(2021年整理)因式分解的9种方法
(2021年整理)初二数学因式分解精选100题
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提升课堂托辅中心初二数学因式分解精选100题2013年1月25日一、选择题1。
下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ )A (a +3）（a -3)=a 2-9 B x 2+x —5=（x -2）（x +3）+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ） （D ）x 2+1=x (x +x1）2.下列各式的因式分解中正确的是（ )A -a 2+ab -ac = -a （a +b —c ） B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3—2xy ） C 3a 2x -6bx +3x =3x （a 2-2b )D 21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 3。
2021年因式分解教案三篇
The time wasted casually can never be won back.勤学乐施积极进取（页眉可删）2021年因式分解教案三篇因式分解教案篇1学习目标1、了解因式分解的意义以及它与正式乘法的关系。
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法分解因式。
学习重点：能用提公因式法分解因式。
学习难点：确定因式的公因式。
学习关键，在确定多项式各项公因式时，应抓住各项的公因式来提公因式。
学习过程一.知识回顾1、计算(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)二、自主学习1、阅读课文P72-73的内容，并回答问题：(1)知识点一：把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做____________，也叫做把这个多项式__________。
(2)、知识点二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得ma+mb+mc=m(a+b+c)我们来分析一下多项式ma+mb+mc的特点;它的每一项都含有一个相同的因式m，m叫做各项的_________。
如果把这个_________提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。
这种________的方法叫做________。
2、练一练。
P73练习第1题。
三、合作探究1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一种变形，左边是几个整式乘积形式，右边是一个多项式。
、2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一种变形，左边是_____________，右边是_____________。
3、下列是由左到右的变形，哪些属于整式乘法，哪些属于因式分解?(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-14、准确地确定公因式时提公因式法分解因式的关键，确定公因式可分两步进行：(1)确定公因式的数字因数，当各项系数都是整数时，他们的最大公约数就是公因式的数字因数。
2021-2022学年七年级数学下册同步精品课件之因式分解——提公因式法(沪科版)
—— 提公因式法
知识回顾 ① 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减) 这 两个数乘积的 2 倍.
② 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. 拓展提高 ② 利用平方差公式计算的关键是： 确定公式中的 a 和 b 怎样确定 a 与 b：符号相同的项看作 a，符号相反的项看作 b. 确定 a 和 b 后套用公式即可.
变式练习：
ab= 3 ，a+b= 5 ，求多项式 a3b+2a2b2+ab3 的值.
8
4
巩固练习
4、已知 x2+3x-2=0，求代数式 2x3+6x2-4x 的值.
巩固练习
5、试说明 817-279-913 能被 45 整除.
一、因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式.
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c)-3y(b+c)
解：原式= (b+c) ( 2x-3y )
确定公因式的方法： ① 定系数： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系 数的最大公因数； ② 定字母： 公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母； ③ 定指数： 取相同字母的最低次数. ④ 看整体： 如果多项式中含有相同的多项式因式，则应将其 看成一个整体，不要拆开.
② 因式分解的结果是将多项式化为几个整式的积的形式. 积中 几个相同的因式的积要写成幂的形式.
③ 因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不 能分解为止.
