广义函数多目标规划的充分条件

多目标规划_2

则根据上述模型，我们任意给定一个可行解 x R ，则其对应的目标函数值F x
是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ，Fx [ f1 x f2 x
f p x]T R p 。
设 FR 表示可行域 R 中所有 x 对应的 p 维向量 Fx 的全体，即：
FR Fx | x R，如果把F x看作是由约束集合 R 到R p 的映射，则F R称为
多目标规划
❖ 什么是多目标规划问题
▪ 在线性规划、整数规划以及非线性规划中，其目标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率，同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问题。
矩量
1 6
x1
x22
，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度
最大，故目标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1x2
f2
x
1 6
x1 x22
x12 x22 1
x1, x2 0
多目标规划问题的典型实例
❖ 例2. 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采购最多数量的原料。

多目标规划求解方法介绍

*
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^

S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中：要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时，最不满意时（即最差时）。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法：（1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0

《多目标函数》课件

实际应用中的挑战与解决方案
约束处理
研究如何有效处理多目标优化问题中的各种约束条件，如线性约束、非线性约束等。
决策变量连续性
研究连续决策变量的多目标优化问题，以解决更多实际应用问题。
多目标优化与其他领域的结合
将多目标优化方法应用于其他领域，如机器学习、控制系统等。
多目标函数与其他领域的交叉研究
机器学习与多目标优化
粒子群优化算法的主要步骤包括初始化粒子群、计算粒子的适应度值、更新粒子的速度和位置以及更新粒子的个体和全局最优解。通过这些步骤，粒子群优化算法能够在解空间中搜索并找到一组最优解。
粒子群优化算法的优点在于其简单易实现、全局搜索能力强和鲁棒性好。然而，粒子群优化算法也存在一些缺点，如易陷入局部最优解、对初始解依赖性强和参数设置主观性强等。
特点
多目标函数具有多个目标，每个目标都有自己的优先级和约束条件，需要综合考虑多个因素，以达到最优的决策结果。
多目标函数的重要性
实际应用
多目标函数在实际生活中有着广泛的应用，如资源分配、生产计划、金融投资等。在这些领域中，往往需要权衡多个目标，如成本、质量、时间等，以达到最优的效果。
决策科学
多目标函数是决策科学的重要组成部分，它能够帮助决策者综合考虑多个因素，制定更加科学、合理的决策方案。
生产调度中的多目标优化
资源分配
在生产调度中，多目标优化用于优化资源分配，以平衡生产成本、交货时间和产品质量等多个目
标。
工艺流程
通过多目标优化，可以找到最优的工艺流程配置，以提高生产效率、降低能耗和减少废品率。
供应链管理
在供应链管理中，多目标优化用于协调供应商、制造商和分销商之间的利益，以实现整体效益最大化。

广义凸性下多目标优化

[8]
设 F : X0 × X0 × R n → R 是次线性函数，函数
fi : X 0 → R 在 x0 ∈ X 0 可微。α : X 0 × X 0 → R | {0}, ρi ∈
如果没有其它可行解 x∈ X 使得
f ( x) f ( x0 ) ，那么（ MFP ）的一个可行解 x ∈ X 即 p 0 g ( x) g ( x0 )
τ ≥ 0, τ ≠ 0, λ ≥ 0,
∑τ i ( fi / g i )' ( x 0 ) + ∑ λ j h'j ( x 0 ) = 0
i =1 j =1
p
m
(3.1)
λ j h j ( x 0 ) = 0,
j = 1, 2, L m ，
那么， x 0 是问题（ MFP ）的一个弱有效解，其中： Δ = { x ∈ x 0 | h( x ) ≤ 0} 。引理 3．1．设 f ( x ) ≤ 0, g ( x ) > 0,
[15]
（其中，开集 X 0 ⊂ R n ， fi : X 0 → R ， gi ( x) : X 0 → ） R, i = 1, 2, L p 。
h j : X 0 → R, j = 1, 2, L m; f i ( x) ≥ 0, g i ( x) > 0, f i ( x) ≥
j = 1, 2, L m ）用 ∇f i ( x ) , 0,
f ( x ) − f ( x0 ) ≥ F ( x, x0 ;α ( x, x0 )∇f ( x0 ) ) + ρ ⋅ d 2 ( x, x0 )
则称 f i 是集合 X 0 上的拟凸函数（ i = 1, 2, L p ）。定义 2．7．设 X 0 ⊂ R n 是非空凸集， fi : X 0 → R 是实值函数，若对任意的 λ ∈ ( 0, 1) 有

