高考物理一轮复习 专题4.5 万有引力定律与天体运动教学案-人教版高三全册物理教学案
高考物理一轮复习专题4.4万有引力定律与天体运动(精讲)(解析版)
专题万有引力定律与天体运动1．掌握万有引力定律的内容，并可以用万有引力定律求解有关问题。
2．理解第一宇宙速的意义。
3．认识第二宇宙速度和第三宇宙速度。
知识点一开普勒行星运动定律的应用定律内容图示或公式开普勒第一全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太定律 (轨道定律 )阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二对随意一个行星来说，它与太阳的连线在定律 (面积定律 )相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它a3T2＝ k，k 是一个与行星没关的常量定律 (周期定律 )的公转周期的二次方的比值都相等知识点二万有引力定律的理解及应用1．内容(1)自然界中任何两个物体都互相吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
2．表达式m1m2F＝G r 2，此中G 为引力常量，G＝ 6.67 ×10－11 N ·m2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．合用条件(1)两个质点之间的互相作用。
(2)对证量散布平均的球体，r 为两球心间的距离。
知识点三、宇宙速度1．三个宇宙速度第一宇宙速度1v ＝ 7.9 km/s ，是人造卫星在地面邻近绕地球做匀速圆周运动的(环绕速度 ) 速度第二宇宙速度(离开速度 ) v 2＝ 11.2 km/s ，是物体摆脱地球引力约束的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度 )v 3＝ 16.7 km/s ，是物体摆脱太阳引力约束的最小发射速度2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。
3．第一宇宙速度的计算方法Mmv 2GM (1) 由 G R 2＝m R 得 v ＝R.v 2(2) 由 mg ＝ m R 得 v ＝ gR.知识点四、经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的丈量结果在不一样的参照系中是相同的。
高考物理一轮复习 第5章 万有引力与航天教案 新人教版
第14讲 万有引力定律及其应用教学目标1. 了解万有引力定律的发现过程，知道万有引力定律.2. 知道第二宇宙速度和第三宇宙速度，会计算天体的质量和人造卫星的环绕速度. 重点：运用万有引力定律解决天体模型 难点：了解各种天体模型，知道它们的区别知识梳理一、开普勒行星运动定律1. 开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2. 开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。
（近日点速率最大，远日点速率最小）3. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。
即2234G MK T a π==（M 为中心天体质量）K 是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关二、万有引力定律1. 定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2. 表达式：F=GmM/r 2G 为万有力恒量：G=6.67×10-11N·m 2/kg 。
说明：(1)公式适用于质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这2ωr m f =，就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是式中的r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F ，它是引力F 的一个分力如右图，引力F 的另一个分力才是物体的重力mg ．在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力αωcos 2R m f = (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcos α＝0，f ＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即.2R MmGmg =．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad ／s 数量级，所以mg 与F 的差别并不很大．在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力.RMmG mg 2=这是一个很有用的结论． 从图1中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才能向地心．同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g 的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小． 若不考虑地球自转，地球表面处有.2R Mm Gmg=，可以得出地球表面处的重力加速度.2R MG g =． 在距地表高度为h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为g ＇，由牛顿第二定律可得：2)(h R MmGg m +='即g h R R h R M G g 222)()(+=+=' 如果在h ＝Ｒ处，则g ＇＝g/4．在月球轨道处，由于r ＝60Ｒ，所以重力加速度g ＇＝ g/3600． 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用．二、万有定律的应用1. 讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即2)(h R MmGmg+=。
高考物理一轮专题复习学案： 万有引力定律
