弹塑性力学
弹塑性力学复习-1
二、计算题
1.已知一点的应力
500 σij = -100
-100
-100 400
0
-100
0
MPa
400
计算（1）主应力 （2）主方向 （3）最大切应力 （3）正八面体上的正应力 （4）正八面体上的切应力 （5）正八面体上的全应力
2.已知一点的应变
u (x1 x2 )2 e1 (x2 x3 )2 e2 x1x2e3
解(1): 管的两端是自由的应力状态
1 6
[(1
2
)2
(
2
3 )2
(
3
1)2
]
2 s
(Mises)
1 3 2 s (Tresca)
1
pR t
,
2
z
0, 3
r
0, zr
r
z
0
1 6
[(
pR t
)2
(
pR t
一、概念题
1.若物体内一点的位移均为零，则该点的应变也 为零。
2.在x为常数直线上，u=0，则沿该线必有 x 0 。 34..在满足y为平常衡数微直分线方上程，又u满=0足，力则边沿界该条线件必的有应 x力 0是。
否是实际应力。 5.应变状态 x k(x2 y2 ), y ky2, xy 2kxy 不可能存在。 6.若 是平面调和函数，1 (x2 y2 ) 是否可以作为
应力函数。
一、概念题
7.平面应力与平面应变主要的异同是什么。 8.切应变的含义是什么。 9.变形协调方程的物理意义是什么。 10.应力主轴与应变主轴在什么情况下重合。 11.什么是横向各向同性材料。 12.受内压压圆环（筒）的应力分析 。 13.逆解法、半逆解法的理论依据是什么？为什么？ 14.为什么最小势能原理等价于平衡方程与应力边 界条件？ 15.里兹法与伽辽金法的近似性表现在哪里？
工程弹塑性力学课后答案
工程弹塑性力学课后答案【篇一：弹塑性力学思考题答案】一点的应力状态？答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。
]代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。
答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。
其中：?=?，?=?，?=?。
xzzxxyyxyzzy应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。
所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
应力张量可分解为两个分量0???x-?m?xy?xz???m0??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx?0?m??zy?z??m??0????zx?力偏张量。
应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。
应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力11平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。
33偏应力第二不变量j2的物理意义：形状变形比能。
单向应力状态：两个主应力为零的应力状态。
纯剪应力状态的应力张量:给出应力分分量，计算第一，第二不变量。
（带公式）⒋应变张量？应变张量的不变量？应变球张量？体积应变？平均应变？应变偏张量？应变张量：几何方程给出的应变通常称为工程应变，这些应变分量的整体，构成一个二阶的对称张版权所有，翻版必究量，称为应变张量，记为：即。
弹塑性力学(浙大课件)
对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。
P
P
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
l12 l22 l32 1
消去l3：
2 N
(12
32 )l12
(
2 2
32 )l22
2 3
[(1 3)l12
(2
3 )l22
3 ]2
由极值条件 n 0 及 n 0
l1
l2
l1 ( 1
3
)[(1
3
2
(1
3
)]
0
l2
(
2
3 )[(1
3 )l12
(
2
3 )l22
j 1
SN 2 21l1 22l2 23l3
3
2 jlj
(1.3)
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
S l Ni
ij j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
弹塑性力学-02(张量初步)
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
弹塑性力学应变分析
弹塑性力学应变分析弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，研究了材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
应变分析是弹塑性力学研究中的一个重要方法，用来描述材料的应变分布和变形机制。
本文将从简介弹塑性力学的基本概念开始，然后介绍应变分析的基本原理和方法，最后结合实例进行具体分析。
