考研数学讲座_21_

1考研数学讲座（21） “上限函数”多深化 定积分上限函数是《大学数学》范围内，函数概念的又一次深化。在考研数学中，积分上限函数被广泛地综合运用到一元微分学的各类题目里。

1．定义与求导定理 定积分上限函数（变动面积函数） ∫→Φx a dttfxx)(:)( ——

对区间 [a ，b] 上每一个相对给定的x值，计算函数f (t) 在区间 [a，x] 上的定积分，以积分值为x所相应的函数值)(xΦ。

（潜台词：考查函数值时，x为常数，t是积分变元，x可以（象数乘积分那样）自由进出积分号。） 求导定理 —— 若函数f (x) 在所论区间上连续，则积分上限函数)(xΦ于相应区间上是

f (x)的一个原函数。即 )())((xfdttfdxdx a =∫

（潜台词：这就用“构造法”证明了，“连续函数一定有原函数。”） （画外音：试把上限函数及其求导定理，与《概率》中一维连续型随机变量X的分布函数F（x）对比。） 复合函数求导公式 —— 设 )(xf 连续，其它相关函数都可导。若 ∫=Φ)()()(xuadttfx

则 )())(()(Φxuxufx′⋅=′

∫=Φ)x( )( )()(βxadttfx )())(()())(()(xxfxxfxααββ′−′=Φ′

2．函数概念两次深化的对比 —— “用极限定义的函数”与“用（定）积分定义的函数”，这是函数概念的两次深化。 “概念深化”体现在： （1）微积分是比四则运算，幂运算，等更高级的运算。 （2）极限式可能有若干恒等变形。积分除了被积式恒等变形外，还有定积分的变量替换。这些手段让函数表现形式多样化，既丰富了讨论方式，也增添了理解难度。 两次深化的基本差别在于： 讨论“用极限定义的函数”的分析性质，要首先求极限，得到函数的解析式。 讨论或应用“定积分上限函数”时，由于有上述求导定理。往往不需要先积分算出解析表达式，而是直接求导并应用其导数。

例141 已知函数∫=x x dttfxF

ln

/1)()( ，(x > e) ，则)(xF′为

（A）)1(1)(ln12xfxxfx+ （B）)1()(lnxfxf+ （C）)1(1)(ln12xfxxfx− （D）)1()(lnxfxf− 2

分析 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′=′xfxxfxxxfxxfxF11)(ln111))(ln(ln)(2；答案（A）。 例142 设 f (x) 连续，且∫−=xe x dttf xF)()(，则)(xF′ = )()(xfefexx−−−− 分析 )()()())(()(xfefexfeefxFxxxx−−=−′=′−−−− 例143 若f (x)是连续函数，且 ∫−=103)(x xdttf ，则 12

1)7(=f

分析 恒等式右端的定积分上限函数有复合结构 ∫=Φu dttfu

0)()(，而 1

3

−=xu

恒等式两端关于x求导得 13)1(23=⋅−xxf ，令 713=−x 可以算出 x = 2及)7(f 例144 设dttftxxFxa)()()(∫−=，f连续，求)(xF′

分析 F（x）与上限函数求导公式中的标准形式不一致。即F的被积式中，除了积分变元t之外，还有F的自变量x ；不能直接使用求导公式。 对于积分来说，x是常数。可以把F分为两项，前项将x提到积分号外，形成两个函数的积。然后才能按四则运算法则求导。实际上有 ∫∫−=xaxadttftdttfxxF)()()( ，∫=′xadttfxF)()(

例145 设函数f (x) 连续，下列函数中必是偶函数的是 （A）∫−+x dttftft0))()(( （B）∫−−x dttftft0))()(( （C）∫x dttf02)( （D）∫x dttf

02)(

分析 被积函数t (f (t) + f (－t))是奇函数，它的原函数必是偶函数。应选答案（A）

例146 已知 ⎩⎨⎧≤≤ <≤ =21,110,3)(2xxxxf ，设 ∫=x dttfxF

0)()(，)20(≤≤x

则F (x)为 （答案（A）） （A）⎩⎨⎧≤≤<≤21,10,3x xx x （B）⎩⎨⎧≤≤<≤−21,10,13x xx x （C）⎩⎨⎧≤≤−<≤21,110,3x xx x （D）⎩⎨

⎧

≤≤−<≤−21,110,13x xx x

分析 “任給一点x，视为常数”，积分求函数表达式。由于f (t) 分两段定义，把x给在 f (t) 的定义分界点前面还是后面，会相应有不同的被积函数。

当10≤≤x时，∫==x xdttxF0323)(，当21≤

对比变化：本题中若 ∫ =xdttfxF

1)()(，20≤≤x，计算时还要注意积分限。

若 10≤≤x 则 ∫−=−=13213)( x xdttxF，而当 21≤1)(−=xxF

例147 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤< −≤≤ +=21),1(3110),1(21)(2xxxxxf，g (x)=∫x dttf0)(，则g (x)在区间 [0，2] 上