一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定【例题】应用万有引力定律和向心力的公式证明：对于所有在圆周轨道上运动的地球卫星，其周期的二次方与轨道半径的三次方之比为一常量，即T 2/R 3＝常量．【证明】设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，轨道半径为R ，周期为T ．因为卫星绕地球作圆周运动的向心力为万有引力，故F ＝G 2R Mm ＝m R ω2＝m R 22T 4π． ∴ 32R T ＝GM 42π＝常量． 可见，这一常量只与中心天体(地球)的质量有关．也适用于绕某一中心天体运动的天体系统．●课堂针对训练●(1)关于丹麦天文学家第谷，对行星的位置进行观测所记录的数据，下列说法正确的是：A ．这些数据在测量记录时误差相当大；B ．这些数据说明太阳绕地球运动；C ．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合；D ．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合．(2)关于行星绕太阳运动的正确说法是：A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动；B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处；C ．离太阳越近的行星运动周期越大；D ．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．(3)如图6－1所示，r 远大于两球的半径，但两球半径不能忽略，而球的质量均匀分布、大小分别为m 1与m 2，则两球间的万有引力大小为：A ．Gm 1m 2/r 2；B ．Gm 1m 2/r 12；C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2；D ．Gm 1m 2/(r ＋r 1＋r 2)2．(4)地球对月球具有相当大的万有引力，为什么它们不靠在一起，其原因是：A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了；B ．地球对月球的引力还不算大；C ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零；D ．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行．(5)关于引力常量G ，以下说法正确的是：A ．在国际单位制中，G 的单位是N ·kg 2/m 2；B ．在国际单位制中，G 的数值等于两个质量各为1kg 的物体，相距1m 时的相互吸引力；C ．在不同星球上，G 的数值不一样；D ．在不同的单位制中，G 的数值不一样．(6)以下说法正确的是：A ．质量为m 的物体在地球上任何地方其重力均相等；B ．把质量为m 的物体从地面移到高空上，其重力变小了；C ．同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大；D ．同一物体在任何地方其质量是相同的．(7)有一个半径比地球大两倍、质量是地球质量36倍的行星．同一物体在它表面的重力是在地球表面的重力的多少倍？(8)人造地球卫星运动时，其轨道半径为月球轨道半径的31，则此卫星运动的周期大约是多少天？(9)物体在地面上重力为G 0，它在高出地面0.5R(R 为地球半径)处的重力是多少？(10)已知地面的重力加速度是g ，距地面高等于地球半径处的重力加速度是多少？(11)假设火星和地球都是球体，火星的质量为M 火，地球的质量为M 地，且M 火/M 地＝p ，火星的半径和地球的半径之比是R 火/R 地＝q ，那么在它们表面的重力加速度之比g 火/g 地等于多少？★滚动训练★(12)小球从高为h 处落到一个倾角为45°的斜面上，如图6－2所示，设小球与斜面碰撞后速率不变，沿水平方向向左运动，求小球第二次与斜面碰撞时离第一次碰撞处的距离是多少？(斜面足够长，不计空气阻力)(13)一辆汽车匀速率通过一座圆形拱桥后，接着又以相同的速率通过圆弧形凹地，设两圆形半径相等，汽车通过桥顶A 时，桥面受到的压力F NA 为车重的一半，汽车在圆弧形凹地最低点B 时，对地面的压力为F NB ，求f NA 与F NB 之比． 四、万有引力定律在天文学上的应用【例题】月亮绕地球转动的周期为T ，轨道半径为r ，则由此可得地球质量表达式为________(引力常量为G)．若地球半径为R ，则其密度表达式是________．【分析与解答】月亮绕地球转可看成作匀速圆周运动，且F 向＝F 引，∴ G 2r m M 月地＝m 月ω2r ＝m 月(T 2π)2r 故M 地＝232GT r 4π． 而 ρ＝体V M ＝232GT r 4π/(34πR 3)＝323RGT r 3π． ●课堂针对训练●(1)若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出：A ．某行星的质量；B ．太阳的质量；C ．某行星的密度；D ．太阳的密度．(2)若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日/M 地为：A ．R 3t 2/r 3T 2；B ．R 3T 2/r 3t 2；C ．R 3t 2/r 2T 3；D ．R 3T 3/r 3t 3．(3)设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运行轨道半径R 的三次方之比为常数，即T 2/R 3＝k ，那么k 的大小决定于：A ．只与行星质量有关；B ．只与恒星质量有关；C ．与行星及恒星的质量都有关；D ．与恒星的质量及行星的速率有关．(4)银河系中有两颗行星环绕某恒星运转，从天文望远镜中观察到它们的运转周期的比为27∶1，则它们的轨道半径的比为：A ．3∶1；B ．9∶1；C ．27∶1；D ．1∶9．(5)下列说法正确的是：A ．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；C ．天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其它行星的引力作用；D ．以上均不正确．(6)行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同．(7)已知某行星绕太阳运动的轨道半径为r ，周期为T ，太阳的半径是R ，则太阳的平均密度是多少？(万有引力恒量为G)(8)已知月球的半径是r ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力恒量为G ，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式．(9)一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员着手进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程，并说明推导过程中各量的物理意义．(10)太阳光经500s 到达地球，已知地球的半径是6.4×106m ，试估算太阳的质量与地球的质量的比值(光速c ＝3×108m/s ，结果取1位有效数字)．★滚动训练★(11)从离地面高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ．在A 点正上方且离地面高为2H 的B 点，以相同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中的运动轨道在同一竖直平面内，且都从同一个屏M 的顶端擦过，求屏M 的高度．(12)如图6－3所示，半径为R 的光滑圆环上套有一质量为m 的小环，当圆环以角速度ω绕着环心的竖直轴旋转时，求小环偏离圆环最低点的高度．五、人造卫星 宇宙速度【例1】一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的15倍．试估算此卫星的线速度(已知地球半径R ＝6400km)．【分析与解答】人造地球卫星绕地球做圆周运动时，满足的关系式为 G 2)R 16(M m ＝m R 16v 2① 式中：m 为卫星质量；M 为地球质量；16R 为卫星的轨道半径．由于地球质量M 未知，所以应设法用其他已知常数代换，在地球表面mg ＝G 2RMm ② 由①、②两式消去GM ，解得v ＝1610468916R 6⨯⨯=..g ＝2.0×103(m/s)． 