智轩2010考研数学第3专题讲座---导数的经济学应用(数学3)
导数在经济学中的简单应用(课堂PPT)
C 10 C 10 140 14万元 万件 14元 件
10 10
即在产量Q 10万件时，每件产品的成本为14元.
根据边际成本理论得 CQ 0.06Q2 0.8Q 6，于是生产10万件产品
时的边际成本是 C10 0.06 102 0.810 6 4元 件
从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品， 总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的 角度来看，应该提高产品的生产产量.
新 的 生 产 资 源 原 材 料 、 燃 料 、 劳 动 力 等 .使 生 产 资 源 得 到 最 充 分
的 利 用 ， 也 就 是 产 品 的 平 均 成 本 最 低 ?
2
解
:
由
1的
讨
论
可
知
，
若
C
Q
0
C
Q
0
，
则
在
产
量
为
Q
万
0
件
的
基 础 上 ， 再 多 生 产 1件 产 品 ， 总 成 本 增 加 C Q0 元 ， 比 当 前 每 件
(2) 边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个 重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。
3
一、边际与边际分析
3、边际分析
对 于 经 济 函 数 f ( x ) ， 设 经 济 变 量 x 在 点 x 0 有 一 个 改 变 量 x ， 则 经 济 变 量 y 在 y 0 f ( x 0 ) 处 有 相 应 的 改 变 量
16
2解：由RQ 102Q知，当Q25吨时，边际收益大于零，
5
总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当Q25吨时， 边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当Q25吨时，
34节导数在经济中的应用
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降0.33%.
此时降价使总收益减少，提价使总收益增加.
(2)当P 2 时， P 1,为单位弹性 .
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降1%.
此时降价或提价对总收益没有明显影响.
(2)当P 3 时， P 3,为高弹性.
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降3%.
试问当产量是多少时，快速食品店才获得最大利润？
解： 总收益R(x) P(x) x 60000 x x 3x x2 ,
20000 故总利润函数 L(x) R(x) C(x) 3x
x2
20000 5000 0.56 x
2.44 x x 2 5000 ,
于是L(x)
200000 2.44
经济意义：当销售量为x个单位时，多卖出一个单位的 产品，总利润要改变 L(x)个单位.
例1.设某厂每月生产产品的固定成本为100（0 元），生产x
单位产品的可变成本为0.01x2 10x（元）.如果每单位产品 的售价为30(元). 试求 :
(1)边际成本，边际收入，边际利润， 边际利润为零时的产量．
量相当于批量的一半.设每年每台库存费为c元,问批量为多少
时, 库存费与生产准备费之和最小?
解：设批量为x台，库存费与生产准备费之和为C,
则批数为 a ，生产准备费为b a , 库存费为c x ,故
C
C(x)
x
ab
cx
,
x2
x x (0, a],
则C ( x)
c 2
2
ab x2
,
得驻点x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
考研数学三大纲解析之导数的经济应用
考研数学三大纲解析之导数的经济意义
来源：文都教育
考研数三考试大纲对导数的经济意义的要求是了解，但是经济应用中边际与弹性以及最大利润等仍是考研数三常考的内容。
边际与弹性经常以客观题的形式来考查，最大利润经常以应用题的形式考查，这两个知识点出题的难度不大。
但是由于大学时很多同学没学过，学过的也学的比较浅很多都忘记了，所以在复习时存在抵触情绪，考试的得分率并不高。
下面文都考研数学辅导老师对这部分内容帮助大家总结一下。
一、边际函数与弹性函数
1边际函数
设()f x 可导，经济学上称()f x '为边际函数，并称()0f x '为()f x 在0x x =处的边际值.
2 弹性函数
设()f x 可导，称()()()
0/lim /x y y x x f x f x x x y f x η→''===为()f x 的弹性函数，其主要反映x 变化所致()f x 变化的强弱程度或者叫灵敏度.
二、五个研究对象
1需求函数：设需求量为Q ，价格为P ，称()Q Q P =为需求函数，且一般为单减函数.
2供给函数：设供给量为q,价格为p ，称()q q p =为供给函数，且一般为单增函数.
