⨯⨯︒=-． 故答案为：92-【点睛】本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题.13. 已知函数22(1),0()2,0k x f x x x k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩,若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是_______． 【答案】()27,+∞ 【解析】 【分析】根据题意可求得222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,再分0,0,0k k k =<>三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.【详解】由题, ()22212,0()22,0221,0k x k x x g x k k x x k k x x ⎧⎛⎫++-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=--=⎨⎪⎛⎫⎪--+-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即222,0()4,02,0k x k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,当k ＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k ≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(),0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点, 当k ＜0,函数()g x 在(0,+∞)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；当k ＞0,322()(),0x k g x x x -'=>,令()0g x '=有13x k =,故要使()g x 在(0,+∞)有且仅有两个不同的零点, 则1233min 132()()0k g x gk k k k==+-<,因为0k >,故213333k k k <⇒<,解得k ＞27,综上所述,实数k 的取值范围是(27,+∞)． 故答案为：(27,+∞)【点睛】本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (2，﹣6)作直线交圆O ：x 2＋y 2＝16于A ，B 两点， C (0x ，0y )为弦AB _______．【答案】[10，42) 【解析】 【分析】求出点C 的轨迹，转化条件2200(1)(3)x y ++-为点C (0x ，0y )到点()1,3Q -距离，数形结合即可得解.【详解】因为C (0x ，0y )为弦AB 的中点，所以OC PC ⊥， 圆O ：x 2＋y 2＝16的圆心为()0,0O ，半径为4， 所以436210OP =+=，OP 的中点()1,3T -，C 在以OP 为直径的圆即圆22:(1)(3)10T x y -++=上，且C 在圆O 内，如图所示，圆T 上的劣弧EF （不含端点）即为C 的轨迹，2200(1)(3)x y ++-C (0x ，0y )到点()1,3Q -距离，由图可知，min 1010CQ TQ ==联立方程()()2222131016x y x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩可得45x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或45x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点E ⎝⎭，F ⎝⎭，所以EQ FQ ===)． 故答案为：).【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin Ba b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值． 【答案】（1）45（2）2425【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由（1）4cos 5C =，由同角三角函数的基本关系求出sin C ，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：（1）由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，且5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+得5()58c b a ba b c--=+，整理得：()22258a b c ab +-=，故由余弦定理：2224cos 25a b c C ab +-==；（2）由（1）4cos 5C =，又C 为△ABC 内角，故23sin 1cos 5C C =-=， A C =，则24sin sin()sin()sin 22sin cos 25B AC A C C C C π=--=+===． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题. 16. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC ⏊BC ,D ,E 分别是A 1B 1,BC 的中点．求证：（1）平面ACD ⊥平面BCC 1B 1； （2）B 1E ∥平面ACD ．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据直三棱柱的性质,证明1,AC BC AC CC ⊥⊥进而得到AC ⊥平面11BCC B 即可. (2) 取AC 中点F ,连结EF ,DF ,再证明四边形B 1DFE 为平行四边形即可. 【详解】证明：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC ,又AC ⊂底面ABC 故AC ⊥CC 1,又因为AC ⊥BC ,CC 1∩BC ＝CCC 1⊂平面BCC 1B 1,BC ⊂平面BCC 1B 1所以,AC ⊥平面BCC 1B 1,又因为AC ⊂平面ACD 所以,平面ACD ⊥平面BCC 1B 1； （2）取AC 中点F ,连结EF ,DF 因为E ,F 分别为BC ,AC 中点 所以,EF ∥AB ,EF ＝12AB三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB // A 1B 1,AB ＝A 1B 1 又因为D 为A 1B 1中点,所以B 1D ∥AB ,B 1D ＝12AB 所以,EF ∥B 1D ,EF ＝B 1D因此,四边形B 1DFE 为平行四边形所以B 1E //DF ,又因为DF ⊂平面ACD ,B 1E ⊄平面ACD 所以,B 1E ∥平面ACD ．