注意：有些基本常知，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地球自转周期T ＝24小时，公转周期T ＝365天，月球绕地球运动的周期约为30天等．【例2】人造卫星环绕地球运转的速度v ＝r /R 20g ，其中g 为地面处的重力加速度，R 0为地球的半径，r 为卫星离地球中心的距离，下面哪些说法正确？A ．题目中卫星速度表达式是错误的；B ．由速度表达式知，卫星离地面越高，其速度也越大；C ．由速度表达式知，卫星环绕速度与轨道半径平方根成反比；D ．从速度表达式可知，把卫星发射到越远的地方越容易．【分析和解答】卫星绕地球转动时，F 引＝F 心所以，G 2r M m ＝m r v 2(其中m 是卫星质量，M 是地球的质量)，故v ＝r GM ， 而在地球表面：mg ＝G 20R M m (其中m 为地面上物体的质量)故有GM ＝g R 02，所以v ＝r /R 20g ， 由此可知A 是错的，C 为正确的．又因为v 是环绕速度，故离地球越远处卫星环绕速度越小，但发射卫星到越远，克服地球引力作功越多，所需初速越大，故D 错(注意区分：发射初速度与环绕速度)．●课堂针对训练●(1)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M 地(引力常量G 为已知)：A ．月球绕地球运动的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1；B ．地球绕太阳运行的周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2；C ．人造卫星在地面附近的运行速率v 3和运行周期T 3；D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4．(2)关于第一宇宙速度，下面说法中错误的是：A ．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度；B ．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度；C ．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度；D ．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度．(3)下列说法正确的是：A ．地球同步卫星和地球自转同步，因此同步卫星的高度和速度是一定的；B ．地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小；C ．地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动；D ．以上均不正确．(4)人造地球卫星中的物体处于失重状态是指物体：A ．不受地球引力作用；B ．受到的合力为零；C ．对支持它的物体没有压力作用；D ．不受地球引力，也不受卫星对它的引力．(5)实际中人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度一定________第一宇宙速度．(填“大于”或“小于”或“等于”)(6)两个行星的质量分别为m 和M ，绕太阳运行的轨道半径分别是r 和R ，则：①它们与太阳之间的万有引力之比是多少？②它们公转的周期之比是多少？(7)两颗人造地球卫星，其轨道半径之比为R 1∶R 2＝4∶1，求这两颗卫星的：①线速度之比v 1∶v 2＝？ ②角速度之比ω1∶ω2＝？③周期之比T 1∶T 2？ ④向心加速度之比a 1∶a 2＝？(8)为转播电视节目，发射地球的同步卫星，它在赤道上空某高度处随地球同步运转，地球半径为6400km ，地球表面重力加速度g 取10m/s 2，求它的高度和线速度大小．(9)如图6－4所示，两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不致于因万有引力作用而吸引在一起．已知双星的质量分别为m 1和m 2，相距为L ，万有引力常数为G ．求：①双星转动中心位置O 与m 1的距离； ②转动周期．(10)一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R(R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为w 0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？★滚动训练★(11)如图6－5所示，长为L 的轻杆，两端各连接一个质量都是m 的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期为T ＝2πgL ．求两小球通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力，并说明是拉力还是支持力．●补充训练●(1)如图6－6中的圆a 、b 、c ，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言：A ．卫星的轨道只可能为a ；B ．卫星的轨道可能为b ；C ．卫星的轨道不可能为c ；D ．同步卫星的轨道一定为b ．(2)人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是：A ．半径越大，环绕速度越小，周期越小；B ．半径越大，环绕速度越小，周期越大；C ．所有卫星的环绕速度均是相同的，与半径无关；D ．所有卫星角速度都相同，与半径无关．(3)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为v ，周期为T ，若要使卫星的周期变为2T ，可能的办法是： A ．R 不变，使线速度变为v /2； B ．v 不变，使轨道半径变为2R ；C ．轨道半径变为43R ；D ．无法实现．(4)“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中一种特殊天体，在“黑洞”引力作用范围内，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出．研究认为，在宇宙中存在的黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，被命名为：MCG6－30－15．假设银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量：A ．太阳系质量和运动速度；B ．太阳系绕黑洞公转的周期和到“MCG6－30－15”的距离；C ．太阳系质量和到“MCG6－30－15”的距离；D ．太阳系运行速度和“MCG6－30－15”的半径．(5)物体在月球表面上的重力加速度为地球表面上的1/6，这说明：A ．地球的直径是月球直径的6倍；B ．月球的质量是地球质量的1/6；C ．月球吸引地球的引力是地球吸引月球引力的1/6；D ．物体在月球表面的重力是在地球表面的1/6．(6)三颗人造地球卫星A 、B 、C 绕地球作匀速圆周运动，如图6－7所示，已知m A ＝m B ＜m C 知，则三个卫星：A ．线速度关系：v A ＞vB ＝vC ； B ．周期关系：T A ＜T B ＝T C ；C ．向心力大小：F A ＝F B ＜F C ；D ．