对应练习
2、判断整下式列乘各法式哪些是整式乘法？因哪式些分是解因式分解？
2023年中考数学一轮复习+++因式分解+课件
=(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)
【重点考点例析】
例10:(2021年广东中山)因式分解：x2－y2－3x－3y
解：原式= (x2 y2 ) (3x 3y) (x y)(x y) 3(x y)
(x y)(x y) 3
(x y)x y 3
【基础知识回顾】
【重点考点例析】 考点二：分解因式 例3:(2022•沈阳)分解因式：m2-6m+9= (m-3)2 ． 例4:(2022•北海)因式分解：-m2+n2= (n+m)(n-m) ． 例5:(2022•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2
解：原式=3m（m2-6mn+9n2） =3m（m-3n）2．
常数项是两个数的积
【重点考点例析】 考点二：分解因式
例7：(1)m2 7m 18 (m 9)(m 2) (2)x2 -2x 15 (x 5)(x 3)
例8：（2022•潍坊）分解因式：x3-4x2-12x． 解：原式=x(x2-4x-12) =x(x+2)(x-6)．
4、分组分解法：
解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
【基础知识回顾】
2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行
第4章因式分解 题型解读2 “提取公因式法”题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《分解因式》题型解读2 “提取公因式法”题型【知识梳理】1.题型特点：有关“公因式提取”的题目2.解题方法：（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；【典型例题】例1．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m²+n² B．m²+4m+1 C．m²-n D．m²-2m+1解析:并不是所有的多项式都要以因式分解.一般我们遵循以下步骤来判断是否可以因式分解或进行因式分解：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)看看多项式能否采用"十字相乘法"进行因式分解;(3)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；选项A不符合平方差公式,选项B不符合完全平方公式,选项C没有公因式,而(4)选项D是一个完全平方公式,故选D例2.多项式-2x²-12xy²+8xy³的公因式是（）A．2xy B．24x²y³C．-2x D．2x解析:在找一个多项式的公因式时,要遵循三点:(1)找各系数的最大公因数;(2)找相同字母的最低次幂;(3)多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.答案选C例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A．x²+y² B．x²-y²C．x²+2x+1 D．x²+2x解析：选D，公因式是x；例4．下列各式中，不含因式a+1的是（）A．a²-1 B．2a²+4a+2C．a²+a-2 D．a²-2a-3解析：选项A分解为：(a+1)(a-1)，选项B分解为：2(a+1)(a+1)，选项C分解为：(a-1)(a+2)，选项D分解为：(a+1)(a-3)，选C.例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（）A．a²-b²=（a+b）（a-b） B．a²-2ab+b²=（a-b）²C．ab+ac=a（b+c） D．a²+2ab+b²=（a+b）²解析：选项A：平方差公式，选项B和选项D：完全平方公式，选C例6． 3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________解析：公因式是3(a-b)例7．多项式12ab³c-8a³b的公因式是__________解析：公因式是4ab例8．多项式15m³n²+5m²n-20m²n³的公因式是______________解析：公因式是5m²n例9．代数式15ax²-15a与10x²+20x+10的公因式是________________ 解析：公因式是5(x+1)例10．多项式mx²-m与多项式x²-2x+1的公因式是________________ 解析：公因式是 (x-1)例11．若x²-4x+3与x²+2x-3的公因式为x-c，则c=_________解析：公因式是：(x-1),∴c=1；例12．将-a²b-ab²提公因式后，另一个因式是_________解析：公因式是：-1ab,∴另一个因式是a+2b；2例13．分解因式（a-b）（a²-ab+b²）-ab（b-a）为________________ 解析：原式分解为：(a-b)( a² +b²);例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a²b+ab²=____________解析：原式=ab(a+b)=2×3=6;例15.计算：计算：22018−(−2)2019=________________解析：原式=原式=22018+22019=22018+2•22018=3•22018例16．分解因式（1）因式分解：a2﹣5a= ．解：a2﹣5a=a（a﹣5）．（2）因式分解：2x2﹣8= ．解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．（3）因式分解：ab+ac= ．解：ab+ac=a（b+c）．（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．解：原式=（x+2）（x﹣1）．（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．解：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．（6）分解因式：m2﹣3m= ）．解：m2﹣3m=m（m﹣3）．（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2解：4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选：B．（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）解：x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选：D．。
专题3因式分解(共41题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)
专题3因式分解（共41题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．2．（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（2021·贵州铜仁市·中考真题）下列等式正确的是（ ）A ．3tan452-+︒=-B ．()5510x xy x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭C ．()2222a b a ab b -=++D ．()()33x y xy xy x y x y -=+- 【答案】D【分析】依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，逐项计算即可．【详解】 A. 3tan45314-+︒=+=，不符合题意B. ()55555105y y y x xy x y x ⎛⎫÷=⨯⎪= ⎝⎭，不符合题意 C. ()2222a b a ab b -=-+，不符合题意D. ()()3322()x y xy xy x y xy x y x y -=-=+-，符合题意 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义．4．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题5．（2021·四川成都市·中考真题）因式分解：24x -=__________．【答案】(x+2)(x-2)【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-6．（2021·云南中考真题）分解因式：34x x -=______．【答案】x （x +2）（x ﹣2）．【详解】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．7．（2021·山东临沂市·中考真题）分解因式：2a 3﹣8a=________．【答案】2a （a+2）（a ﹣2）【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，()()()222a 8a 2a a 4=2a a+2a 2-=--．8．（2021·广西柳州市·中考真题）因式分21x -= ．【答案】(1)(1)x x +-．【详解】原式=(1)(1)x x +-．故答案为(1)(1)x x +-．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解．9．（2021·浙江宁波市·中考真题）分解因式：23x x -=_____________．【答案】x(x -3)【详解】直接提公因式x 即可，即原式=x (x -3).10．（2021·江苏宿迁市·中考真题）分解因式：2ab a -=______．【答案】a （b +1）（b ﹣1）．【详解】解：原式=2(1)a b -=a （b +1）（b ﹣1），故答案为a （b +1）（b ﹣1）．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）分解因式：24m -=_____．【答案】(2)(2)m m +-【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】24(2)(2)m m m -=+-，故填(2)(2)m m +-【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.12．