多目标规划——精选推荐

则目标函数为
，并根据最初的约束条件求解。
记求得的最优解为 = 。
然后将 = 为约束条件（绝对约束）添加到原目标规划的约束中，求解级目标问题：
对于解P3级规划问题也是同理。
最后一个单目标规划的规划的求解结果即为目标规划的满意解。
注意：在目标规划中不提最优解的概念，只提满意解的概念（因为不可能所有的目标都达到最优），即寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解，由决策者来确定选取哪一个解，但满意解的数目太多而难以将其一一求出。
于是我们就可以把多目标规划问题转化为一般的单目标模型：
例题：某厂计划在下一个生产周期内生产A，B两种产品，每种产品的单位利润分别为10和18（单位：万元），资源消耗和限制数量如下表，求总利润最大的生产方案。
解：设生产A,B,C分别为 , , 个单位，数学模型为：
这是一个单目标问题，解得x1=50/7，x2=200/7，最优目标函数值z=4100/7万元。但是如果考虑到第一种资源面临涨价预期，希望尽可能清空库存利于快速补充，故考虑本期利润最大化的同时必须为下一个周期做好准备，从而增加新目标函数：
P1级目标：达到利润指标利润6000万； P2级目标：尽量用完第一种资源的库存，不够可以适当外购议价资源； P3级目标：尽量不加班，如果需要加班则加班时间不要超过100小时。达成函数（目标函数）：设生产A,B,C分别为 , , 个单位，约束条件：
先求解P1级目标问题：
在目标规划中不提最优解的概念只提满意解的概念因为不可能所有的目标都达到最优即寻求能够照顾到各个目标并使决策者感到满意的解由决策者来确定选取哪一个解但满意解的数目太多而难以将其一一求出
多目标规划多目标规划问题特点：
1. 多个优化目标 2. 约束条件有回旋给出几个实际的例子：例如要购置一台手提电脑，你想要 1. 内存尽可能大 2. 运行速度尽可能快 3. 重量尽可能轻 4. 体积尽可能小 5. 清晰度要高 6. 性价比要尽可能高 … 这些东西就是目标。而像：1. 希望价格在5千以内 2. 希望外观比较漂亮 3. 比较坚固 4. 性能要稳定可靠 .....就是一些模糊的约束条件。又例如，去浙大参加研究生复试，应该怎么走？这就是一个交通工具的选择问题。每个人都有自己的走法，而 1. 一个小时左右能够到 2. 单程费用不要超过20元 3. 最好车上有坐位 4. 步行路程不要超过1000米 .....之类的约束条件就是很多的目标。

《多目标规划》课件

物流配送优化
总结词
物流配送优化是多目标规划在物流领域的应用，旨在提高物流效率和降低配送成本。
详细描述
多目标规划在物流配送优化中，需要考虑配送路线、车辆调度、仓储等多个环节，通过优化这些环节的资源配置，提高物流配送的效率和降低成本。
城市规划优化
总结词
城市规划优化是多目标规划在城市规划领域的应用，旨在实现城市的经济、社会和环境可持续发展。
VS
详细描述
多目标规划在生产计划优化中，需要考虑生产成本、交货期、产品质量等多个目标，通过平衡这些目标，制定最优的生产计划，以实现企业利润的最大化。
投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应用，旨在实现投资组合的收益与风险之间的最佳平衡。
详细描述
多目标规划在投资组合优化中，需要同时考虑预期收益率和风险水平等多个目标，通过优化投资组合的配置，实现投资者对收益和风险的需求。
约束条件
约束条件是多目标规划中重要的组成部分，它限制了决策变量的取值范围，以确保规划方案的可实施性和可行性。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束两类，其中等式约束通常表示决策变量之间的关系，而不等式约束则表示决策变量的取值范围。
决策变量
决策变量是问题中需要决策的量，通常表示为未知数或参数。在多目标规划中，决策变量可以是连续的或离散的，其取值范围和数量根据问题的实际情况而定。
多目标规划的历史与发展
1 2
早期发展
多目标规划的概念最早可以追溯到19世纪，但直到20世纪70年代才开始得到广泛关注和应用。
重要贡献者
一些著名的学者和研究者，如赫伯特·西蒙和约翰 ·柯布，为多目标规划的发展做出了重要贡献。