【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与平行的性质证明面面垂直以及线面垂直等,属于中档题.17. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm ，2cm 的两个同心圆的圆心，等腰△ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点O ，A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为S 1，△OAB 与△OAC 的面积之和为S 2， 设∠BOC ＝2θ．（1）当3πθ=时，求S 2﹣S 1的值；（2）经研究发现当S 2﹣S 1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的值．（求导参考公式：(sin 2x )'＝2cos 2x ，(cos 2x )'＝﹣2sin 2x ） 【答案】（1533π- (2cm )；（215-+【解析】【分析】依题意可得2(0,)BOC θπ∠=∈，故(0,)2πθ∈，1sin cos S θθθ=-，22sin S θ=，（1）当3πθ=时，代入计算可得；（2）由2112sin sin 22S S θθθ-=+-，(0,)2πθ∈ 令1()2sin sin 22f θθθθ=+-，(0,)2πθ∈，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值； 【详解】解：过点O 作ODBC 于点D ，则D 为BC 的中点，又ABC 为等腰三角形，所以A 、O 、D 三点共线，BOA AOC πθ∠=∠=-2(0,)BOC θπ∠=∈，故(0,)2πθ∈111211sin 2sin cos 22S OB OC θθθθθ=⋅⋅⋅-⋅=-()21212sin 2sin 2S πθθ=⨯⨯⨯-=（1）3πθ=时，1334S π=-，23S =21343S S π-=-， 答：当3πθ=时，求21S S -的值为343π- (2cm )； （2）2112sin sin 22S S θθθ-=+-，(0,)2πθ∈ 令1()2sin sin 22f θθθθ=+-，(0,)2πθ∈ 2()2cos 2cos 2f θθθ'=+-令()0f θ'=，得15cos θ-+=或15cos θ--=（舍去） 记015cos 2θ-+=，0(0,)2πθ∈θ()00,θ0θ0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭()f θ'＋ 0 － ()f θ单调递增极大值单调递减故0=θθ，即15cos θ-+=时，()f θ最大，即21S S -的值最大， 答：纪念章最美观时，cos θ的值为15-+． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，三角形面积公式的应用，属于中档题.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点．已知椭圆的短轴长为22，离心率为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN11||||F M F N +的值；（3）若以MN 为直径的圆与x 轴相交的右交点为P (t ，0)，求实数t 的取值范围．【答案】（1）22162x y +=（2（3）2t ∈+．【解析】 【分析】（1）设焦距2c ，由题得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）先求出点,M N 的坐标，再利用两点间的距离公式得解；（3）先讨论当直线MN斜率不存在时，23t =+；再讨论直线MN 斜率存在的情况,联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再根据0PM PN ⋅=得到222(6)(31210)0t t t t >⎧⎨--+≥⎩，解不等式组综合即得解.【详解】解：（1）设焦距2c，222226b b a c a c a⎧⎪=⎪⎪=-∴=⎨⎪⎪=⎪⎩，b =故椭圆的标准方程为：22162x y +=；（2）由（1）知，c ＝2，则F 2(2，0)2292)4364x y x x y y ⎧=⎪⎧=-⎪⎪∴⎨⎨+=⎪⎩⎪=⎪⎩或322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即93(,(,4422M N -，或93(,(,)4422N M -，因此，11||||4F M F N +==；（3）当直线MN 斜率不存在时，MN ：x ＝2，||MN ＝3， 以MN 为直径的圆方程为：222(2)3x y -+=,其与x 轴相交的右交点为(2+，0)，即2t =+当MN 的斜率存在时，设MN ：(2)y k x =-，M(1x ，1y )，N(2x ，2y )222222(2)(31)12126036y k x k x k x k x y =-⎧∴+-+-=⎨+=⎩， 所以224(1)k ∆=+，21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+， 则221212121222(2)(2)[2()4]31k y y k x k x k x x x x k =--=-++=-+，因为P 在以MN 为直径的圆上，则0PM PN =， 所以1212()()0x t x t y y --+= 所以2121212()0x x t x x t y y -+++=所以22222221261*********k k k t t k k k --⋅+-=+++ 所以222(31210)6t t k t -+=-， 因为2312100t t -+≠，所以222631210t k t t -=-+.∵P 是右交点，故t ＞2，因此222(6)(31210)0t t t t >⎧⎨--+≥⎩，解得23t ∈+．综合得23t ∈+. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19. 已知{}n a 是各项均为正数的无穷数列，数列{}n b 满足n n n k b a a +=⋅(n N *∈)，其中常数k 为正整数．（1）设数列{}n a 前n 项的积(1)22n n nT -=，当k ＝2时，求数列{}n b 的通项公式；（2）若{}n a 是首项为1，公差d 为整数的等差数列，且21b b -＝4，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和；（3）若{}n b 是等比数列，且对任意的n N *∈，22n n k n k a a a ++⋅=，其中k ≥2，试问：{}n a 是等比数列吗？请证明你的结论． 【答案】（1）4n n b ；（2）202020202021S =（3）数列{}n a 是等比数列．