弹塑性力学是固体力学中研究物体在外力作用下产生变形和失去变形能力的行为的学科，弹塑性力学将材料的变形分为弹性和塑性两个阶段进行研究。
所谓弹性变形是指当外力作用撤除后，物体完全恢复到原来的形状和体积；而塑性变形则是在外力作用下，物体永久性的改变了形状和体积。
弹性力学研究了材料的弹性性质，主要通过描述应力-应变关系来分析材料的弹性行为；而塑性力学则以塑性应变的定义和计算为基础，研究材料的塑性行为。
应变分析是一种通过测量物体表面上的变形情况来分析物体内部应变分布和变形机制的方法。
应变分析的基本原理是根据平面几何关系，通过测量物体表面上的位移或形变情况，计算出表面上各点的法向和剪切应变分量，然后根据连续性假设推导出物体内部的应变分布。
应变分析主要通过两种方法进行，一种是光学方法，即应变光学方法；另一种是电子方法，即电子应变分析方法。
应变光学方法是应变分析中最常用的方法之一，主要利用光的干涉和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变情况。
最常用的光学方法是全场应变测量方法，主要包括光栅投影法、相位差法和光弹性法。
在这些方法中，光栅投影法是最简单和最常用的方法，它通过在物体表面上投影一组光栅，然后根据物体表面上的光强分布来计算出位移和形变信息。
相位差法和光弹性法则是基于光的相位差和光的偏振状态来计算应变信息的。
电子应变分析方法主要利用电子束的散射和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变信息。
最常用的电子应变分析方法是SEM-EBSD方法和EBSD方法。
SEM-EBSD方法是通过扫描电子显微镜和电子背散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
EBSD方法则是通过扫描电子显微镜和电子回散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
弹塑性力学第07章
路径，其中与C和C′点对应的值分别为新的拉伸屈服极限和压缩屈服极限 。
这一现象为包辛格（Bauschinger）所发现，称为包辛格效应。它使具有
强化性质的材料由于塑性变形弹塑的性增力加学第，07屈章 服极限在一个方向上提高，
同时在反方向上降低，材 料具有了各向异性性质。 在求解问题时，为了简化 常忽略这一效应，但有反 方向塑性变形的问题须考 虑包辛格效应。
弹塑性力学第07章
1.单向拉伸试验
通过材料力学试验，我 们已经得到了具有代表 性的低碳钢拉伸时的应 力-应变曲线，如图7-1 所示。它反映了常温、 静载下，材料应力-应 变关系的全貌，显示了 材料固有的力学性能 。 下面介绍单向拉伸的几 个塑性概念：
弹塑性力学第07章
（1）屈服极限
▪ 应力-应变曲线上A点对应的应力值称为材料 的弹性极限。若应力小于弹性极限，则加载 和卸载的应力-应变曲线相同（OA）段；若 应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有 明显的转折，并出现一个水平线段（AF）， 常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。 在AF段应力不变的情况下可以继续变形，通 常称为塑性流动。
E
s E1s
( s )
(
s)
式中E1为强化阶段直线斜率，当E1=0时即为理想弹塑性模型。
弹塑性力学第07章
（4）线性强化刚塑性模型
▪ 略去线性强化弹塑性模型中的线 弹性部分，即在应力达到σs前材料 为刚性的，应力超过σs后应力应变 关系呈线性强化。如右图（d）所 示，即
0
1
E 1
s
( (
▪ 1. 常用应力-应变关系简化模型 ▪ 2. 其他应力-应变关系简化模型
弹塑性力学 Microsoft PowerPoint
J 2 = s 2 13=2s
（1） 管的两端是自由的；
应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0
J2 = =
1 [(zr)2+(r)2+(z)2+6( 2 2 2z )] zr r 6
1 1 2]= [2(pR/t) (pR/t)2 3 6
z
2
z 2
2 z = s
将其展开后得
z f2 = 2
z 2 2 z ( s ) =0 2
2
2 f 2 = s z s z z s2 = 0
2
从(5.4-4)式可知，弯矩 M 与曲率 k 呈线形关系，且
M k= EI z
将它代入式 x = E = Eky
式(5.4-5)与材料力学的结果完全一样，表明应力 x
My x = Iz
(5.4-5)
在梁的横截面呈线性分布，即与 y 成比例，且随着弯矩 M 的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性 极限弯矩，记为 M e 。由(5.4-5)式可得弹性极限弯矩为
压应力 y 主要由载荷 q 产生的, 现因 q 为常数, 所以,可以假定,对于不
6 z = s 7
将该式微分，得
时达到屈服．
( s )d z ( s z )d 2 z d z = 0
1 d z d 2 d z = d ( s ) E
1 d d z 2 d = d ( s z ) E
对AB面