多目标规划有关函数介绍

多目标规划有关函数介绍多目标规划（Multi-Objective Programming，MOP）是一种在优化问题中同时优化多个目标函数的数学规划方法。

它与传统的单目标规划（Single-Objective Programming，SOP）方法相比，具有更高的复杂性和难度。

多目标规划的发展可以追溯到20世纪60年代，目前已经成为优化领域的重要研究领域之一、本文将介绍多目标规划中常用的几种函数及其特点。

1. 加权和函数（Weighted Sum Function）加权和函数是多目标规划中最简单和最常用的函数之一、它将多个目标函数按照一定的权重进行加权求和，得到一个综合的目标函数。

加权和函数的数学表示如下：f(x) = ∑(wi * fi(x))其中，f(x)是综合的目标函数，wi是权重系数，fi(x)是第i个目标函数。

加权和函数的特点是容易理解和计算，但存在一个重要的缺点：它偏向于解决具有明确优先级的目标。

因为加权和函数要求设定各个目标函数的权重，而这种权重的设定通常是主观的，因此，加权和函数在处理多目标问题时可能存在一定的偏向性。

2. 目标规则函数（Objective Rule Function）目标规则函数是一种将目标函数转换为约束条件的函数。

它通过将目标函数分别与一组规则进行比较，将满足规则的解视为可行解，进而将优化问题转化为一个带有约束的求解问题。

目标规则函数的数学表示如下：G(x) = (∑(max(0, fi(x) - τi))^2其中，G(x)是目标规则函数，fi(x)是第i个目标函数，τi是规则中的阈值。

目标规则函数的优点是能够帮助用户将优化问题转化为一个有约束的求解问题，从而减少了问题求解的复杂性。

但是，目标规则函数具有确定性和二值化的特性，因此可能会导致信息的丢失和解的不准确。

3. 基因函数（Genetic Function）基因函数是多目标规划中常用的一种函数，它基于遗传算法（Genetic Algorithm，GA），通过模拟自然界中的进化过程，不断演化出较好的解。

多目标分式规划解的一些必要条件

ｒ（）一（）＜０，ｊ￡。 ∈
这意睬着下列系统不相容
（（Ｉ）一ｒ（。）＋（（｜￡）ｒ（￡－￡））ｒ（））ｒ（）一ｒ（ ’ ）＜０，（，￡ｊｚ）￡∈ ｓ
（‘ ）０）＜ ’
ｌｉ ≤ ≤ ≠
（）３
因此，Ｖｉ一１… ，）（，，）广义次似凸函数。对（ｉ，Ｐ， … 岛，是于是由（）３式和定理ｌ知，对第
个统存 ≥０足系，在妨满 ∑ ＝Ｉ得使
ＪＪ —
，
∑ ０ ≥０ｖ）， ∈
』ｌ
即（．ｒ（）一ｒ ‘ ）＋）
∑≈ （（一＾。（ｒ）（））ｌ（）
’ ‘ ≠
４！（，）。ｒ ‘ ） ≥ ０Ｖ ∈ －Ｊ（）ｒＩｆ）），
所以
９）（一＾。＋Ｍ）） ’ ）， ∈ ｉ（（）＾）） ∑ （（一） ≥０）ｖ
ｎ（）一ｒ（。ｚ．ｚ）＜０ ∈ ，
则称ｚ为（） ’ Ｐ之真有效解。
夸
， ●
职一｛∈ＲＩ≥０ —ｌ一（，，，，，，， …，）∑ 一１Ｙｉ …，）；
，
肥一ｆ∈Ｒｌ＞０ —ｌ… ，一（，，，，，， …，）∑ 一ｌ，ｌ｝
Ｖ，。， ∈ （．）Ｖｅ０ｊ ∈ ， ∈ Ｖ０１，＞，ｊｐ＞０
使
删＋（）＋（ｚ１一）一）一卢（Ｐ（Ｐ）∈ Ｒ
文献［～６中已用例子说明了凸一似凸一次似凸一广义次似凸，ｄ］但反过来一般不成立Ｉ同时严格似凸一广义次似凸，反之也不真。

多目标规划求解方法介绍

多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。

在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。

多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。

下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。

1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。

将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。

然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。

然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。

2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。

通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。

然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。

约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。

3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。

它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。

目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。

这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。

4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。

它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。

在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。

数学中的混合整数规划与多目标规划

数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。

本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。

一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。

它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。

混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。

为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。

这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。

混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。

混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。

二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。

多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。

多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。

帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。

加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。