证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出12()n n a n N -*=∈，即得数列{}n b 的通项公式；（2）通过分析得到d ＝1，得到n a n =，再求出k ＝1，即得(1)n b n n =+，再利用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和；（3）设{}n b 公比为q 2，则对任意n N *∈，22k n k n k n k n n n k b a a q b a a ++++==，由已知得到k n k naq a +=，证明得到1n na q a +=，即得数列{}n a 是等比数列． 【详解】解：（1）因为(1)22n n n T -=，所以(2)(1)212(2)n n n Tn ---=≥，两式相除，可得(1)(1)(2)1222(2)n n n n n na n -----==≥，当n ＝1时，111112a T -===，符合上式，所以12()n n a n N -*=∈，当k ＝2时，112224n n n n n n b a a -++=⋅=⋅=；（2）因为n n n k b a a +=⋅，且11a =，所以1111k k b a a a ++==，2221(1)()k k b a a d a d ++==++， 所以2211(1)4k b b d d a +-=++=，因为{}n a 是各项均为正数的无穷数列，{}n a 是首项为1，公差d 为整数的等差数列， 所以d ，k 均为正整数，所以1d ≥，所以1212k a a d +≥=+≥，所以221(1)43k d d a d d +++=≥+，解得d ≤1，所以d ＝1，即n a n =. 所以211(1)42k k d d a a ++++==+，即12k a +=，解得k ＝1，所以1(1)n n n b a a n n +==+，则1111n b n n =-+， 记n b 的前n 项和为n S ， 则111111111()()()12233411n S n n n =-+-+-++-=-++， 所以202012020120212021S =-=； （3）因为{}n b 成等比数列，设公比为q 2，则对任意n N *∈，22k n k n k n kn n n kb a a q b a a ++++==， 因为0n a >，且22n n k n ka a a ++⋅=，所以2n k n k n n k a a a a +++=，所以k n kna q a +=， 因为222111112()kn n n k n n k n n n k n nb a a a q a q b a a a q a +++++++====，所以1n n a q a +=，所以数列{}n a 是等比数列．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的求和问题，考查数列性质的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20. 已知函数ln ()a xf x x=，ln ()x x a g x e +=，其中e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 的极大值为1e，求实数a 的值；（2）当a ＝e 时，若曲线()y f x =与()y g x =在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值； （3）设函数()()()h x g x f x =-，若()h x ＞0对任意的x ∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ＝1；（2）01x =；（3）[1e，+∞)． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()f x 的极大值1()a f e e e==，即得a 的值；（2）由00()()1f x g x ''⋅=-得到000ln x x e e x e +=，设()ln xx xe e x ϕ=+，根据函数的单调性和(1)e ϕ=得到01x =；（3）由题得ln()ln x xae x ae x>对任意x ∈(0，1)恒成立，设ln ()x H x x =，得到x ae x >对任意x ∈(0，1)恒成立，即x x a e >，设()xxG x e =，x ∈(0，1)，求出()G x 的最大值得解.【详解】解：（1）因为ln ()a x f x x=，则2(1ln )()a x f x x -'=，因为ln ()xx ag x e +=，所以a ＞0，则当x ∈(0，e )时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x ∈(e ，+∞)时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以当x ＝e 时，()f x 的极大值1()a f e e e==，解得a ＝1；（2）当a ＝e 时，ln ()e x f x x=，1()x x g x e +=，则2(1ln )()e x f x x -'=，()exxg x -'=， 由题意知，0000020(1ln )()()1x e x x f x g x x e--''⋅=⋅=-， 整理得000ln xx e e x e +=，设()ln xx xe e x ϕ=+，则()(1)0xex x e xϕ'=++>，所以()ϕx 单调递增， 因为(1)e ϕ=，所以01x =； （3）由题意可知，ln ln ()0xx a a xh x e x+=->对任意x ∈(0，1)恒成立， 整理得ln()ln x xae xae x>对任意x ∈(0，1)恒成立， 设ln ()xH x x=，由（1）可知，()H x 在(0，1)上单调递增， 且当x ∈(1，+∞)时，()0H x >，当x ∈(0，1)时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()0()xH ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0，1)上单调递增，所以x ae x >， 综上可知，x ae x >对任意x ∈(0，1)恒成立，即x x a e>， 设()x x G x e =，x ∈(0，1)，则1()0xxG x e-'=>，所以()G x 单调递增， 所以1()(1)G x G a e <=≤，即a 的取值范围为[1e，+∞)．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.江苏省七市2020届高三第三次调研考试数学附加题【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21. 已知m R ∈，11α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵121M m ⎛=⎫⎪⎝⎭的一个特征向量，求M 的逆矩阵1M -．