f1 d = d1 = d1 1 f1 p d 2 = d1 = d1 2 f d 3p = d1 1 = 0 3
弹塑性力学 第七章 屈服条件
1 2 2 2 2 2 2 J ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 2 x y y z z x x y y z z x 6 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6
§3 两种常用屈服条件
一、Tresca屈服条件 最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时 材料发生屈服。
设 1 2 3 1 3 屈 服 条 件f ( ) k i j 1 0 2 如不规定 1, 2 ,3 的大小顺序，则屈服条件为
1 2 k1 1 3 k1 2 3 k1
s • 屈服条件： ) 0 • 用应力函数表示： f( s
3、对复杂应力状态，物体内一点的应力状态由6个 应力分量确定。可认为当6个应力分量满足某种函 数关系时，这一点进入屈服。即： 屈服函数 f ( ij ) 0
复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应 力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应 力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复 杂应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且 可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。
主应力排序为 r 最大剪应力为 1 m a x r 2 代入Tresca和Mises条件发 现它们有一样的屈服条件:
x
r
r s
§4 后继屈服条件及加,卸载准则 1. 后继屈服条件的概念 • 从单向应力谈起, 如图所示我 们曾经提到过初始屈服点和后 继屈服点的概念. • 对应于复杂应力,就有初始屈 服面(比如我们前面提到的屈服 条件)和后继屈服面. 如右图所示, 一点应力状态O, 随加载达到初始屈服面 0 A 点,再加载到达后继屈服面 1 B点, 此时卸载再加载再到 达 后继屈服面 1 C点,然后 再加载到达后继屈服面 2 D 点.
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1． 弹性力学的基本假定
为简化计算，弹性力学假定所研究的物体具有连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形等五个
基本假定。
2.什么是平面应力问题？
3. 什么是平面应变问题？
4.两类平面问题的一些特征。
5.在平面应力问题的物理方程式中，将E、分别换成2/(1)E、(1)，就得到平面应变问题
的物理方程式。反之，将式（1-6）中的E、分别换成(12)E2（1+）、（1+），就可
得到式(1-5).
6.什么是主应力、应力张量不变量?
7.什么是最大剪应力?
8.什么是偏应力张量及其不变量?
9.什么是八面体上的应力和等效应力?
10.什么是主应力空间与平面?
11.什么是应变张量的分解?
12.平面问题归结为求解由应力函数表示的变形协调方程式(5.19)并满足相应的边界条件式（5.21）。由于
方程、边界条件以及应力分量表达式（5.18）中都不包含弹性常数，因此，平面问题的应力解与材料的
弹性性质无关。这就是说，对于几何形状相同，所受外荷载相同，但材料不同的两个弹性体，无论是平
面应力问题还是平面应变问题，它们内部的应力分布都相同。
13.同弹性力学一样，塑性力学也是连续介质力学的一个分支，它的基本方程是：（1）描述物体平衡状态的
平衡方程;(2)描述物体变形的几何方程；（3）刻画材料物理状态和力学性质的本构方程。前两类方程与
材料性质无关，因此普遍适用。塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程不同。
14.什么是随动硬化？什么是硬化特性？
15.塑性变形具有如下特点：
（1）加载过程中应力与应变关系一般是非线性的。
（2）应力—应变之间不再是一一对应的单值关系。如图10.4所示，3种应力路径，OAB、OABCD和
OABEF,它们达到的应力都是，但产生的应变值分别为B、D、和F对应的应变BDF、、，
显然不同。这就是说，对应于同一个应力状态，如果应力历史不同，所对应的应变不同，因此，应
变不仅取决于应力状态，而且还取决与达到改应力状态所经历的历史。
（3）外力在塑性变形所做的功即塑性功具有不可塑性。
16.什么是静水压力试验？
17.什么是加、卸载判别准则？
18.什么是应力路径与加载历史？
19.什么是简单加载和复杂加载？
20.什么是屈服函数？
21.解释屈服与静水压力无关。10.2节介绍的静水压力试验表明：静水压力对于塑性变形过程几何没有影响。
从金属材料塑性变形的主要内在机制来看，它可解释为在剪切作用下的位错移动，即剪切滑移，与
静水压力无关。因此，可认为屈服条件仅取决于偏应力，是偏应力不变量的函数。
22.什么是屈服面？
23.什么是Tresca屈服条件？
24.什么是Mises 屈服条件？