半径与周期关系：2C 3C 2B 3B 2A 3A T R T R T R ==． (7)宇航员在一行星上以速度为v 0竖直上抛一个物体经t 秒钟后落回手中，已知该行星半径为R ，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应是多少？(8)地球绕太阳公转的周期为T 1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的周期为T 2，轨道半径为R 2，则太阳的质量是地球的质量的多少倍？(9)有m 1和m 2两颗人造卫星，已知m 1＝m 2，如果m 1和m 2在同一轨道上运行，则它们的线速度之比v 1∶v 2＝？；如果m 1的运行轨道半径是m 2的运行轨道半径的2倍，则它们的速度之比v 1∶v 2＝？(10)若取地球的第一宇宙速度为8km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，这行星的第一宇宙速度约为多少？(11)某一高处的物体的重力是在地球表面上的重力的一半，则其距地心距离是地球半径R 的多少倍？(12)北京时间2002年12月30日零时40分，“神舟”四号无人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号运载火箭发射升空，飞船按计划进入预定轨道，用时t 秒绕地球运行了n 圈后，安全返回地面，这标志着我国航天技术达到新的水平．已知地球半径为R ，地面重力加速度为g ，试求飞船绕地球飞行时离地面的高度．(13)已知地球半径约6.4×106m ，又知月球绕地球的运动可近似看作做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多少？(结果保留一位有效数字)(14)在火箭发射卫星的开始阶段，火箭与卫星一起竖直上升的运动可看作匀加速直线运动，加速度大小为a ＝5m/s 2，卫星封闭舱内用弹簧秤挂着一个质量m ＝9kg 的物体，当卫星竖直上升到某高度时，弹簧秤的示数为85N ，求此时卫星距地面的高度是多少？(地球半径R ＝6.4×103km ，g ＝10m/s 2)(15)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ．求该星球的质量M ．(16)用打点计时器测量重力加速度，如图6－8所示，A 、B 、C 为纸带上的3个点，测AB 间距离为0.980cm ，BC 间距离为1.372cm ，已知地球半径为6.37×106m ，试计算地球的第一宇宙速度为多少？(电源频率为50Hz)(17)2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g (视为常量)和微波信号传播速度为c ．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示)．参考答案一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定：(1)D(2)D(3)D(4)D(5)BD(6)BD(7)4(8)5.8天(9)94G(10)41g (11)p /q 2(12)42h(13)1∶3． 四、万有引力定律在天文学上的应用(1)B(2)A(3)B(4)B(5)AC(6)略(7)323RGT r 3π(8)rG 43π月g (9)3π/GT 2(10)3×105(11)6H/7(12)R －g /ω2．五、人造卫星、宇亩速度：(1)AC(2)AD(3)AC(4)C(5)小于(6)①22Mr R m ；②33R r (7)1∶2，1∶8，8∶1，1∶16(8)3.56×104km ，3.1×103m/s(9)①)(L 212m m m +；②)(G L 2213m m +π(10)6π；03R 3/6ωπ-g (11)21mg ，支持力；23mg ，拉力． 本章补充训练： (1)B(2)B(3)C(4)B(5)D(6)ABD(7)t /R 20v (8)21322231T R T R (9)1∶1，1∶2(10)16km/s(11)2(12)222n 4t R π2g －R(13)4×108m(14)3.2×103km(15)22Gt 3L R 32(16)7.9km/s ．(17)C cos )4T R (R 2R )4T R (312223222αππg g 22-+．。
高考物理一轮复习第4章第4节万有引力与航天课件高三全册物理课件
的重力加速度 g0 的比值。 解析：由 GMRm2 ＝mg 得地球及月球表面的重力加速度分别为 g0
＝GRM20 、g＝GRm2 ，所以gg0＝MmRR202＝38.612＝0.16。
答案：0.16
12/13/2021
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考法 3 天体质量或密度的估算
5．(多选)要计算地球的质量，除已知的一些常识性数据外还需知 道某些数据，下列给出的各组数据中，可以计算出地球质量的是( )
12/13/2021
第二十二页，共七十四页。
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考法 1 万有引力定律的简单应用
1．已知两个质点相距为 r 时，它们之间的万有引力大小为 F。
若只将它们之间的距离变为 2r，则它们之间的万有引力大小为( )
A．4F
B．2F
1 C.4F
1 D.2F
C [由 F＝Gmr1m2 2可知，当距离为 2r 时，万有引力为14F，选项
火星的半径，设探测器绕火星运行的轨道半径为 r，根据 v＝2Tπr可得 r＝v2Tπ，
v3T 又GMr2m＝mvr2，得 M＝2vπ3TG，选项 A 错误；火星的平均密度 ρ＝MV ＝234ππGr3＝G3Tπ2，
Gv3T
选项
B
正确；火星表面的重力加速度大小
g
火＝GrM2 ＝
2πG r2
＝2Tπv，选项
B [开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规 律，与牛顿定律无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出 了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选 项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误。]
12/13/2021
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2011高三物理一轮复习精品课件：4.5_万有引力定律
1．基本方法：天体绕中心天体做匀速圆周
运
动
，
引
力
提
供
向
心
力
：
G
mM r2
＝
m
v2 r
＝
4π2 mr T2 .
2．天体质量和密度的计算
(1)要计算天体的质量 M，选取一个绕它运
动的天体，测出其轨道半径 r 和周期 T.
由 GmrM2 ＝mr4Tπ22得 M＝4GπT2r23.
(2)天体密度 ρ＝MV ＝43πMR3＝G3Tπ2rR3 3，当 r＝R 时，ρ＝G3Tπ2. 测某天体的密度，可取一探测器贴近天体 运转一周的周期 T，即可求出其 ρ.
G(RM＋mh)2＝m2Tπ2 2(R＋h) 得 M＝4π2(GRT＋22 h)3.
(2)方法一 对月球绕地球做圆周运动，由 GMr2m＝m2Tπ12r 得 M＝4GπT2r213 方法二 在地面附近重力近似等于万有引 力， 由 GMRm2 ＝mg 得 M＝gGR2.