（2021·江苏盐城市·中考真题）分解因式：a 2+2a +1＝_____．【答案】（a +1）2【分析】直接利用完全平方公式分解.【详解】a 2+2a +1＝（a +1）2．故答案为()21+a .【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.13．（2021·吉林长春市·中考真题）分解因式：22a a +=_____．【答案】22(2)a a a a +=+【分析】直接提公因式法：观察原式22a a +，找到公因式a ，提出即可得出答案．【详解】 22(2)a a a a +=+．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．14．（2021·江苏连云港市·中考真题）分解因式：2961x x ++=____．【答案】（3x ＋1）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x ＋1）2，故答案为：（3x ＋1）2【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2021·江苏苏州市·中考真题）因式分解221x x -+=______．【答案】()21x -【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：221x x -+=（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．16．（2021·浙江台州市·中考真题）因式分解：xy -y 2＝_____．【答案】y (x -y )【分析】根据提取公因式法，即可分解因式．【详解】解：原式= y (x -y )，故答案是：y (x -y )．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．17．（2021·江西中考真题）因式分解：224x y -=______．【答案】(2)(2)x y x y +-【分析】直接利用平方差公式分解即可．【详解】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．故答案为：(2)(2)x y x y +-．【点睛】本题考查了分解因式－公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．18．（2021·甘肃武威市·中考真题）因式分解：242m m -=___________．【答案】()22m m -【分析】先确定242m m -的公因式为2m ，再利用提公因式分解因式即可得到答案．【详解】解：()24222.m m m m -=- 故答案为：()22m m -【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键．19．（2021·湖北黄石市·中考真题）分解因式：322a a a -+=______．【答案】()21a a -．【分析】观察所给多项式有公因式a ，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()221a a a =-+， ()21a a =-，故答案为：()21a a -．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．20．（2021·四川泸州市·）分解因式：244m -=___________．【答案】()()411m m +-．【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()224441411m m m m -=-=+-． 故答案为：()()411m m +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．21．（2021·四川乐山市·中考真题）因式分解：249a -=________．【答案】(23)(23)a a -+【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解．【详解】解：22249(2)3a a -=-＝(23)(23)a a -+．故答案为：(23)(23)a a -+．【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．22．（2021·江苏无锡市·中考真题）分解因式：328x x -=_________．【答案】2x （x +2）（x -2）【分析】先提取公因式2x ，再利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式=2x （x 2-4）=2x （x +2）（x -2）；故答案为：2x （x +2）（x -2）．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．23．（2021·广西来宾市·中考真题）分解因式：224a b -=______．【答案】()()22a b a b +-【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224a b -=()222a b -=()()22a b a b +-．故答案为()()22a b a b +-．【点睛】本题考查了因式分解．熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．（2021·浙江绍兴市·中考真题）分解因式：221x x ++= ___________ ．【答案】2(1)x +【分析】根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：221x x ++=2(1)x +故答案为：2(1)x +．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键． 25．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分解因式：2a ax -=__________．【答案】()()11a x x +-【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22111a ax a x a x x -=-=+-；故答案为()()11a x x +-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．26．（2021·山东菏泽市·中考真题）因式分解：322a a a -+-=______．【答案】2(1)a a --【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可【详解】∴322a a a -+-=-a 22)1(a a -+=2(1)a a --故答案为: 2(1)a a --．【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 27．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∴2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 28．（2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：22021x x -=______．【答案】(2021)x x -【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得． 【详解】解：22021(2021)x x x x -=-， 故答案为：(2021)x x -． 【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键． 29．（2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：264x xy -=__________． 【答案】()232x x y - 【分析】直接提出公因式2x 即可完成因式分解． 【详解】解：()264232x xy x x y -=-;故答案为：()232x x y -． 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是找到它们的公因式，提出公因式后再检查分解是否彻底即可，本题为基础题，考查了学生对基础知识的掌握与运用． 30．（2021·陕西中考真题）分解因式：3269x x x ++=______． 【答案】()23x x + 【分析】题目中每项都含有x ，提取公因式x ；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】()322269(69)3x x x x x x x x ++=+++=故答案为()23x x +． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．31．（2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解：221x x ++=______． 【答案】()21x +． 【详解】解：()22211x x x ++=+．故答案为：()21x +． 【点睛】此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 32．（2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：23xy x -=______． 【答案】()()x y x y x -+ 【分析】提公因式与平方差公式相结合解题． 【详解】解：2322()()()xy x x y x x y x y x -=-=-+， 故答案为：()()x y x y x -+． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 33．（2021·四川眉山市·中考真题）分解因式：3x y xy -=______． 【答案】()()11xy x x +- 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy ，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：()()()32111x y xy xy x xy x x -=-=+-；故答案为：()()11xy x x +-． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 34．（2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：239a ab -=__________． 【答案】()33a a b - 【分析】利用提取公因式法因式分解即可 【详解】解：()23933a ab a a b -=-故答案为: ()33a a b - 【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键 35．（2021·北京中考真题）分解因式：2255x y -=______________． 【答案】()()5x y x y +- 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：()()()22225555x y x y x y x y -=-=+-；故答案为()()5x y x y +-． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 36．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：2218m -=______． 【答案】()()233m m +- 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：2218m -=2（m 2-9） =2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 37．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b ．【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式得出即可． 【详解】 解：22ab a - =2(2)a b -=(a b b故答案为：(a b b ．【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．三、解答题38．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）先因式分解，再计算求值：328x x -，其中3x =． 【答案】()()222+-x x x ，30 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x 的值即可． 【详解】解：()()()322824222x x x x x x x -=-=+-，当3x =时，原式235130=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．39．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos4512π-⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭．（2）因式分解：3312xy xy -+．【答案】（1）6（2）3(2)(2)xy y y -+- 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式4141)2=++⨯-411=++6=+（2）解：原式23(4)xy y =--3(2)(2)xy y y =-+-【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．40．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4 【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可． 【详解】解：∴2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-，∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．41．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M 有1224，1221，5624，5616． 【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A 个位及十位上的数，同时也可以用来表示B ．然后整理出：()()()P M G M Q M =，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M ．【详解】 解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数”． 1681214=⨯，2410+≠，168∴不是“合和数”，6212327=⨯，十位数字相同，且个位数字3710+=， 621∴是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n （m ，n 为自然数，且39m ≤≤，19n ≤≤）， 则10,1010A m n B m n =+=+-．∴()10210,()()(10)210P M m n m n m Q M m n m n n =+++-=+=+-+-=-． ∴()()21054()2105P M m m G M k Q M n n ++====--（k 是整数）．39m ≤≤，8514m ∴≤+≤，k 是整数，58m ∴+=或512m +=，∴当58m +=时，5851m n +=⎧⎨-=⎩或5852m n +=⎧⎨-=⎩， 36341224M ∴=⨯=或3733=1221M =⨯．∴当512m +=时，51251m n +=⎧⎨-=⎩或51253m n +=⎧⎨-=⎩， 76745623M ∴=⨯=或78725616M =⨯=．综上，满足条件的M 有1224，1221，5624，5616． 【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．。
2021年九年级数学中考一轮复习《因式分解的应用》自主复习达标测评
2021春九年级数学中考一轮复习《因式分解的应用》自主复习达标测评（附答案）1．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．62．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22B．﹣1C．7D．114．对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（）A．12B．14C．16D．185．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．9B．6C．4D．无法确定6．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和677．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．38．已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最大值是（）A．20B．30C．32D．379．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于．10．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为．11．已知x2﹣1＝x，则代数式x3﹣2x2+2020＝．12．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝．13．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式n3+4m+2019＝．14．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为．15．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．17．观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．18．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝．19．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：（1）因式分解：x2﹣4x+4＝．（2）填空：①当x＝﹣2时，代数式x2+4x+4＝．②当x＝时，代数式x2﹣6x+9＝0．③代数式x2+8x+20的最小值是．（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．20．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S，并探求a，b，c之间的等量关系（需要化简）（2）请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：①当c＝10，a＝6时，求S的值；②当c﹣b＝1，a＝5时，求S的值．21．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到数学等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（3a+2b）（4a+b）的长方形，请在网格中画出这个图形，并求x+y+z的值．参考答案1．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．2．解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．3．解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故选：B．4．解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，1998÷111＝18，所以F（468）＝18．故选：D．5．