3成本函数-总成本=固定成本+可变成本，即()()01C x C C x =+,边际成本为()C x '.
4收益函数()R x ，边际收益为()R x '.
5 利润函数()()()L x R x C x =-，边际利润为()L x '.。
经济数学基础讲义第3章导数应用
第3章导数应用3.1 函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1．导数在研究函数时的应用2．导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？生产场景及生产曲线在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高．在下两节中就是要讨论这个问题．单调性判别下面首先讨论3.1 函数的单调性．什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．先考察y = x2，它的图形是抛物线．在x > 0 处，函数单调上升；在x < 0 处，函数单调下降．当在x > 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于90当在 x < 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90200202<='<>='>='x y x x y x xy 时，当时，当定理 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间[a , b ]换成其它区间，如(a , b )，(-∞,b ]，(a , +∞)．使定理结论成立的区间，称为y = f (x )的单调区间．定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导．(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) >(≥) 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加(不减)；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) <(≤) 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少(不增) ．“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．修改后的定理3.1如下：定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≥ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不减；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≤ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不增．由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．结论：若0)(≡'x f ，],[b a x ∈，则c x f =)(．证： 0)(≡'x f ⇒)(x f 既单调不增又单调不减⇒c x f =)(例1 判别y = x 3+1的单调性．[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．解： 定义域为(-∞,+∞) y '(x ) = 3x 2 > 0，x ∈(-∞,+∞)，且x ≠0∴y 在(-∞,+∞)上单调增加．从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例2 求y = 2x 3 - 9 x 2 + 12 x - 6的单调区间.[分析]首先求出定义域，再利用定理3. 1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解： 定义域为(-∞,+∞),y ' = 6x 2 - 18 x + 12； x 2- 3 x + 2 = 0 (x – 1)( x – 2) = 0； x 1 = 1, x 2 = 2∴单调增加区间为(-∞,1]，[2，+∞)；单调减少区间为[1，2]．在右图形中x 1 = 1, x 2 = 2是分界点，在区间(-∞,1]内，函数是单调增加的；而在区间 [1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+∞)内，函数是单调增加的．例3 求xx y +=1的单调区间. 解： 定义域为(-∞,-1)，(-1，+∞),22)1(1)1()1(x x x x y +=+-+='∴ 单调增加区间为(-∞,-1)，(-1，+∞)从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤：①确定)(x f 的定义域；②求f '(x ) = 0和f '(x )不存在的点，并组成若干子区间；③确定f '(x )在每个子区间内的符号，求出 f (x ) 的单调区间．例4 当x > 0时，试证ln(1+ x ) >x 2. [分析]先建立一个函数F (x )，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断 F (x )的单调增加性，得到要证明的结论．证：F (x ) = ln(1+ x ) –( x 2 )F (x ) 单调增加．又F (0) = 0，故当x > 0时，F (x ) > 0 ；即 ln(1+ x ) > x 2． 3.2 函数极值3.2.1 函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：定义3.1 设函数f (x )在点x 0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (x ≠x 0)，恒有f (x ))(≥≤f (x 0)，则称f (x 0)为函数)(x f 的极大(小)值，称x 0为函数)(x f 的极大(小)值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形：在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x 1，…，x 5和两个端点哪些点是极大值点呢？可以看到x 1是极大值点，x 4也是极大值点．端点b 是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．极大值点：x 1, x 4； 极小值点：x 2, x 5再找一找哪些是极小值点？x 2是一个极小值点，x 5也是一个极小值点．下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．分析函数在极值点处具有什么特征．x 1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x 5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．定理3.2如果点x0是函数f (x)的极值点，且f'(x0)存在，则f'(x0) = 0使f'(x0) = 0的点，称为函数f (x)的驻点．定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．说明：若f'(x0)不存在，则x0不是f (x)的驻点．定理3.2是极值存在的必要条件．根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y = x3在x0=0处，f'(x0) = 0，由图可知，x0 = 0不是极值点．