【答案】 见解析
利用万有引力定律解决天 体运动的一般思路
同步卫星绕地心做圆周运动，由 GMhm2 ＝ m2Tπ22h 得 M＝4GπT2h223 (1)请判断上面的结果是否正确，并说明理 由，如不正确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质 量的方法并解得结果．
【解析】 (1)上面的结果是错误的，地球 的半径 R 在计算过程中不能忽略．正确的 解法和结果：
【答案】 ACD
二、宇宙速度问题的分析
北京时间07年11月7号上午8点24 分，在北京航天飞行控制中心的控制下， “嫦娥一号”卫星主发动机点火成功，工 作10分钟后，发动机正常关机，“嫦娥一 号”进入距月球表面约200公里的圆轨 道．设月球半径约为地球半径的1/4，月球 质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自 转的影响，
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第2讲 抛体运动教案-人教版高三全册物理教案
第2讲抛体运动一、平抛运动1.定义:将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,不考虑空气阻力,物体只在①重力作用下所做的运动,叫平抛运动。
2.性质:平抛运动是加速度恒为②重力加速度g 的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。
3.规律:以抛出点为坐标原点,以初速度v0的方向为x轴正方向,以竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。
则:(1)水平方向:做③匀速直线运动,速度v x=④ v0,位移x=⑤ v0t 。
(2)竖直方向:做⑥自由落体运动,速度v y=⑦ gt ,位移y=⑧gt2。
(3)合运动a.合速度:v=,设方向与水平方向间的夹角为θ,则tan θ==⑨。
b.合位移:x合=,设方向与水平方向间的夹角为α,则tan α==⑩。
二、斜抛运动1.运动性质:加速度为g的匀变速曲线运动,其轨迹为抛物线。
2.基本规律(以斜上抛为例说明,如图所示)(1)水平方向:做匀速直线运动,速度v x=v0cos θ。
(2)竖直方向:做竖直上抛运动,速度v y=v0sin θ-gt。
1.判断下列说法对错。
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。
(✕)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化,加速度方向也时刻在变化。
(✕)(3)做平抛运动的物体初速度越大,水平位移越大。
(✕)(4)做平抛运动的物体,初速度越大,在空中飞行时间越长。
(✕)(5)做平抛运动的物体,在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。
(√)(6)无论平抛运动还是斜抛运动,都是匀变速曲线运动。
(√)2.(多选)如图所示,从地面上同一位置抛出两小球A、B,分别落在地面上的M、N点,两球运动的最大高度相同。
空气阻力不计,则( )A.B的加速度比A的大B.B的飞行时间比A的长C.B在最高点的速度比A在最高点的大D.B在落地时的速度比A在落地时的大2.答案CD3.在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出,不计空气阻力,则小球在随后的运动中( )A.速度和加速度的方向都在不断变化B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小C.在相等的时间间隔内,速率的改变量相等D.在相等的时间间隔内,动能的改变量相等3.答案 B4.(多选)如图所示,从某高度处水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度方向与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g。
高考物理一轮复习课件：第四单元 万有引力定律与天体运动
解析：地球同步卫星相对地球静止，低轨卫星相对地球是运动的，
根据 GMr2m＝mvr2得，v＝
GrM，轨道半径等于地球的半径时卫
星的速度为第一宇宙速度，所以低轨卫星的线速度小于第一宇宙
速度，故 A 错误；地球同步卫星的周期与地球的周期相同，相对
地球静止，可以固定对一个区域拍照，故 B 正确；根据 GMr2m＝
()
A．3.5 km/s
B．5.0 km/s
C．17.7 km/s
D．35.2 km/s
解析：根据题设条件可知：M 地＝10M 火，R 地＝2R 火，由万有引
力提供向心力GRM2m＝mvR2，可得 v＝
GRM，即vv火地＝
M火R地＝ M地R火
15，因为地球的第一宇宙速度为 v 地＝7.9 km/s，所以航天器
3．适用条件 (1)公式适用于 质点 间的相互作用。当两个物体间的距离远 远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
[小题速验](判断正误)
1．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
()
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速
率越大。
上运行的速度
解析：每次变轨都需要发动机对飞船做功，故飞船机械能不守恒，
故 A 错误；组合体在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，万有引力提供向
心力：GMr2m＝mvr2，解得：v＝
GrM，当轨道半径 r 越大速度
越小，当轨道半径等于地球半径时的速度为第一宇宙速度，所以
组合体的运行速度要小于第一宇宙速度，故 B 错误；根据万有引
可得 v＝ 答案：A
GrM。 所以对于 a、b 两颗人造卫星有vv12＝ rr21，
高考物理一轮复习 万有引力与航天教学案
万有引力与航天1．开普勒行星运动定律：⑴ 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上． ⑵ 开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的 ． ⑶ 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等． 〖图解开普勒行星运动定律〗2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成 ，与它们之间距离r 的平方成 ．⑴ 表达式：F = G 为引力常量，G = 6.67×10－11；⑵ 适用条件：① 公式适用于 间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．② 质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 3．宇宙速度：⑴ 第一宇宙速度：又叫 速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射速度．推导过程为：由mg = mv 2/R = GMm /R 2得v =GMR= gR = km/s ． ⑵ 第二宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v 2 = km/s ． ⑶ 第三宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v 3 = km/s ． 4．卫星：⑴ 模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体的卫星．在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动．⑵ 基本原理：万有引力提供向心力 F n = GMm /r 2；F n = ma n 其中a n = v 2/r 、a n = ω2r 、a n = (2π/T )2r ． ⑶ 同步卫星：相对地球静止的卫星．其特点：① 周期一定：与地球自转周期相同，即T = h ；② 角速度一定：与地球自转的角速度相同；③ 高度一定：卫星离地面的高度h = ；（写公式，下同）④ 速率一定：v = ；⑤ 轨道平面一定：轨道平面与 共面．1．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T /T 0)，纵轴是lg(R /R 0)；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是 （ ）2．关于万有引力公式F = Gm 1m 2/r 2，以下说法中正确的是 （ ） A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的3．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ ） A ．第一宇宙速度又叫脱离速度 B ．第一宇宙速度又叫环绕速度C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关4．如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a 、b 、c 、d 轨迹运动，其中a 是一段曲线，b 是贴近地球表面的圆，c 是椭圆，d 是双曲线的一部分．已知引力常量为G 、地球质量为M 、半径为R 、地球附近的重力加速度为g ．以下说法中正确的是 （ ） A ．沿a 运动的物体初速度一定小于gR B ．