解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，∴m2﹣n2＝3n﹣3m，∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，∵m≠n，∴（m+n）+3＝0，∴m+n＝﹣3，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．故选：A．6．解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B．7．解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．8．解：mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，（m﹣3）（n﹣2）＝26，∵m，n均为正整数，∴或或或，解得或或或，m+n＝32或m+n＝20或m+n＝20或m+n＝32，故m+n的最大值是32．故选：C．9．解：∵a+b﹣2＝0，∴a+b＝2．∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4．故答案为4．10．解：∵x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，∴设a2＝x+11，b2＝x﹣72，∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴（a+b）（a﹣b）＝（x+11）﹣（x﹣72），∴（a+b）（a﹣b）＝x+11﹣x+72，∴（a+b）（a﹣b）＝83，∴，解得：，∵a2＝x+11，∴x＝a2﹣11＝422﹣11＝1764﹣11＝1753．故答案为：1753．11．解：x2﹣1＝x，则x2﹣x＝1，x3﹣x2＝x，x3﹣2x2+2020＝x3﹣x2﹣x2+2020＝x﹣x2+2020＝﹣1+2020＝2019，故答案为2019．12．解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝202013．解：∵n2﹣n＝3，∴n2＝n+3，∴n3+4m+2019＝n（n+3）+4m+2019＝n2+3n+4m+2019＝4（m+n）+2019∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n，∴m，n为一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个不等实数根，∴m+n＝1，∴原式＝4×1+2022＝2026．故答案为：2026．14．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，∴a2﹣a﹣3＝0，b2﹣b﹣3＝0，即a2＝a+3，b2＝b+3，∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5＝2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5＝2a2﹣2a+17＝2（a+3）﹣2a+17＝2a+6﹣2a+17＝23．故答案为：23．15．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，∴a﹣b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．16．解：（1）阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，则需应用上述方法2020次，结果是（1+x）2021，故答案为：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n（1+x）＝（1+x）n+1．17．解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC是等腰三角形．18．解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；（4）①根据题意，作出图形如下：②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．故答案为（a+2b）（2a+b）．19．解：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故答案为：（x﹣2）2；（2）①当x＝﹣2时，x2+4x+4＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4＝4+（﹣8）+4＝0，故答案为：0；②∵x2﹣6x+9＝0，∴（x﹣3）2＝0，∴x1＝x2＝3，故答案为：3；③∵x2+8x+20＝（x+4）2+4，∴当x＝﹣4时，x2+8x+20取得最小值4，故答案为：4；（3）∵a2+b2﹣6a+8b+28＝（a﹣3）2+（b+4）2+3≥3，∴代数式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值是3．20．解：（1）由题意，得S1＝b（a+b）＝ab+b2S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2，＝ab+b2﹣a2+c2．S1＝S2，∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，∴a2+b2＝c2．（2）∵a2+b2＝c2．且c＝10，a＝6，∴b＝8，∴S＝6×8+64＝112．答：S的值为112．②∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）．又∵c﹣b＝1，a＝5，∴c+b＝25，∴b＝12，∴S＝ab+b2＝12×5+122＝204．21．解：（1）如图2，用两种形式表示正方形的面积：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc故答案为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．将a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35代入，得a2+b2+c2＝100﹣2×35＝30故答案为30．（3）如图是面积为（3a+2b）（4a+b）的长方形．（3a+2b）（4a+b）＝12a2+11ab+2b2∴x+y+z＝12+2+11＝25答：x+y+z的值为25．。
2020-2021初中数学因式分解真题汇编及答案解析(1)
2020-2021初中数学因式分解真题汇编及答案解析(1)一、选择题1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.2．计算201200(2)(2)-+-的结果是（ ）A ．2002-B ．2002C ．1D ．2-【答案】A【解析】【分析】直接提取公因式进而计算得出答案．【详解】（-2）201+（-2）200=（-2）200×（-2+1）=-2200．故选：A ．【点睛】此题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．3．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．4．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）A ．2xB ．﹣4xC ．4x 4D ．4x【答案】A【解析】【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x 2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.【详解】A 、4x 2+1+2x ，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；B 、4x 2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；C 、4x 2+1+4x 4=(2x 2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；D 、4x 2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2x （x +3）＝2x 2+6xB ．24xy 2＝3x •8y 2C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．7．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣aC ．6x 2y 3＝2x 2•3y 3D ．mx ﹣my +1＝m （x ﹣y ）+1【答案】A【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A 、a 2﹣2a+1＝（a ﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；B 、a （a+1）（a ﹣1）＝a 3﹣a ，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；C 、6x 2y 3＝2x 2•3y 3，不符合因式分解的定义，不合题意；D 、mx ﹣my+1＝m （x ﹣y ）+1不符合因式分解的定义，不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．8．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
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（完整）因式分解的9种方法
（完整）因式分解的9种方法
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（完整）因式分解的9种方法
因式分解的多种方法—-—-知识延伸，向竞赛过度
1. 提取公因式:这种方法比较常规、简单,必须掌握.常用的公式：完全平方公式、平方差公式
例一:
0322xx
解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个（x-a)因式,这对
我们后面的学习有帮助。
2. 公式法
常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式.