【答案】11233M 2133-⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】根据特征向量定义及矩阵乘法运算，先求得矩阵M ；设矩阵M 的逆矩阵1M a b c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵乘法运算可得方程组，解方程组即可确定M 的逆矩阵1M -． 【详解】设11α⎛⎫= ⎪⎝⎭是属于特征值n 的一个特征向量，则M n αα，因为1112113m m M α+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11n n n n α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13m n +==，解得2m =，所以矩阵1221⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，设矩阵M 的逆矩阵1M a b c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112212210M2201a b a c b d c d a c b d M -⎛⎫ ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭⎝⎪⎭⎝⎭所以21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以11233M 2133-⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了矩阵特征向量的应用，逆矩阵的求法，属于中档题. 选修4—4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，圆C 的方程为()2sin 0r r ρθ=>.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 恒有公共点，求r 的取值范围． 【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】将圆的极坐标方程化为普通方程，确定圆心和半径，并将直线l 的方程化为一般方程，利用圆心到直线l 的距离不大于r 可得出关于r 的不等式，进而可求得正数r 的取值范围.【详解】因为圆C 的极坐标方程为2sin r ρθ=，所以22sin r ρρθ=，因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以222x y ry +=，整理得()222x y r r +-=，即圆C 是圆心为()0,r ，半径为r 的圆，因为直线l的参数方程为1x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去t20y --=，所以，直线l20y --=，因为直线l 和圆C 有公共点，所以圆心C 到直线l的距离22r d r +==≤，解得2r ≥， 因此，r 的取值范围是[)2,+∞.【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，同时也考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，考查计算能力，属于中等题. 选修4—5：不等式选讲23. 已知1x >，1y >，且4x y +=，求证：22811y x x y +≥--． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】设1x m -=，1y n -=，可得出2m n +=，然后利用基本不等式可证得22811y x x y +≥--. 【详解】设1x m -=，1y n -=，因1x >，1y >，所以0m >，0n >，且22m n x y +=+-=，()()((2222221144811n m y xn mx y m n mnm n++∴+=+≥+=+≥=--. 当且仅当1m n ==，即2x y ==时，上述等号成立，原命题得证．【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行化简变形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.【必做题】每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求X 的分布列及数学期望()E X ； （2）求恰好成功打开4扇门的概率． 【答案】（1）见解析，()3E X =；（2）80243． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值为1、2、3、4，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的概率分布列，利用数学期望公式可求得()E X ；（2）计算出每扇门被打开的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值为1、2、3、4，则()116P X ==，()5112656P X ==⨯=， ()541136546P X ==⨯⨯=，()5431543214654365432P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以随机变量X 的分布列为：X1234P1616 1612所以随机变量的数学期望()1111123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）由（1）可知，每扇门被打开的概率为54322165433P =-⨯⨯⨯=， 设恰好成功打开四扇门为事件A ，则()445218033243P A C ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查随机变量及其分布列以及数学期望的计算，同时也考查了独立重复试验概率的计算，考查计算能力，属于中等题.25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ．过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，EA 、EB 分别与y 轴相交于M 、N 两点，当AB x ⊥轴时，2EA =．（1）求抛物线的方程；（2）设EAB 的面积为1S ，EMN 面积为2S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）2y =；（2）[)4,+∞． 【解析】 【分析】（1）当AB x ⊥轴时，求出AF ，利用勾股定理可求得正数p 的值，进而可得出抛物线的标准方程；（2）设直线AB的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出点M 、N 的坐标，进而可求得1S 、2S 关于m 的表达式，可得出12S S 关于m 的表达式，利用不等式的基本性质可求得12S S 的取值范围. 