沿b 运动的物体速度等于GMRC ．沿c 运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度D ．沿d 运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度〖考点1〗万有引力定律的应用【例1】假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 （ ）A ．1–d RB ．1 + d RC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2【变式跟踪1】美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，LRO 每天在50 km 的高度穿越月球两极上空10次．若以T 表示LRO 在离月球表面高度h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R 表示月球的半径，则 （ ）A ．LRO 运行时的向心加速度为4π2R /T 2B ．LRO 运行时的向心加速度为4π2(R +h )/T2C ．月球表面的重力加速度为4π2R /T 2D ．月球表面的重力加速度为4π2(R +h )3/(T 2R 2) 〖考点2〗对宇宙速度的理解及计算【例2】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R （Paksat – 1R ）成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是 （ ） A ．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B ．离地面的高度一定，相对地面保持静止C ．绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【变式跟踪2】“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，下列说法中正确的是 （ ） A ．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 1/n 倍B ．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 1/n 倍C ．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的1n倍 D ．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1n倍 〖考点3〗天体运动中的基本参量的求解及比较【例3】2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 （ ）A．线速度大于地球的线速度 B ．向心加速度大于地球的向心加速度a 3/T 2 = k ，k 是一个与行星无关的常量C ．向心力仅由太阳的引力提供D ．向心力仅由地球的引力提供【变式跟踪3】2012年6月24日，“神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接，“神舟九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是 （ ） A ．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”小 B ．“神舟九号”运行的速率比“天宫一号”小 C ．“神舟九号”运行的周期比“天宫一号”长 D ．“神舟九号”运行的角速度比“天宫一号”大 〖考点4〗描述天体运动的五大物理量之间的关系【例4】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v ．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F ．已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为 （ ）A ．mv 2/GFB ．mv 4/GFC ．Fv 2/GmD ．Fv 4/Gm【变式跟踪4】美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒－226”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 （ ）A ．3.3×103 m/sB ．7.9×103 m/sC ．1.2×104 m/sD ．1.9×104m/s 〖考点5〗卫星的变轨问题【例5】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ） A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度【变式跟踪5】如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星．关于a 、b 、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是 （ ）A ．地球对b 、c 两星的万有引力提供了向心力，因此只有a 受重力，b 、c 两星不受重力B ．周期关系为T a = T c > T bC ．线速度的大小关系为v a < v c < v bD ．向心加速度的大小关系为a a > a b > a c1．【2013·江苏卷】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【预测1】 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的 （ ） A ．轨道半径约为卡戎的1/7 B ．角速度大小约为卡戎的1/7 C ．线速度大小约为卡戎的7倍 D ．向心力大小约为卡戎的7倍 2．【2013·新课标全国卷Ⅰ】2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是 （ ）A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【预测2】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G = 6.67×10－11 N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算月球的质量约为 （ ）A ．8.1×1010kgB ．7.4×1013 kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022kg1．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运动速率分别为v 1和v 2，那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1 700 km ） （ ）A ．1819B ． 1918C ．1918D ．18192．如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的 （ ） A ．动能大 B ．向心加速度大 C ．运行周期长 D ．角速度小3．2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的1/9，火星的半径约为地球半径的1/2．下列关于火星探测器的说法中正确的是 （ ）A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的1/24．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知 （ ）A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为2L /5D ．m 2做圆周运动的半径为L 5．我国在西昌成功发射第八颗北斗导航卫星，第八颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星．如图所示，假若第八颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P 处点火加速，由椭圆轨道1变成地球同步轨道2，下列说法正确的是 （ ） A ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时完全失重，不受地球引力作用B ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小C ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的速度大于7.9 km/sD ．第八颗北斗导航卫星在轨道1上的P 点和其在轨道2上的P点的加速度大小相等6．如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R ．下列说法正确的是（ ）A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm /(r - R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm /r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 2/3r 2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm /r 2参考答案：1．焦点 面积 半长轴 公转周期2．