投影法概念.点的投影

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1 点
1.1 点在两投影面体系中的投影
1.1.1 两投影面体系的建立
两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。

两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。

水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。

(1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。

画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。

图2 点在两投影面体系中的投影
(2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。

(3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。

则得到点A的两面投影图。

(4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。

1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律
(a) (b)
图3 点在两投影面体系中的投影规律
(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。

在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。

根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。

当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。

因此，在投影图上，aa′⊥OX。

(2) 一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aa x=Aa′；a′a x=Aa。

在图3(a)中，因为Aaa x a′是矩形，所以aa x=Aa′; a′a x=Aa。

图4 分角内点的投影
如图7所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。

三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V面和H面的交线为OX轴，H面和W面的交线为OY轴，V面和W面的交线为OZ轴。

OX、OY、OZ轴垂直相交于一点O，称为原点。

我们只在第一分角内研究各种问题。

图7 三投影面体系的建立
1.2.2 点的三面投影
(1) 投影如图8所示，设空间点A处于第一分角，按正投影法将点A分别向H、V、W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。

(2) 投影面展开为了把空间点A的三面投影表示在一个平面上，保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合；W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合。

在展开过程中，OX轴和OZ轴位置不变，OY轴被“一分为二”，其中随H面向下旋转与OZ轴重合的一半，用OY H表示；随W面向右旋转与OX轴重合的一半，用OY W表示。

(3) 擦去边界，得到点的三面投影图擦去投影面边界线，则得到A点的三面投影图。

1.2.3 点的三面投影规律
如图9所示，三投影面体系可以看成由V⊥H、V⊥W两个两投影面体系组成。

根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为：
1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；
2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于O Z轴，即a′a"⊥OZ；
3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aa x=a″a z＝Aa′。

为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。

而aa x=a″a z可用图9(b)所示的以O为圆心，aa x或a″a z为半径的圆弧，或用图9(c)所示的过O点与水平成45°的辅助线来实现。

(a) (b)(c)
图9 点在三投影面体系中的投影规律
1.2.4 点的投影的直角坐标表示法
如图9，如果把三投影面体系看作笛卡儿直角坐标系，则H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，O为坐标原点。

则点A到三个投影面的距离可以用直角坐标表示：点A到W面的距离Aa″=点A的x坐标值x A，且Aa″=aa y=a′a z=a x O；
点A到V面的距离Aa′=点A的y坐标值y A，且Aa′=aa x=a″a z=a y O；
点A到H面的距离Aa=点A的z坐标值z A，且Aa=a′a x=a″a y=a z O。

点A的位置可由其坐标（x A、y A、z A）唯一地确定。

其投影的坐标分别为：水平投影a（x A，y A，0）；正面投影a′（x A，0，z A）；侧面投影a″（0，y A，z A）。

因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。

反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。

【例1】已知空间点A(12,8,16)、点B(8,12,0)、点C(0,0,10),求作它们的三面投影图。

【解】点A的三个坐标都为正值，故点A在第一分角内；点B的三个坐标中，z=0，
即B到H面的距离等于零，故点B在H面内；点C的三个坐标中，x=0,y=0,即C到W面和V面的距离都为零，故点C在OZ轴上。

如图10(a)所示，求点A的三面投影图的步骤如下：
(1) 画投影轴；
(2) 求a、a′
①由原点O向左沿OX轴量取12mm得a x；
②过a x作OX轴的垂线；
③在垂线上自a x向下（OY H方向）量取8mm得a；
④在垂线上自a x向上(OZ方向）量取16mm得a′；
(3) 求a″
①过a′作a′a z⊥OZ轴，交OZ轴于a z；
②过a作aa YH⊥OY H轴，交OY H轴于a YH，利用45°辅助线在OY W轴上得a YW；
③自a YW向上作OY W轴的垂线与aa z的延长线交于a″。

用同样的方法可作出B点的三面投影图如图10(b)所示，C点的三面投影图如图10(c)所示。

(a) (b)(c)
图10 由点的坐标作点的三面投影图
【例2】如图11(a)所示，已知点A的正面投影a′和侧面a″，求作该点的水平投影a。

【解】作图步骤如图11(b)所示：
①自a′向下作OX轴的垂线；
②自a″向下作OY W轴的垂线与45°辅助线交于一点，并由该交点作OY H轴的垂线，与过a′垂直于OX轴的直线交于a,a即为A点的水平投影。

(a) (b)
图11 由点的两面投影求其第三面投影
1.3 两点的相对位置
1.3.1 两点相对位置的确定
两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。

点的位置由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。

如图12（a）所示，空间有两个点A（x A，y A，z A）、B（x B，y B，z B）。

若以B点为基准，则两点的坐标差为Δx AB＝x A－x B、Δy AB＝y A－y B、Δz AB＝z A－z B。

x坐标差确定两点的左右位置，y坐标差确定两点的前后位置，z坐标差确定两点的上下位置。

三个坐标差均为正值，则点A在点B的左方、前方、上方。

从图12（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。

1.3.2 重影点
当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。

如图13（a），A、B两点位于V面的同一条投射线上，它们的正面投影a′、b′重合，称A、B两点为对V面的重影点，这两点的x、z坐标分别相等，y坐标不等。

同理，C、D两点位于H面的同一条投射线上，它们的水平投影c、d重合，称C、D两点为对H面的重影点，它们的x、y坐标分别相等，z坐标不等。

(a) (b)
图13 重影点
由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。

在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。

如图13（b），A、B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，y A＞y B，点A在点B的前方，a′可见，表示为a′；b′不可见，表示为（b′）。

C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，z C ＞z D，点C在点D的上方，c可见，表示为c；d不可见，表示为（d）。