【详解】（1）当AB x ⊥轴时，直线AB 的方程为2p x =，联立222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得y p =， 则AF p =，且EF p =，2EA ∴===，解得p =，因此，抛物线的标准方程为2y =； （2）设直线AB的方程为2x my =+，由22y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得220y --=， 设点()11,A x y 、()22,B x y，所以12y y +=，122y y =-，直线AE方程为12y x ⎛=⎭，令0x =，得1112M y y y ==，同理2222N y y y ==所以M N y y -===其中(()2222121212224222my mym y y y y m m m =++=-++=+，则122121244412M NEF y y S m S EO y y-==+≥-，当0m =时等号成立， 因此12S S 的取值范围为[)4,+∞．【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积比的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.。
江苏省南通、泰州、扬州等七市2019届高三第三次调研考试数学试题及答案
南通市2019届高三第三次调研测试1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()2ππ，上交点的横坐标为α，则s i n2α的值为 ▲ ．11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AEλμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为▲ ．12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC B A B C C A C B ⋅+⋅=⋅， 则12CB CD+（第3题）（第11题）（第12题）的最小值为 ▲ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(0A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪错误！未找到引用源。
江苏省南通、扬州、淮安、泰州四市高三数学第三次调研试题
（第10题）C D F （第11题）P （第5题）开始 输入x y ←5 x <4 y ←x 2 2x +2 输出y 结束 Y N （第4题） 时间（小时）频率 组距 0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 100 125 150 江苏省南通、扬州、淮安、泰州四市2015届高三第三次调研数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1． 设集合A {3，m}，B {3m ，3}，且A B ，则实数m 的值是 ▲ ．【答案】02． 已知复数z 错误!未找到引用源。
(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件错误!未找到引用源。
则z 2x+y 的最小值是 ▲ ．【答案】 34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在错误!未找到引用源。
中的频数为100，则n 的值为 ▲ ． 【答案】1000 5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ． 【答案】 46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】错误!未找到引用源。
7． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x28y 的焦点，则F 到双曲线错误!未找到引用源。
的渐近线的距离为 ▲ ．【答案】错误!未找到引用源。
8． 在等差数列{an}中，若an+an+24n+6（n ∈N*），则该数列的通项公式an ▲ ．【答案】2n+19． 给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a 0”是“函数f(x) x3+ax2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ▲ cm3． 【答案】错误!未找到引用源。
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2000S≤
N
400SS Y
0S
S输出 （第3题） 开始
开始
(第5题) 0.0100 0.0175 0.0025 0.0050 0.0150
频率组距
40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试 数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合2 1A，，1 2B，，则AB ▲ ．
2． 设复数z满足(34i)50z（是虚数单位），则复数z
的 模为 ▲ ．
3． 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ． 4． “MN”是“22loglogMN”成立的 ▲ 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）
5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．
6． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)xpyp上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．
7． 从集合1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ． O 11 5
1
5 x (第9题)
y 8． 在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：22(1)4xy上的任意一点，点Q(2a，3a) (aR)，则线段PQ长度的最小值为 ▲ ．
9． 函数()sin()fxAx(0A，0，02)≤在R上 的部分图象如图所示，则(2013)f的值为 ▲ ．
10．各项均为正数的等比数列na中，211aa．当3a取最小值时，数列na的通项公式an= ▲ ．
11．已知函数2221 0 () 0axxxfxxbxcx，≥，，是偶函数，直线yt与函数()yfx的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若ABBC，则实数的值为 ▲ ．