连线 正比 反比 Gm 1m 2/r 2 N·m 2/kg 2质点 3．环绕 最大 最小 7.9 脱离 11.2 逃逸 16.74．24 3224πGMT–R GMR ＋h赤道平面1．B ；根据开普勒周期定律：R /T = R 03/T 03 = k k ，则T 2/T 02 = R 3/R 03，两式取对数，得：lg(T 2/T 02) = lg(R 3/R 03)，整理得2lg(T /T 0) = 3lg(R /R 0)，选项B 正确．2．C ；万有引力公式F = Gm 1m 2/r 2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C ．3．B ；由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度． 4．AB ；b 是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足GMm /R 2= mv 2/R ，解得v =GMR，或满足mg = mv 2/R ，解得v = gR ，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如a ，故A 、B 正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如c ，故C 错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d 轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D 错误．例1 A ；设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g = GM /R 2.地球质量可表示为M = (4πR 3/3)ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以（R - d )为半径的地球的质量为M ′ = [4π(R –d )3/3]ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′ = G M ′/( R –d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g′g= 1 – d R，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．变式1 BD ；LRO 运行时的向心加速度为a = ω2r = (2π/T )2(R + h )，B 正确；根据Gm 月m /(R + h )2=m (2π/T )2(R + h )，又Gm 月m ′/R 2 = mg ′，两式联立得g ′ = 4π2(R + h )3/(T 2R 2)，D 正确． 例2 B ；人造地球卫星(包括地球同步卫星)的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，而其运行速度小于第一宇宙速度，选项A 错误；地球同步卫星在赤道上空相对地面静止，并且距地面的高度一定，大约是3.6×104km ，选项B 正确；地球同步卫星绕地球运动的周期与地球自转周期相同，即T = 24 h ，而月球绕地球运行的周期大约是27天，选项C 错误；地球同步卫星与静止在赤道上物体的运行周期相同，角速度也相同，根据公式a = ω2r 可知，运行半径大的向心加速度大，所以地球同步卫星的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度，选项D 错误．变式2 C ；设地球半径为R ，质量为M ，则第一宇宙速度v 1 =GMR，根据万有引力等于向心力得同步卫星的运行速度v =GM nR ，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 1n倍，A 错、C 对；同步卫星和地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，根据v = ωr ，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的n 倍，B 错；由GMm /r 2= ma ，可得同步卫星的向心加速度a = GM /(nR )2，地球表面重力加速度g = Gm /R 2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1/n 2倍，D错．例3 AB ；飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞 = ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v = r ω得v 飞 ＞ v 地，选项A 正确；由公式a = r ω2知，a 飞 ＞ a 地，选项B 正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C 、D 选项错． 变式3 D ；由题图可知：“天宫一号”和“神舟九号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟九号”的轨道半径大．由万有引力公式和向心力公式可得：GMm /r 2 = ma = mv 2/r = m ω2r = m (2π/T )2r ，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A 、B 、C 错误，D 正确．例4 B ；设卫星的质量为m ′，由万有引力提供向心力，得GMm ′/R 2 = m ′v 2/R ① m ′v 2/R = m ′g ②由已知条件：m 的重力为F 得F = mg ③ 由 ③ 得g = F /m ，代入②得：R = mv 2/F ，代入 ①得M = mv 4/GF ，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．变式4 D ；设地球的密度为ρ，半径为R ，第一宇宙速度为v 1，“开普勒－226”的第一宇宙速度为v 2，G ρ(4π/)R 3m /R 2 = mv 12/R ，G ρ(4π/)(2.4R )3m 0/R 2 = m 0v 22/2.4R 得v 2 = 2.4 v 1 = 1.9×104 m/s ，故D 正确． 例5 ABC ；椭圆轨道远地点A 的速度小于近地点B 的速度，故选A ；在A 点由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，动能减小，故选B ；由开普勒第三定律a 3/T 2= 常数（其中a 为椭圆半长轴或圆轨道半径），知，因a Ⅱ<a Ⅰ，有T Ⅱ<T Ⅰ，故选C ；由GMm /r 2 = ma 知，两个轨道在A 点加速度相等，故不选D ． 变式5 BC ；a 物体在赤道上还受到地面对其支持力，b 、c 万有引力就可以看成其所受的重力，A 错；b 、c 的周期满足T = 2π r3GM，由于r b < r c ，得T b < T c ，a 、c 的周期都为地球的自转周期，B 对；b 、c 的速度满足v =GMr，由于r b < r c ，得v b > v c ，a 、c 的角速度相等，v = ωr ，由于r a < r c ，得v a < v c ，C 对；b 、c 的向心加速度满足a = GM /r 2，由于r b < r c ，得a b > a c ，a 、b 的角速度相等，a =ωr 2，由于r a < r c ，得a a < a c ，D 错．1．C ；太阳应位于行星运行轨道的一个焦点上，而焦点不是圆心，A 错误．火星和木星绕太阳运行时是不在同一个轨道上的，根据开普勒第二定律可知，同一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 错误．火星和木星绕太阳运行速度的大小也是不可能始终相等的，B 错误．根据开普勒第三定律 a 火3/T 火2 = a 木3/T 木2可知T 火2/ T 木2 = a 火3/ a 木3，C 正确．预测1 A ；设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 2、r 2、v 2，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由Gm 1m 2/L 2= m 1ω2r 1 = m 2ω2r 2（L 为两星间的距离），因此r 1/r 2 = m 2/m 1 = 1/7，v 1/v 2 = ωr 1/ωr 2 = m 2/m 1 = 1/7，故A 对、C 错．2．BC ；只要是绕地球运行的天体，其运行速率必定小于第一宇宙速度，故A 错误；如不加干预，由于轨道处稀薄大气的阻力，则天宫一号的速率减小而做向心运动，当达到新的轨道而万有引力又重新能提供向心力时，天宫一号在新的轨道做圆周运动，此时轨道高度降低，运行的速率增大，故B 、C 正确；天宫一号中的航天员不是不受地球引力，而是地球引力全部充当向心力，故D 错误．预测2 D ；由万有引力充当向心力，G mM （r ＋h ）2＝m 4π2（r ＋h ）T 2，可得环绕周期T ＝2π（r ＋h ）3GM，代入数据，解得月球质量M = 7.4×1022kg ，选项D 正确．2 = 12/r r = 1 700＋1001 700＋200 =1819，A 对． 2．CD ；飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引 = F 向，所以GMm /r 2= ma 向 = mv 2/r= 4π2mr /T 2= mr ω2，即a 向 = GM /r 2，E k = mv 2/2 = GMm /2r ，T = 2πGMr 3，ω = 3r GM （或用公式T = 2π/ω求解）．