因此，请大家想一想：极值存在的充分条件是什么？回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．从这个图形中很容易的看出，函数 f (x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f'(x0) = 0．特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．由这两个图可知，若x0是函数f (x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f (x)的可导点，所以满足极值的必要条件f'(x0) = 0．若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f'(x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．定理3.3 设函数f (x )在点x 0的邻域内连续并且可导(f (x 0)可以不存在)．如果在点x 0的左邻域内f '(x )>(<) 0，在点x 0的右邻域内f '(x )<(>) 0，那么x 0是f (x )的极大(小)值点，且f (x 0)是f (x )的极大(小)值．如果在点x 0的邻域内，f '(x )不变号，那么x 0不是f (x )的极值点．例1 设函数y = e x - x +1，求驻点．[分析]驻点就是使导数等于0的点．解：y '= e x - 1， 由 y '= e x – 1 = 0， 得x = 0注意：这里求出的x = 0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数f '(x 0) = 0是点x 0为极值点的必要条件，但不是充分条件．例2 设y = x – ln(1+x )，求极值点．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),1(∞+-,0111=+-='xy ，解得x = 0 (驻点)在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点．例3 设y = 3223x - x + 7，求极值点． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),(∞+-∞；131-='-x y ,x = 0处导数不存在，x = 1是驻点.在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．例4 设4343x x y -=，求极值．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．解： 定义域),(∞+-∞在x = 0的左右两边y '同号，故x = 0不是极值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．求函数极值的步骤：∙ 确定函数f (x )的定义域，并求其导数f '(x )；∙ 解方程f '(x ) = 0，求出f (x ) 在定义域内的所有的驻点；∙ 找出)(x f 所有在定义域内连续但导数不存在的点；∙ 讨论f '(x )在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f (x )的极值点；∙ 写出函数f (x )的极值点和极值．3.2.2 最大值、最小值及其求法极值与最值的区别：极值是在其左右小范围内比较最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．这个函数在区间[a ，b ]内的极大值点是x 1，x 4；极小值点是x 2，x 5．现在要问这个函数在闭区间[a ，b ]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b 处的函数值最大，所以点b 就是该函数在区间[a ，b ]上的最大值点．同样，从图中可以看出x 2是区间[a ，b ]上最小值点．若将b 点往左移至5x ，从图中可以看出，最大值点是 x 4，而最小值点仍然是x 2．若将区间改为],[42x x ，则最大值点仍然是x 4，最小值点仍然是x 2．明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．函数f (x )在[a ，b ]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．端点：a ，b驻点：使f '(x ) = 0的点不可导点：f '(x )不存在的点求函数最值的步骤：① 求导数f '(x )；② 解f '(x ) = 0，求出f (x )的驻点；③ 找出f (x )连续但f '(x )不存在的点；④ 比较f (x )在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最 大值和最小值．例1 求y = x 3- 3x 2 – 9x + 5在[-4，4]上的最大值和最小值．[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．解：y '= 3x 2 – 6x - 9 = 3(x 2– 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0 ，x 1 = -1，x 2 = 3所以，最大值为(-1) = 10，最小值为(-4) = -71．说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分的基础概念之一，它在经济学分析中具有重要的应用价值。
本文将从经济学的角度，简要探讨导数在经济分析中的应用。
导数在经济学中的应用主要有以下几个方面。
一、边际分析边际分析是微观经济学的重要工具之一，它用来研究某个决策在某个点的响应。
在经济学中，边际效应通常是指经济变量的微小变化所引起的效应。
例如，产量的边际效应是指增加一单位生产量所带来的额外效益。
而在微积分中，边际效应可以通过导数来描述。
以需求函数为例，需求函数通常被表示为Q=D(p)，其中Q表示需求量，p表示价格，D 为价格的函数。
当p发生微小变化时，需求量也会随之发生微小变化。
设p0为某个价格点，Q0为该价格点下的需求量，则需求函数在p0处的导数D'(p0)即为该点互补需求（即边际需求）的大小。
二、最优化理论在经济学中，最优化问题是指在满足某些约束条件下，选择某个变量的取值，使得某个目标函数的值最大或最小。
而最优化问题可以通过导数来解决。
例如，企业在确定生产规模时，需要考虑生产成本以及市场需求等因素，以求获得最大利润。
假设生产成本为C(Q)，市场需求为D(p)，企业的利润为R(Q)=pQ-C(Q)，则企业通过对R(Q)求导数，确定R(Q)取极值时的生产规模Q*，即可达到最大化利润的目标。
三、计量经济学计量经济学中的许多方法都是基于微积分理论和导数的应用。
例如，回归分析中的弹性系数就是导数的一种应用。
回归分析通常用于研究因变量和自变量之间的关系。
在经济学中，通常用线性模型表示因变量和自变量之间的关系。
例如，GDP与货币供应量之间的关系可以表示为y=ax+b，其中y表示GDP，x表示货币供应量，a和b为常数。
这时，a即为GDP对货币供应量的弹性系数，可以通过对y关于x的导数指标来计算。
总之，导数是微积分的基础概念之一，它在经济学中具有广泛的应用。
无论是研究边际效应、还是最优化决策，都需要用到导数的知识。
数学3 考研经济应用题(导数和微分在经济学中的简单运用)
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
导数在经济分析中的应用
将会增加5% ~ 25% .