（A）无界；（B）递减；（C）不连续；（D）连续。 3

分析 0)01(=+f，1)1()01(==−ff，1=x是)(xf的第一类间断点。从变动面积的几何背景思考，应选答案（D）。 （画外音：本题有知式含金量。即被积函数f (t) 有第一类间断点x = 1 ，它生成的上限函数在区间 [0，2] 上不满足求导定理，但一定在[0，2] 上连续。（自己验证。） 试对比体念一下： f (x)连续 —→ )(xΦ可导 ； f (x) 有第一类间断点 —→ )(xΦ连续 ）

3．求导与定积分变量代换综合 讨论用含有参变量的定积分定义的函数，有时候可以通过定积分变量代换转化为变上限积分函数。再计算其导数。 例148 已知f (x)可导，且0)0(=f，∫−=−x nnndttxftxF

01)()(，求极限 nxxxF20)(lim→

分析 0/0型未定式，先试用洛必达法则。分子函数如何求导？ 分子既是积分上限函数，被积式中的抽象复合结构内又含有x变元，无法分离，也就无法求导。我们期望通过定积分变量替换来处理被积式的抽象复合结构，将参变量全转移到积分限上。此时，积分变元是工作对象，而x视为常数。 解 观察被积函数结构，令nntxu−=，则∫=nx duufnxF

0)(1)(，)()(

1nnxfxxF−=′

)0(21)0()(lim21)(lim212)(lim)(lim0012020f

nx

fxfnx

xfnnxxFx

xFnnxnnxnxnx′=−==′=→→−→→

（潜台词：有点复杂，但题目导向较为明确。）

4．上限函数参与一元微分学综合讨论 要自然地把上限函数纳入微分学部分各类问题讨论中。 例149 设函数65)(,sin)(65cos102xxxg dttxfx +==∫−，则当0→x时，f (x)是g (x)的

（A）低阶无穷小；（B）高阶无穷小；（C）等价无穷小；（D）同阶但非等价的无穷小。 分析 无穷小量的线性组合仍然是无穷小量，其阶数等于组合中最低阶项的阶数。故 g (x)是0→x时的5阶无穷小量。只需用其等价部分去进行比较。

按照定义计算如下，知道应选（B）。 0)2/(lim)cos1(limsin)cos1sin(lim5/)(lim322032042050==−=⋅−=→→→→xxxxxxxxxfxxxx

例150 设 ∫−=x a dttfaxxxF)()(2，其中f (x)为连续函数，则 )(limxFax→

（A）等于a2 （B）等于a2 f (a) （C）等于0 （D）不存在 分析 由洛必达法则和 f (x) 的连续性，可以算得答案（B）。实际上有

)(1

)()(2lim)(lim)(lim222

afaxfxdttfxaxdttfxxFxaaxxaaxax=+=−=∫∫

→ →→ 4

评注 由于数a可能为0，不能先把2x因子取极限得2a；当然可以先设a≠0，讨论。 例151设⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧

>=<−=∫x x dttx

x x xx xf

02

2

0,cos10,10),cos1(2)(，讨论函数f (x)在点x = 0处的连续性和可导性。

解 1lim)cos1(2lim22020==−−−→→

x

xx

xxx

， 11coslimcos1lim02020==∫++→→x xxxdttx

因为 1)0(=f 故 )0()(lim0fxfx=→ ， f (x) 在点x = 0处连续。

又 03)(sin2lim)cos1(2lim1)cos1(21lim)0(2032020=−=−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=

′

−−−→→→

−xxxxxxx

x

xf

xxx

021coslimcoslim1cos11lim)0(202020020=−=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′

+++→→→+∫∫xxxxdttdttxxfxx xx x

故)(xf在x = 0处可导，且0)0(=′f。 例152 设函数f (x)于),(∞+−∞ 连续，单调递减，且f (0) = 0，试讨论函数∫−=x dttftxF

03)()1()(的增减性。

分析 由已知条件可以推得，在区间)0,( −∞内0)(>xf,，而在),0(∞+ 内f (x) < 0 )()1()(3xfxxF−=′，)(xF′在),(∞+−∞ 连续且仅有两个零点，即x = 0和x = 1

分析导数)(xF′的符号知： F (x)在间)0,( −∞单减，在区间（0，1）单增，在区间),0(∞+ 又单减。

例153 设函数f (x)在),(∞+−∞ 连续，作函数∫−=x dttftxxF

0)()2()(，试证明：

（1）若f (x)为偶函数，则F (x)也是偶函数；（2）若f (x)不增，则F (x)不减。 证明 （1）按照定义要证 )()(xFxF=−，考察

∫−−−=−x dttftx xF0)()2()( （令ut−=，dudt−=，调整积分区间）

=∫∫=−=−−+−x x xFduufuxduufux00)()()2()()()2( 这就由f (x)为偶函数推证出F (x)也是偶函数。 （2）对定积分而言，x相对是常数。故有 ∫∫ −=xxdttftdttfxxF

00)(2)()(

∫ −+=′xxfxxfxdttfxF

0)(2)()()(

（应用积分中值定理）

))()(()()(xffxxfxfx−=−=ξξ，x≤≤ξ0

由f (x)不增得0)()(≥−xffξ 故 0)(≥′xF，即函数F (x)不减。 例154 设函数f (x)在区间[0，1]上连续，且恒有1)(∫=−x dttfx

01)(2

在[0，1]上有且仅有一解。