12．过点(1 0)P，作曲线C：exy的切线，切点为1T，设1T在x轴上的投影是点1H，过点1H再作曲线C的切线，切点为2T，设2T在x轴上的投影是点2H，„，依次下去，得到第1n()nN个切点1nT．则点1nT的坐标为 ▲ ．
13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB1，2EF，CD3． 若15ADBC，则ACBD的值为 ▲ ．
14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a30，a1a42a2a4a20，且a1a2a3，则a4的取值范围是 ▲ ．
二、解答题 15．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB//平面PCD； （2）求证：平面PAC平面ABCD．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222222sin2sinsinCbacACcab． （1）求角B的大小； （2）设222sinsinsinTABC，求T的取值范围．
17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为x的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为T，单位时间内，在单位面积上通过的热量TQkd，其中k为热传导系数． 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 Jmm/C，空气的热传导系数为42.510 Jmm/C．） （1）设室内，室外温度均分别为1T，2T，内层玻璃外侧温度为1T，外层玻璃内侧温度为2T，且1122TTTT．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T，2T及x表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设
A B C
（第15题）
P D O x y O A
B C
D F
（第18题）
E
计x的大小？
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yxabab的右焦点为(1 0)F，，离心率为22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OEEF． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．
19．已知数列na是首项为1，公差为d的等差数列，数列nb是首项为1，公比为(1)qq的等比数列．
图1 图2
墙
墙 8 T1 T2 室内 室外 墙 墙 x 4 T1 1T2T T2 室内 室外 4
（第17题） （第21—A题） A B C
D P O
E
F （1）若55ab，3q，求数列nnab的前n项和； （2）若存在正整数(2)kk≥，使得kkab．试比较na与nb的大小，并说明理由． 20．设()fx是定义在(0 )，的可导函数，且不恒为0，记()()()nnfxgxnx*N．若对定义域内的每一个x，总有()0ngx，则称()fx为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有()0ngx≥，则称()fx为“n阶不减函数”（()ngx为函数()ngx的导函数）． （1）若31()(0)afxxxxx既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围； （2）对任给的“2阶不减函数”()fx，如果存在常数c，使得()fxc恒成立，试判断()fx是否为“2阶负函数”？并说明理由． 数学附加题 21．【选做题】 A．选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙O的半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且1AP， 3CP，6OP． 求证：△APC≌△DPB． B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M566x不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知(0 1)A，，(0 1)B，，( 0)Ct，，3 0Dt，，其中0t．设直线AC
与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．
D．选修4—5：不等式选讲 已知0a，0b，n*N．求证：11nnnnababab≥．
22．【必做题】 设n*N且2n≥，证明： 2222
1212nnaaaaaa
1232naaaa
234naaaa1nnaa
．
23．【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112，16，14，12．游戏规则如下：
① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束； （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于402000S≤
N
400SS Y
0S
S输出 （第3题） 开始
开始
(第5题) 0.0100 0.0175 0.0025 0.0050 0.0150 频率组距 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h 分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束． 设某人参加该游戏一次所获积分为． （1）求0的概率； （2）求的概率分布及数学期望． 南通市2013届高三第三次调研测试 数学参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合2 1A，，1 2B，，则AB ▲ ． 【答案】(2 2)， 2． 设复数z满足(34i)50z（是虚数单位），则复数z的 模为 ▲ ． 【答案】 3． 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ． 【答案】2400 4． “MN”是“22loglogMN”成立的 ▲ 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分 5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．
Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ
Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ
（第23题）