经济数学
经济数学
导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析
边际概念是经济学中的一个重要的概念，一般是指经济函数的变化率.利用导数研究经济变 量的边际变化的方法，称为边际分析.
1. 边际成本
在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品产量为q单
位时所需的总成本为C C q.由于 C q 1 C q C q dC q Cqq Cq,
Rq 1 100 qq.
5
Rq 1 100 2q.
5 所以，当q 20 、50和70时的边际收入分别为
R20 12，R50 0，R70 8.
导数在经济分析中的应用
1.2 弹性分析
引例
甲产品单价为10元，提价1元；乙产品单价为200元，提价1元 .
两种产品的相对改变量都为1元，但各与其原价相比，两者的涨价幅度相差很大，甲提价
10%，乙提价0.5%. 因此，非常有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.
导数在经济分析中的应用
定义1
设函数y f x在x处可导，函数的相对改变量 y 与自变量的改变量 x 之比
y
x
y
y x
称为函数y
f
x从x到x
x两点间的弹性.令x
0，极限值y
x y
称为函数y
f
x
x
y
在点x处的弹性，记作E. 函数E
C
10
000
5
5 q q10 000
5.0（5 元）.
这个结论的经济含义是：当产量为10 000件时，再多生产一个单位的该产品所增加的成
本为5.05元 .
导数在经济分析中的应用
《经济数学》-第三章中值定理及导数的应用
x0
1 x 0
x3
( 型 )
1
lim x x 0 3
x4
x3
lim lim
x0 3x x0 3
x4
0
前页 后页 结束
型:
通分相减变为 0 型 0
例9
求
x1 lim( ) x1 x1 lnx
（
型）
( 00 解
lim( x 1 ) limxlnxx1 x1 x1 lnx x1 (x1)lnx
小值点统称为极值点。
前页 后页 结束
极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整
个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯
一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。
E C
D
AB
从图中可看出,极小值 不一定小于极大值，如
图中D点是极小值，A
a
点是极大值。
x1 x2 x3 x4 x5 b
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使得 f ()0
a
b
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3.1.2 拉格朗日中值定理
定理2 设函数 f (x) 满足下列条件
(1) 在闭区间 [a, b] 上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导；
则在区间 (a,b) 内至少存在
一点 ，使得
MT
B
f()f(b)f(a)
ba
A a
yf(x)
b
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第3章 中值定理、导数应用 3.1 中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 函数的单调性与极值 3.4 导数在经济中的应用
结束
3.1.1 罗尔定理
定理1 设函数 f (x) 满足下列条件
(1) 在闭区间 [a,b]上连续； (2) 在开区间 (a,b)内可导; (3) f(a)f(b)
导数在经济中的应用
解 (1)当该商品旳销售量为x时, 商品销售总收入为
R px 7 x 0.2x2
设政府征旳总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为
L R T C 0.2x2 (4 t )x 1
18
令
L( x) 0.4 x 4 t 0,
得驻点 x 5 (4 t)
2
而 L( x) 0.4 0, 且驻点 x 5 (4 t) 唯一.