因为r 1<r 2，所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确．3．CD ；由宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火 = M 地/9，R 火 = R 地/2，则v m /v 1=GM 火R 火∶ GM 地R 地＝23≈ 0.5，选项D 正确． 4．C ；由于T 1 = T 2，故ω相同，A 错．根据F 万 = F 向，对m 1得 Gm 1m 2/L 2= m 1v 12/r 1 = m 1r 1ω2① 对m 2得Gm 1m 2/L 2 = m 2v 22/r 2 = m 2r 2ω2 ② 又r 1 + r 2 = L ③ 由①②③得v 1/ v 2 = r 1/ r 2 = m 2/m 1，B 错；r 1 = 2L /5、r 2 = 3L /5，C 对、D 错．5．D ；第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时引力完全提供向心力，处于完全失重状态，A 错；由a = ω2r可知B 错；由v =GMr知北斗导航卫星在轨道2运行时的速度小于第一宇宙速度，C 错；由a = GM /r 2知在两轨道在P 点的加速度相等，D 对．6．BC ；地球与一颗卫星的万有引力可由万有引力定律直接求出， F 地卫 = G Mm r2，故A 错误，B 正确．卫星间的万有引力也可由万有引力定律直接求出， F 卫卫 = G mm（3r ）2= G m23r 2，故C 正确．三颗卫星对地球的万有引力大小相等，相邻两个力的夹角均为120°，合力为零，故D 错误．。
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专题4.5 万有引力定律与天体运动 1．掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。 2．理解第一宇宙速的意义。 3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度 一、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2．表达式：F＝Gm1m2
r2
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 二、环绕速度 1．第一宇宙速度又叫环绕速度。 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。 4．第一宇宙速度的计算方法。 (1)由GMmR2＝mv2R得v＝GMR。 (2)由mg＝mv2R得v＝gR。 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度 1．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。 2．相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而
增大的，用公式表示为m＝m01－v2c2 。
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 3．狭义相对论的两条基本假设 (1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的。 (2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。 高频考点一 万有引力定律的理解 例1．静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是( ) A．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 答案 B 【变式探究】由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为
( )
A.R－dR＋h B.(R－d)2(R＋h)2
C.(R－d)(R＋h)2R3 D.(R－d)(R＋h)R2
答案 C 解析 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝GMR2.由于地球的质量为：M＝ρ·43πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝GMR2＝G·ρ43πR3R2＝43πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球
体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝43
πGρ(R－d)．所以有g′g＝R－dR.根据万有引力提供向心力GMm(R＋h)2＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝GM(R＋h)2，所以ag＝
R2(R＋h)2，g′a＝(R－d)(R＋h)
2
R3，故C正确，A、B、D错误．
【方法规律】万有引力的“两点理解”和“两个推论” 1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． 2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． 3．万有引力的两个有用推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0. (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即
F＝GM′mr2. 高频考点二 中心天体质量和密度的估算 例2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道
半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.110 B．1 C．5 D．10 答案： B 【变式探究】(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则( ) A．木星的质量M＝v3T2πG
B．木星的质量M＝π2c3t32GT2
C．木星的质量M＝4π2c3t3GT2
D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度 答案 AD 解析 航天器的轨道半径r＝vT2π，木星的半径R＝vT2π－ct2，
木星的质量M＝4π2r3GT2＝v3T2πG；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故A、D正确，B、C错误． 【方法规律】估算天体质量和密度时应注意的问题 1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量． 2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近
的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径． 高频考点三 宇宙速度的理解与计算 例3．(多选)中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的
质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( ) A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23
答案 CD 【变式探究】物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1.已
知某星球半径是地球半径R的13，其表面的重力加速度是地球表面
重力加速度g的16，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A.gR B.13gR C.16gR D.3gR 答案 B 解析 设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量
为m，根据万有引力提供向心力，可得GMmr2＝mv21r，解得：v1＝ GMr，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的16，可得GMmr2＝mg6，又r＝13R和v2＝2v1，解得：v2＝13gR，所以正确选项为B.
【举一反三】“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图7所示)，设木星为一球体．求：
图7 (1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度．
答案 (1)vt2πN (2)vsin θ2
1.[2016·全国卷Ⅰ] 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 【答案】B 【解析】当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，
卫星的轨道半径r＝Rcos 60°＝2R；对同步卫星，分别有GMm（6.6R）2
＝m2πT02·6.6R和GMm（2R）2＝m2πT2·2R，即TT02＝2R6.6R3，解得T＝4 h，选项B正确．
2.[2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律