例二：42x分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 —b 2 =（a+b）（a-b） 2解：原式
=(x+2)(x-2）
3. 十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松.注意：它不难.
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解
成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结
果
例三： 把3722xx分解因式.
分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别
写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1；
（完整）因式分解的9种方法
分解常数项： 3=1×3=3×1=（—3)×(-1)=（—1）×（—3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
经过观察,第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－
7.
解 原式=（x—3)(2x-1）。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，
即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2,排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一
次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2
之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1)（a2x+c2）.
这种方法要多实验，多做,多练。它可以包括前两者方法。
4. 分组分解法
也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持
续性！
例四：
22
44yxx
（完整）因式分解的9种方法
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方,可以用平方差公式
解：原式=（x+2)^2—y^2=(x+2+y）(x+2—y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5. 换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：1)(2)(2yxyx分解因式
考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的，用a代替x+y
那么原式=a^2—2a+1 =(a—1）^2，回代原式=（x+y—1）^2
6. 主元法
这种方法要难一些,多练即可。即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数
例六：因式分解
24222
)1(8)1(216yxyxyxy
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而
以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=yyxyxyx168)1(2)1(22224。。。..。..。..。。.。。..。。.。。。.。..。。.
主元法
222
2
22
)1(2828)1(yxyx
y
x
yx
=（x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)————-———-—---—-—-——-—【十
字相乘法】
可见,十字相乘十分重要。
（完整）因式分解的9种方法
7. 双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如feydxcybxyax22的二次六项式
在草稿纸上，jkfpqcmna,,如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1，2列
和第2，3列都满足十字相乘规则.则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例七：ab＋2b＋a－b－2分解因式
解:原式＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2
＝（0×a＋b＋1）(a＋b－2）
＝（b＋1)（a＋b－2)
8. 待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入,这时就要用到“1”中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x—a）因式
例八:
22xx
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，x^2+x—2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1，那么必有一因式为(x—1）
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为—2)
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1)，所以另一因式为（x+2），分解为(x—1)(x+2）
（完整）因式分解的9种方法
9. 列竖式
让人拍案叫绝的方法.原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上,不足的
项要用0补
除的时候,一定要让第一项抵消
例九：25323xx分解因式
提示：x=—1可以使该式=0，有因式（x+1）
那么该式分解为（x+1）(3x^2+2x—2)
因式分解有9种方法，这么多？其实是不止的,还有很多很多.不过了解这些，初中的因式分解
是不会有问题了。
考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习.
22)()(babab 2222
)(4)(axaxxa
（完整）因式分解的9种方法
3222223
963cabcbacba
xy＋6－2x－3y
22
)3(4)3)(3(4)3(babababa
（x＋2）（x－3）＋（x＋2）(x＋4)
2
12x
－29x＋15 x(y＋2)－x－y－1
3244422yxyxyx
21120132234xxxx
3355227222yxyxyx
24m+8mn+23n 24n+4n－15 2
x
+2x-8
2x+3x—10 . 2x+x—6 2
2x
+5x—3
2x+4x-2 2
x
-2x-3 5ax+5bx+3ay+3by
123xxx baba2418321822