5
解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5x 100 0.01x2 边际利润函数为 L( x) 5 0.02x
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时旳边 际利润分别是 L(200) L( x) x200 1(元)
L(250) 0(元), L(300) 1(元).
降价(Δp<0)将使收益增长; 提价(Δp > 0)将使收益降低;
(2)若 p 1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号.此时,
降价(Δp<0)将使收益降低; 提价(Δp > 0)将使收益增长; (3)若 p 1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 不论 是降价还是提价均对收益没有明显旳影响.
成本时, 可取得最大利润.
17
例39 .某商家销售某种商品旳价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品旳成本函数为
C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家 获最大利润时旳销售量;
(2) t 为何值时, 政府税收总额最大.
Q
dQ
dQ dp
p
p Q
dQ dp
p p
Q
考研讲义数三经济部分精编WORD版
考研讲义数三经济部分精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。
2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01tA A r =+;（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)rnt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]nrrt rt r e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rt t A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。
(二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。
现值与将来值的关系为：0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)tt A A r -=+例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数；供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =;利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99） 设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量,Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解 需要在产出量12212x x αβ=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩ 由(1)和(2), 得 1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小. 三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量.1、 定义 ： 设()y f x =或(),y f x t =，则称dy dx 或yx∂∂为y 关于x 的边际函数。
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4）需求函数 Qd （用字母 Q d 表示） （Demand Function）
Qd Qd p 在线形情况下：Qd a bp
a
0, b 0 a , 称为最大销售价格。 b
Qd 0 pmax
3
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3）
C
C 9000 40 0.001Q ， Q Q
C
9000 0.001 ， Q2
令 C 0，得 Q = 3000(件)．由于 C 0，故当产量为 3000 件时平均成本最小． 【例 3】 某工厂生产 Q 个单位产品的总成本 C 为产量 Q 的函数
如果当初的 T0 没有存入银行，则当初的 T0 相当于现在的值： T t T0 e
rt
nt
二、边际与边际分析
在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就 是函数增量与自变量增量之比，函数 y f ( x) 在 ( x0 , x0 x) 内的平均变化率为
2
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3） 值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为 1，不存在小数． 【例 1】 解 设函数 y x ，试求 y 在 x 5 时的边际函数值．
2
因为 y 2 x ， 所以 y
C C (Q) 1100
1 Q2 ， 1200
求：(1)生产 900 个单位时的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率； (3)生产 900 个单位时的边际成本； 解 (1)生产 900 个单位时的总成本为
C C (900) 1100
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3）
2010 数学 3 专题----导数的经济学应用
一、 经济分析中常用的 5 大经济学函数
1）总成本函数 C x （Total Cost Function） 在经营活动中的总成本（用字母 C 表示）与产品的产量（用字母 x 表示）密切相关，经过抽象简化， 可以看成仅是产量的函数，在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下， x 为产品的产量 x 为产品的销 售量。
C C (Q)
生产 Q 个单位产品时的边际成本函数为
C (Q) ， Q
C C (Q) ．
C (Q0 ) 称为当产量为 Q0 时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产 Q0 个单位产品前最后
增加的那个单位产品所花费的成本或生产 Q0 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理 解均算正确，我们一般使用后一种说法． 【例 2】 已知生产某产品 Q 件的成本为 C 9000 40Q 0.001Q (元)，试求：
C x C0 C1 x
其中： C0 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等， C1 x 表示可变成本，如购买原材料、 动力费等等。 平均成本：
C x
C x C0 C1 x x x x
2）总收入（或称总收益）函数 R x （用字母 R 表示） （Total Receipt Function）
平均成本为
1 900 2 1775 ． 1200
C (900) 1775 1.97 ． 900 900
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为
C C (1000) C (900) 1933 1775 1.58 ． Q 1000 900 100
三、 弹性与弹性分析
前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率．在实际问题中，有时仅知道函数
y f ( x) 的改变量 y 及绝对改变率 f ( x) 是不够的．例如，设有 A 和 B 两种商品，其单价分别为 10 元
和 100 元．同时提价 1 元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为 10%和 1%．前者是后者 的 10 倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了 一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时， 因变量变动的百分数． 定义 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导，且 y f ( x) 0 ．函数的相对改变量
x 5
当 x 5 时，x 改变一个单位(增加或减少一个单位)， 10. 该值表明：
y 约改变 10 个单位(增加或减少 10 个单位)．
下面介绍经济学中常用的三个边际概念． 2.1 边际成本 C x 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或 费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成． 平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数． 设总成本函数 C C (Q) ， Q 为产量，则平均成本函数为
15 2 255 ， 5
平均收益
R(Q) QP(Q) P(Q) Q 15 17 ， Q Q 15 Q Q 15
边际收益
2 R R(Q) Q 15 20 15 14 ． 5
【例 5】 某工厂生产一批产品的固定成本为 2000 元，每增产一吨产品成本增加 50 元，设该产品的市场 需求规律为 Q = 1100 – 10P(P 为价格)，产销平衡，试求： (1)产量为 100 吨时的边际利润； (2)产量为多少吨时利润最大？
R R x
当产品的单价（price）为 p， x 为销售量时
R x p x p x R x R x , 即平均收益函数 x
3）总利润函数 L x （用字母 L 表示） （Total Gain Function）
L L x R x C x tx
(1)边际利润为
L 60
当产量为 100 吨时，边际利润为
Q ． 5
L (100) 60
(2)令 L 0 得 Q = 300(吨)．由于 L 0 ，故当产量为 300 吨时，利润最大．
100 40 (元)． 5
p 和边际供给 Qs p ，一共 5 个边际函数。 同样，还有边际需求 Qd
R R(Q) Q P ．
若需求函数为 P P(Q) ，则总收益函数为
R R(Q) Q P(Q) ，
4
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3） 故平均收益函数为
R R(Q)
R(Q) QP(Q) P(Q) ， Q Q
2
(1)边际成本函数； (2)产量为 1000 件时的边际成本，并解释其经济意义； (3)产量为多少件时，平均成本最小？ 解 (1)边际成本函数：
C 40 0.002Q ．
(2)产量为 1000 件时的边际成本：
C (1000) 40 0.002 1000 60.
它表示当产量为 1000 件时，再生产 1 件产品需要的成本为 60 元； (3)平均成本：
x0 处的导数
f ( x0 ) 称为 f ( x) 在点 x x0 处的变化率，也称为 f ( x) 在点 x x0 处的边际函数值．它表示 f ( x) 在点 x x0 处的变化速度．
现设 y f ( x) 是一个可导的经济函数，于是当 x 很小时
f ( x x) f ( x) f ( x)x (x) f ( x)x ．
由于产品的最小单位是 1，故，当 x 1 或 x 1 时，分别给出
f ( x 1) f ( x) f ( x)
或
f ( x) f ( x 1) f ( x) ．
因此边际函数值 f ( x0 ) 的经济意义是：经济函数 f ( x) 在点 x x0 处，当自变量 x 再增加 1 个单位时，因 变量 y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值 f ( x0 ) 与 f ( x0 1) 之差．但在应用问题中解释边际函数
(3)生产 900 个单位时的边际成本为
1 C (900) 1100 Q2 1200
2.2 边际收益 R x 和边际利润 L x
Q 900
1 Q 1.5 ． 600 Q 900
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单 位产品所得到的收入，即单位商品的售价 p ．边际收益为总收益的变化率． 总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数． 设 P 为价格， Q （有时也用 x 表示，但要注意 Q 与 Qd , Qs 完全不同！ ）为销售量，则总收益函数为：
时收益的改变量． 由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为 L ，则总利润函数为
L L(Q) R (Q) C (Q) (其中 Q 为商品量)
那么边际利润函数为
L L(Q) R(Q) C (Q)
它的经济意义是： L(Q0 ) 表示销售量为 Q0 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量． 【例 4】 设某产品的需求函数为：
y ，如我们常用到年 x
产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数， 即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
在经济学中，一个经济函数 f ( x) 的导数 f ( x) 称为该函数的边际函数． f ( x) 在点 x